RECURSOS 5 Principios

RECURSOS
5
Principios
generales
de
internacional de unidades
máquinas.
Sistema
TERMODINÁMICA. RESUMEN.
Sistema termodinámico.- Es una región o cantidad de materia perfectamente determinada del resto que
llamaremos entorno. Figura a1. Si no hay transferencia de materia con el entorno se dice que es cerrado,
en otro caso es abierto.
a)
Figura a1. Sistema termodinámico.
b)
Variables de estado.- Caracterizan a un sistema. Presión, volumen y temperatura son las más simples, la
energía interna es otra. Cualquier combinación de variables de estado es otra variable de estado.
Concepto de calor y temperatura.El calor no es una variable de estado, es una energía en tránsito. Aunque, con sus variaciones, se puedan
determinar variables de estado.
Medida de la temperatura.- Para medir la temperatura se emplean las escalas termométricas. La escala
centígrada o Celsius toma como valor 0 el punto de fusión del agua y 100 el de ebullición a 45º de latitud
norte y presión de 1Atm.
El S.I. toma la escala Kelvin.
Teniendo en cuenta que la dilatación volumétrica de un gas es prácticamente lineal con la temperatura,
figura a3:
Figura a3. El volumen de un gas varía linealmente con la temperatura.
V  V0
V  V0 1  t   V  V0  V0 t   
V0 t
Resulta que para bajas presiones todos los gases tienen el mismo coeficiente de dilatación (lo que no
sucede con sólidos y líquidos). Una vez obtenidos los valores experimentales de del coeficiente de
dilatación  a diferentes presiones, se hace una extrapolación a una presión nula y se obtiene =0,003660
(por definición, el gas perfecto tendrá siempre este coeficiente de dilatación)
La pregunta que surge es inmediata: ¿A qué temperatura se hará nulo el volumen del gas?
t
V  V 0 0  V 0 1
1



 273,2º C
V0 
V0 
 0,003660
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Pues bien, este punto se toma como origen de la temperatura absoluta o Kelvin. Así el punto de fusión del
agua estaría a unos 273ºK.
Evidentemente esta temperatura no se puede alcanzar, por la propia imposibilidad de reducir a cero el
volumen de un gas.
Entalpía.- Las propiedades, presión, temperatura, entalpía, etc, pueden cambiar en un sistema; la energía
se transfiere (calor o trabajo). El primer principio de termodinámica establece la conservación de la
energía, luego:
energíaque entra energíaquesale
A la vista de la figura a4, vamos a evaluar las cantidades de energía puestas en juego en nuestro sistema
abierto,
Figura a4. Conservación de la energía.
m, masa del gas quemado. La masa de gas que entra al motor es la misma que sale. Esta masa se
encuentra ocupando lo que se denomina volumen de control que, evidentemente, es distinto a la entrada y
a la salida, pues pueden cambiar la presión y temperatura.
p1  A1  l1 y p 2  A2  l 2 , trabajo realizado por la mezcla en la entrada y en la salida (recordar que la fuerza
es la presión por la superficie y el trabajo mecánico es la fuerza por el desplazamiento en la dirección de
la fuerza).
Como los volúmenes que estamos controlando a la entrada y salida son el producto del área de la sección,
supuesta constante, por la longitud considerada, las dos últimas expresiones se transforman en:
p1  A1  l1  p1  V1 y p 2  A2  l 2  p 2  V2
m g  z , energía potencial respecto del nivel de referencia de la masa del volumen de control.
1
m  v 2 , energía cinética de la masa del volumen de control.
2
En estas condiciones podemos formular la ecuación de conservación de la energía con la expresión
general:
1
m  v12  m  g  z1  U1  p1  V1  Q 
2
1
 m  v2 2  m  g  z2  U 2  p2  V2  W
2
Debemos observa que si se tratase de una máquina frigorífica o un compresor en lugar de un motor se
cambiarían de lado de la igualdad las cantidades de calor y trabajo, o se cambiarían de signo.
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A la suma U  p  V , se le conoce como entalpía y, puesto que la energía interna, la presión y el volumen
son propiedades características de los volúmenes de control considerados, la entalpía es también una
propiedad o variable de estado. En cambio, el trabajo y el calor no son propiedades. Son formas de
energía en tránsito de un sistema al exterior o viceversa.
Las unidades de la entalpía son iguales a las de la energía, julios en el S.I. y calorías si empleamos la
unidad antigua.
Ahora la ecuación de a energía se puede poner:
1
1
m  v12  m  g  z1  H1  Q  m  v2 2  m  g  z 2  H 2  W
2
2
Esta ecuación e muy interesante en turbomáqinas.
Medida de la entalpía y energía interna.
En el apartado anterior nos han aparecido la energía interna y la entalpía como propiedades intrínsecas del
sistema (un gas perfecto y, en nuestro caso, aproximadamente la mezcla que llena el motor). Ahora vamos
a encontrar un camino para proceder a su evaluación en función de otras variables más fácilmente
medibles de forma que dispongamos de un medio para evaluar las variaciones U 2  U 1 y H 2  H 1 .
Sabemos que su energía interna es función solamente de la temperatura (ley de Joule) tal como vamos a
ver. Para ello, se aplica la ecuación de la conservación de la energía a un sistema cerrado, figura a5, de
esta forma eliminamos el término en velocidades al no existir transferencia de fluido y estamos a la
misma altura para evitar la energía potencial gravitatoria.
Figura a5. Esquema de motor térmico.
Del principio de conservación de la energía:
Q  U  W
Pero el trabajo de expansión o de compresión es
W  p  V
Si consideramos un proceso a volumen constante, V  0 .En esta situación el calor suministrado, si el
volumen permanece constante (el émbolo no se desplaza) se emplea en aumentar la energía interna Es
decir:
QV  U
Si recordamos la definición de calor específico como la cantidad de calor preciso para elevar un grado la
unidad de masa (la masa se puede expresar tanto en kilogramos como en moles, podemos poner tanto m
como n en las fórmulas), tenemos que el calor específico a volumen constante es:
CV 
1 QV
m T
Con lo que la variación de energía interna se puede expresar como:
U  m  CV  T
Observar que la energía interna es función exclusiva de la temperatura (ley de Joule)
Para la entalpía, como había sido definida según H  U  p  V , su variación es:
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H 2  H 1  U 2  p 2V2   U 1  p1V1 
Si ahora utilizamos una transformación a presión constante, es decir, en el caso del motor el émbolo se
desplaza para que al introducir calor no aumente la presión. En tal caso p1  p 2 y la entalpía se puede
expresar:
H 2  H1  H  U 2  U1   pV2  V1   U  pV  p
Nota. Esta expresión es cierta si la presión permanece constante, en otro caso habría que emplear:
H  U  pV  H  U  Vp  pV ,
si p  constante p  0
Comparando esta expresión con la expresión de la conservación del energía, vemos que el segundo
miembro es la cantidad de calor intercambiada, en este caso, manteniendo constante la presión en el
interior del émbolo. Luego:
H  Q p
Hacemos ahora lo mismo que en el caso de la energía interna y definimos el calor específico a presión
constante:
Cp 
1 Qp
m T
Con lo que la variación de la entalpía se puede expresar como:
H  m  C p  T
En el caso de gases biatómicos (aire también) puede considerarse aproximadamente que el calor
cal
cal
cal
específico a presión constante es 7
y a volumen constante 5
para la
ó
º C  mol º K  mol
º K  mol
temperatura ambiente. En el caso del gas ideal estos son lo valores que se toman.
Ahora vamos a realizar la diferencia C p  CV ya que es un resultado notable:
QV
H  U


m  T m  T
m  T
U  pV   U  p  V

m  T
m  T
C p  CV 
Qp

Recordando la ecuación de los gases perfectos p  V  n  R  T y aplicándola a los estados inicial y final y
restando miembro a miembro (tener en cuenta que la presión se mantiene constante, pues el término pV
viene de Qp).
pV2  n  R  T2 
p  V
R
 pV 2  V 1  nRT2  T1  
pV1  n  R  T1 
n  T
Expresando la temperatura en ºK (aunque la diferencia es la misma en ºC) y la cantidad de materia en
moles en lugar de en unidades de masa, la diferencia 3.18 es la conocida igualdad de Mayer:
C p  CV  R
Todas las expresiones donde aparece la masa m son igualmente válidas poniendo el número de moles n
m
(n 
.) Eso sí, cambiará el valor de las unidades, con lo que para el aire:
Mm
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Cp  7
cal
cal
cal
7
 0,24
º K  mol
º K  28,8 g
ºKg
Procesos adiabáticos. Procesos politrópicos.
En el apartdo 5.9 se ha calculado el trabajo desarrollado en diversas transformaciones de un gas. Ahora
vamos a justificar las ecuaciones de estado de la transformación adiabática y politrópica.
Un proceso adiabático es aquél que tiene lugar sin transferencia alguna de cantidades calor (sin
interacciones de tipo térmico) entre el sistema que evoluciona y el entorno. Los procesos de compresión y
expansión de gases, al ser muy rápidos, puede considerarse que se realizan adiabáticamente; pues no hay
tiempo suficiente para que se transfiera el calor hacia el interior o exterior.
Si así fuera, en el caso de un motor, sucederá que Q  0 y, por consiguiente, W  U .
El trabajo que realiza el motor es a costa de disminuir la energía interna.
Para lo que sigue debemos utilizar un poco de cálculo diferencial, es decir, los incrementos serán muy
pequeños y luego los sumaremos (integración).
p  dV  m  CV  d T
Ahora utilizamos la ecuación de los gases perfectos p  V  m  R  T y derivamos teniendo en cuenta que
las dos constantes que hay son la masa (o los moles) y R:
p  dV  V  dp  m  R  d T
Dividiendo miembro a miembro esta segunda ecuación entre la primera:
p  dV  V  dp
V  dp
m RdT
R

 1 

 p dV
m  CV  d T
p  d V CV
Sustituyendo R por la igualdad de Mayer
V  dp C p  CV
 V  dp C p


1 

11
p  dV
CV
p  dV
CV
Cp
 V  dp 
p  dV
CV
Al cociente
Cp
CV
se le denomina exponente adiabático y se simboliza por la letra griega  (gamma):
Cp

CV
En de un gas perfecto, este exponente adiabático vale aproximadamente:

Cp
CV

7
 1,4
5
Arreglando esta ecuación y colocando el valor de 

1
d p   dV
p
V
Como el gas pasa de un estado inicial, que denotamos por 1 y un estado final, que denotamos por 2.
Integramos la expresión anterior:
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p2

p1
1
dp
p
V2

  V d V  ln p
p2
p1
  lnV VV2
1
V1
ln p 2  ln p1   lnV2  lnV1 
Arreglando esta expresión:
ln p2   lnV2  ln p1   lnV1
ln p2  lnV2   ln p1  lnV1  ln p2V2   ln p1V1
En definitiva:
p1V1  p 2V2 
En general:
p V   Constante
Esta expresión es la ecuación que rige una transformación adiabática de un gas ideal entre dos estados
inicial y final. El valor de la constante se puede calcular en cualquier punto conocido
Constante p1 V1  p 2 V2   ... .Si jugamos con la ecuación de los gases perfectos, podemos obtener
estas dos expresiones adicionales:
T1 V1 1  T2 V2  1
T1  p1
1

 T2  p 2
1

La figura a6 representa dos gráficas, en azul claro una isoterma y en azul oscuro una adiabática. Es
importante notar que la adiabática tiene una pendiente (más “cuesta”) que la isoterma.
ica
abát
Adi
p V 1.4  1
a
m
er
ot
Is
p V  1
Figura a6. Representación de una evolución adiabática y una isoterma.
Para terminar, consideramos las ecuaciones de la isoterma y de la adiabática
p1  V1  p 2  V2
p1V1  p 2V2  , observamos que son en todo semejantes, excepto que la primera tiene
exponente 1 en el volumen y la segunda, para el aire, exponente 1,4. Por ello, para adaptarse más a un
proceso real se utiliza la expresión:
p V n  const
o bien
p1 V1n  p 2 V2 n
que se denomina ecuación del proceso politrópico, siendo n el exponente politrópico.
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Medida de la entalpía y energía interna.- Vamos a encontrar un medio para evaluar las variaciones
U 2  U 1 y H 2  H1 .
Para ello, se aplica la ecuación de la conservación de la energía a un sistema cerrado, figura a5, de esta
forma eliminamos el término en velocidades al no existir transferencia de fluido y estamos a la misma
altura para evitar la energía potencial gravitatoria.
Figura a5. Esquema de motor térmico.
Del principio de conservación de la energía: Q  U  W
El trabajo de expansión o de compresión es: W  p  V
Si consideramos un proceso a volumen constante, V  0 .En esta situación el calor suministrado, si el
émbolo está “soldado”, se emplea en aumentar la energía interna Es decir:
QV  U
El calor específico molar a volumen constante es: CV 
1 QV
n T
La variación de energía interna se puede expresar como:
U  m  CV  T
Observar que la energía interna es función exclusiva de la temperatura (ley de Joule)
Para la entalpía, su variación es:
H 2  H 1  U 2  p 2V2   U 1  p1V1 
Si ahora utilizamos una transformación a presión constante. En tal caso p1  p 2 y la entalpía se puede
expresar:
H 2  H1  H  U 2  U1   pV2  V1   U  pV  p
Nota. Esta expresión es cierta si la presión permanece constante, en otro caso habría que emplear:
H  U  pV  H  U  Vp  pV ,
si p  constante p  0
Comparando esta expresión con la expresión de la conservación de la energía, vemos que el segundo
miembro es la cantidad de calor intercambiada, en este caso, manteniendo constante la presión en el
interior del émbolo (el pistón se desplaza con una resistencia constante). Luego:
H  Q p
El calor específico a presión constante es: C p 
1 Qp
n T
La variación de la entalpía será: H  n  C p  T
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En el caso de gases biatómicos (aire también) puede considerarse aproximadamente que el calor
cal
cal
cal
específico a presión constante es 7
y a volumen constante 5
para la
ó
º C  mol º K  mol
º K  mol
temperatura ambiente. En el caso del gas ideal estos son los valores que se toman.
Vamos a realizar la diferencia C p  CV :
C p  CV 

Qp
n  T

QV
H  U


n  T
n  T
U  pV   U
n  T

p  V
n  T
Recordando la ecuación de los gases perfectos p  V  n  R  T y aplicándola a los estados inicial y final a
presión constante y restando miembro a miembro (tener en cuenta que el término pV viene de Qp).
pV2  n  R  T2 
p  V
R
 pV 2  V 1  nRT2  T1  
pV1  n  R  T1 
n  T
Que resiulta la conocida igualdad de Mayer: C p  CV  R
Procesos adiabáticos.- En el apartdo 5.9 se ha calculado el trabajo desarrollado en diversas
transformaciones de un gas. Ahora vamos a justificar las ecuaciones de estado de la transformación
adiabática y politrópica.
En un proceso adiabático sucederá que Q  0 y, por consiguiente, W  U .
El trabajo que realiza un motor es a costa de disminuir la energía interna.
Para lo que sigue debemos utilizar un poco de cálculo diferencial, es decir, los incrementos serán muy
pequeños y luego los sumaremos (integración).
p  d V  n  CV  d T
diferenciamos la ecuación de los gases perfectos p  V  n  R  T  p  dV  V  dp  n  R  d T
Dividiendo miembro a miembro esta segunda ecuación entre la primera:
p  dV  V  dp
V  dp
m RdT
R

 1 

 p dV
m  CV  d T
p  d V CV
Sustituyendo R por la igualdad de Mayer
V  dp C p  CV
 V  dp C p


1 

11
p  dV
CV
p  dV
CV
Cp
 V  dp 
p  dV
CV
Al cociente
Cp
CV
Cp
CV
se le denomina exponente adiabático y se simboliza por la letra griega  (gamma):

En de un gas perfecto, aproximadamente:  
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Cp
CV

7
 1,4
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Arreglando esta ecuación y colocando el valor de 

1
d p   dV
p
V
Integramos la expresión anterior entre un estado inicial 1 y final 2:
p2

p1
1
dp
p
V2

  V d V  ln p
2
 ln p1   lnV2  lnV1 
V1
Arreglando esta expresión:
ln p2   lnV2  ln p1   lnV1
ln p2  lnV2   ln p1  lnV1  ln p2V2   ln p1V1
En definitiva:
p1V1  p 2V2 
En general:
p V   Constante
Esta expresión es la ecuación que rige una transformación adiabática de un gas ideal entre dos estados
inicial y final. El valor de la constante se puede calcular en cualquier punto conocido:
Constante p1 V1  p 2 V2   ... .
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