Tarea 4 hidro _mbreytmann

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
Departamento de Obras Civiles
Hidrología CIV- 243
TAREA N°4
HIDROLOGÍA
Integrantes:
Fecha:
Profesor:
Ayudantes:
Matthias Breytmann
Javier Casanova
Mauricio Cisternas
05/12/2008
Ludwig Stowas
Raúl Flores
Mª Pía Jiménez
Tarea Nº4
Hidrología
Tabla de contenido
Problema 1 – Ajuste de datos a distribución probabilística ............................................................. 3
Distribución de Valores Extremos Tipo I – Gumbel ..................................................................... 4
Distribución Log-Normal ............................................................................................................ 6
Distribución Normal ................................................................................................................... 7
Problema 2 – Curvas IDF ................................................................................................................ 9
Problema 3 – Estimación del Caudal Máximo de Escorrentía ........................................................ 11
Utilizando la fórmula racional: ................................................................................................. 13
Utilizando la fórmula de Peñuelas: ........................................................................................... 13
Utilizando la fórmula de Verni-King: ......................................................................................... 14
Conclusiones................................................................................................................................ 15
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Tarea Nº4
Hidrología
Problema 1 – Ajuste de datos a distribución probabilística
Se pide ajustar una distribución de probabilidad a los datos de precipitación entregados por lo que
se implementará el test de ajuste de bondad Chi-Cuadrado para verificar si los datos se ajustan a la
distribución analizada.
En primer lugar se debe plantear una hipótesis nula que se tratará de comprobar, esto requiere suponer
que los datos se distribuyen según una determinada distribución probabilística, para luego, de acuerdo a los
valores teóricos correspondientes, determinar si el error encontrado respeta la tolerancia respectiva del
test. En caso que el error del ajuste se encuentra bajo la tolerancia implica que no hay razón para rechazar la
hipótesis y se podría decir que los datos se modelan de acuerdo a la distribución testeada. Si el error es
mayor se debe rechazar la hipótesis y buscar otra distribución.
Cabe destacar que en algunos casos los datos se pueden ajustar con varias distribuciones debido a que el
test entrega esa información, pero en caso que suceda se elige la distribución que presente el menor error.
El procedimiento verificar la correcta distribución de los datos es el siguiente:
•
•
En primer lugar se debe realizar una tabla de frecuencias con los datos de precipitación
Luego se elege una distribución teórica y calcular la probabilidad de que la variable
aleatoria
caiga dentro de cada intervalo:
Ci
P [Ci −1 < X < Ci ] = pi =
∫
f ( x)dx
Ci−1
•
Se calcula el valor de la frecuencia absoluta teórica de cada intervalo:
•
Se calcular el error para cada intervalo:
ti = N ⋅ pi
ε i = fi − ti
•
Se realiza la prueba con el test
( fi − ti ) 2
X =∑
ti
i =1
k
2
m
•
Se comparan el valor obtenido con la tolerancia, de acuerdo a una variable Chi-cuadrado con v=K-s1 grados de libertad, donde s corresponde al número de parámetros de la distribución testeada y es
el número de clases que contiene la tabla.
Es importante mencionar que para el análisis se utiliza un 95% de confianza, o 5% de significancia
Luego, se modelan y analizan los datos con las siguientes distribuciones:
•
•
•
Gumbel
Logarítmica Normal
Normal
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Tarea Nº4
Hidrología
Con los datos de precipitación se construye la siguiente tabla de frecuencias, de acuerdo a la teoría
estadística:
Límite Inf.
Límite Sup.
Mi
n
N
f
F
15
29
29
43
22
36
4
11
4
15
0.0851
0.2340
0.0851
0.3191
43
57
57
71
50
64
13
4
28
32
0.2766
0.0851
0.5957
0.6809
71
85
85
99
78
92
8
5
40
45
0.1702
0.1064
0.8511
0.9574
99
113
106
2
47
0.0426
1.0000
Nota: La tabla se construyó utilizando los siguientes parámetros
•
•
•
Número de clases: k = 1 + 3.3 ⋅ log( n) = 1 + 3.3 ⋅ log(51) = 6.63 ≈ 7
Rango + 1 96 + 1
=
≈ 14
k
7
Límite inferior: L = min { x} − 2 / 2 = 15
Amplitud intervalo: a =
Además calculando las medidas de tendencia central se tiene:
__
x = 58.03 [mm]
σ x = 23.39 [mm]
Distribución de Valores Extremos Tipo I – Gumbel
Para esta distribución la función de probabilidad acumulada es:
F ( x) = e − e
−y
Interpolando los valores de la tabla que contiene la media y desviación estándar de la variable reducida para
diferentes valores de la muestra se tiene que para 47 datos:
__
y
= 0.547196
m
σ m = 1.15537
Luego:
_
__
x−x
σx
=
y−
ym
σm
De donde se obtiene el valor de “y” a introducir en la función de distribución acumulada. En este caso x
corresponde al límite del intervalo (se evalúa para el límite superior e inferior).
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Tarea Nº4
Hidrología
Resumiendo, se tiene la siguiente tabla:
P. Lim inf
P. lim sup
Prob int
Frec teoric
Error
X2
0.0088
0.0936
0.0848
3.9858
-0.0142
0.0001
0.0936
0.3054
0.2118
9.9549
-1.0451
0.1097
0.3054
0.5522
0.2467
11.5959
-1.4041
0.1700
0.5522
0.7427
0.1906
8.9570
4.9570
2.7433
0.7427
0.8616
0.1189
5.5877
-2.4123
1.0414
0.8616
0.9281
0.0665
3.1258
-1.8742
1.1238
0.9281
0.9633
0.0352
1.6548
-0.3452
0.0720
Sumando los valores de la última columna se obtiene el valor de test:
χ 2 = 5.2602
Además, como la distribución de Gumbel utiliza 2 parámetros, se deben comparar con un valor de chicuadrado con v=7-2-1=4 grados de libertad con un 95% de confianza de donde se obtiene:
2
χ 4,0.95
= 9.488
Graficando los datos ajustados con la distribución de Gumbel con los observados se tiene:
Luego, no existen razones para rechazar la hipótesis de que las precipitación se distribuyen según una
distribución Gumbel. Dicho de otro modo, la diferencia entre las distribuciones acumuladas empírica y
teórica no es significativa.
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Hidrología
Distribución Log-Normal
Se tienen las medidas de tendencia central:
__
1 51
⋅ ∑ ln( xi ) = 3.9744
47 i =1
σ x = 0.4361
x=
Luego estandarizando para analizar como si fuera una distribución Normal con media 0 y desviación 1
mediante:
__
z=
ln( x) − x
σx
⇒ N ∼ (0,1)
De la misma forma que en el caso anterior, se obtiene la siguiente tabla:
Z1
-2.8285
-1.3529
-0.4624
0.1774
0.6770
1.0871
1.4348
Z2
-1.3529
-0.4624
0.1774
0.6770
1.0871
1.4348
1.7366
P. interv.
0.0857
0.2339
0.2485
0.1804
0.1107
0.0628
0.0344
Frec teoric
4.0282
10.9912
11.6794
8.4794
5.2022
2.9529
1.6191
Error
0.0282
-0.0088
-1.3206
4.4794
-2.7978
-2.0471
-0.3809
X2
0.0002
0.0000
0.1493
2.3663
1.5048
1.4192
0.0896
Sumando los valores de la última columna, se obtiene el valor del test :
χ 2 = 5.29402
Debido a que la distribución normal consta de dos parámetros, se debe comparar con una variable Chicuadrado de 4 grados de libertad (determinada con el mismo procedimiento del caso anterior) con 95% de
confianza:
2
χ 4,0.95
= 9.488
De acuerdo a esto, no existen razones para rechazar la hipótesis nula, es decir los datos se pueden modelar
con una distribución Logarítmica Normal.
El siguiente gráfico muestra la distribución empírica y teórica en donde se observa que los datos se ajustan
en forma aproximada.
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Hidrología
Distribución Normal
Se tienen las siguientes medidas de tendencia central:
__
1
51
x = 47 ⋅ ∑ x
i
= 58.0298[mm]
i =1
σ x = 23.3878[ mm]
De la misma forma que para el caso log-normal, se utiliza un valor de la variable estandarizada:
__
z=
x−x
σx
⇒ N ∼ (0,1)
Realizando el mismo procedimiento que los casos anteriores se tiene la siguiente tabla:
Z1
-1.8185
-1.2199
-0.6213
-0.0227
0.5760
1.1746
1.7732
Z2
-1.2199
-0.6213
-0.0227
0.5760
1.1746
1.7732
2.3718
Prob int
0.0768
0.1560
0.2237
0.2267
0.1622
0.0820
0.0292
Frec teoric
3.6078
7.3300
10.5162
10.6555
7.6252
3.8533
1.3747
Error
-0.3922
-3.6700
-2.4838
6.6555
-0.3748
-1.1467
-0.6253
Sumando los valores de la última columna, se obtiene el valor del test:
χ 2 = 7.26796
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X2
0.0426
1.8376
0.5867
4.1570
0.0184
0.3412
0.2844
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Hidrología
Al igual que la distribución Log-Normal, se tienen dos parámetros. Luego se debe comparar con una variable
Chi-cuadrado de 4 grados de libertad y 95% de confianza:
χ 42, 0.95 = 9.49
De acuerdo a esto, no existen razones para rechazar la hipótesis, por lo tanto los datos se pueden modelar
mediante una distribución normal.
El siguiente gráfico muestra la distribución empírica y teórica en donde se observa que los datos se ajustan
en forma aproximada.
En conclusión, debido a que las 3 distribuciones cumplen el valor requerido por el test se escoge la
distribución que arrojó el menor error, es decir, la DISTRIBUCIÓN LOGARITMICA NORMAL. Esta distribución
es la que mejor se ajusta a los datos de precipitación entregados.
Además graficando los datos para verificar la teoría se tiene el siguiente histograma:
Y comparándolo con los de la distribución de Gumbel, se puede apreciar que se puede apreciar la semejanza
de los datos.
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Problema 2 – Curvas IDF
1.
Obtener el caudal máximo de escorrentía directa para los siguientes periodos de retorno 100,
500, 1000. Asumiendo una distribución de intensidades con un máximo central.
Se utilizará la distribución Log-Normal para hacer la siguiente pregunta, pues esta resulto con los menores
errores en cuanto a ajustarse a los datos entregados, como se comprobó en la pregunta N°1.
Se completa la siguiente tabla para así obtener las curvas
Período
5,0
10,0
100,0
500,0
i1
15,7
19,0
30,0
38,1
i15
4,0
4,9
7,7
9,8
Pexc
0,2
0,1
0,0
0,0
i3
9,1
11,0
17,3
22,0
i18
3,7
4,5
7,1
9,0
Poc
0,8
0,9
1,0
1,0
i5
7,0
8,5
13,4
17,0
i20
3,5
4,2
6,7
8,5
Z
0,8
1,3
2,3
2,9
i10
5,0
6,0
9,5
12,1
i22
3,3
4,1
6,4
8,1
y
4,3
4,5
5,0
5,2
i12
4,5
5,5
8,6
11,0
i24
3,2
3,9
6,1
7,8
P24
76,8
93,1
146,8
186,7
Donde:
Promedio
Desviacion estandar
3,9744205
0,4361235
Se obtuvo desde los datos proporcionados.
Además, se sigue el siguiente procedimiento para el relleno de la tabla:
Se obtiene la probabilidad de excedencia a través de Pexc =
1
y así se saca la probabilidad de ocurrencia
T
Poc = 1 − Pexc . Con esta probabilidad se entra a las tablas de distribución normal para encontrar el
parámetro Z.
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Tarea Nº4
Hidrología
__
Por último se encuentra
y por medio de
Z=
y− y
σy
, pero como esta variable esta afecta a la
transformación logarítmica para encontrar la precipitación diaria se debe despejar la transformación
P24 = e y .
Para rellenar los datos de intensidad se utiliza la fórmula
El gráfico queda:
Página
10
it = i24 *
24
P
, con i24 = 24 .
t
24
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Hidrología
Problema 3 – Estimación del Caudal Máximo de Escorrentía
3.
Estimar el caudal máximo de escorrentía directa para períodos de retorno de 100 y 500 años.
Utilice dos métodos e indique con claridad todos los valores y supuestos utilizados. Compare resultados.
Estos son los datos encontrados para la cuenca de Casablanca:
•
•
•
•
•
•
•
•
Hmáx = 703 [m]
Hmín = 300 [m]
A = 839830 [m2]
L* = 1,707 [km] (longitud cauce principal)
L = 1,405 [km] (longitud media de la cuenca)
S = 0,31 (pendiente media de la cuenca)
CN= 60
C = 0,82 (coeficiente escorrentía)
Se necesita estimar el tiempo de concentración para así poder graficar las curvas intensidad – duración –
frecuencia. Esto se hará en base a dos fórmulas encontradas, estas son:
 L3 
Fórmula de Kirpich: tc = K * 

 ∆H 
0,385
Donde L: Es la longitud del cauce principal [km].
∆H : Desnivel máximo. La cual se obtuvo a través de la fórmula ∆H = H máx − H mín .
K: Coeficiente de drenaje. En este caso se usara K = 1, suponiendo a Casablanca como una cuenca
con red de drenaje normal.
Reemplazando los datos se obtiene:
Tiempo de concentración = 0,18416 [hr].
Una vez encontrado el tiempo de concentración se procede a realizar una regresión para el período de
retorno de 100 y 500 años para así encontrar la intensidad máxima a dicho tiempo.
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Tarea Nº4
Hidrología
Para T = 100
Para T = 500
Donde y = f(x) es la fórmula de regresión encontrada.
Reemplazando en las regresiones se tiene:
Para T = 100 años, la intensidad máxima evaluada en el tiempo de concentración será:
i max = 69,815 [mm/hr].
Para T = 500 años, la intensidad máxima evaluada en el tiempo de concentración será:
i max = 88,807 [mm/hr].
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Hidrología
Utilizando la fórmula racional:
_
Qmáx
c*
(t ) * AT  m3 
= i máx
 s 
3,6
 
Donde
C: Coeficiente de escorrentía.
i máx.: Intensidad máxima obtenida anteriormente de las curvas intensidad duración frecuencia.
[mm/hr].
At: Área total de la cuenca en [km^2].
El ultimo factor permite el cambio de unidades a [
m3
]
s
Reemplazando en los datos en la fórmula:
 m3 

 s 
Para T = 100 [años]: Qmáx = 13,3619 
 m3 

 s 
Para T = 500 [años]: Qmáx = 16,988 
Utilizando la fórmula de Peñuelas:
Qmáx = 0.5 ⋅ P24 2 ⋅ (
 m3 
At
)  
3600  s 
Donde
P: Precipitación en 24 horas
At: Área total de la cuenca en [km^2].
El ultimo factor permite el cambio de unidades a [
m3
]
s
Reemplazando en los datos en la fórmula:
 m3 

 s 
Para T = 100 [años]: Qmáx = 2.5133 
 m3 

 s 
Para T = 500 [años]: Qmáx = 4.06704 
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Hidrología
Utilizando la fórmula de Verni-King:
Qmáx = 0.00618 ⋅ P241.24 ⋅ At 0.88 ⋅ (
Donde
P: Precipitación en 24 horas
At: Área total de la cuenca en[ km 2 ].
El ultimo factor permite el cambio de unidades a [
m3
]
s
Reemplazando en los datos en la fórmula:
Para T = 100 [años]: Qmáx
 m3 
= 2.5718  
 s 
 m3 

 s 
Para T = 500 [años]: Qmáx = 3.47198 
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14
At  m3 
)
3600  s 
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Hidrología
Conclusiones
Respecto del problema visto anteriormente se pueden rescatar los siguientes puntos
importantes:
o Al rellenar la tabla de frecuencia, cabe destacar que se utilizó un número de clases
recomendado por la fórmula de Sturges. Respecto de los límites corresponde a un
cierto valor más pequeño que el dato extremo en la estadística, esto es debido a
que se utilizaron los Rangos de la tabla y de los datos para establecer dicho
intervalo.
o Cabe destacar que todas las distribuciones de probabilidad analizadas con los datos
entregados se ajustan correctamente ya que el test estadístico Chi Cuadrado lo
comprueba. Se eligió un ajuste del tipo Log-Normal ya que analizando los errores
cometidos entre cada intervalo, ésta distribución era la que tenía el error más
pequeño.
o Respecto de las curvas idf, se calcularon utilizando el ajuste encontrado (LogNormal) para distintos períodos de retorno. Se determinó la intensidad máxima
que puede ocurrir una o más veces en un período de 100 y 500 años a través de
dicha probabilidad de ocurrencia.
o En cuanto a la estimación de caudal para se utilizaron distintas fórmulas para
evaluar los datos, llegándose a la conclusión que algunos discrepan entre sí debido
a que son fórmulas empíricas. Es importante destacar que el dato que más se
ajusta es mediante la fórmula de Grunsky ( para Peñuelas ) ya que está diseñada
para el Valle de Peñuelas que está ubicado muy cerca de la cuenca estudiada en
Casa Blanca. Además la fórmula de Verni- King se ajusta muy bien ya que los
valores son muy cercanos a la de Peñuelas.
o Es importante mencionar que todos los cálculos realizados tienen un pequeño
margen de error que se debe a aproximaciones y supuestos utilizados para
idealizar el problema. Sin embargo, estos errores no deberían ser significativos ya
que lo que se busca es una estimación de la realidad y así tener una buena noción
en caso de querer realizar una obra de ingeniería civil en la zona.
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