Determinante

DETERMINANTE
Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas
verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los
determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y,
por separado, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta
notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales.
El símbolo
es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por
definición, a11a22 − a12a21. Un determinante de orden n−ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n
columnas como se muestra en la figura:
El adjunto menor, Mij, de un elemento cualquiera aij de la tabla es el determinante formado por los elementos
restantes al eliminar la fila i y la columna j en las que aparece el elemento aij. El cofactor, Aij, de un elemento
aij es igual a (−1)i+jMij.
EVALUNACION DE UN DETERMINANTE
El valor de un determinante se puede expresar usando los elementos de una fila (o columna) y sus respectivos
cofactores; la suma de estos productos es el valor del determinante. Formalmente, esto se expresa como
si el desarrollo se hace en función de la fila i, o
si se hace en función de la columna j. De esta manera, para calcular el valor de un determinante de tercer
orden utilizando los elementos de la primera columna
Estos términos se evalúan a su vez utilizando la definición dada anteriormente para el determinante de
segundo orden.
Para determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para los determinantes formados por los
1
adjuntos menores, hasta llegar a determinantes que puedan desarrollarse fácilmente.
Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso, por lo que se utilizan
ciertas propiedades de los determinantes para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre estas
propiedades, tenemos las siguientes:
1) Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) son idénticos, o
proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).
2) Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el determinante queda
multiplicado por dicho factor.
3) El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de una fila (o columna) el elemento
correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado por un factor constante.
APLICACIONES
Una aplicación de los determinantes en la geometría analítica se muestra en el siguiente ejemplo: Si P1(x1,
y1), P2(x2, y2), y P3(x3, y3) son tres puntos distintos en un plano de coordenadas cartesianas, el área A del
triángulo P1P2P3, ignorando el signo algebraico, está dada por
Si los tres puntos son colineales, el valor del determinante es cero.
Los determinantes se utilizan también para resolver sistemas de ecuaciones de la siguiente manera. Las n
ecuaciones a resolver se representan algebraicamente como
Se construye un determinante, Ä, utilizando estos coeficientes, y siendo Äk el determinante que se obtiene al
eliminar la columna k y sustituirla por la columna de las constantes b1, b2, ... bn. Si Ä " 0 las ecuaciones son
consistentes y es posible encontrar una solución. Ésta está dada por
Si Ä = 0, es necesario investigar las razones para averiguar el número y la naturaleza de las soluciones.
Este es un ejemplo numérico. Dados:2x1 + 3x2 + 4x3 = 6, x1 + x2 + x3 = 3 y x1 − x2 + x3 = −1, entonces
tenemos que x1 = Ä1 / Ä = 2. Si construimos Ä 2 y Ä3 el resultado es x2 = 2 y x3 = −1.
Bibliografia
• "Determinante." Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993−2000 Microsoft Corporation.
Reservados todos los derechos.
2