1 FÍSICA NUCLEAR 1º Una unidad de masa atómica (1u) ¿a

1
FÍSICA NUCLEAR
1º Una unidad de masa atómica (1u) ¿a cuántos kilogramos equivale?
1 mol de carbono-12 son 0,012 kg y contiene 6,0231023 átomos de carbono12. Luego un átomo de carbono-12 tiene una masa en gramos de:
6,023 1023 átomos de carbono-12
1
átomo de carbono-12
x 
átomo de carbono-12
x
1  0,012 kg
1,992 10 26 kg
23
6,023 10
Por definición una unidad de masa atómica (1 u) equivale a
1u 
0,012 kg
 C , luego:
1
de la masa del
12
12
6
1
1
masa del átomo de carbono  12 =
 1,992  10  26 kg 
12
12
1,66 1027 kg
3º Calcular para el núcleo del isótopo 147 N : a) defecto de masa; b) energía de
enlace; c) energía de enlace por nucleón. Datos: masa del protón = 1,0073 u; masa del
neutrón = 1,0087 u; masa del núcleo de 147 N = 13,9992 u; 1 u = 1,66 1027 kg
a) El defecto de masa es la diferencia entre la suma de las masas de los
nucleones que forman el núcleo y la masa del núcleo.
Teniendo en cuenta que el núcleo de 147 N tiene 7 protones (Z = 7) y 7 neutrones
(N = A  Z  14  7  7) se obtiene:
7  1,0073u  7,0511u
Masa de los siete protones
7  1,0087u  7,0609u
Masa de los siete neutrones
Masa de los nucleones separados
14,1120u
La masa del núcleo de
14
7
N es : 13,9992 u
2
Luego el defecto de masa será: m  14,1120u  13,9992u  0,1128 u
Teniendo en cuenta que 1 u = 1,66 1027 kg
m  0,1128u 
1,66  1027 kg
1,872 10 28 kg
1u
b) La energía de enlace se obtiene a partir de la ecuación de Einstein:
E  m c2
m
E  m c 2 1,872  10  28 kg  (3  108 ) 2 1,68  10 11 J
s
Por otro lado 1eV  1,6 1019 J
Luego:
E  1,68  1011 J 
y
1 MeV 106 eV
1e V
1 MeV

 105,3 MeV
19
1,6  10 J 106 e V
c) La energía de enlace por nucleón se obtiene dividiendo la energía de enlace
por el número de nucleones, en este caso 14
E
nucleón

105,3 MeV
 7,52 Mev / nucleón.
14 nucleones
39
4º Calcular para el núcleo del isótopo 19
K : a) defecto de masa; b) energía de
enlace; c) energía de enlace por nucleón. Datos: masa del protón = 1,0073 u; masa del
39
neutrón = 1,0087 u; masa del núcleo de 19
K = 38,9640 u; 1 u = 1,66 1027 kg
a) El defecto de masa es la diferencia entre la suma de las masas de los
nucleones que forman el núcleo y la masa del núcleo.
39
Teniendo en cuenta que el núcleo de 19
K tiene 19 protones (Z = 19) y 20
neutrones (N = A  Z  39  19  20) se obtiene:
19  1,0073u  19,1387 u
Masa de los 19 protones
20  1,0087u  20,1740 u
Masa de los 20 neutrones
39,3127 u
La masa del núcleo de
39
19
Masa de los nucleones separados
K es : 38,9640 u
Luego el defecto de masa será: m  39,3127 u  38,9640u  0,3487 u
Teniendo en cuenta que 1 u = 1,66 1027 kg
3
1,66  1027 kg
m  0,3487 u 
 5,788 10 28 kg
1u
b) La energía de enlace se obtiene a partir de la ecuación de Einstein:
E  m c2
m
E  m c 2  5,788  10  28 kg  (3  108 ) 2  5,21  10 11 J
s
Por otro lado 1eV  1,6 1019 J
Luego:
E  5,21 1011 J 
y
1 MeV 106 eV
1e V
1 MeV

 325,6 MeV
19
1,6  10 J 106 e V
c) La energía de enlace por nucleón se obtiene dividiendo la energía de enlace
por el número de nucleones, en este caso 39
E
nucleón

325,6 MeV
 8,35 MeV
.
nucleón
39 nucleones
5º El núcleo de un elemento A se desintegra emitiendo partículas  y su periodo
de semidesintegración es de 18,24 días. ¿Cuántos núcleos de una muestra de 0,25
moles quedarán después de 15 días?
La constante de desintegración o constante radiactiva y el periodo de
semidesintegración están relacionados por medio de la expresión:
t1 
2
luego:

ln 2

ln 2
ln 2

 0,038 dia1
t1
18,24 dia
2
Por otro lado, la ley de desintegración radiactiva viene dada por la ecuación:
N  No e t
donde N es el número de núcleos que quedan después de un tiempo t , N o es el
número de núcleos iniciales y  es la constante de desintegración.
Teniendo en cuenta que el número de núcleos iniciales es :
6,0231023 núcleos
N o  0,25 mo l 
1,5061023 núcleos
1mo l
4
se tiene:
N  N o e   t 1,506 1023 núcleos e 0, 038 dia
 1,50610  e
23
 0 , 57
núcleos 8,52 10
22
1
15 dia

núcleos
6º La constante radiactiva de un isótopo del yodo es de 3,6  103 hora1 . Calcula
que masa quedará al cabo de 10 días, si la muestra inicial era de 2 g.
La ley de desintegración radiactiva viene dada por la expresión:
N  N o e  t
donde N es el número de núcleos que quedan al cabo de un cierto tiempo t y
N o el número de núcleos de la muestra inicial.
Teniendo en cuenta que el número de núcleos es proporcional a la masa, esta
ecuación se puede poner en la forma: (téngase en cuenta que la constante de
proporcionalidad aparecería en los dos lados de la igualdad y al ser la misma se
simplificaría)
m  mo e  t
donde m es la masa que queda después de un cierto tiempo t y mo la masa de
la muestra inicial, por tanto:
m  mo e  t  2 g  e 3,6 10
3
hora 1240 horas
 0,843g
donde hemos tenido en cuenta que 10 días son 240 horas.
7º El radio tiene un periodo de semidesintegración de 4,95  1010 s. Si se dispone
de una muestra de radio que contiene 2,5  1026 núcleos, determina: a) ¿cuál es la
actividad de la muestra?; b) ¿qué número de núcleos quedarán 10 años después?
a) La constante de desintegración se puede obtener a partir del periodo de
ln 2
semidesintegración, utilizando la expresión: t 1 
, es decir
2


ln 2
ln 2

 1,4 10 11 s 1
10
t1
4,95  10 s
2
La actividad de la muestra radiactiva se obtiene a partir de la constante de
desintegración y el número de núcleos de la muestra:
5
A   N 1,4 1011 s 1  2,51026 núcleos  3,51015 Bq
b) El número de núcleos que quedan a los 10 años se puede obtener a partir de la
ley de desintegración radiactiva:
N  N o e  t  2,5 1026  e 1, 4 10
1 1 1
s 315360000 s
 2,48 1026 núcleos
donde hemos expresado los años en segundos ( t 10 años 31560000s)
FISICA NUCLEAR
8º Un elemento radiactivo tiene una vida media de 128 dias. Calcula: a) la
constante de desintegración; b) el periodo de semidesintegración; c) el tiempo necesario
para que la muestra se reduzca a la cuarta parte.
a)
La constante de desintegración se puede obtener por medio de la
1
expresión:   , donde  es la vida media y  la constante de desintegración.

Teniendo en cuenta que   128 dias se tiene:

1


1
 7,8125  103 dia1
128 dia
b) El periodo de semidesintegración ( t 1 ) esta relacionado con la constante de
2
desintegración (  ) mediante la ecuación
t1 
2
ln 2


t1
2


ln 2

, luego:
ln 2
 88,72 dia
7,8125103 dia1
b)
Cuando la muestra radiactiva se reduce a la cuarta parte se cumple que
1
N 
N o . Sustituyendo esta valor de N en la ley de desintegración radiactiva se
4
tiene:
N  No e t 
1
N o  N o e 
4
t
1
 e 
4

tomando logaritmos neperianos:
ln 4   t

t
ln 4

por último, sustituyendo el valor de  se obtiene:
t
 4  e
t
6
t
ln 4


ln 4
 177,4 dia
7,8125 103 dia1
que es el tiempo necesario para que la muestra radiactiva se reduzca a la cuarta
parte.
9º Se tiene una muestra inicial de 5 g de un isótopo del yodo cuya constante de
desintegración vale 0,0985 día 1 . Calcula: a) la vida media; b) la actividad de la
muestra inicial; c) la actividad de la muestra pasados 3 días. Dato: Masa molar del
isótopo de yodo 131 g/mol.
a)
La vida media se calcula teniendo en cuenta que es la inversa de la
constante de desintegración, por tanto:
 
1


1
 10,15 día
0,0985 día1
La actividad de la muestra inicial  Ao  se calcula a partir de la expresión
Ao  N o , donde  y N o son la constante de desintegración y el número de núcleos
de la muestra inicial. Para calcular N o , que no es conocido, calculamos primero el
número de moles que hay en la muestra inicial ( no ) a partir de la masa de la muestra
( mo ) y la masa molar ( M ) del isótopo del yodo:
b)
no 
mo
5g

 0,0382 m ol
M 131 g / m ol
y el número de núcleos en la muestra inicial N o (o de átomos) se calcula a
partir del número de moles ( no ) y del número de Avogadro ( N A )
no 
mo
NA

N o  no N A  0,0382mol 6,0231023
núcleos
 2,3  1022 núcleos
mol
por último la actividad de la muestra inicial será:
Ao   N o  0,0985dia1  2,31022 núcleos 2,261021 Bq
b)
La actividad de la muestra a los 3 días puede calcularse mediante la
expresión:
A  Ao e  t
sustituyendo datos:
7
A  Ao e  t  2,26 10 21  e 0,0985 día
1
3 día
 1,68 1021 Bq
10º Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración de 6 años. Si
se dispone de una muestra inicial de 0,6 g de este isótopo, determina: a) su constante de
desintegración; b) la masa que quedará dentro de 8 años; c) la masa que tenía hace 2
años.
a) Cálculo de la constante de desintegración:
t1 
2
ln 2



ln 2
ln 2

 0,1155 año 1
t1
6 años
2
b) La masa que tendrá al cabo de 8 años puede calcularse utilizando la
ecuación:
m  mo e  t
donde m es la masa de la muestra al cabo de un cierto tiempo t (8 años), mo la
masa inicial de la muestra y  la constante de desintegración. Sustituyendo datos:
m  mo e  t  0,6 g  e 0,1155 año
1
 8 año
 0,238g
c) Para calcular la masa que tenía hace 2 años, consideraremos ahora que mo
era la masa que tenía hace 2 años y m la masa actual (la muestra inicial en el enunciado
del problema, esto es 0,6 g). Por tanto:
m  mo e  t  mo  m e  t  0,6 g  e 0,1155 año
1
2 año
 0,756 g
11º Una muestra de una caja de madera de un resto arqueológico emite 485
desintegraciones por hora y por gramo de carbono. Calcula la edad de la caja. Datos: la
constante de desintegración del carbono-14 es de 1,2  104 año1 ; un gramo de una
muestra de carbono experimenta en la actualidad 930 desintegraciones por hora y por
gramo de carbono.
La actividad que tenía el carbono de la caja de madera cuando se cortó y
construyó en la antigüedad, es la misma que en la actualidad presenta el carbono
procedente de una muestra de madera extraída de un árbol.
Luego la actividad inicial de la muestra es:
Ao  930
desin tegraciones
hora  g
8
La actividad de la muestra hoy, transcurrido un tiempo t es:
A  485
desin tegraciones
hora  g
A continuación se sustituyen estos valores junto con la constante de
desintegración (  ) en la expresión A  Ao e  t (después de haber tomado logaritmos
neperianos) y se calcula el tiempo t transcurrido, que es la antigüedad de la caja:
A  Ao e  t

t
1

ln A  ln Ao   t
 ln
  t  ln
Ao
A
t 
1

ln
Ao
A
Ao
930
1

ln
 5813 años
4
A 1,12 10
485
12º Una muestra de una sustancia radiactiva se reduce a la cuarta parte al cabo
de 183 días. Calcular su constante de desintegración y su vida media.
Si la muestra radiactiva se reduce a la cuarta parte en 183 días, la relación entre
el número de núcleos iniciales y el número de núcleos al cabo de este tiempo es:
1
No
4
a continuación se sustituye esta relación junto con t 183dias en la expresión:
N
N  No e  t y se calcula la constante de desintegración:
N  N o e  t ;
1
N o  N o e  183 dias ;
4
1  183 dias
e
;
4
4  e  183 días
tomando logaritmos neperianos:
ln 4    183 días;

ln 4
 7,57103 día1
183 días
Por último se calcula la vida media:
 
1


1
132 día
7,57  103 día1
9
13º Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración de 19 días.
Calcula el porcentaje de dicho isótopo radiactivo que quedará al cabo de 56 días.
Primero calculamos la constante de desintegración a partir del periodo de
semidesintegración:
t1 
2
ln 2

 
ln 2
ln 2

 0,0365 día 1
t1
19 días
2
A continuación se calcula la relación entre el número de núcleos iniciales ( N o )
y el número de núcleos que quedan a los 56 días ( N ), utilizando la ecuación
fundamental de la desintegración radiactiva ( N  N o e  t ):
N  N o e  t  N o e 0, 0365 día
1
58 día
 0,12 N o
Es decir de un número de núcleos inicial N o quedan 0,12 N o a los 56 días, luego
de 100 quedarán x :
No
0,12 N o  100
100

; x
12%
0,12 N o
x
No
lo que indica que a los 56 días quedará un 12 % de isótopo radiactivo.
14º Se dispone de una muestra radiactiva cuya vida media es de 3 días. Calcula
el tiempo que debe de transcurrir para que la muestra disminuya al 5% de la cantidad
inicial.
La constante de desintegración se puede calcular a partir de la vida media:
 
1

1
  

1
 0,333 día 1
3 días
Por otro lado si queda el 5 % de la cantidad inicial transcurrido un cierto tiempo
t cuyo valor se nos pide calcular, debe de cumplirse la siguiente relación entre el
número de núcleos iniciales N o y el número de núcleos N que quedan:
N
5
N o  0,05 N 0
100
Por último, sustituyendo N por 0,05N 0 en la ley de desintegración radiactiva
obtenemos para t :
N  N o e  t ;
0,05 N o  N o e 0,333días
1
 t
; 0,05  e 0,333 días
1
 t
10
tomando logaritmos neperianos:
ln 0,05   0,333días1  t;
t
ln 0,05
 9 días
 0,333días1
es decir deben de transcurrir 9 días para que quede el 5% de la muestra
radiactiva.
15º Una muestra radiactiva tiene una velocidad de desintegración tal que en una
semana queda el 10 % de la muestra inicial. Calcula: a) la constante de desintegración;
b) el periodo de semidesintegración.
a) Sea mo la cantidad de muestra inicial (al principio de la semana) y
90
mo la cantidad de muestra que queda transcurridos los siete días (si se ha
100
desintegrado el 10% queda el 90%), luego según la ecuación fundamental de la
radiactividad se tiene:
m
m  mo e  t ;
90
mo  mo e   7 días ; 0,9  e   7 días
100
tomando logaritmos neperianos:
ln 0,9     7 días;

ln 0,9
 0,015 día1
7 días
b) Cálculo del periodo de semidesintegración:
t1 
2
ln 2


ln 2
 46,21 día
0,015 día1
15º Una muestra radiactiva tiene una velocidad de desintegración tal que en una
semana queda el 10 % de la muestra inicial. Calcula: a) la constante de desintegración;
b) el periodo de semidesintegración.
a) Sea mo la cantidad de muestra inicial (al principio de la semana) y
90
mo la cantidad de muestra que queda transcurridos los siete días (si se ha
100
desintegrado el 10% queda el 90%), luego según la ecuación fundamental de la
radiactividad se tiene:
m
m  mo e  t ;
90
mo  mo e   7 días ; 0,9  e   7 días
100
11
tomando logaritmos neperianos:
ln 0,9     7 días;

ln 0,9
 0,015 día1
7 días
c) Cálculo del periodo de semidesintegración:
t1 
2
ln 2


ln 2
 46,21 día
0,015 día1
16º Un isótopo radiactivo posee un periodo de semidesintegración de 2,25 min.
Si se dispone de una muestra de 10 g de dicho isótopo, calcula los átomos que se
desintegran por segundo. La masa atómica del isótopo radiactivo es de 28 u.
En primer lugar calculamos la constante de desintegración a partir del periodo de
semidesintegración:
t1 
2
ln 2

 
ln 2 ln 2

 5,13  10 3 s 1
t1
135 s
2
A continuación vamos a calcular el número de moles que hay en los 10 g de
isótopo radiactivo:
n
10 g
m

 0,357 m ol
M A 28 g
m ol
y a partir de los moles calculamos el número de núcleos que hay en los 10 g de
isótopo radiactivo:
n
N
NA
 N  n N A  0,357m ol 6,023  10 23
núcleos
 2,15 1023 núcleos
m ol
Por último la actividad de una muestra se puede calcular a partir de la expresión
A   N donde A es la actividad de la muestra,  la constante de desintegración y
N el número de núcleos de la muestra, es decir:
A   N  5,13  10 3 s 1  2,15 10 23 núcleos 1,10  10 21
1,101021 Bq
de sin tegracione s

s
12
17º El carbono-14 tiene una constante de desintegración de 3,8351012 s 1 y
una masa atómica de 14,0032u. Si una muestra de carbono-14 tiene una actividad de
8,217  107 Bq , calcula: a) la cantidad de carbono-14 en gramos que contiene la
muestra; b) la actividad al cabo de 1010 s.
a) Para calcular la cantidad de carbono.-14 en gramos, calculamos primero el
número de núcleos existentes en la muestra mediante la expresión: A   N .
Sustituyendo los datos del enunciado se tiene:
A N  N 
A


8,217  107 desin tegraciones / s
 2,141019 núcleos o átomos
12
1
3,835 10 s
El número de moles de muestra será:
n
b)
m
 m  n M A   3,55105 m ol  14,0032 g
 4,97104 g
m ol
MA
La actividad al cabo de 1010 s será:
A  Ao e  t  8,217  10 7
de sin tegracione s 3,835 10 12 s 1 1010 s
e
 7,9 10 7 Bq
s
18º Indica si es posible llevar a cabo la siguiente reacción nuclear:
13
6
C

1
1
H

13
7
N

1
0
n
utilizando protones de 2 MeV de energía.
Datos:
mcarbono 13 13,00336u; m nitrógeno 13 13,0057u;
m protón 1,0078u; mneutrón 1,0087u
Masa de los reactivos: 13,0036u  1,0078u  14,0112 u
Masa de los productos: 13,0057u  1,0087u  14,0144 u
Es decir, la masa de los productos es mayor que la masa de los reactivos. El
aumento de masa es:
m 14,0144 14,0112 0,0032u
Pues bien, para que la reacción tenga lugar hay que aportar una energía de:
E  0,0032 u  931
MeV
 3 MeV
u
13
1u  931MeV , que es la energía que
(donde hemos tenido en cuenta que
equivale a una unidad de masa atómica.)
Como la energía que tienen los protones es sólo de 2 MeV, la reacción no se
podrá llevar a cabo.
19º Cuando un núcleo de un átomo de Litio ( 37 Li ) es bombardeado por un
protón ( 11 H )se producen dos partículas  ( 24He) según la siguiente reacción nuclear:
1
1
H


7
3
Li
4
2
He

4
2
He
Calcula la energía liberada en esta reacción nuclear por cada núcleo de 37 Li que
reacciona en MeV.
Masas atómicas: 11 H 1,0078u; 37Li  7,0160u; 24He  4,0026u.
La masa de los productos de la reacción es:
2  4,0026u  8,0052 u
La masa de los reactivos de la reacción es:
1,0078u  7,0160u  8,0238u
Luego el defecto de masa en la reacción es:
m  8,0238u  8,0052u  0,0186u
Teniendo en cuenta que: 1u 1,661027 kg
m  0,0186u 
1,66 1027 kg
 0,03087 1027 kg
1u
y la energía liberada será:
E   m c 2  0,03087 10 27 kg  (3  108
 0,2781011 J 
m 2
) 
s
1e V
1 MeV
 6
17,3 MeV
19
1,6  10 J 10 e V
14
20º
En la fisión de un núcleo de
235
92
U se desprenden aproximadamente
31011 J . Calcula la cantidad de energía desprendida en la fisión de 0,5 kg de 235
92 U ,
expresando el resultado en kcal. Dato: La masa atómica del uranio-235 es de 235,044 u.
El número de moles existentes en 0,5 kg de uranio-235 es:
n
500g
m

M A 235,044g
 2,13m ol
m ol
y el número de átomos de uranio-235 es:
n
N
átom os
 N  n N A  2,13m ol 6,02310 23

NA
m ol
 1,28 1024 átom os(o núcleos)
Por último la energía desprendida será el número de núcleos contenidos en los
500 g por la energía desprendida en la fisión de cada núcleo:
J

núcleo
0,24 cal 1 kcal
 3,84 1013 J 

 9,22 109 kcal
1J
1000cal
E  N E núcleo 1,28 1024 núcleo  3  1011