Tarea 2 fio listoke

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Industrias
ILI-281
TAREA Nº2 FIO
Pert & Cpm
Integrantes: Matthias Breytmann 2504082-1
Javier Casanova
2511022-1
Fecha:
13 de Junio 2008
Ayudante:
Daniel Araya – Manuel Labra
Tarea Nº2 FIO
Índice
Introducción ............................................................................................................................................ 3
Objetivos ................................................................................................................................................. 3
Parte 1: Resolución Gráfica. ..................................................................................................................... 4
Parte 2: Resolución mediante programación lineal. ................................................................................. 7
Parte 3: Crashing ................................................................................................................................... 10
Conclusión General ................................................................................................................................ 15
Anexo .................................................................................................................................................... 15
Parte 2 ............................................................................................................................................... 15
Parte 3.1 ............................................................................................................................................ 16
Parte 3.4 ............................................................................................................................................ 18
Página 2
Tarea Nº2 FIO
Introducción
Pert & Cpm es un técnica comúnmente utilizada para la revisión y evaluación de proyectos. Pert
que en inglés significa Program Evaluation and Review Technique consiste en la elaboración de un
diagrama que representa las tareas involucradas para finalizar un proyecto y además determina la
duración de cada actividad e identifica el tiempo mínimo necesario para completar dicho proyecto. Cpm
(Critical Patch Method) consiste en determinar la ruta crítica de los elementos de una red de proyecto,
esto sirve para identificar las rutas que ante cualquier variación o retraso afecta la fecha de finalización
del proyecto. Esta técnica
Objetivos
•
•
•
•
•
Comprender la técnica Pert & Cpm de tal forma de poder aplicarla a la realidad
Elaborar un modelo a través de un diagrama de todas las actividades involucradas en un
proyecto con sus respectivas duraciones y determinar la duración esperada de éste
Identificar la o las rutas críticas que podrían afectar la duración del proyecto
Identificar que actividades se pueden acelerar de tal forma de terminar el proyecto antes de lo
esperado al menor costo posible
Utilizar un software para modelar el problema de tal forma de poder comparar los resultados
calculados
Página 3
Tarea Nº2 FIO
Parte 1: Resolución Gráfica.
La representación gráfica de las actividades se observa en la siguiente imagen obtenida del software de
representación de diagramas Dia.
Donde: Ai: Es la actividad i del proyecto. i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
El diagrama se representó a través de la siguiente notación:
•
Bajo cada nombre de actividad Ai está su duración en días.
•
Los datos que están representados mediante paréntesis cóncavo “( , )” corresponden al tiempo
de comienzo más temprano y tiempo de finalización más temprano respectivamente
•
Los datos que están entre paréntesis tipo corchete “ [ , ]” corresponden al tiempo de comienzo
más tardío y tiempo de finalización más tardío respectivamente.
Página 4
Tarea Nº2 FIO
Página 5
Tarea Nº2 FIO
Del diagrama anterior se obtiene que el proyecto tiene una duración esperada de 56 días. Además se
observan las dos posibles rutas críticas, las cuales son:
Ruta Crítica 1: A1 – A2 –A4 – A6 – A8 – A9 – A11 – A12 – A13 – A15 – A17.
Ruta Crítica 2: A1 – A3 – Dummy –A4 – A6 – A8 – A9 – A11 – A12 – A13 – A15 – A17.
Esto implica que las actividades nombradas que pertenecen a la ruta crítica no se pueden retrasar, ya
que su atraso implicaría un atraso general de la entrega del proyecto.
Página 6
Tarea Nº2 FIO
Parte 2: Resolución mediante programación lineal.
Modelación del problema:
Variable: xi : tiempo acumulado al nodo i,
Función Objetivo:
i = 1..15
min z = x15 − x1
Restricciones:
Tiempo de inicio día cero:
x1 = 0
Restricción de tiempo para cada nodo: x2 ≥ x1 + 4
x3 ≥ x2 + 2
x9 ≥ x8 + 4
x3 ≥ x4
x9 ≥ x10
x4 ≥ x2 + 2
x11 ≥ x9 + 9
x5 ≥ x3 + 5
x12 ≥ x11 + 7
x6 ≥ x5 + 1
x13 ≥ x12 + 3
x7 ≥ x5 + 8
x13 ≥ x10 + 9
x10 ≥ x5 + 2
x14 ≥ x13 + 8
x8 ≥ x6 + 2
x14 ≥ x4 + 20
x8 ≥ x7 + 3
x15 ≥ x14 + 3
x6 ≥ x7
No negatividad:
xi ≥ 0 ∀i = 1..15
Nota: Las restricciones que no tienen sumado un tiempo de duración son restricciones para los dummy o
nodos artificiales.
Página 7
Tarea Nº2 FIO
Solución mediante el programa Lingo:
Global optimal solution found.
Objective value:
Infeasibilities:
Total solver iterations:
Variable
X15
X2
X1
X3
X4
X5
X6
X7
X10
X8
X9
X11
X12
X13
X14
Row
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
56.00000
0.000000
17
Value
56.00000
4.000000
0.000000
6.000000
6.000000
11.00000
19.00000
19.00000
13.00000
22.00000
26.00000
35.00000
42.00000
45.00000
53.00000
Slack or Surplus
56.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
7.000000
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
13.00000
0.000000
0.000000
0.000000
23.00000
0.000000
27.00000
0.000000
0.000000
4.000000
6.000000
6.000000
11.00000
19.00000
19.00000
22.00000
26.00000
13.00000
35.00000
42.00000
45.00000
53.00000
56.00000
Página 8
Reduced Cost
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Dual Price
-1.000000
-1.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
-1.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Tarea Nº2 FIO
Análisis de Resultados y conclusión:
Como se puede observar ambos métodos dan la misma solución: mínima duración del proyecto
igual a 56 días, esto a través del grafo hecho manualmente y el software de programación lineal Lingo, el
cual luego de 17 iteraciones por el método simplex llega al mismo valor.
En cuanto a la ruta crítica se puede analizar del resultado obtenido por el programa Lingo que la
columna llamada Slack or Surplus define las restricciones que determinan la ruta crítica con un valor
igual a 0. En base a este análisis se puede concluir que los resultados son similares a los obtenidos en
forma gráfica.
Esto comprueba que el método gráfico y cálculo manual es óptimo para planificar y obtener la
información necesaria para el desarrollo de un proyecto. Eso sí, tiene un problema, ya que en caso del
proyecto contar con un número de actividades muy grande y con una compleja relación entre ellas, este
método va a resultar tedioso y demasiado de largo por lo que la eficiencia en la planificación se ve
mermada.
Para el software de resolución de programación lineal, Lingo, es totalmente diferente, pues no
importa cuan grande o complejo sea el conjunto de tareas, la minimización de tiempo la va a entregar
sin mayores problemas, pero como se explico en el párrafo anterior sufre en contra el no dilucidar los
datos de la ruta crítica del proyecto, dependiendo por tanto igual del desarrollo de la gráfica del
proyecto.
Página 9
Tarea Nº2 FIO
Parte 3: Crashing
El proyecto se requiere terminar en 50 días a menor costo posible. El siguiente modelo de
programación lineal representa que actividad debe ser acelerada cumpliendo con el máximo de tiempo
que se puede acelerar cada actividad:
Variables:
xi :tiempo acumulado al nodo i, i = 1..15
y j : cantidad de días a acelerar actividad j , j = 1..17
Función Objetivo:
min z = 100 y1 + 100 y2 + 200 y3 + 150 y4 + 0 y5 + 100 y6 + 110 y7 + 90 y8 + 130 y9 + 120 y10
+ y1 70 y11 + 200 y12 + 190 y13 + 70 y14 + 100 y15 + 110 y16 + 90 y17
Sujeto a:
x1 = 0
x9 ≥ x10
y7 ≤ 1
x2 ≥ x1 + 4 − y1
x11 ≥ x9 + 9 − y11
y8 ≤ 1
x3 ≥ x2 + 2 − y2
x12 ≥ x11 + 7 − y12
y9 ≤ 1
x3 ≥ x4
x13 ≥ x12 + 3 − y13
y10 ≤ 1
x4 ≥ x2 + 2 − y3
x13 ≥ x10 + 9 − y14
y11 ≤ 5
x14 ≥ x13 + 8 − y15
y12 ≤ 4
x14 ≥ x4 + 20 − y16
y13 ≤ 2
x15 ≥ x14 + 3 − y17
y14 ≤ 3
y1 ≤ 2
y15 ≤ 6
x8 ≥ x7 + 3 − y8
y2 ≤ 1
y16 ≤ 10
x6 ≥ x7
y3 ≤ 0
y17 ≤ 1
x9 ≥ x8 + 4 − y9
y4 ≤ 2
x5 ≥ x3 + 5 − y4
x6 ≥ x5 + 1 − y5
x7 ≥ x5 + 8 − y6
x10 ≥ x5 + 2 − y10
x8 ≥ x6 + 2 − y7
y5 ≤ 0
y6 ≤ 4
Tiempo de finalización en 50 días:
x15 − x1 ≤ 50
No negatividad:
xi , y j ≥ 0 ∀i = 1..15, j = 1..17
Para resolver este problema se utilizó el software Lingo v11, el código utilizado se adjunta en el anexo.
Página
10
Tarea Nº2 FIO
Los resultados que arroja el software son los siguientes:
Global optimal solution found.
Objective value:
Infeasibilities:
Total solver iterations:
Variable
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
Y16
Y17
X15
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X10
X8
X9
X11
X12
X13
X14
Row
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
440.0000
0.000000
19
Value
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
5.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
50.00000
0.000000
4.000000
6.000000
6.000000
11.00000
19.00000
19.00000
13.00000
21.00000
25.00000
29.00000
36.00000
39.00000
47.00000
Slack or Surplus
440.0000
0.000000
2.000000
1.000000
0.000000
2.000000
0.000000
4.000000
1.000000
0.000000
1.000000
1.000000
0.000000
4.000000
2.000000
3.000000
6.000000
10.00000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
7.000000
0.000000
Página
11
Reduced Cost
10.00000
10.00000
200.0000
60.00000
0.000000
10.00000
110.0000
0.000000
40.00000
120.0000
0.000000
110.0000
100.0000
70.00000
10.00000
110.0000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Dual Price
-1.000000
90.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
20.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
-90.00000
-90.00000
0.000000
0.000000
-90.00000
0.000000
-90.00000
Tarea Nº2 FIO
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
12.00000
0.000000
0.000000
0.000000
17.00000
0.000000
21.00000
0.000000
0.000000
4.000000
6.000000
6.000000
11.00000
19.00000
19.00000
21.00000
25.00000
13.00000
29.00000
36.00000
39.00000
47.00000
50.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
5.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
-90.00000
0.000000
-90.00000
0.000000
-90.00000
-90.00000
-90.00000
0.000000
-90.00000
0.000000
-90.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Conclusión y análisis de resultados:
Cabe destacar que el menor precio posible para acelerar y lograr terminar el proyecto a los 50 días es
440 y las actividades aceleradas son la Actividad 8 con un costo de 90 en 1 día y la actividad 11 en 5 días
con un costo total de 350, es decir costo 70 diario.
Las rutas críticas quedan representadas entonces por las siguientes actividades:
RC1: A1 − A2 − A4 − A6 − A8 − A9 − A11 − A12 − A13 − A15 − A17
RC 2 : A1 − A3 − A4 − A6 − A8 − A9 − A11 − A12 − A13 − A15 − A17
RC 3 : A1 − A2 − A4 − A6 − Dummy − A7 − A9 − A11 − A12 − A13 − A15 − A17
RC 4 : A1 − A3 − A4 − A6 − Dummy − A7 − A9 − A11 − A12 − A13 − A15 − A17
Las rutas críticas quedan representadas a través del análisis de los valores 0 en la columna “Slack or
Surplus”.
Página
12
Tarea Nº2 FIO
¿Cuánto es lo mínimo que podría durar el proyecto?
Para encontrar el valor mínimo que puede durar el proyecto se realiza nuevamente el análisis con el
software Lingo, pero ahora cambiando la función objetivo a:
Min z = x 15
Manteniendo todo lo demás igual, se obtiene lo siguiente:
Global optimal solution found.
Objective value:
Infeasibilities:
Total solver iterations:
Variable
X15
X1
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
Y16
Y17
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X10
X8
X9
X11
X12
X13
X14
Row
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
28.00000
0.000000
37
Value
28.00000
0.000000
2.000000
0.000000
0.000000
2.000000
0.000000
4.000000
0.000000
1.000000
1.000000
1.000000
5.000000
4.000000
2.000000
0.000000
6.000000
0.000000
1.000000
2.000000
4.000000
4.000000
7.000000
11.00000
11.00000
8.000000
13.00000
16.00000
20.00000
23.00000
24.00000
26.00000
Slack or Surplus
28.00000
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
3.000000
0.000000
10.00000
0.000000
Página
13
Reduced Cost
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Dual Price
-1.000000
1.000000
0.000000
1.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
1.000000
0.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.000000
1.000000
0.000000
1.000000
Tarea Nº2 FIO
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
3.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
8.000000
0.000000
0.000000
0.000000
7.000000
0.000000
2.000000
0.000000
0.000000
2.000000
4.000000
4.000000
7.000000
11.00000
11.00000
13.00000
16.00000
8.000000
20.00000
23.00000
24.00000
26.00000
28.00000
2.000000
0.000000
0.000000
2.000000
0.000000
4.000000
0.000000
1.000000
1.000000
1.000000
5.000000
4.000000
2.000000
0.000000
6.000000
0.000000
1.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
-1.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
-1.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
El mínimo número de días que puede tardar el proyecto con diversas actividades aceleradas es de 28
días. El programa entrega el número de días que se debe acelerar cada variable y multiplicado por su
respectivo costo se obtiene el valor de 4980 unidades.
Página
14
Tarea Nº2 FIO
Conclusión General
Los dos métodos utilizados son complementarios a la hora de resolver un problema de Pert &
Cpm ya que para modelar el problema Pert es más cómodo realizar un diagrama y luego modelarlo con
un software. Para analizar las rutas críticas mediante Cpm es más conveniente utilizando un programa
como es el caso de Lingo ya que si se acelera alguna actividad, ésta puede cambiar la ruta crítica del
proyecto siendo necesario comprobar reiteradas veces la malla del proyecto.
Esta técnica es usualmente utilizada en proyectos como por ejemplo construcciones, puertos,
aeropuertos y es aplicable a cualquier empresa lo que ayuda considerablemente a identificar actividades
críticas y minimizar los costos en caso de que se requiera acelerar una determinada actividad.
Anexo
Parte 2
Página
15
Tarea Nº2 FIO
MODEL:
MIN = x15-x1;
x2>=x1+4;
x3>=x2+2;
x3>=x4;
x4>=x2+2;
x5>=x3+5;
x6>=x5+1;
x7>=x5+8;
x10>=x5+2;
x8>=x6+2;
x8>=x7+3;
x6>=x7;
x9>=x8+4;
x9>=x10;
x11>=x9+9;
x12>=x11+7;
x13>=x12+3;
x13>=x10+9;
x14>=x13+8;
x14>=x4+20;
x15>=x14+3;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x7>=0;
x8>=0;
x9>=0;
x10>=0;
x11>=0;
x12>=0;
x13>=0;
x14>=0;
x15>=0;
DATA:
x1 = 0;
ENDDATA
END
Parte 3.1
MODEL:
MIN =
100*y1+100*y2+200*y3+150*y4+0*y5+100*y6+110*y7+90*y8+y9*130+120*y10+70*y11+200*y12+190*
y13+70*y14+100*y15+110*y16+90*y17;
x15-x1<=50;
y1<=2;
y2<=1;
y3<=0;
y4<=2;
y5<=0;
y6<=4;
y7<=1;
y8<=1;
y9<=1;
y10<=1;
Página
16
Tarea Nº2 FIO
y11<=5;
y12<=4;
y13<=2;
y14<=3;
y15<=6;
y16<=10;
y17<=1;
x2>=x1+4-y1;
x3>=x2+2-y2;
x3>=x4;
x4>=x2+2-y3;
x5>=x3+5-y4;
x6>=x5+1-y5;
x7>=x5+8-y6;
x10>=x5+2-y10;
x8>=x6+2-y7;
x8>=x7+3-y8;
x6>=x7;
x9>=x8+4-y9;
x9>=x10;
x11>=x9+9-y11;
x12>=x11+7-y12;
x13>=x12+3-y13;
x13>=x10+9-y14;
x14>=x13+8-y15;
x14>=x4+20-y16;
x15>=x14+3-y17;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x7>=0;
x8>=0;
x9>=0;
x10>=0;
x11>=0;
x12>=0;
x13>=0;
x14>=0;
x15>=0;
y1>=0;
y2>=0;
y3>=0;
y4>=0;
y5>=0;
y6>=0;
y7>=0;
y8>=0;
y9>=0;
y10>=0;
y11>=0;
y12>=0;
y13>=0;
y14>=0;
y15>=0;
y16>=0;
y17>=0;
DATA:
x1 = 0;
ENDDATA
Página
17
Tarea Nº2 FIO
END
Parte 3.2
MODEL:
MIN = x15-x1;
y1<=2;
y2<=1;
y3<=0;
y4<=2;
y5<=1;
y6<=4;
y7<=1;
y8<=1;
y9<=1;
y10<=1;
y11<=5;
y12<=4;
y13<=2;
y14<=3;
y15<=6;
y16<=10;
y17<=1;
x2>=x1+4-y1;
x3>=x2+2-y2;
x3>=x4;
x4>=x2+2-y3;
x5>=x3+5-y4;
x6>=x5+1-y5;
x7>=x5+8-y6;
x10>=x5+2-y10;
x8>=x6+2-y7;
x8>=x7+3-y8;
x6>=x7;
x9>=x8+4-y9;
x9>=x10;
x11>=x9+9-y11;
x12>=x11+7-y12;
x13>=x12+3-y13;
x13>=x10+9-y14;
x14>=x13+8-y15;
x14>=x4+20-y16;
x15>=x14+3-y17;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x7>=0;
x8>=0;
x9>=0;
x10>=0;
x11>=0;
x12>=0;
x13>=0;
x14>=0;
x15>=0;
y1>=0;
Página
18
Tarea Nº2 FIO
y2>=0;
y3>=0;
y4>=0;
y5>=0;
y6>=0;
y7>=0;
y8>=0;
y9>=0;
y10>=0;
y11>=0;
y12>=0;
y13>=0;
y14>=0;
y15>=0;
y16>=0;
y17>=0;
DATA:
x1 = 0;
ENDDATA
END
Página
19