DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO DE

CORPORACIÒN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS
DEPARTAMENTO DE
PUBLICACIONES
GUIA DE TRABAJO DE
FÍSICA
CUARTA SESION
Elaborada por
JEAN YECID PEÑA
BOGOTA D.C
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CORPORACIÒN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS
DATOS DEL ESTUDIANTE
NOMBRE DEL ESTUDIANTE
: ________________________
_________________________
CARRERA
: ________________________
JORNADA
: MARTES Y MIERCOLES
JUEVES Y VIERNES
SABADOS
DOMINGOS
NOMBRE DEL PROFESOR
: ________________________
FECHA
: DEL __________ AL _______
CALIFICACION
: ________________________
(
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)
)
)
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FIRMA DEL PROFESOR
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Momento lineal e impulso
El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v
se define como el producto de la masa por la velocidad
p=mv
Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del
tiempo
La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando
la masa de la partícula es constante.
Despejando dp en la definición de fuerza e integrando
A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral
que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.
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Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula se mueve bajo la
acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerzatiempo.
En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta
aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es
muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad
cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o
una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o
milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de
varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad,
por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta
aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se
refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.
Dinámica de un sistema de partículas
Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al
sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema.
Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la
fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2
actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.
Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna:
las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre
la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre
estos dos cuerpos celestes.
Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del
momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan
sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene
determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha
partícula.
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Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton,
F12=-F21, tenemos que
Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las
fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del
sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.
Conservación del momento lineal de un sistema de partículas
Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están
aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua
pero no hay fuerzas exteriores al sistema.
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La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F12 que ejerce la partícula 2. La
partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F21 que ejerce la partícula 1. La
tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas
fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.
F12 +F21 =0
Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas
El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total
del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir,
si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de
conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas
de interacción entre las partículas del sistema aislado
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2
Donde u1 y u2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y v1 y v2 las
velocidades finales de dichas partículas.
Colisiones
Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más
partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas
impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza
externa presente.
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El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía
cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en
energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se
deforman durante la colisión.
Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía
cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se
dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que
choca con la Tierra.
En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las
colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las
colisiones pueden ser perfectamente elásticas.
La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la
colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero
puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como
resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de
las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la
explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía
química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.
Coeficiente de restitución
Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas
sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del
choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión
Donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación
fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno
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es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque
perfectamente inelástico.
El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y
la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.
El centro de masa.
El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente útil
para describir las colisiones comparadas con el Sistema de Referencia del
Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en próximas páginas.
Movimiento del Centro de Masas
En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que
m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de
la masa mayor.
En general, la posición rcm del centro de masa de un sistema de N partículas es
La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del
tiempo
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En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total
del sistema de partículas.
De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que
El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una
partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza
externa aplicada al sistema.
En un sistema aislado Fext=0 el centro de masas se mueve con velocidad
constante vcm=cte.
El Sistema de Referencia del Centro de Masas
Para un sistema de dos partículas
La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es
La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es
En el sistema-C, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.
Energía cinética
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La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C
es fácil de obtener
El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas. El segundo
término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del
sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término,
se le denomina energía cinética de traslación del sistema.
En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos
partes:


el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa
el movimiento interno relativo al centro de masas.
En las siguientes páginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la
descripción del movimiento de un sistema de dos partículas que interactúan a
través de un muelle elástico.
Energía de un sistema de partículas
Supongamos que la partícula de masa m1 se desplaza dr1, y que la partícula de
masa m2 se desplaza dr2, como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre
cada una de las partículas.
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El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la primera
partícula es igual al producto escalar
(F1+F12)·dr1
Del mismo modo, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan
sobre la partícula de masa m2 será
(F2+F21)·dr2
Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre
una partícula modifica la energía cinética de la partícula, es decir, la diferencia
entre la energía cinética final y la inicial.
Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del trabajo
de las fuerzas exteriores más el trabajo de las fuerza interiores o de interacción
mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas interiores F12=-F21 son iguales y de
sentido contrario
Las fuerzas interiores F12 y F21 realizan trabajo siempre que haya un
desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la 2, ya que dr1-dr2=d(r1r2)=dr12
Normalmente, la fuerza F12 es conservativa (es de tipo gravitatorio, eléctrico,
muelle elástico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia
entre la energía potencial inicial y final.
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Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma
Tendremos
Entre paréntesis tenemos una cantidad que es la suma de la energía cinética de
las dos partículas que forman el sistema y de la energía potencial que describe la
interacción entre las dos partículas. A esta cantidad la denominamos energía U del
sistema de partículas.
Wext=Uf-Ui
El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energía del
sistema de partículas en el estado final y la energía del sistema de partículas en el
estado inicial.
Para un sistema de dos partículas, hay una sola interacción de la partícula 1 con la
2 descrita por la fuerza interna conservativa F12 o por la energía potencial Ep12. La
energía del sistema U se escribe
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Para un sistema formado por tres partículas hay tres interacciones, de la partícula
1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 con la 3, descritas por las fuerzas internas
conservativas F12, F23, F13 o por sus correspondientes energías potenciales. La
energía del sistema es
Sistema aislado
Para un sistema aislado, Fext=0, el trabajo Wext de las fuerzas exteriores es cero, la
energía U del sistema de partículas se mantiene constante. Para un sistema de
dos partículas cuya interacción mutua está descrita por la energía potencial Ep12.
La fuerza exterior Fext es conservativa
El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energía potencial
inicial y la final
Wext=Epi-Epf
Tenemos por tanto que Ui+Epi=Uf+Epf=cte
Para un sistema de dos partículas bajo la acción de la fuerza conservativa peso, la
conservación de la energía se escribirá
Choques
Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su
trayectoria a otro y produciéndose contacto físico.
Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos,
éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones
desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el
contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.
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En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará
en calor que disiparán los cuerpos.
1 - Choque plástico o inelástico
a) Velocidades de igual dirección y sentido.
Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el
cuerpo 2 de masa m2 y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual dirección
y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le
provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido
contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de
sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una
velocidad final común a ambos.
La velocidad final será:
m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
Como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:
v1f = v2f = vf
m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2)
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b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.
En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido
contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan
juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades
de movimiento. La velocidad final será:
m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
igualmente:
v1f = v2f = vf
m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2)
La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la
velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.
Choque elástico
a) Velocidades de igual sentido
Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a
la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o
gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el
momento del choque, la velocidad final de cada uno será:
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v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i
ó:
v1f = v2f + v2i - v1i
b) Velocidades de distinto sentido
En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno
será:
v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i
El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la
cantidad de movimiento.
Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la
cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el
impacto sea muy pequeño.
Ejemplo 1
Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de
40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una
velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo
en contacto con ella 5 ms?.
Desarrollo
Datos:
m = 0,15 kg
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vi = 40 m/s
vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)
t = 5 ms = 0,005 s
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
F = m.(vf - vi)/t
F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s
F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s
F = - 3000 N
Ejemplo 2
Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N
durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad
adquirió la bola luego del impacto?
Desarrollo
Datos:
m = 0,2 kg
F = 50 N
t = 0,01 s
vi = 0 m/s
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
m.(vf - vi) = F.t
vf - vi = F.t/m
vf = F.t/m
vf = 50 N.0,01 s/0,2 kg
vf = 2,5 m/s
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Ejemplo 3
Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0
hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?
Desarrollo
Datos:
m = 10 kg
vi = 0 m/s
Fi = 0 N
Ff = 50 N
t=4s
Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto:
F = (Ff + Fi)/2
F = (50 N + 0 N)/2
F = 25 N
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
m.(vf - vi) = F.t
vf - vi = F.t/m
vf = F.t/m
vf = 25 N.4 s/10 kg
vf = 10 m/s
Ejemplo 4
Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de
agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm ³/s, si la densidad del agua es de 1
g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio
que el chorro de agua ejerce sobre la pared?
Datos:
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Φ V = 300 cm ³/s (caudal volumétrico)
vi = 5 m/s
vf = 0 m/s (porque el chorro no rebota)
Δ = 1 g/cm ³
Primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de acción:
Φ M = Φ V. Δ
ΦM = 300 cm ³/s.1 g/cm ³
ΦM = 300 g/s (caudal másico)
Φ M = 0,3 kg/s éste dato nos dice que en t = 1 s la masa de agua es m = 0,3 kg
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.vi = F.t
F = m.(vf - vi)/t
F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 s
F = 1,5N
Actividades
1. Un arma de 3kg dispara una bala de 2  103 Kg. con una velocidad de 480
m . ¿cuál es la velocidad de retroceso del arma?
s
2. Un pez de 6 Kg. está nadando a 0.3 m hacia la derecha. Se traga otro
s
pez de 0.3 Kg. que nada hacia él a 2 m o sea hacia la izquierda. Calcular
s
la velocidad del pez grande después de la comida.
3. Un pedazo de plastilina de 15 g de masa se mueve con una velocidad de
60 m y se adhiere a un bloque de 60 g de masa inicialmente en reposo.
s
Calcular la velocidad del sistema plastilina-bloque después de la
interacción.
4. Un bloque de 10 Kg. se mueve con una velocidad de 5 m . Y choca con un
s
bloque de 3 Kg. que se encuentra en reposo. Calcular las velocidades de
los bloques después del choque si éste es elástico.
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