EFECTOS RELATIVISTAS EN PÚLSARES BINARIOS

Diego Hidalgo Soto
Mª Ángeles Rodríguez Ruiz
Curso 2009-2010
1
Índice
Introducción……………………………………………………………………………3
Estrellas de neutrones y púlsares……………………………………………...........3
Primera detección …………………………………………………………………….6
El peculiar púlsar en la nebulosa del Cangrejo……………………………………7
¿Cuántos púlsares hay en nuestra galaxia?........................................................8
Púlsar Binario y Relatividad General……………………………………………….9
Avance del periastro aplicado a púlsares binarios………………………………11
Campos gravitacionales…………………...........................................................15
Retraso temporal de la señal del púlsar………………………………………….28
2
Introducción
Evolución de las estrellas
Las estrellas son esferas enormes de hidrógeno y helio, con cantidades
pequeñas de otros elementos, todos ellos en estado gaseoso. En su centro
ocurren reacciones de fusión nuclear que generan cantidades inmensas de
energía en diversas formas, entre ellas luz y calor. Las diferencias que
muestran las estrellas en cuanto a luminosidad, temperatura superficial y masa
hacen que no haya dos iguales.
Para explicar la formación de una estrella, imaginemos una nube densa
de polvo y gas hidrógeno a la deriva en el espacio. Esta nube molecular
gigante puede sufrir perturbaciones debidas a ondas de choque inducidas por
una supernova cercana, o a las irregularidades gravitatorias de la Galaxia.
Entonces empieza a suceder cambios: la nube se vuelve más densa en ciertos
lugares, y estas regiones comienzan a fragmentarse y colapsarse bajo la
acción de su propia gravedad. A medida que se colapsan estos fragmentos,
cada uno de ellos desarrolla un núcleo caliente conocido como protoestrella.
Cuanto más se contrae la protoestrella, más caliente se torna, hasta que su
centro alcanza la temperatura suficiente para desencadenar reacciones de
fusión nuclear. A partir de ese momento, la presión de la radiación detiene el
colapso y empieza la vida del astro.
Las estrellas con más de cocho masas solares lucen al principio como
astros blancoazulados. Cuando están agotando el combustible se expanden y
enfrían hasta que, al consumirlo por completo, el núcleo se colapsa y estalla en
una explosión de supernova. Tras ella queda una estrella de neutrones o
agujero negro, y un remanente gaseoso en expansión.
Estrellas de neutrones y púlsares
Las supernovas son explosiones tan colosales que cuesta creer que
puedan dejar tras de sí algo más que gas en expansión. Pero en algunos casos
sobrevive el núcleo consumido de la estrella que explotó, aunque es tan masivo
(1.4 veces la masa del Sol) que se colapsa en forma de estrella de neutrones.
Los objetos de este tipo son extremadamente densos y compactos, ya que toda
su materia se halla comprimida en un diámetro de tal vez 15 Km.
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Las estrellas de neutrones son productos residuales de la explosión. La
densa materia de que hablamos comienza a rotar con la explosión de la
supernova, tal como lo hacen los bailarines artísticos de patinaje en el hielo
cuando bajan sus brazos. En la medida que se van despejando los gases y
partículas materiales remanentes de la gran explosión, va quedando atrás una
estrella de neutrones de entre seis y veinte kilómetros de diámetro que puede
girar hasta 30 veces por segundo, sin emitir radiaciones de radio o pulsaciones
ópticas.
Como son astros con un gran campo magnético atrayente y pueden ser
proveídos de materia acumulada en sus alrededores después de la explosión
de la supernova, cuentan con los ingredientes necesarios para llegar a ser
poderosos aceleradores.
No todas las estrellas de neutrones tienen estas características, es decir,
hay estrellas de neutrones que rotan con rapidez y emiten ondas
radioeléctricas. Cuando estas ondas barren la Tierra, se detectan como
<<pulsos>> cíclicos semejantes a los destellos de un faro marino. Este tipo de
objeto se conoce como púlsar.
La mayoría de los astrofísicos creen que los púlsares se dan solamente
en estrellas de neutrones que hayan alcanzado cierto grado de condiciones
precisas.
Siendo así, podemos definir un púlsar como una estrella de neutrones
que rota a gran velocidad con un intenso campo magnético. La radiación que
liberan estas estrellas de neutrones procede de sus polos magnéticos,
manifestándose como haces de ondas de radio. Debido a la inclinación del eje
magnético con respecto al eje de rotación, los dos haces forman un cono que
barre el cielo una vez por cada rotación estelar, igual que las señales
luminosas de un faro. Cada vez que uno de ellos se proyecta en dirección a la
Tierra podemos registrar un pulso de radio.
Esto quiere decir que sólo vemos los púlsares cuyos haces se dirigen
hacia nosotros y que hay muchos más que no vemos.
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La rápida rotación los hace poderosos generadores eléctricos, capaces
de acelerar las partículas cargadas hasta energías de mil millones de millones
de Voltios. Estas partículas cargadas son, en alguna forma aún desconocida,
responsables por el haz de radiación en radio, luz, rayos-X, y rayos gamma. Su
energía proviene de la rotación de la estrella, que tiene por tanto que estar
bajando de velocidad. Esta disminución de velocidad puede ser detectada
como un alargamiento del período de los pulsos. Típicamente, el periodo de
rotación de un pulsar disminuye en una parte por millón cada año: el Pulsar del
Cangrejo, que es el más joven, y el más energético conocido, disminuye en una
parte en dos mil cada año.
La regularidad de los pulsos es fenomenal: los observadores pueden
ahora predecir los tiempos de llegada de los pulsos con antelación de un año,
con una precisión mejor que un milisegundo. ¿Cómo puede una estrella
comportarse como un reloj tan preciso?. La única posibilidad para una
repetición tan rápida y precisa, es que la estrella esté rotando rápidamente, y
emitiendo un haz de radiación que barre alrededor del cielo como un faro,
apuntando hacia el observador una vez por cada rotación. El único tipo de
estrella que puede rotar suficientemente rápido sin estallar debido a su propia
fuerza centrífuga, es una estrella de neutrones.
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Primera detección
El término púlsar procede de acortar estrella pulsante en inglés:
pulsating star, es decir puls(ating st)ar.
El primer púlsar fue descubierto en 1967 por la estudiante Jocelyn Bell y
el astrónomo Antony Hewish mientras trabajaban en el Laboratorio Cavendish
en la Universidad de Cambridge (Reino Unido). No estaban buscando púlsares
cuando en 1967 detectaron señales de radio de corta duración y de intervalos
muy regulares. Hewish, dispuesto a averiguar por qué las estrellas que emitían
en radio centelleaban igual que las que lo hacían en el visible, había
descubierto en 1964 el efecto que llamó centelleo interplanetario: demostró que
las ondas de radio de una fuente de pequeño diámetro sufren difracción (ligera
distorsión de la luz en el borde de un objeto) cuando cruzan las nubes de polvo
en el espacio interplanetario, y que las variaciones en intensidad tenían lugar
cada segundo.
Un radiotelescopio capta señales de procedencias muy distintas, del
entorno industrial, de los automóviles, de cualquier aparato eléctrico. Para los
radioastrónomos es, por tanto, difícil distinguir lo que es una señal auténtica del
exterior de lo que lo es de origen humano. Hewish y sus colaboradores sabían
que el objeto de donde procedían las señales era muy pequeño, incluso menor
que un planeta, por la gran precisión de las pulsaciones que sólo duraban
varias milésimas de segundo, lo que significaba que el objeto emisor debía ser
muy pequeño.
Bell y Hewish pensaron al principio que podrían haber establecido
contacto con una civilización extraterrestre de la galaxia, dada la regularidad de
la emisión. Hewish describe este período inicial, en el que fueron conscientes
de la naturaleza extraterrestre y estelar de las señales, como el más excitante
de su vida. ¿Eran esas señales en realidad algún tipo de mensaje de otra
civilización»?. Stephen Hawking recuerda en su Historia del Tiempo que en el
seminario en el que anunciaron el descubrimiento denominaron a las primeras
cuatro fuentes encontradas LGM-1, LGM-2, LGM-3 y LGM-4. Las siglas LGM
eran las iniciales de Little Green Men («pequeños hombres verdes»). Al final,
sin embargo, llegaron a la conclusión menos romántica de que estos objetos
eran de hecho estrellas de neutrones en rotación, que emitían pulsos de ondas
de radio debido a una complicada interacción entre sus campos magnéticos y
la materia de su alrededor. Al poco tiempo empezaron a descubrirse decenas
de objetos de este tipo, con distintos periodos de pulsación, y que se
denominaron pulsares. Hoy en día esta interpretación no solo sigue en pie sino
que es plenamente aceptada entre la comunidad científica. Se han descubierto
6
poco mas de mil pulsares, algunos con características únicas como PSR
B1913+16.
El peculiar púlsar en la Nebulosa del Cangrejo
La Nebulosa del Cangrejo es el residuo visible de una explosión de
supernova observada en el año 1054.
(Nebulosa del Cangrejo)
Son los restos de la
explosión de una de las
primeras observaciones
registradas de una
supernova.
Dicha nebulosa aún interesa hoy día a los astrónomos, además de por
su espectacular belleza, por albergar un púlsar con curiosas propiedades que
pueden cambiar drásticamente nuestra comprensión de la física de los
púlsares. Cerca del centro de la Nebulosa está el Púlsar del Cangrejo, que es
el más energético conocido. Gira 30 veces por segundo, y está muy
fuertemente magnetizado. Por lo tanto actúa como una estación celeste de
generación de energía, generando la suficiente como para mantener radiando
a toda la Nebulosa en prácticamente todo el espectro electromagnético.
Su luz visible es suficientemente poderosa como para que el púlsar
aparezca en las fotografías de la Nebulosa, donde se ve como una estrella de
magnitud cercana a 16. Las fotografías normales promedian los pulsos, pero
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las técnicas estroboscópicas pueden mostrar la estrella separadamente en sus
condiciones 'encendida' y 'apagada'.
El púlsar del cangrejo en realidad emite dos pulsos distintos; uno es
llamado pulso principal, y el otro, que está a unos 160 grados del principal en la
rotación, es llamado interpulso.
Observaron pulsos individuales en periodos de tiempo muy cortos para
separar sus propiedades, y encontraron que el interpulso difiere en tres formas
significativas del pulso principal en ciertas frecuencias de radio: produce luz
más polarizada – las longitudes de onda de la luz están más alineadas – el
interpulso dura más, y la radiación emitida está más dispersa.
Es curioso que el interpulso tenga propiedades distintas, dado que se
creía que provenía del mismo mecanismo que el pulso principal. Esto genera
gran cantidad de preguntas sobre nuestro conocimiento de la física de los
púlsares.
¿Cuántos Pulsares Hay En Nuestra Galaxia?
Los pulsares se han encontrado principalmente en la Vía Láctea, dentro
de cerca de unos 500 años-luz del plano de la Galaxia. Un escrutinio completo
de los pulsares en la Galaxia es imposible, puesto que los pulsares débiles solo
pueden ser detectados si están cercanos. Los sondeos de radio ya han
cubierto casi todo el cielo, y más de 300 pulsares han sido localizados. Sus
distancias pueden medirse a partir de un retardo en los tiempos de llegada de
los pulsos observados en las radio frecuencias bajas; el retardo depende de la
densidad de los electrones en el gas interestelar, y de la distancia recorrida.
Extrapolando a partir de esta pequeña muestra de pulsares detectables, se
estima que hay al menos 200.000 pulsares en toda nuestra Galaxia.
Considerando aquellos pulsares cuyos haces de faro no barren en nuestra
dirección, la población total debería alcanzar un millón.
Cada pulsar emite durante cerca de cuatro millones de años; después de
este tiempo ha perdido tanta energía rotacional que no puede producir pulsos
de radio detectables. Si conocemos la población total (1.000.000), y el tiempo
de vida (4.000.000 de años), podemos deducir que un nuevo pulsar debe nacer
cada cuatro años (asumiendo que la población permanece estable).
Muy recientemente se han encontrado pulsares en cúmulos globulares.
Se piensa que han sido formados allí por la acreción de materia en estrellas
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enanas blancas en sistemas binarios. Otros pulsares nacen en explosiones de
supernovas. Si todos los pulsares fuesen nacidos en explosiones de
supernovas, podríamos predecir que debería haber una supernova en nuestra
Galaxia cada cuatro años. Estas son eventos espectaculares, y esperaríamos
ver más de ellos, si uno ocurre cada cuatro años. La última supernova
observada directamente en nuestra Galaxia, fue la supernova de Kepler en el
año 1604, pero sabemos que ocurren otras que son menos espectaculares, o
que son ocultadas de nosotros por nubes de polvo interestelares.
Pulsar Binario y Relatividad General:
Muchas estrellas son miembros de sistemas binarios, en los que dos
estrellas orbitan una alrededor de la otra, con períodos de algunos días o años.
Si una de estas estrellas es una estrella de neutrones, el par puede orbitar tan
cercanamente que la atracción gravitacional entre ellas es muy grande, y
pueden observarse algunos efectos poco usuales. Se conocen varios sistemas
binarios en los que la otra estrella es una gigante; en estos casos la estrella de
neutrones puede atraer gas de las regiones exteriores de su compañera, y una
corriente de gas cae con gran energía sobre la superficie de la estrella de
neutrones. Estos sistemas se observan como fuentes de rayos-X. Algunas de
las fuentes de rayos-X muestran variaciones periódicas al rotar la estrella de
neutrones: estos son los llamados 'pulsares de rayos-X'.
Un sistema binario, conocido como PSR 1913+16, consiste de dos
estrellas de neutrones, tan juntas que su período orbital es de sólo 775 horas.
No hay corrientes de gas entre estas estrellas, que interactúan sólo por su
mutua atracción gravitacional. La órbita de una de ellas puede ser descrita en
gran detalle, debido a que es un pulsar. El período de este pulsar es de 59
milisegundos, y produce una muy estable serie de pulsos con un periodo de
deceleración inusualmente baja. Es, de hecho, un preciso reloj moviéndose
muy rápidamente en un fuerte campo gravitatorio, que es la clásica situación
requerida para una comprobación de la Teoría General de la Relatividad de
Einstein.
Según la teoría dinámica no-relativista, o Newtoniana, las órbitas de
ambas estrellas deberían ser elipses con una orientación fija, y el período
orbital debería ser constante. Las mediciones de los tiempos de llegada de los
pulsos han mostrados diferencias significativas con las simples órbitas
Newtonianas. La más obvia es que la órbita precesa por 42 grados al año.
Hay también un pequeño, pero muy importante, efecto sobre el período orbital,
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que se sabe está reduciéndose en 89 nanosegundos (menos de una diezmillonésima de segundo) en cada órbita.
El período orbital en reducción representa una pérdida de energía, la
que sólo puede descontarse por medio de radiación gravitacional. Aún cuando
la radiación gravitacional en sí misma nunca ha sido observada directamente,
las observaciones del PSR 1913+16 descubierto en 1973 por Robert Hulse y
Joe Taylor durante un censo sistemático de pulsares, han provisto buena
prueba de su existencia. Al poco tiempo de su descubrimiento Hulse y Taylor
se dieron cuenta que se trataba del primer pulsar que se descubría en un
sistema binario. Al moverse alrededor de su compañera invisible, era posible
ver como variaba la frecuencia del pulso de PSR B1913+16 de acuerdo a un
fenómeno físico conocido como efecto Doppler: cuando el pulsar se mueve
hacia nosotros la frecuencia de las pulsaciones que uno mide aumenta,
mientras que cuando se aleja disminuye. Los relojes atómicos y dispositivos
electrónicos de los radio telescopios pueden medir con exquisita precisión (más
de diez dígitos) la frecuencia de las pulsaciones, permitiendo una estimación
igualmente precisa de la velocidad con que se acercan o se alejan. Las
mediciones mostraron que el periodo orbital, es decir el tiempo que tarda cada
estrella en girar alrededor de su compañera (el año) era notablemente corto,
menor a ocho horas. Estas dos estrellas giran una alrededor de la otra a
velocidades mayores a mil kilómetros por segundo. Hulse y Taylor se dieron
cuenta rápidamente del potencial de este objeto en probar la teoría general de
la relatividad con una precisión sin precedente. Es apropiado que este
descubrimiento, que es una confirmación adicional de las predicciones de la
Teoría General de la Relatividad, fuera anunciado en 1979, que fue el
centenario del nacimiento de Einstein.
En 1915, cuando Albert Einstein enunció la teoría general de la
relatividad, existía el problema del movimiento de mercurio. Mercurio, al igual
que todos los planetas, describe una elipse con el Sol en uno de sus focos. A
finales del siglo XIX se encontró que esta elipse a su vez giraba alrededor del
Sol a razón de diminutos 43 segundos de arco por siglo (es decir una vuelta
cada tres millones de años), movimiento que no era posible explicar dentro del
marco de la mecánica de Newton. La teoría de la relatividad general explica
este movimiento y predice exactamente el valor observado. De hecho un
problema era que durante varias décadas pocos experimentos podían probar la
teoría de la relatividad general, debido a que los efectos relativistas se
manifiestan con campos gravitacionales mucho más intensos que el del Sol.
Con el descubrimiento del pulsar binario PSR B1913+16 los científicos
contaron con un objeto ideal para el estudio de efectos relativistas:
básicamente un reloj (el pulsar) en un campo gravitacional intenso. Al poco
10
tiempo fue posible medir en este objeto la precesión del perihelio (o en este
casi el periastro), resultó ser de poco más de cuatro grados por año, es decir
35 mil veces mayor que en el caso de la órbita de Mercurio alrededor del Sol.
El estudio de PSR B1913+16 permitió observar un efecto relativista
nunca antes medido: el decaimiento de la órbita del pulsar. Después de seis
años de medición se demostró que el periodo orbital de poco más de siete
horas decrece a razón de un segundo cada trece mil años. Este pequeño
efecto se debe a la emisión de ondas gravitacionales, una consecuencia de la
teoría de Einstein que no hemos podido medir con la tecnología existente en la
actualidad. Aunque indirectamente, el decaimiento de la órbita del pulsar
binario es la única evidencia que tenemos de la existencia de ondas
gravitacionales, descubrimiento que les valió el premio Nobel a Hulse y Taylor.
El pulsar binario ha dado fuerte evidencia de que la teoría de la relatividad
general es la mejor teoría que contamos para explicar el fenómeno de la
gravedad, habiendo cumplido cabalmente con todas las pruebas a las que se le
ha sometido. Entre las decenas de pulsares binarios que se han descubierto a
la fecha, hay dos sistemas en los que es posible que se puedan eventualmente
medir efectos relativistas, PSR B1534+12 y PSR J1518+4904. Sin embargo,
dada su relevancia para estos estudios, PSR B1913+16 es normalmente
llamado "El" pulsar binario.
Avance del periastro aplicado a púlsares binarios
Uno de los efectos que predice la Relatividad General, es el avance del
periastro (zona, más alejada en una trayectoria elíptica); este efecto de
predicción teórica es comprobado es comprobado en el “laboratorio”
experimental más ideal que se conoce: los púlsares binarios.
En primer lugar lo que debemos hacer es hallar la ecuación de la
trayectoria en el plano ecuatorial para la métrica de Schwarzschild:
.
Esta ecuación corresponde a la que produce una energía potencial dada por:
11
.
El potencial Newtoniano está definido según estas ecuaciones:
.
Las posibles trayectorias en el espacio de Schwarzschild se muestran
esquemáticamente en la siguiente figura:
Para ver los efectos relativistas en la figura, hacemos un cambio de
variable:
y
:
Como vemos está representado , y cuando los efectos relativistas se
incluyen, vemos que “r” ya no tiene límites y puede tomar cualquier valor,
incluido el de colapso cuando “r” tiende a “0”. El potencial toma ahora la forma:
,
Para radios igual al radio de Schwarzschild me queda el potencial.
12
Para
las partículas quedan atrapadas por el potencial y caen a “
”.
La ecuación de la órbita se da cuando se conecta a “r” con “ϕ”. Así
que el movimiento en el plano ecuatorial para campos débiles tengo:
despejando:
Ahora introducimos elsiguiente cambio de variable
Sustituyendo
ecuación de la órbita:
:
en la ecuación energética de campo, obtengo una
,
Diferenciándola ésta, podemos llegar a encontrar la siguiente ecuación:
El último término de la derecha es el correspondiente al término de
corrección relativista. En resumen es la ecuación de un planeta orbitando
alrededor de una estrella.
Esta ecuación tiene una solución circular dada por:
, donde
.
Con una pequeña perturbación del movimiento circular, cambiamos u
por u1, siendo
. Para un orden pequeño de , tenemos:
o:
13
Para
, el equilibrio de la órbita es estable y conseguimos
soluciones periódicas:
Donde , es una constante de integración y , es la excentricidad de la
órbita. Podemos elegir
, y obtener:
Si llamo
, tenemos:
Con esta expresión tenemos varios casos, si
y despreciamos el
término relativista,
, la expresión se convierte en la ecuación de la órbita
elíptica de Kepler. Mientras que si
, y tenemos en cuenta el término
relativista,
, llegaríamos a una ecuación de trayectoria elíptica no cerrada.
Si damos a “r” el mismo valor dado en el punto de partida, ϕ tiene un
incremento de
. Entonces el ángulo extra por rotación viene dado por:
Si tenemos en cuenta el término de la Relatividad General, llegamos a:
Llegada a esta conclusión, se aplica a los objetos que podemos observar
y medir con precisión, como hemos dicho al principio, lo aplicamos al caso de
los púlsares binarios. En el caso concreto del púlsar PSR 1913+16 (estudios
que le valieron en premio nobel de física a Hulse y Taylor en 1993), se
obtuvieron las siguientes mediciones:
14
El avance del periastro observado para este púlsar es de 4,2º por año.
Como nota llamativa, el avance que realiza su periastro en un día, es mayor
que el que se produce en el planeta mercurio en un siglo.
El púlsar binario “más relativista” de los que conocemos hasta
ahora, es el púlsar PSR J0737-3039A/B, en el que el periodo de movimiento
orbital dura 2,4 horas.
Campos gravitacionales
Cuando dedujimos por primera vez la ecuación de Einstein,
comprobamos que éstas derivaban a las ecuaciones de Newton en el límite
clásico, esto sugiere que el campo gravitatorio sea muy débil y estático, (sin
dependencia temporal). Pero ahora supondremos una condición menos
restrictiva, en la cual el campo es aún débil pero ahora sí que hay variaciones
temporales.
El campo gravitatorio débil se expresa descomponiendo la métrica, en el
espacio plano de Minkowski más un término perturbativo muy débil:
15
,
.
Tomaremos restricciones de modo que ημν tome una forma diagonal
. La asunción de que hμν es muy pequeño, nos
permite despreciar cualquier término superior al primer orden de modo que
podemos escribir:
,
Podemos pensar en una versión lineal de la Relatividad General
(despreciando términos de orden superior al primero en h μν), como la
descripción de una teoría simétrica en el tensor h μν, propagándose en el
espacio plano. Esta teoría es invariante bajo una relatividad especial con el
dominio de la transformada de Lorentz dada por:
,
La métrica plana ημν es invariante mientras la transformación de la
perturbación sea de la forma:
.
Podemos pues encontrar las ecuaciones de movimiento incluyendo la
perturbación, obteniendo unas ecuaciones de Einstein de primer orden. Los
símbolos de Christoffel quedarán del a siguiente forma:
,
Después de operar con los tensores obtenemos el tensor de Ricci para
terminar por obtener el tensor de Einstein:
.
Esta linealidad del tensor de Einstein, puede ser obtenida también
mediante la derivación del siguiente Lagrangiano con respecto a hμν:
,
De esta ecuación obtendremos:
16
,
donde Gμν es el tensor de Einstein y Tμν es el tensor de Energía momento.
Con las ecuaciones de campo linealizadas podemos resolverlas.
Llegado a este punto tenemos que resolver el problema de la invariancia, para
ello debemos hace un cambio en el sistema de coordenadas espaciotemporales de tal manera que la ecuación de Einstein se simplifica un poquito:
,
Donde
es el D’lambertiano. Si estuviésemos en el vacío tendríamos
que Rμν=0 y llegamos a la conclusión que:
,
Que es la ecuación convencional de ondas relativista. Si hacemos un
cambio de métrica hecha por:
,
Llegamos a la ecuación:
,
De esta ecuación y un estudio previo del límite Newtoniano, es sencillo
llegar a la métrica del campo débil para una fuente esférica estacionaria como
la de un planeta o una estrella.
Volviendo a la ecuación anterior de Einstein, ésta predice que h 00 es la
ecuación de Poisson para el límite de un campo débil la cual implica que:
,
Donde Φ es el potencial Newtoniano
. Ahora sumimos que
T00=ρ la densidad de energía, de modo que el resto de las componentes de
dicho tensor asumimos menores, de tal forma que de
, deducimos:
.
17
Los otros términos del tensor son despreciables, de modo que podemos
escribir:
.
La métrica de una estrella o planeta para el límite del campo débil queda
pues:
.
Esta métrica del límite del campo débil se aplica para la radiación de
ondas gravitatorias. El procedimiento es similar al que se hace en
electromagnetismo, empezamos por aplicar al caso más sencillo, las
ecuaciones linealizadas en el vacío.
Desde que el espacio plano D’lambertiano tiene la forma
, la ecuación de campo es de la forma de ecuación de ondas para
. Una solución bien conocida de esta ecuación son las ondas planas:
,
Siendo C μν un tensor simétrico de constantes, y kσ es el tensor vector de
onda. Comprobamos la solución haciendo:
,
Una solución interesante a esta ecuación es
, la ecuación de
ondas es por tanto una solución de las ecuaciones linealizadas si el vector de
onda es nulo. Esto se traduce como ondas gravitacionales propagándose a la
velocidad de la luz. La componente temporal del vector de onda está
relacionada con la frecuencia de la onda si podemos escribir
, entonces la condición para que el vector de onda sea nulo
lo podemos escribir como:
,
Esta solución está lejos de ser una solución general, ya que cualquier
número de ondas planas juntas puede ser considerado como una solución, al
poder ser descompuestas como suma lineal de soluciones.
Hay un número de parámetros libres para especificar la onda, diez para
los coeficientes de Cµν y tres para el vector nulo kσ, los cuales podemos
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eliminar algunos haciendo un estudio de las ecuaciones, llegando a la
conclusión:
Llegamos pues a un gauge (calibrado) conocido como gauge transversal
“sin rastro” o gauge de radiación. El nombre le viene de que la perturbación
pasa inadvertida y que es transversal al vector de onda. Hasta ahora hemos
estado trabajando con la perturbación
, que es cambio de la verdadera
perturbación
, pero como
es como es podemos tomar
cuando
trabajemos con este gauge.
Una de las ventajas de este gauge es que dada una onda plana en un
gauge arbitrario podemos hacer un cambio simple para convertirlo fácilmente
en componentes de una “traza sin rastro”.
Para hacerse una idea de los efectos físicos, debidos a las ondas
gravitacionales, es corriente considerar el movimiento de partículas de prueba
en presencia de ondas. Esta suposición es insuficiente para resolver las
ecuaciones de una partícula libre, pero nos dará valores de las coordenadas a
lo largo de la línea de tiempo. Para obtener medidas de la coordenada
independiente de los efectos ondulatorios consideraremos el movimiento
relativo de partículas moviéndose una cerca de la otra, que se derivan de la
ecuación de las geodésicas.
Consideraremos partículas cercanas con unas cuadri-velocidades
descritas por un único vector de campo
, y un vector aparte
,
tendremos:
,
Queremos calcular la parte izquierda del primer orden en
. Si
consideramos que nuestras partículas se mueven muy despacio una con
respecto de la otra, podemos expresar la cuadri-velocidad como un vector
unidad en la dirección temporal más una corrección de orden
y superior;
pero sabemos que el tensor de Riemann es de primer orden, así que las
correcciones de
pueden ser ignoradas y escribir:
19
,
así pues, solo tenemos que calcular
o lo equivalentemente
:
,
Por otro lado, como hemos considerado que las partículas se mueven
muy despacio, el tiempo propio
, así que las ecuaciones de las
geodésicas quedan:
Así pues, para una onda que viaje en la dirección , implica que solo
y
se verán afectadas, y que partículas de prueba solo serán perturbadas en
direcciones perpendiculares al vector de onda. Éste fenómeno tiene un símil en
electromagnetismo en el que los campos eléctrico y magnético se encuentran
en un plano perpendicular al vector de onda.
Las ecuaciones de movimiento se caracterizan por dos números
,y
. Ahora consideramos los efectos por separado, en primer
lugar considero
y
, me quedan unas ecuaciones de movimiento:
,
y
,
Así pues, partículas que inicialmente se encuentran separadas en la
dirección , oscilan hacia delante y hacia atrás en esta dirección, y lo mismo
ocurre con una separación inicial en
. Veamos su efecto en un anillo de
partículas estacionarias en el plano x-y:
20
Ahora hacemos el mismo análisis para
ecuaciones:
y
, obteniendo unas
,
y
,
En este caso un anillo de partículas inmóviles oscilarán en el mismo
plano x-y, pero de la siguiente forma:
La notación
y
es clara, estas dos cantidades miden los dos modos
independientes de polarización lineal de las ondas gravitatorias. Podemos pues
definir polarización lineal dextrógira o levógira haciendo la siguiente definición:
y
Un efecto puro de
manera:
,
hace que las partículas se muevan de la siguiente
21
El efecto contrario tendrían para un movimiento puro de . Podemos
relacionar los estados de polarización de las ondas gravitacionales clásicas a
los tipos de partículas que cabría encontrar en cuántica. El campo
electromagnético tiene dos estados independientes de polarización descritos
en el plano x-y por vectores, igualmente, un único modo de polarización es
invariante bajo rotaciones de 360º en dicho plano. En cuántica esta teoría de
campo, de forma general relaciona al spin con el ángulo θ, bajo el cual los
modos de polarización son invariantes por la relación
. El campo
gravitacional, con ondas gravitacionales, a la velocidad de la luz, deberían de
poseer en teoría cuántica partículas sin masa. Notar que para las ondas
gravitacionales los modos de polarización son invariantes bajo rotaciones de
180º por lo que los “gravitones” deberían de poseer un espín igual a 2.
Estamos aún lejos de detectar dichas partículas, pero cualquier teoría cuántica
respetable predice su existencia.
Hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones linealizadas en el vacío y las
ondas planas como soluciones. Así que es hora de poder calcular la radiación
de ondas gravitacionales producidas por una fuente. Consideramos materia en
nuestras ecuaciones:
,
La solución a esta ecuación se obtiene de utilizar la función de Green,
que es el mismo método que se utiliza en electromagnetismo. Si a la función de
Green le aplicamos es D’lambertiano, obtenemos como resultado de la
ecuación de ondas la función delta de dirac:
,
Donde
es el D’lambertiano de la coordenada
. La elección de esta
función reside en que la solución a la ecuación
, puede ser escrita de la
siguiente forma:
,
Las soluciones de la ecuación de ondas de la función de Green, ya están
tabuladas y pueden ser interpretadas como un retardo o un avance,
dependiendo de si representan ondas viajando hacia delante o hacia detrás en
el tiempo; por su interés, nos centraremos en la función de Green retardada,
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que representa los efectos acumulados de señales en el pasado del punto en
consideración, de modo que podemos escribir:
,
Siendo
,
, y
. Si llamamos a
, la interpretación de la integral es clara: la perturbación en el
campo gravitatorio en el punto
, es la suma de las influencias de fuentes
de energía y momento en el punto
del cono de luz del pasado:
Dejamos esta solución a un lado y consideramos la radiación emitida por
una fuente aislada, muy lejana, y compuesta de materia no relativista, de modo
que hará más precisa la medida que realizaremos.
En primer lugar tomaremos unas consideraciones de las transformadas
de Fourier que son siempre muy útiles para tratar fenómenos ondulatorios.
Calculamos la transformada inversa dada por:
,
Ahora introducimos las aproximaciones que hemos mencionado, de
lejanía, aislamiento y movimiento no relativista; esto hace considerar a la fuente
fija en un punto a una distancia R, con diferentes partes emisoras a distancias
R+δR siendo δR R. Como su movimiento es no relativista, la mayor parte de
la radiación emitida será a frecuencias ω suficientemente bajas tal que δR ω1, esencialmente, la luz atraviesa a la fuente mucho más rápido que las
componentes de dicha fuente a sí misma.
Bajo estas aproximaciones podemos simplificar la integral de la siguiente
manera:
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,
Bajo la sospecha de que no son necesarias calcular todas las
componentes
, podemos llegar a la conclusión que la integral se
puede escribir de la siguiente manera:
,
Si el tensor del momento cuadrupolar de la densidad de energía de una
fuente se define como:
,
Tensor constante en cada superficie en un tiempo constante. En
términos de la transformada de Fourier del momento cuadrupolar, nuestra
solución toma la forma compacta:
,
Que transformada queda:
,
Donde como hemos dicho antes
. Como conclusión llegamos a
que las ondas gravitatorias producidas por objetos no relativistas aislados, son
producidas por la derivada segunda del momento cuadrupolar de la densidad
de energía, en el punto donde el cono de luz pasada corta a la fuente. Como
contraste, tenemos el momento dipolar del electromagnetismo, del que
sabemos que irradia momento dipolar cuando el centro de la densidad de
energía se mueve, mientras que el momento cuadrupolar se produce por
cambios en la densidad de energía.
Mientras que no hay nada que pare el centro de oscilación de una carga
en movimiento, la oscilación del centro de masas de un sistema aislado
contradice la conservación de momento. Pero es que el momento cuadrupolar
de forma general, es muchísimo más pequeño que el momento dipolar, de
forma que la radiación gravitacional es típicamente muchísimo menor que la
radiación electromagnética.
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Es siempre educativo tomar la solución general y aplicarla a un caso
particular. El caso más interesante de radiación gravitacional es el de un
sistema binario de estrellas (púlsares). Para simplificar consideraremos que
dichas estrellas orbitan el plano ,
, separadas una distancia “r” al punto
común, tal y como se ve en la figura:
Podemos tratar el movimiento de las estrellas con aproximación
Newtoniana, donde su órbita se considerará con un estudio de Keppler. Dicha
órbita se caracteriza con la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga:
,
Donde el tiempo que se tarda en dar una vuelta completa está dado por:
,
Más frecuentemente es tomar la frecuencia angular de la órbita, dada
por:
,
De modo que podemos dar la posición de las estrellas de forma
explícita:
,
,
,
,
La correspondiente densidad de energía viene dada por:
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De ésta obtenemos el momento cuadrupolar magnético:
,
,
,
,
Sustituyendo las componentes del momento cuadrupolar en la ecuación
de la perturbación obtenemos:
,
Es el momento de hablar de la energía emitida por la radiación
gravitacional. Pero esta discusión está rodeada de problemas, tanto físicos
como filosóficos, ya que no hay verdadera medida local de energía en el campo
gravitatorio. En el límite del campo débil, cuando pensamos en la gravitación
como un tensor simétrico, podríamos pensar en la existencia de otro tensor de
energía-impulso para las fluctuaciones de
, tal como existe para el
electromagnetismo o cualquier otra teoría de campo. Hasta cierto punto esto es
posible, pero sigue habiendo muchas dificultades.
A estas dificultades se le han puesto remedio para sistemas bien
definidos, como es el caso resuelto del sistema binario, pero en realidad hemos
estado “engañándonos” desde el principio ya que hemos considerado una
perturbación lineal, y una métrica espacio temporal plana. Así que se debería
de continuar por hacer el estudio similar pero para perturbaciones de orden
superior, de tal forma que si hacemos el estudio de una perturbación de orden
2, obtendríamos algo como:
,
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De manera que la potencia de radiación de un sistema binario está dada
por:
.
Y es lo que realmente ha sido observado. En 1974 Husle y Taylor
descubrieron un sistema binario, en el que el periodo de la órbita es de 7.45
horas, extremadamente pequeña comparada con los estándares astrofísicos.
Como son púlsares (provistos de un reloj muy fiable debido a la rotación de su
“faro”), se observó una disminución de su periodo por una pérdida de energía
en muy poco tiempo, y dado que se conocía que para que un púlsar aumentase
su periodo deberán de pasar una media de 108 años. El resultado es
considerado como una predicción de la teoría de la Relatividad General por
pérdida de energía a través de las ondas gravitacionales, véase la siguiente
gráfica:
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La línea horizontal muestra una órbita con separación orbital constante.
Los puntos son observaciones experimentales de Husle y Taylor para el
sistema binario antes mencionado, mientras que la línea continua curva,
muestra la predicción de la Relatividad General.
Dicha teoría predice que ambas colisionarán dentro de 300 millones de
años, por emisión de ondas gravitacionales. Por estos estudios Husle y Taylor,
obtuvieron el premio nobel en 1993.
Retraso temporal de la señal del púlsar
Uno de los efectos bien conocidos y estudiados, es el retraso de la señal
del púlsar cuando éste se acerca a su compañera. Si nos fijamos en el púlsar
por excelencia PSR 1913+16, su señal se retrase 50 microsegundos cuando
ambas estrellas se encuentran una cerca de la otra, este efecto es muy
pequeño, pero dada a la exactitud de la señal que recibimos de un púlsar, ésta
puede ser medida perfectamente confirmando así las predicciones de la Teoría
de la Relatividad General.
Para este efecto partimos nuevamente de la métrica de Schwarzchild,
llegando que para una trayectoria radial:
Donde
representa el tiempo estacionario desde el punto de vista del
fotón que radia uno de los púlsares,
es un tiempo registrado por un
observador en reposo (la tierra) y M es la masa que crea la fuente de gravedad.
Explicado someramente este efecto, el efecto físico es que uno de los
púlsares emite fotones de modo que ya de por sí tendrá un redshift gravitatorio
intrínseco a la masa que lo creo, pero el retraso de 50 micro segundos se debe
a la interacción del fotón con la masa de su compañera cuando entre en la
acción de su campo gravitatorio.
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