Modelo Granular del Movimiento Browniano Matemáticas, Universidad de Chile Institución:

Institución: Departamento de Física, Facultad de Ciencias Físicas y
Matemáticas, Universidad de Chile
Título: Modelo Granular del Movimiento Browniano
Introducción:
El Movimiento Browniano se refiere al movimiento aleatorio de pequeñas partículas
inmersas en un fluido. Este fenómeno fue investigado en forma sistemática por
Robert Brown en 1827, quien observó bajo un microscopio el movimiento de
partículas de polen sobre la superficie de agua, las cuales describían movimientos
aleatorios, tanto en amplitud como en dirección. Sus observaciones, y las de otros
científicos, fueron objeto de intensos debates, contraponiendo inicialmente una
explicación biológica a una física. Realizando experimentos con partículas de
materiales inorgánicos, fue el propio Brown quien descartó que el movimiento se
debía a que el polen estuviese “vivo”. Por casi más de 70 años existieron diferentes
explicaciones del fenómeno, entre ellas la idea de que el movimiento se debía a
choques con los átomos. Es importante notar que a comienzos del siglo XX, la idea
atómica de la naturaleza era aún muy controversial.
Einstein y la existencia de los átomos
Fue Albert Einstein, en 1905, quien concluyó que si la Teoría Cinética de Fluidos,
desarrollada por Ludwig Boltzmann a fines del siglo XIX, era correcta, entonces una
partícula macroscópica (grande) inmersa en el fluido seguiría un movimiento
aleatorio similar al descrito por Brown. Einstein obtuvo también una primera
estimación del Número de Avogadro, el cual da un tamaño finito a los átomos,
reafirmando su existencia. Fue en 1909 que Jean Perrin condujo experimentos para
verificar los modelos matemáticos propuestos, y para determinar de forma más
precisa el Número de Avogadro. Sus trabajos terminaron con la disputa sobre la
realidad atómica de la naturaleza, valiéndole el premio Nobel en 1926.
La explicación de Einstein se basa en la naturaleza atómica de los fluidos. Si los
componentes básicos de un fluido, ya sean átomos o moléculas, se mueven en
forma aleatoria como se supone en la teoría cinética, entonces una partícula
inmersa en el fluido sufrirá colisiones con éstos, en forma aleatoria tanto de
dirección como en intensidad. Es entonces el bombardeo aleatorio de los átomos
sobre la partícula intrusa lo que causa el movimiento descrito inicialmente por
Brown.
Es interesante notar que Einstein desarrolló su trabajo sin conocer los resultados de
Brown ni las formulaciones originales de la mecánica estadística, como él mismo lo
explica: “Sin conocer las investigaciones de Boltzmann y de Gibbs, que habían
aparecido anteriormente y que habían acabado realmente el tema, desarrollé la
mecánica estadística y, basándome en ella, también la teoría cinética-molecular de
la termodinámica. Mi mayor objetivo era encontrar los hechos que garantizarían
tanto como sea posible la existencia de átomos de un tamaño finito. En medio de
esto descubrí que, según la teoría atómica, un movimiento de partículas
microscópicas suspendidas tendría que existir, sin saber que las observaciones
referentes al movimiento Browniano eran ya muy conocidas.”
Con respecto a la controversia sobre la existencia de los átomos, Einstein concluye:
“El acuerdo de estas consideraciones con los experimentos, junto con la
determinación de Planck del tamaño molecular a partir de la ley de la radiación
(para las altas temperaturas), convenció a escépticos de la realidad de los átomos,
que eran absolutamente numerosos en aquella época (Ostwald, Mach). La antipatía
de estos eruditos hacia la teoría atómica se puede remontar indudablemente hacia
su actitud filosófica positivista. Éste es un ejemplo interesante del hecho de que
incluso eruditos de espíritu audaz pueden ser obstruidos en la interpretación de los
hechos por prejuicios filosóficos.”
En conclusión, el trabajo de Einstein es de gran importancia en física pues mostró
por primera vez de manera visible y concreta que los átomos eran reales. Su
trabajo forma además la base de ciertas ramas modernas y de investigación muy
activa de la Física (física estadística) y la Matemática (teoría ergódica).
Modelo Granular. El experimento que se presenta en esta exposición es un modelo
granular del movimiento Browniano, lo que bien podría haber sido una visión o
sueño de Einstein sobre el problema. Se trata de una colección de partículas
pequeñas, en este caso de acero, que conforman los “átomos” del fluido. A
diferencia de los fluidos comunes donde la pérdida de energía en las colisiones entre
átomos es despreciable, estos fluidos granulares pierden una fracción importante de
energía en sus colisiones, ya sea entre granos o con las paredes o la base del
recipiente. Es por ello que debemos forzarlos continuamente, lo que se logra
mediante vibraciones de la base que los contiene. La partícula intrusa, que es más
grande y en este caso de plástico, es entonces bombardeada por las mas pequeñas,
en forma análoga a lo propuesto por Einstein.
La foto 1 muestra la posición inicial de la partícula intrusa, en el mar de partículas
pequeñas, en este caso nuestros “átomos”. La figura 1 presenta una trayectoria de
la partícula intrusa, sobre un tiempo de aproximadamente 120 segundos, donde la
estrellas roja y morada muestran las posiciones iniciales y finales de la partícula.
Esto es básicamente lo que observó Brown bajo su microscopio, ¡salvo que él no
pudo ver los átomos! La figura 2 muestra las coordenadas X e Y de la partícula
intrusa en función del tiempo, lo que es otra manera de ver su comportamiento
aleatorio. Finalmente, la figura 3 muestra una medida de que tan “cerca” está este
comportamiento de ser del tipo Browniano. En particular, se espera que el promedio
temporal de la distancia recorrida por la partícula intrusa al cuadrado <L2> varíe
linealmente con el tiempo, lo que se comprueba para esta trayectoria. La saturación
de <L2> a tiempos largos se debe al tamaño finito de la caja.
Figura 1
Figura 2
Figura 3