problemas y cuestiones I

A P L I C A C I Ó N DE L O S C O N C E P T O S
Ley de la gravitación universal
Actividad 36. La Tierra se encuentra girando en una
órbita elíptica alrededor del Sol. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones, referidas a dicha órbita, crees que
es correcta?
a) Cambia de plano ligeramente, dependiendo de las
estaciones del año.
b) Cambia de plano según los días y las noches.
c) Está siempre en el mismo plano.
d) Cambia de unos años a otros.
Actividad 37. Explica por qué la fuerza de la gravedad no varía la rapidez de un satélite que describe una
órbita circular, pero sí la modifica cuando su órbita
es elíptica.
Actividad 38. El cometa Halley tiene un período de
aproximadamente 75 años. ¿Cuál es su distancia media al Sol?
c) ¿Qué conclusión se puede obtener acerca de la
posibilidad de observar un cambio en el peso de
u cuerpo durante la rotación diaria de la
Tierra?
Respuesta: a) 2'85 • 105; b) 1'65 • 103.
Actividad 42. Imagínate una planeta de forma
esférica donde el día es tan sólo de 12 horas. Si,
además en su ecuador los cuerpos se hallan en
estado de I gravidez, es decir, en caída libre, ¿cuál es
la densidad de semejante planeta?
Respuesta: 75'7 kg/m3.
Descripción vectorial
Actividad 43. Suponiendo que el radio de la Tierra
se duplicase, ¿qué le ocurriría al peso de un hombre si:
Respuesta: 2'67.1012 m.
a) La masa de la Tierra permaneciese constante.
b) Se mantuviera invariable la densidad media déla
Tierra?
Actividad 39. La distancia media de Júpiter al Sol
es 5'22 veces la de la Tierra. ¿Cuál es el período de
Júpiter?
Respuesta: a) Se reduce a la cuarta parte; b)
Se duplica.
Respuesta: 11'93 años.
Actividad 44. Aunque Newton no estableció el valor
de G, sí que estimó la densidad media de la Tierra
con lo que aquel también puede evaluarse. Teniendo
en cuenta que los mares están sobre la corteza
terrestre, que la densidad de ésta es doble que la del
agua y que en las profundidades de las minas existen
minerales tres o cuatro veces más densos, Newton concluyó que durante el proceso de formación de la Tierra
las distintas sustancias se habrían ido sedimentando,
de manera que las más densas ocuparan el centro,
Esto le llevó a proponer un valor aproximado para
la densidad media de la Tierra de 5.500 kg/m3. Admitiendo que nuestro planeta fuera perfectamente esférico, determina la cuantía aproximada de su masa
y utilízala para estimar el valor de G.
Actividad 40. Un satélite terrestre se mueve en una
órbita circular, a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula:
a) Su rapidez.
b) Su período de revolución.
c) Su aceleración.
Respuesta: a) 7'73 • 103 m/s; b) 1'5 horas;
c) 8'97 m/s2.
Actividad 41
a) Compara la fuerza gravitatoria ejercida por la
Luna sobre un cuerpo de masa m situado en la
superficie terrestre, con la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre el mismo cuerpo.
b) Repite el ejercicio con la fuerza de atracción
gravitatoria del Sol.
CAMPOS GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO
Respuesta: 5'95 1024 kg; 6'6-10-11 Nm2/kg2.
Actividad 45. Desde la Tierra vemos siempre la misma cara de la Luna. La razón de esto es que mientras
da una vuelta completa a la Tierra, sólo efectúa un
giro alrededor de su eje. De ahí que nunca podamos
observar la cara posterior (la célebre «cara oculta de
la Luna»). Supongamos que el primer astronauta español, de Tauste por más señas, ha puesto el pie en
la zona visible. Éste pretende demostrar que la otra
cara es plana; si dispone de una plomada, ¿cómo podría hacerlo? ¿Cuál sería la dirección de la intensidad del campo gravitatorio lunar, en el caso de que
tuviera razón?
Actividad 46. Existen satélites, llamados síncronos,
cuyo período de revolución en torno a la Tierra es
igual al de rotación de la Tierra sobre sí misma, esto
es, 24 horas. Son los que se emplean, por ejemplo,
en las retransmisiones de televisión. ¿Piensas que será
posible lanzar un satélite de esta clase, de forma que
se mantenga fijo sobre la vertical de cualquier punto
del globo, verbigracia, Baños del Río Tobía? (figura
8.31).
Actividad 48. Cuatro partículas, de masas m, 2 m,
3m y 4 m, están situadas en los vértices de un
cuadrado de l=2 m de lado. Demuestra que el
módulo de la intensidad del campo gravitatorio total
en el centro del cuadrado está dado por 2 2 Gm
(N/kg).
Actividad 49. ¿A qué altura sobre la superficie de
la Tierra la aceleración de la gravedad disminuye en
un 1 % respecto al valor que tiene en el suelo?
Respuesta: 3'2 • 104 m.
Actividad 50. La figura 8.32 representa dos campos
de fuerzas mediante las correspondientes líneas de
fuerza. ¿Podría corresponder alguno de estos
esquemas a un campo gravitatorio? Razona la
respuesta.
Descripción escalar del campo
gravitatorio
Actividad 51. Comenta la siguiente frase: «la energía potencial de un cometa en su órbita elíptica alrededor del Sol permanece constante».
Actividad 52
a) Determina la energía potencial gravitatoria de 8
partículas, cada una de masa m, situadas en los
vértices de un cubo de lado L.
Fig. 8.31
Actividad 47. Dos partículas de masa m están situadas en los puntos (d, 0) y (—d, 0). Calcula la intensidad del campo gravitatorio resultante en:
a) El punto (0, 0).
b) Un punto de abscisa x > d.
c) Un punto de abscisa x, tal que 0 < x < d.
Respuesta: a) 0; b) 2 Gm (x2 + d2)/(x2 - d2)2;
2
2 2
c) 4 Gm dx/(d -x ) .
Fig. 8.32
b) Aplica el resultado al caso en el que las
partículas tengan una masa del orden de la del
Sol y el lado del cubo sea de 1 «parsec» (3'08 •
1016 m).
Respuesta: a) (-4Gm2 /L)(3 + 3/ 2 + 1// 3 );
b) -2'33 • 1035 J.
Actividad 53. Dos partículas de masa m están situadas en los puntos (a, 0) y (—a, 0), respectivamente.
Representa gráficamente y discute el potencial
gravitatorio total V(x) en función de x para los
puntos del í eje de abscisas.
Conservación de la energía.
Movimiento bajo la acción de
fuerzas centrales gravitatorias
la misma órbita circular de radio Ro alrededor de la
Tierra, pero en sentidos opuestos, de forma que llega un momento en que se ensamblan; esta operación
puede considerarse como un choque perfectamente
inelástico.
Actividad 54. Cuando un deportista desciende
hacia la Tierra con el paracaídas abierto lo hace
con velocidad —límite—_ constante.
a) Calcula la energía mecánica total del sistema
satélites-Tierra en función de G, MT, m y Ro.
b) Halla la energía mecánica total después de unirse
los satélites.
c) Describe el movimiento de los satélites cuando viajan juntos.
a) ¿Qué le ocurre a su energía potencial
gravitatoria?
b) ¿Y a la cinética?
c) ¿Se conserva, entonces, la energía mecánica
del paracaidista?
Actividad 55. Queremos poner en órbita
alrededor de la Tierra dos satélites, uno ligero y
otro pesado. ¿En cuál de los casos será más fácil
el lanzamiento? ¿Por qué?
Actividad 56
a) ¿Es cierto que un satélite de masa 2 m
necesita una velocidad de escape doble que la
que requiere otro de masa m?
b) Si dos planetas tienen radios distintos, pero la
misma densidad, ¿poseerán una velocidad de
escape
idéntica?
Actividad 57. Si tuvieras que lanzar un satélite
artificial, ¿desde qué posición preferirías hacerlo:
en el ecuador o en el polo norte? ¿Y en qué
dirección lo harías: este u oeste?
Actividad 58. Imagina que te encuentras a bordo
de la nave Columbia en una órbita estacionaria en
torno a la Tierra. Explica cómo te las arreglarías
para: (1) pasar a una órbita mayor; (2) volver a
casa.
Respuesta: a) -GMTm/Ro; b) -2 GMTm/R0.
EJERCICIOS DE
SELECTIVIDAD
Actividad 62.
La intensidad del campo
gravitatorio I terrestre medida en un polo es 9'81
N/kg. ¿Cuál sería su valor en un punto de latitud
30° si la Tierra girase con una velocidad cuatro
veces mayor que la i que tiene realmente?
Respuesta: 9'4 N/kg.
Actividad 63. Calcula la altura que hay que subir
encima de la superficie terrestre para que la
aceleración de caída libre sea de 7 m/s2.
Respuesta: 1.167'08 km.
Actividad 64. ¿Cuál es la energía de cuatro masas
de 100 kg colocadas en los vértices de un
rectángulo cuyos lados son de 3 y 4 m,
respectivamente?
Respuesta: l'05 • 10-6 J.
Actividad 59. Un proyectil, lanzado verticalmente
en la superficie terrestre, llega a una distancia de
10.000 km del centro de la Tierra con una rapidez de
7 km/s. ¿Cuál es la distancia máxima que alcanzará?
Actividad 65. De la superficie del Sol sale una
partícula neutra con velocidad suficiente para
escapar del sistema planetario; dicha partícula cae
en otra estrella cuyo radio es cuatro veces el del
Sol y la densidad la mitad. ¿Con qué velocidad
llega la partícula a la estrella respecto a la de la
salida del Sol?
Respuesta: 2'6.107 m.
Respuesta: v'= 8v
Actividad 60
Actividad 66. Se desea poner en órbita un satélite
en un lugar situado a una distancia del centro de la
Tierra igual a las 5/4 partes del radio terrestre.
a) ¿Qué velocidad
inicial
habrá que
comunicarle?
b) ¿Cuál sería el período del satélite?
c) ¿Cuál será el valor de la intensidad del campo
gravitatorio en su interior?
a) Demuestra que si se deja caer un objeto hacia la
Tierra desde una altura H, suponiendo desprecia
ble la resistencia del aire, la rapidez con que llega
a la superficie es:
v=
2g 0 R T H
R+H
b) Particulariza el resoltado para H = 100 km y
H = 104 km.
Respuesta: b) 1389 y 8.733 m/s.
Actividad 61. Dos satélites de masa m se mueven en
Respuesta: a) 7.127'4 m/s; b) 1'94 horas; c) 6'4
N/kg.