EJERCICIOStema2

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos partículas alfa, que consideraremos cargas puntuales fijas, están
separadas 10-11 m. Calcula la fuerza electrostática con que se repelen y la
gravitatoria con la que se atraen, y compáralas.
Datos: G = 6.67·10-11 SI; K = 9·109 SI; e = 1.60·10-19 C; mα = 6.68·10-27 kg.
Respuesta
Aplicando las leyes de Coulomb y de la gravitación universal, y teniendo en
cuenta que la carga de una partícula α es dos veces la carga elemental:
Por tanto, la fuerza electrostática de repulsión es mucho más intensa que la
gravitatoria de atracción:
2. Dos cargas A y B, separadas 3 cm, se atraen con una fuerza de 40 μN.
¿Cuál es la fuerza entre A y B si se separan 9 cm?
Respuesta
Aplicando la ley de Coulomb, la fuerza pedida es:
La fuerza que nos indican es:
De esta expresión se tiene que el producto
Sustituyendo en la primera ecuación se tiene:
3. Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual
q1=12 x 10-9 C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la
figura.
Respuesta
Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el cálculo del potencial
en un punto debido a una carga puntual cuya expresión es
y por lo tanto el valor sería
el potencial es una magnitud escalar, por lo tanto tan sólo debe ser indicado su
signo y su valor numérico.
Respuesta: El potencial en A vale + 1.080 V
4. Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2=-12 x 10 -9 C están separadas
10 cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre
los puntos ab, bc y ac.
Respuesta
Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos, debemos primero hallar
el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteado
 Potencial en punto a: El potencial en a es debido a la acción de dos
cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto deberemos calcular cada uno de
dichos potenciales y establecer la diferencia. como el potencial en un punto
debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el ejercicio
anterior como
entonces deberemos repetir este cálculo para
cada una de las cargas.
En
consecuencia
por
lo
que
como se observa el
resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por
la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1=
+ 1.800 V y potencial de q2 = - 2.700 V de allí surgen la diferencia que es a
favor del potencial positivo en -900 V).

Potencial en punto b: Repetimos lo establecido para el punto a
simplemente que ahora debemos calcular las distancias para el punto b por
lo
que
la
expresión
nos
queda
como se observa el
resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por
la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1=
+ 2.700 V y potencial de q2 = - 771 V de allí surgen la diferencia que es a
favor del potencial positivo en 1.929 V).

Potencial en punto c: En el punto c no es necesario realizar el cálculo
numérico dado que como las distancias entre c y las cargas son iguales y
las cargas son iguales y de signos contrarios, los potenciales que provocan
son de igual valor y signo opuesto, por lo que el potencial en c vale 0
(Vc=0).

Cálculo de los potenciales solicitados
Vab= Vb-Va= 1.929 V - (-900 V) = + 2.829 V
Vbc= Vc-Vb= 0 V - 1.929 V = - 1.929 V
Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta:
Vab =+ 2.829 V
Vbc=- 1.929 V
Vac=+ 900 V
5. Sobre una circunferencia tenemos un arco de 90º situado en el primer
cuadrante en el que hay una distribución lineal de carga λ, ¿qué campo
creará en el centro de la circunferencia de radio a?.
6. Calcular la diferencia de potencial entre O y P de una distribución de
cargas formada por q en (1,0) y -q en (0,1). Explicar el resultado obtenido.
Respuesta
el resultado obtenido indica que los dos puntos
O y P están sobre la línea equipotencial V=0.
Esto no implica que el campo en O y en P sea nulo - que no lo es-. La situación se
refleja en la siguiente figura, en la que se debe observar que las líneas
equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico.
En casos de distribución continua de carga el potencial eléctrico se calcula
mediante la expresión:
7. Cuatro cargas puntuales están enla esquina de un cuadrado de lado a,
como en la figura.
a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la posición de la
carga 2q.
b) Calcule el potencial eléctrico en el centro del cuadrado.
Respuesta
a) En la figura se ilustra la dirección de los campos debido a las cargas q, 3q y
4q, es decir, Eq, E3q y E4q, con
8. De nuevo el campo debido a un disco (lamina infinita).
Calculemos el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo
del eje de un disco circular de radio R a una distancia z de su centro y que tiene
una carga uniforme por unidad de área (fig).
Respuesta
De la simetría de la figura y,
Podemos hallar
integrando sobre la superficie, entre los límites, esto es ,
Haciendo
Resulta,
El resultado anterior es válido para todos los valores de z, a medida que el
radio R crece sin límite es decir, R>>Z, el segundo término dentro del paréntesis
de la ecuación tiende a cero, y queda
Se puede observar que se obtiene el mismo resultado si hacemos
.
Es decir que para puntos cercanos el disco se comporta como si fuera de
extensión infinita.
9. Dos cargas puntuales -2Q y Q se hallan sobre el eje x.
a) Calcule el campo eléctrico en el punto P.
b) Encuentre la distancia de separación entre las cargas para la cual la
componente Y del campo vale cero.
Respuesta
El campo total en el punto P es:
Donde hemos escrito el campo
rectangulares
Reescribiendo:
, en términos sus componentes
Ahora si existe algún r, para el cual la componente del campo se anula:
Por lo tanto
O sea:
pero
y entonces
10. Calcule el potencial eléctrico debido a la distribución de cargas mostrada
en la figura. Evalúe el potencial en el punto (0, 2a).
Respuesta
Con:
Hemos tomado en cuenta que el potencial eléctrico es aditivo.
En particular en el punto (0, 2a):
11. Una varilla de longitud L tiene una carga positiva por unidad de longitud y
una carga total Q. determine el campo eléctrico y el potencial en el punto
P a lo largo del eje de la varilla, a una distancia b de un extremo.
Respuesta
El cálculo del campo se obtiene de:
Tenemos que,
12. Alambre infinito .En la figura se muestra una sección de un alambre de
carga infinita. Deseamos hallar el campo eléctrico a una distancia R del
alambre.
Respuesta
Como se trata de una distribución lineal de carga utilizaremos la expresión
, con
De acuerdo con la figura, la Magnitud del
campo eléctrico está dada por
Con componentes:
y,
Pero por simetría, para un elemento de carga como el indicado, existe un
elemento opuesto de modo que las componentes del campo e n la dirección x se
cancelan.
Hagamos ahora el cálculo de
:
Debido a que las contribuciones al campo debido a cada mitad de la barra son
iguales. pero ,
,
que
al
sustituir
nos
queda
13. Determinar el campo eléctrico generado por un dipolo, en un punto lo
suficientemente alejado del mismo.
Respuesta
Un dipolo eléctrico está constituido por dos cargas eléctricas de igual
magnitud
y
signo
contrario,
situadas
a
pequeña
distancia.
Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta
dirección es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dicho punto,
vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar después el
campo.
Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo y
con
el ángulo que forma r
dicho
eje.
Si el punto P está lo suficientemente alejado, podemos considerar que r es
paralelo a r1 y r2 y, por lo tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas
valen:
Sabiendo que el potencial, como
función de una distribución de cargas
puntuales, viene dado por la
expresión :
Si r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede despreciarse
el sustraendo del denominador. Por otro lado, el producto q.l se denomina
momento dipolar y se representa por p. Según eso, podemos poner :
Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares
ry
.
Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones de los vectores
unitarios intrínsecos asociados a r y
respectivamente.
Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :
La longitud de los elementos diferenciales en la dirección en que r y
crecen son,
respectivamente dr y r. d ; por lo tanto, sabiendo que E es el gradiente, cambiado
de signo, del potencial, podemos poner :
En un punto cualquiera, la intensidad resultante E, será :
Podemos determinar también el ángulo que E forma con la
dirección radial.
Con la ayuda de figura adjunta, podemos ver que se tiene:
14. Una corteza esférica delgada de radio R tiene una carga total Q
distribuida
Uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico para
puntos
a) r ≥ R, es decir, fuera del cascarón
b) r < R, es decir, dentro del cascarón
Respuesta
En la figura se muestran las líneas de campo y los elementos de superficie
supuesta la corteza cargada positivamente. Si construimos una superficie
gaussiana esférica de radio r ≥ R , como se muestra en la figura, la ley de Gauss
Y despejamos E. tenemos
R
Que es igual al campo debido a una carga puntual Q colocada en el centro de la
corteza.
R
, en este caso la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, y
la ley de gauss dice que.
, de donde E=0 es decir,el campo E es cero en todos los puntos
interiores.
15. Dada la superficie del elipsoide:
a) Calcular el vector unitario normal en cada punto de la superficie del
elipsoide.
b) Calcular la integral :
sobre el elipsoide, siendo :
Respuesta
Dada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un punto de la
función que representa a dicha superficie nos determina un vector normal a ella en
el punto considerado.
Para que el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso de su
módulo:
La segunda parte del problema consiste en calcular el flujo del vector r a
través
de
S.
Para
resolver
esta
parte
del
problema
aplicamos la fórmula de Gauss – Ostrogradsky:
En nuestro caso tenemos
Con lo que nos quedará:
Siendo V el volumen encerrado en la superficie (*) del elipsoide. Si
realizamos un cambio de variable en la forma:
El jacobiano y los límites de integración quedarán:
con lo que la integral resultará:
16. Sobre una capa semiesférica de radio R, tenemos una
distribución de carga uniforme
= 1 C/m2. Calcular el campo
en el centro de la esfera coincidente con la carga.
Respuesta
Vamos
a
considerar
que
dividimos la semiesfera en meridianos
y paralelos, de tal modo que se forme
una red constituida por elementos
como el representado en la figura
adjunta.
Por la simetría del problema, las
componentes perpendiculares al eje
OA se anulan dos a dos y sólo
tendrán
efecto
las
componentes tangenciales a dicho
eje. Podemos suponer entonces que
el valor del campo eléctrico en el
punto O será :
1.
Siendo R el radio de la esfera coincidente con el hemisferio y
dq la carga contenida en el elemento diferencial dS, que vale:
donde
esfera.
y
son, respectivamente, el ángulo polar y la colatitud de la
En
esas
condiciones,
anterior expresión, tendremos:
sustituyendo
en
la
y considerando que los límites de integración para las variables que
estamos considerando son:
nos queda:
que es el valor del campo eléctrico en el punto O. Sustituyendo los
valores de la densidad de carga y de la constante dieléctrica se
obtiene el resultado numérico buscado.
17. Dada
la
siguiente
distribución
de
carga:
a) Calcular las distribuciones de potencial y campo en
función de r (A = 10 C/m, R0 = 3 cm ;
b) Suponiendo la carga existente a partir de una distancia r =
R, calcular el valor de R para que la relación entre el campo
calculado en a) y b) sea Eb = 0,9.Ea a una distancia r = 10 cm
del centro de la distribución.
Respuesta
Para resolver este problema vamos a obtener primero el
campo eléctrico y para ello consideraremos independientemente las
dos densidades de carga, es decir, que desglosaremos el problema
en dos.
1º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga
dada por:
2º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga
dada por:
Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y
aplicando el teorema de Gauss, tenemos:
de donde se deduce con facilidad que el campo eléctrico viene dado
por
:
y la expresión se cumple para puntos en los que r es estrictamente
menor que R0. Análogamente, para puntos en los que r es
mayor o igual que R0 obtenemos:
y en este caso el campo eléctrico valdrá:
Si consideramos la segunda distribución, para los puntos en
que r es estrictamente menor que R0 obtenemos que el campo es
nulo por serlo la densidad de carga en esa región. Para los puntos
en
los
que
r
es
mayor
o
igual
que
R0
tenemos:
y a partir de ahí resulta:
Considerando que el problema tiene simetría radial podemos
sumar las soluciones obtenidas con cada distribución para llegar a :
Para calcular el potencial hacemos de igual modo (desglosar
en dos el problema inicial) y aplicamos la ecuación de Poisson
en coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que la distribución de
carga solo depende de r.
Para
la
primera
distribución,
en
r
menor
que
R0:
Para la segunda distribución de carga, en r mayor o igual que R 0:
La solución al problema para el caso del potencial vendrá
dada por la suma de las dos soluciones parciales. Para obtener el
valor de las constantes tenemos en cuenta que el gradiente
cambiado de signo del potencial es igual al campo eléctrico y, por
tanto en r menor que R0:
Y, análogamente, en r mayor o igual que R0:
Según eso:
Para determinar las constantes C3 y C4 necesitamos dos
condiciones pero no podemos hacer uso del hecho de que el
potencial tiende a cero cuando r tienda a infinito puesto que tenemos
un término de la forma Ln r. Solo podemos considerar, entonces, que
el potencial ha de ser continuo en r = R0 y obtener una de las
constantes a partir de la otra.
Dándole
y, finalmente:
a
C2
el
valor
0
resulta
para
C4:
Para calcular el campo Eb aplicamos el teorema de Gauss:
y puesto que se ha de cumplir que Eb = 0,9.Ea tendremos:
y haciendo operaciones resulta R = 189,3 cm.
18. Tenemos un sistema de cargas constituido por una distribución uniforme
de una carga Q sobre una esfera de radio R0 y otra carga –Q distribuida
uniformemente sobre una capa esférica concéntrica con la esfera, de
radio interior R = (R0/3).106 y de espesor
.
a) Calcular la distribución de campo en función de la distancia r al centro.
b)
Calcular
la
energía
electrostática
del
sistema
c) Si por algún procedimiento quitamos la mitad de la carga –Q de la capa
esférica, ¿cuál es la variación de energía electrostática del sistema?
Respuesta
Para calcular la distribución del campo eléctrico tenemos varias regiones.
Para r < R0, por el teorema de Gauss podemos colocar:
pero el valor de q puede obtenerse a partir de
y, finalmente:
Para los puntos en los que r está comprendido entre R 0 y R tenemos :
Para los puntos situados dentro o exteriormente a la capa esférica,
podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos:
y, por lo tanto, solo hemos de considerar
el campo eléctrico para puntos fuera de la capa esférica en los que se tendrá E =
0,
ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior.
Para obtener la energía electrostática del sistema tenemos en cuenta que a partir
de r mayor o igual que R el campo eléctrico se hace nulo por no existir carga
efectiva. Por todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir de la
expresión:
y la calculamos como sigue:
y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R:
Si quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica es como si sobre
los puntos situados a una distancia r > R actuara una carga de valor Q/2 situada
en el centro de una esfera de radio
. En estas condiciones, el campo
para puntos situados a una distancia r > R será:
y al valor de la energía eléctrica anteriormente determinado habrá que sumarle el
término:
19. Calcúlese el potencial y el campo eléctrico en la región del espacio
comprendido entre dos láminas planoparalelas cargadas a potenciales V1
y V2. Supóngase que hay una distribución de carga uniforme entre las dos
placas.
Respuesta
Para resolver el problema aplicamos la ecuación de Poisson en
coordenadas cartesianas:
Por la naturaleza del problema podemos considerar que el potencial sólo
dependerá de la coordenada x y tendremos:
Las constantes C1 y C2 las obtenemos a partir de las condiciones de
contorno:
con lo que tenemos:
y de ahí
Por otra parte, el campo eléctrico viene dado por el gradiente cambiado de
signo del potencial con lo que en nuestro caso tendremos:
20. Por Integración de la ecuación de Poisson, encontrar el potencial y el
campo en todo el espacio por efecto de una carga q uniformemente
distribuida en el interior de una esfera de radio R.
Respuesta
Si consideramos que la permitividad de la esfera es , la ecuación de
Poisson en coordenadas esféricas se expresa:
Si la carga está distribuida uniformemente en el interior de la esfera,
tendremos:
y a partir de ahí :
Por otro lado, en los puntos fuera de la esfera se cumple que la carga es
nula y, por lo tanto, también es nula la densidad de carga. Así pues, tendremos:
Sabemos que el campo eléctrico es igual al gradiente cambiado de signo
del potencial, por lo que en cada caso tendremos:
Para determinar las cuatro constantes arbitrarias tenemos las siguientes
condiciones:
De la primera y la última obtenemos C4 = 0 y C1 = 0 ; para las otras dos
resulta :
con lo cual :
Por todo ello tenemos, siendo:
21. Encontrar las soluciones con variables separadas de la ecuación de
Laplace en coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio
bidimensional. Aplicar el resultado al cálculo del potencial en el interior
de un rectángulo de 3 x 2 cm en el cual tres lados están a potencial nulo y
el cuarto a cuatro voltios.
Respuesta
Para
resolver
el
problema
ensayamos
soluciones
de
la
forma
por lo cual:
El primer miembro de la ecuación final depende de x. El segundo es
independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a
una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parámetro obtenemos
distintas soluciones para la ecuación del enunciado. La forma de dichas
soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación. En el caso
que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes
condiciones
(x,0) = 4 ;
(2, y) = 0 ;
(x, 3) = 0 ;
(0, y) = 0.
Consideramos entonces soluciones para la ecuación en X que satisfagan
las condiciones:
Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores
>
0, con lo que podemos poner:
X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos
y para que X(x) no
sea idénticamente nula podemos tomar:
Con ese valor de
En
esas
condiciones
, encontramos para la ecuación en Y :
tenemos
para
las
soluciones
particulares
por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de
funciones:
y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f(x) = 4. Para ello
tenemos:
y, finalmente:
22. Calcular
la
densidad
superficial de carga inducida
sobre un plano a potencial
cero sobre el que se encuentra
una carga lineal indefinida con
una densidad de carga
Respuesta
.
El desplazamiento eléctrico
en
un
punto
cualquiera,
P,
debido a la carga lineal dada, lo
podemos obtener por el teorema
de Gauss:
Análogamente, el desplazamiento eléctrico en el mismo punto P, a causa
de la carga imagen de la línea, vale:
Pero, según la figura, tenemos:
Por otro lado, las componentes normales del campo de desplazamiento,
viene dadas por:
En el plano (sobre el que únicamente hemos de considerar la componente
normal) tendremos:
y recordando que la densidad superficial de carga inducida vale
tendremos :
puesto que D1n = 0 por tratarse de un conductor.
23. Sean dos cilindros de radio a
separados una distancia d >> a.
Calcular la capacidad del sistema
y
la
fuerza
entre
ambos
conductores. Los cilindros están
cargados con carga
y -
,
respectivamente.
Respuesta
Sabemos que la superficie de
un conductor es equipotencial; por lo
tanto, podemos hacer el sistema
equivalente
a
cuyas
equipotenciales
superficies
uno
sean cilindros circulares de ejes
paralelos. Este es el caso de dos
,
rectas
paralelas
separadas por una distancia 2s y
cargadas con
cargas iguales
y
contrarias. Para obtener el potencial
debido
a
cada
uno
de
los hilos, calculamos antes el campo
aplicando el teorema de Gauss a un
cilindro de longitud L cuyo eje
coincida
cilindro
con
positivo
el
y
del
negativo,
respectivamente.
A partir de estos valores, las intensidades del campo y los potenciales,
valdrán:
El potencial total será la suma de ambos y, además, por la simetría del
problema, será nulo cuando r1 = r2. De ese modo C11 + C2 = K = 0 y nos quedará:
Para conocer la distancia 2s, tomamos uno de los conductores.
Considerando el esquema adjunto y teniendo en cuenta que los puntos P y Q del
cilindro
han
de
ser
equipotenciales:
Por lo demás, el potencial debido a cada uno de los cilindros, valdrá:
y de ahí, sustituyendo s por su valor:
La expresión del logaritmo puede simplificarse haciendo lo siguiente:
y despreciando 4.a2 frente a d2, resulta finalmente:
Para obtener la fuerza sabemos que viene dada por F = dW/dx, siendo W la
energía del sistema que vale
tenemos q =
. En el caso que estamos considerando
= cte y, por lo tanto:
24. Calcula el campo eléctrico creado por una carga Q = +2 μC en un punto P
situado a 30 cm de distancia en el vacìo. Calcula también la fuerza que
actúa sobre una carga q = -4 μC situada en el punto P.
- Calculamos el campo eléctrico en el punto P:
- Calculamos la fuerza eléctrica que actúa sobre q:
F = q.E = 4.10-6 C.2.105.u N/C = -0,8.u N
La fuerza es atractiva, como corresponde a dos cargas de signo contrario. Su
módulo es:
F = 0,8 N
25. Dos cargas puntuales, Q1 = +1 μC y Q2 = +3 μC, están situadas en el vacìo
a 50 cm una de la otra. Calcula el campo eléctrico en un punto P situado
sobre el segmento que une las dos cargas y a 10 cm de Q1.
- Calculamos el campo eléctrico creado por Q1 en P:
E1 = 9.105.u1 N/C
- Calculamos el campo eléctrico creado por Q2 en P:
E2 = 1,7.105.u2 N/C
El campo eléctrico resultante en el punto Pes la suma vectorial de E 1 y E2. Para
hallarlo tendremos en cuenta que u2 = -u1.
E = E1 + E2 = 9.105.u1 N/C + 1,7.105.u2 N/C
E = 9.105.u1 N/C - 1,7.105.u1 N/C
E = 7,3.105.u1 N/C
Su módulo es E = 7,3.105 N/C
26. Las tres cargas eléctricas de la figura están en el aire. Calcula:
a) El potencial eléctrico en el punto P.
b) La energía potencial que adquiere una carga q = +2,5 μC al situarse en el
punto P.
a) Calculamos el potencial eléctrico creado por cada una de las cargas en el punto
P:
El potencial eléctrico en el punto P es la suma algebraica de los potenciales
eléctricos creados por cada una de las tres cargas:
V = V1 + V 2 + V 3
V = (9 - 2,25 + 9)·105 V
V = 15,75·105 V
b) Calculamos la energía potencial eléctrica que adquiere una carga q = +2,5 μC al
situarse en el punto P:
Ep = q.V
Ep = 2,5·10-6 C·15,75·105
Ep = 3,9 J
27. Una carga eléctrica puntual Q = +2 μC se encuentra en el agua (εr = 80).
Calcula:
a) El potencial eléctrico a una distancia de 30 cm y a una distancia de 150 cm de
la carga.
b) La energía potencial eléctrica que tendría una carga puntual q = -3 μC situada
en esos puntos.
c) El trabajo que deberíamos realizar para trasladar la carga q desde el primer
punto hasta el segundo.
- Datos:
a) Calculamos el potencial eléctrico en los puntos A y B. Tendremos en cuenta
que en el agua el valor de K es:
b) Calculamos la energía potencial eléctrica de la carga q en ambos puntos:
EpA = q.VA = -3·10-6 C·750 V = -2,25·10-3 J
EpB = q.VA = -3·10-6 C·150 V = -0,45·10-3 J
c) El trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar la carga q desde A hasta
B es igual a la diferencia de energía potencial eléctrica entre estos puntos:
W = q.(VA - VB)
W = EpA - EpB
W = -2,25·10-3 J - (-0,45·10-3 J)
W = -1,8·10-3 J
El trabajo que realiza el campo eléctrico es negativo. Esto significa que debemos
efectuar un trabajo de 1,8·10-3 J en contra del campo para trasladar la carga q.
28. Dos cargas puntuales de 2.10-6 y -10-6 C están situadas, respectivamente,
en el punto (1,0) y en el punto (0,2) de un sistema de ejes cartesianos
cuya escala está establecida en centímetros. Calcula:
a) El campo eléctrico en el punto (2,1).
b) El potencial eléctrico en el mismo punto.
a) El campo eléctrico en un punto debido a una distribución de cargas es la suma
de los campos que crearían cada una de las cargas en el punto se estivieran
solas.
El módulo del campo creado por una carga eléctrica puntual viene establecido por:
E = K.Q/r²
b) El potencial eléctrico en el punto es la suma de los potenciales debidos a cada
una de las cargas eléctricas. El potencial debido a una carga puntual viene
expresado por:
V = K.Q/r
V = V1 + V 2
V = 8,64.105 V
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) Tres cargas puntuales están sobre el eje X; q1 = -6.0 mC está en x = -3.0 m, q2
= 4.0 mC está en el origen y q3 = -6.0 mC está en x = 3.0 m. Halla la fuerza
eléctrica sobre q1.
Resp . (1.50 ´ 10-2 N)i.
2) Tres cargas, cada una de 3.0 nC están en los vértices de un cuadrado de lado
5.0 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra es
negativa. Determina la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga
de 3.0 nC situada en el vértice restante.
Resp. 2.96 ´ 10-5 N, a lo largo de la diagonal, dirigida desde la carga de –3.0 nC.
3) Una carga puntual de 5.0 mC está localizada en x = 1.0 m, y = 3.0 m y otra de
–4.0 mC está en x = 2.0 m, y = -2.0 m. Determina la magnitud y dirección de la
fuerza sobre un protón en x = -3.0 m, y = 1.0 m.
Resp . 3.04 ´ 10-16 N, q = 234.50.
4) Una carga puntual de -2.5 mC está localizada en el origen. Una segunda carga
puntual de 6.0 mC se encuentra en x = 1.0 m, y = 0.5 m. Determina la posición
(x, y) en la cual un electrón estaría en equilibrio.
Resp. x = -1.82 m, y = -0.910 m.
5) Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una está en y = a y la otra en
y = -a. Una carga de prueba q0 situada en el origen estará en equilibrio. (a)
Estudia la estabilidad del equilibrio para una carga de prueba positiva
considerando desplazamientos pequeños del equilibrio a lo largo del eje X y
desplazamientos pequeños a lo largo del eje Y. (b) Repite la parte (a) para una
carga de prueba negativa. (c) Halla el valor de la carga prueba que puede
situarse en el origen de modo que la fuerza neta sobre cada una de las tres
cargas sea cero. (d) Considera qué ocurre si cualquiera de las tres cargas se
desplaza ligeramente del equilibrio.
Resp. (c) q0 = -q/4.
6) Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una está en y = a y la otraen y
= -a. Una cuenta de collar de masa m con carga negativa –q se desliza a lo
largo de una cuerda situada sobre el eje X. (a) Muestra que para pequeños
desplazamientos de x<<a, la cuenta experimenta una fuerza de restitución
proporcional a x, y por lo tanto, experimenta un movimiento armónico simple.
(b) Determina el periodo del movimiento.
Resp. (a) [2q2/4pe0a2]x; (b) 2p [2pe0a2/q2]1/2.
7) Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un protón
estacionario. La fuerza centrípeta surge de la fuerza electrostática de atracción
entre el protón y el electrón. El electrón posee una energía cinética de 2.18 ´
10-18 J. (a) ¿Cuál es la rapidez del electrón? (b) ¿Cuál es el radio de la órbita
del electrón?
Resp. (a) 2.16 ´ 106 m/s; (b) 5.28 ´ 10-11 m.
8) Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente
sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el
centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro?
Resp.
9) Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26
. Calcule el
campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro.
Resp. E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V
10) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 N/C y
apunta hacia abajo. ¿Cuál es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo
sea causado por tal carga?.
Resp. – 6 x105 C
11) Una esfera metálica hueca de paredes delgadas y de radio a tiene una carga
qa. Concéntrica a ella hay otra esfera metálica hueca de paredes delgadas de
radio b (b>a), con una carga qb. Utilizar la Ley de Gauss para encontrar el
campo eléctrico en puntos que se encuentran a una distancia r del centro de
las esferas cuando: r<a; a<r<b; r>b.
12) Dos cargas eléctricas de q1 = 150 ues(q) y q2 = 200 ues(q) están a una
distancia r = 10 cm. Expresar en N, dyn y gf la fuerza F con que se repelen.
Respuesta: 300 dyn, 3.10-³ N y 0,306 gf.
13) Calcular la distancia r a que debe colocarse una carga q1 = 500 ucgs(q) de
otra carga q2 = 3000 ucgs(q), para que la fuerza de repulsión sea F = 3 gf.
Respuesta: 22,58 cm.
14) La intensidad en un punto de un campo eléctrico es E = 10000 dyn/C. Si la
fuerza en el mismo punto es F = 1000 gf, ¿cuál es el valor de la carga Q que
origina el campo eléctrico?
Respuesta: 294.108ues(q)
15) ¿Cuál es el potencial V en un punto de un campo eléctrico que está a 30 cm
de una carga puntual q = 2500 ucgs, y en otro colocado a 20 cm?
Respuesta: 83,3 ucgs(V) y 125 ucgs(V)
16) Calcular la carga de un conductor, si provoca un campo de 500 Oe en un
punto ubicado a 5 mm.
Respuesta: 125 ucgs
17) ¿Cuál es la fuerza F que aparece sobre una carga q = 3.10-8 C, colocada en
un punto de un campo eléctrico en el cual la intensidad es E = 5 N/C?
Respuesta: 15.10-8 N.
18) Un conductor cargado está suspendido y aislado del techo. Calcular la carga
que deberá tener para que mantenga sobre la vertical que pasa por su centro,
y a 1 cm de él, otro conductor metálico cuya caga es de 6 ucgs y su masa de
0,4 kg.
Respuesta: 65333,33 ucgs
19) Se carga un conductor esférico de 15 cm de radio con una carga de 0,04 C.
¿Cuál es la densidad eléctrica en un punto de la misma?
Respuesta: 42462,8 ucgs/cm ²