Solucion_Ejercicios01

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y FISICA
ASIGNATURA FISICA II
EJERCICIOS ELECTROSTÁTICA
Fotografía del Pararrayos de la Torre Eiffel,
tomada por: M.G. Loppé, Junio 3, 1902.
Prof. Juan Retamal G.
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Ing. Carmen Saldivia L.
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ASIGNATURA FISICA II
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ASIGNATURA FISICA II
PRIMERA UNIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Los protones de los rayos cósmicos inciden sobre la atmósfera de la tierra
a razón de 0,15 protones/cm2s. ¿Cuál es la tasa de carga por unidad de
tiempo que irradia la tierra en forma de protones de radiación cósmica?.
La expresión para el cálculo de la superficie terrestre es S  4 r 2
Sustituyendo r por el radio promedio de la tierra 6,4 x 106 m.
S  4 (6,4 x10 6 ) 2  5,14 x1014 m 2
Llevando la tasa de protones a protones/m 2s, queda
Fig. 17
0,15 protones/ cm2 s  1500protones/ m 2 s
Por lo tanto la tasa de carga por unidad de tiempo que recibe la tierra
proveniente del espacio es:
q
1500 protones/ m 2 s(1,6 x1019 C / protón)(5,14x1014 m 2 )
s
C 
Por lo tanto q  0.1236  
s
2. Una carga puntual de  1C se coloca a
0.50 m
de
una
segunda
carga
puntual
de  1,5C Calcular la fuerza que actúa sobre
la segunda carga.
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De acuerdo a la Ley de Coulomb la fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la

partícula 2 ( F21 ) es

qq
F21  K 1 22 r̂21
r21
Sustituyendo en la expresión los valores correspondientes y considerando
que la fuerza es paralela al eje X, se tiene:
6

1,5
9 1,0 10
F21  9 10
0,52
106
 iˆPor lo tanto F
21
  0,054 iˆ
3. Se tienen dos partículas iguales de
cargas
q
y
masa
m
en
equilibrio,
suspendidas de hilos no conductores de
longitud L , tal como se muestra en la
figura 19a. Determine una expresión para
la
separación
horizontal
x 
de
las
Fig. 19a
Fig.19b
partículas.
Realizando un diagrama de cuerpo libre, se puede observar que para que la
partícula esté en equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser igual a cero
  
(segunda Ley de Newton). En este caso, mg  Fe  T . Y por la geometría del
problema, la relación de triángulos semejantes da:
x
1
2
2
 q L 3
q
2  Fe  x 


x

,
despejando
L mg
2 L 4 0 x 2 m g
 2 0 m g 
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4. Si en el problema anterior, las partículas pierden carga a una razón
constante  , ¿con qué velocidad relativa se aproximan?.
Consideración 1: La separación de las partículas es función de las cargas.
Consideración 2: La carga de la partícula depende del tiempo.
Consideración 3:
dq

dt
Se puede concluir a partir de las consideraciones anteriores, que la distancia
es función del tiempo y aplicando la regla de la cadena, tenemos:
2
dx dx dq
dx 1  q 2 L  3



 
dt dq dt
dt 3  2 0 m g 
 2qL 

 
 2 0 m g 
de donde
dx 2 
L
3

dt 3 2 0 m gq
5. Un sistema está compuesto de cuatro cargas
puntuales dispuestas sobre los vértices de un
cuadrado de lado a , tal como se muestra en la Fig.
20. Determinar la fuerza resultante sobre la carga que
está en el vértice inferior izquierdo del cuadrado.
La fuerza resultante sobre la partícula ubicada en la esquina inferior izquierda
vendrá dada por la suma de todas las fuerzas, de donde:




FR4  F41  F42  F43
Considerando un eje de coordenadas cartesianas convencional tenemos:

F4 x  F43 iˆ  F42 cos iˆ

F4 y  F41 ˆj  F42 sen ˆj
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Reemplazando los valores de carga y distancias, y considerando que   45o

2q 2
2q 2 2 ˆ
F4 x  K 2 iˆ  K 2
i
a
2a 2

2q 2
2q 2 2 ˆ
F4 y   K 2 ˆj  K 2
j
a
2a 2
Por lo tanto la fuerza resultante sobre la partícula es:
 

q2 
2ˆ ˆ
i  j
F4  K 2  2 
2 
a 
6. Una partícula cargada  q0 y de
masa m entra en un campo eléctrico

uniforme E   E0 ˆj con velocidad de

v0  0.6v0 , 0.8v0  . Determine:
a)
Altura máxima que alcanza la
partícula.
b)
Velocidad de la partícula al
volver a la altura inicial.
c)
Posición al llegar a su alcance horizontal máximo.
d)
Describa la trayectoria que debería seguir la partícula.
Consideración 1:



Por definición de campo eléctrico F  qE  F   q0 E0 ˆj


  q0 E 0 ˆ
j
Según la segunda ley de Newton F  m a  a 
m
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Consideración 2:
Ya que la aceleración es constante y vertical hacia abajo, entonces las
ecuaciones cinemáticas del movimiento son:
(1)
x  v0 x t
(2)
y  y0  v 0 y 
(3)
v x  v0 x
(4)
v y  v0 y  a y t
1
a yt 2
2
Consideración 3:
En el punto más alto de la trayectoria la componente vertical de la velocidad
es nula y solo existe componente horizontal, reemplazando en la ec. (4)
0  0.8v 0 
q0 E 0
t máx
m
 t máx  0.8
v0 m
q0 E 0
sustituyendo en ec. (2)
(a)
hmáx  h0  0.32
v 02 m
q0 E 0
Consideración 4:
Dado que la partícula se mueve en un campo eléctrico uniforme, con
aceleración constante, la componente vertical de la velocidad será de igual
magnitud y de sentido contrario, a la componente vertical inicial de la
velocidad
(b)

 v  0.6v0 ;  0.8v0 
Consideración 5:
Para llegar al alcance horizontal máximo (R) la partícula debe subir y bajar en
el campo, luego el tiempo de subida y bajada son iguales t  2t máx 
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Según la ec.(1)
x  v0 x t
 R  2 0.6v0 0.8
v0 m
v 2m
 0.96 0
q0 E0
q0 E0

 
v 02 m
 r   0.96
; h0 
q0 E 0


(c)
Consideración 6:
La ecuación de la trayectoria y  f  x  la podemos obtener de la composición
de las ec. (1) y (2)
y  y0  v 0 y
x 1 q0 E 0 x 2

v0 x 2 m v02x

y  h0 
4
25 q0 E0 2
x
x
3
18 v02 m
 la trayectoria es una parábola convexa
(d)
7. Se tiene una línea de carga de
longitud
L
con una densidad
lineal de carga constante  , y
una carga puntual
Q
a una
distancia a sobre la mediatriz, tal
como
muestra
la
Fig.
22.
Determine la fuerza resultante
sobre la partícula.
Consideración 1:

dq
, pero dl  dy
dl
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entonces dq   dy
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Consideración 2:
Observando la simetría del dibujo respecto del eje X, los elementos dq se
han tomados simétricamente.
Consideración 3:
Las componentes verticales de las fuerzas producidas por los diferenciales
de carga se anulan entre sí, ya que cada elemento de carga dq ejerce la
misma fuerza sobre la partícula Q .
Consideración 4:
La fuerza resultante sobre la partícula Q corresponderá a la suma de las
componentes horizontales de las fuerzas producidas por cada uno de los
elementos de carga.



dF  dFrx  dFax
luego dF  2dF x

F  2
K Q dq cos 
r2
de acuerdo a las consideraciones y la geometría del problema, se tiene
0
F
2 K Q  dy
2
 y2
 a
L

2

a
a  y2
2
resolviendo la integral y respetando el carácter
vectorial de la fuerza se obtiene

2 K Q L 
F
i
a 4 a 2  L2
8. Se tienen tres partículas cargadas con igual carga  q situadas en los
extremos de un triángulo equilátero de lado 2a como muestra la Fig. 23.
Determine el campo eléctrico en el centro de gravedad del triángulo.
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Consideración 1:
Al colocar una partícula de prueba en el
punto
central
del triángulo
el
campo
eléctrico en tal punto, será la resultante de
los campos de cada partícula sobre ese
punto,
es
decir
por
el
principio
de
superposición tenemos:


 
E  E1  E2  E3
Consideración 2:
Por la simetría del triángulo, cada partícula cargada esta a la misma distancia
del punto central, la cual se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras
y sabiendo que el punto central divide la mediatriz en razón de 2:1, se
obtiene:
4a 2  a 2  h 2
 ha 3
E1  E 2  E 3
además
E
x
 E1x  E 2x
E
y
 E1y  E 2y  E 3y
E
y


2
3a
3
3 Kq
 E1 
4 a2
h  3x  2x 
pero
Kq
4 2
a
3
 E x  E1 cos 30o  E 2 cos 30o
E1 
y

E
3 Kq 1 3 Kq 1 3 Kq


4 a2 2 4 a2 2 4 a2
y

E
x
0
 E1 sen 30 o  E 2 sen 30 o  E 3

E
y
0
 E0
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9. Una barra cargada de longitud 2L
tiene una densidad de carga lineal
homogénea   y una carga total  Q .
Calcúlese el campo eléctrico en el
punto P localizado en las coordenadas
a, d  como se muestra en la figura.
Consideración 1:
Por
principio
de
superposición
el
campo resultante en el punto es la
suma de los campos producidos por la
distribución
de
carga
situada
por
encima de la coordenada d y por debajo de ella, es decir:



dE R  dE1  dE2


dE R  dEx1iˆ  dE y1 ˆj  dEx 2 iˆ  dE y 2 ˆj
de la figura tenemos:
dEx1  dE1 cos1
dEx 2  dE2 cos 2
dEy1  dE1 sen1
dEy 2  dE2 sen 2
pero
dE1 
kq
r12
dE2 
kq
r22
Consideración 2:
Ya que la línea de carga esta ubicada sobre el eje Y entonces dl  dy con lo
que dq  dy y tomando
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y  a tan
cos1 
 dy  a sec2  d además de la figura tenemos:
a
r1
 r12  a 2 sec 2 

Luego para las coordenadas cartesianas de E1 tenemos:
E x1 
1 máx

0

ka sec 2  cos d
a 2 sec 2 
E x1 
E y1 
k
a
L  d 
k
a a 2  L  d 2

1 máx
 sen d

k
a


1
 cos d
0
2
E y1 
0
1 máx
k 
a
1
2
a 
a 2  L  d 



1
2





Luego para las coordenadas cartesianas de E 2 tenemos:
k
a
 2 máx
k

a
 2 máx
E x2 
E y2
 cos d

E x2 
0
 sen d

E y2 
0
L  d 
k
a a 2  L  d 2


1
2
k 
a
1

2
a 
a 2  L  d 



1
2





Finalmente el campo resultante E R es:


L  d 
k 
E xR 

a  a 2  L  d 2




k 
a
E yR 

a  a 2  L  d 2


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
1

1
2
2
 
L  d 

  2
2
  a  L  d 

 
a

  2
2
  a  L  d 


1

1
2
2

 iˆ



 ˆj


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Consideración 3:
Si el punto donde estamos evaluando el campo eléctrico estuviera sobre la
simetral, es decir, si d  0 entonces el campo para estos puntos tomará el
valor:

E xR 

2kL
aa L
2
2

1
iˆ
2
10. Hallar el campo y el potencial eléctrico creados por una esfera conductora
de radio R cargada positivamente con carga Q.
a)
En el interior de la esfera
b)
En el exterior de la esfera
Consideración 1:
Debido a que la esfera es conductora, la carga está distribuida
uniformemente sobre la superficie de ella, pudiendo expresarse la densidad
superficial de carga, como:
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
Q
4R 2
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a)
Campo y potencial en el interior de la esfera
Consideración 2:
Dibujando una superficie gaussiana de radio r  R , se observa que la carga
neta encerrada en ella es cero.
Por lo tanto en virtud de la Ley de Gauss el campo eléctrico en el interior de

la esfera gaussiana es nulo, es decir: E  0
Consideración 3:
El potencial en un punto, corresponde a traer una carga desde el infinito
hasta dicho punto, es decir, se debe trabajar en dos etapas la primera
consiste en traer la carga desde el infinito hasta la superficie y la segunda
desde la superficie hasta el punto interno (r < R).
Vr  V,r  VR ,r
i. Potencial desde el infinito hasta un punto externo a la superficie
conductora.
V.r
r
 
r
r KQ
r dr
KQ
1 
  E  d r   E dr   2 dr  KQ  2  KQ  


 r
r
r
r 
r
V.r 
KQ
r
Potencial para puntos externos a la esfera conductora
Consideración 4:
Por consiguiente, el potencial en la superficie de la esfera conductora es:
VR 
KQ
R
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ii. Diferencia de potencial para ir desde R a r (punto interno), es:
VR ,r  Vr  VR , pero:
Consideración 5:
B

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B es: V   E  dr y dado
A
que el campo eléctrico en el interior de la esfera conductora es nulo, la
diferencia de potencial para puntos internos es nula, es decir:
V  VR ,r  Vr  VR  0  Vr  VR  Vr 
KQ
R
Resultado que indica que el potencial en el interior de la esfera conductora es
constante e igual al potencial en su superficie.
b)
Campo y potencial en el exterior de la esfera
Consideración 6:
Debido a la simetría del problema, es recomendable elegir una superficie
gaussiana externa esférica de radio r’ > R, en tal situación el campo eléctrico
  Q
es radial y paralelo al vector área, por lo cual, se tiene:  E  dA 
0


 E  dA   E dA  E  dA  E(4r'
2
)
E(4r '2 ) 
Q
0
 E
KQ
(r ' ) 2
 KQ
E
r̂
(r ' ) 2
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Consideración 7:
El potencial eléctrico para puntos externos de la esfera se cálculo
anteriormente en el punto i.
V.r 
KQ
r
11. Determinar la fuerza que ejerce una barra
Y

dF

dFy
cargada de longitud 2 L con densidad de carga +L
lineal   homogénea, sobre una partícula con
carga  Q , ubicada en las coordenadas (a , d )
d

como se muestra en la figura.
dFx  dFcos  y dFy  dFsen
dq  dy
r  a 2  y2
dFx 
kQdq
dF  2
r
y  a tag
dFx


dFx

dF
dFy
0
a
dq
dy  a sec 2  d
kQa sec 2 
kQ
cos   dFx 
cos  d
2
2
2
(a  a tag )
a
-L
kQa sec 2  d
kQ
sen  dFy 
sen d
2
2
2
(a  a tag )
a
2 màx
kQ  1màx
kQ
Fx 
cos  d  
cos d  
sen1máx  sen2máx 

0

a  0
a
dFy 
2 máx
kQ  1máx
kQ
  sen d  
sen d  
cos 1máx  cos 2máx 
0

a  0
a

kQ
kQ 
Ld
Ld
Fx 



sen1máx  sen2máx  
a
a  (L  d) 2  a 2
(L  d) 2  a 2 
Fy 
Fy 
kQ
kQ 
a
a


cos 1máx  cos 2máx  
2
2
a
a  (L  d)  a
(L  d) 2  a 2
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


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12. Una lámina infinita cargada, tiene una densidad
superficial de carga   de
10-7
C/m2
¿Qué separación
tienen dos superficies equipotenciales entre las cuales hay
una diferencia de potencial de 50V?
Dado que la lámina es infinita cargada y tiene una densidad
superficial de carga   constante se obtiene:

E  V
E
E
V
d

2 0
2 V

V

 d 0
2 0 d

 d
2 0 V 2 8.851012


107
50
 V

E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 8.85 mV
13. Una carga q se distribuye uniformemente en un
R
volumen esférico no conductor de radio R.
Demostrar que el potencial a una distancia a del
centro, siendo a < R, está dado por:
V
q(3R  a )
80 R 3
2
a
2
r
P 

V   E  dr

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Esta expresión indica que el potencial se mide desde el infinito hasta el punto
P que se desee, por lo cual se debe calcular el potencial desde ∞ hasta R y
sumarle el potencial desde R hasta a
El potencial desde ∞ hasta R es: VR 
kQ
R
a 

El potencial desde R hasta a es: VR ,a   E  d r
R
El Campo eléctrico para puntos internos de la esfera no conductora es:
  q
E
  dA  enc0
 
2
E
  dA   E dA  E  dA  E(4r )
q
 enc
4
4 3
R 3
r
3
3
q
 q enc
E(4r 2 )  q
3
r
q 3
R
r3
R3
 E
Kq
r
R3
El potencial eléctrico para puntos internos de la esfera no conductora se
puede evaluar a partir de la diferencia de potencial: Va  VR
a 

Kq
Va  VR    E  d r   3
R
R
Pero
VR 

a
R
r dr 
Kq
(R 2  r 2 )
3
2R
kQ
R
 Va 
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Va 
Kq Kq
Kq
r2
2
2

(
R

r
)

(
3

)
R 2R 3
2R
R2
q(3R 2  a 2 )
80 R 3
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ASIGNATURA FISICA II
14. Tres cargas puntuales de q=3 [µC] se localizan
en los puntos (-2 ; 5), (1 ; 5), (9 ; -5). Determinar
cuál es la fuerza neta ejercida sobre una cuarta
carga de -5 [µC] ubicada en (1 ; 1)
15. Se tiene un cuadrado de lado L en cuyos vértices se sitúan cargas
puntuales tal como se muestra en la figura. Determinar
el valor de la carga +Q para que la fuerza neta sobre la
carga +Q4 sea cero.
F
x
 F43  F42x  0
F
y
 F41  F42y  0
Q.Q 2
Q.Q 2 2
Q.Q 2
Q.Q 2 2
0
0
cos
45

K
F

K
sen45

K
42y
2
2L 2
2L2 2
(L 2) 2
(L 2) 2
Q.q
Q.q
F43  K 2
F41  K 2
L
L
Q.Q 2 2
Q.q
4q
 K 2 K
 0  Q2 
 2 2q
2
L
2L 2
2
F42x  K
16. Cinco carga iguales Q están igualmente
espaciadas en un semicírculo de radio R.
Calcular la fuerza eléctrica que experimenta una
carga q situada en el centro del semicírculo.
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Fr  (F4 cos 45o  F5 cos 45o  F3 )
Qq 2
Qq 2
Qq
k 2
k 2
2
R 2
R 2
R
Qq
Fr  k 2 ( 2  1)iˆ
R
Fr  k
17. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de E en el
centro del cuadrado en la figura?. Supóngase que
q=1.0 10-8 [C] y que a = 0,05 [m].
Er  K
Er  K
2q

2
a

 2 
2
cos 450  K
2
cos 450  K
2q

2
a

 2 
2q
 2
a

 2 
2q 2
a2
2
cos 450  K

q

2
a

 2 
2
cos 450  K
q

2
a

 2 
2
cos 450
N
E r  1, 018.105   ˆj
C
18. Una carga de 3 C está distribuida uniformemente a lo largo de un hilo de
0,6 m de longitud. Calcular el campo eléctrico en un punto situado sobre su
eje a 0,3 m de uno de sus extremos.
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dE  k
dq
r2
dq  dl
 dE  k
dx
(0.9  x) 2
dl  dx
0.6
 E
k
0
0.6
 1 
 E  k 

 0.9  x 0
x  r  0.9
dx
(0.9  x) 2
0.6
 E  k 
0
1 
 1
 E  9 109  5 106 


 0.3 0.9 
dx
(0.9  x) 2

N
E  1105   ˆi
C
19. Una barra delgada no conductora de longitud
finita L, contiene una carga positiva Q distribuida
uniformemente. Determinar el campo eléctrico:
a) En un punto ubicado a una distancia a sobre la
mediatriz perpendicular a la barra
b) Producido
por
una
barra
delgada
e
infinitamente larga.
dE  k
dq
r2
dq  dl
dl  dx
dE y  dE cos   dE y  k
L
a
x2  a2
 dE y  ka
L
2
dx
E y  2ka  2
2 32
0 (x  a )
E y  2k
dx
x  a2
2
r  x2  a2
L
a L  4a
2
2
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

x
 E y  2ka 

2
2
2
 a x  a 0

E  2k
L
a L  4a
2
2
dx
3
(x 2  a 2 ) 2
2
ˆj
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20. Una
barra
delgada
Y
no
X
conductora semi infinita, tiene una
carga
positiva
x
distribuida
uniformemente en su longitud λ.
a
Demuestre que el campo eléctrico
r
θ
en el punto P de la figura forma
un ángulo de 45° con la barra
independiente de la distancia a.

dE
dE  k
dq
r2
dl  dx
dq  dl
r  x2  a2
dE x  dE cos 
dE y  dE sin 
dE x  dE sin   dE x  k

xdx
E x  k  2
2 32
0 (x  a )
dx
E y  ka  2
2 32
0 (x  a )
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 dE x  k



1
 E x  k  

x 2  a 2 0

dE y  dE cos   dE y  k

dx
x
2
2
(x  a ) x 2  a 2
dx
a
2
2
2
(x  a ) x  a 2
 Ex 
xdx
3
(x  a 2 ) 2
k
a
 dE y  ka



x
 E y  ka 

2
2
2
 a x  a 0
2
 Ey 
dx
3
(x  a 2 ) 2
2
k
a
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dE z
dE R
21. Una cinta de ancho 2a y largo
dE x
infinito, tiene una carga positiva
dE y
distribuida uniformemente en su
superficie.
Determine
el
Φ
campo
z
θ r
eléctrico en el punto P, ubicado a
-a
R
una altura z de la superficie
y
x
Y
+a
X
dq
dq   dx dy
R2
dE  dE x ˆi  dE y ˆj  dE z kˆ
dE R  k
dE y  dE r sin 
sin  
R  x  y  z
dE z  dE r cos 
y
y2  z2
cos  
R2  x2  r2
dE x  dE sin 
z
sin  
y2  z2
r 2  y2  a 2
dE r  dE cos 
x
x2  r2
cos  
r
x2  r2
dE R  dE x ˆi  dE y ˆj  dE z kˆ  dE R  dE z kˆ  dE R  dE cos  cos  kˆ
y2  z2
dx dy
dE R  k 2
(x  y 2  z 2 ) x 2  y 2  z 2
z
2
kˆ  dE R 
 (x
dy
3 dx
 y2  z2 ) 2
y z
2
 a 
 a 
dy
dx  2kz 

2
2
2 32
 a  (x  y  z )
a
E R  kz 
0
2
kz dx dy
3
(x  y 2  z 2 ) 2
2

a
a


y
1
 1 1  x  
E R  2kz  
 dx  4kz  2 2 dx  4kz  tg   
(x  z )
 z 0
z
 (x 2  z 2 ) x 2  y 2  z 2  o
a 
0
a
a
E R  4ktg 1  
z
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
a
E R  4ktg 1   kˆ
z
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22. Un anillo de radio R tiene una densidad de carga lineal positiva y
uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje X.
dq
dE 2
R
θ
x
dE 2
P
θ
θ
θ
dq
dE 2
dE1
dE1
dE1
dE  dE cos 
dE  k
r  R2  x2
dE  k
E  k
E 
R
cos  
dq

R2  x2

dq
R x
2
kxQ
2
x
2

dq
r2
x
r
dE  k
dq
cos 
r2
x
2

R2  x2
x
2

2 3/2
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R2  x2


E 
kx
R2  x
R

2 3/2
kxQ
2
x

2 3/2

Q
0
dq
ˆi
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23. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial positiva y
uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje X.
r  R2  x2
R
dE 
θ
dE
P
x
θ
θ
dE 
dE
dE
dE
dq  dA
dA  2RdR
dE  dE cos 
dq
r2
r  R2  x2
cos  
dE  k
dq  2RdR
dE  k
2RdR
( R2  x2 )
E  k
2RdR
( R2  x2 )
dE  k
x
R  x2
2
x
R2  x2
R
x
R2  x2
dq
cos 
r2

 kx 
R
0
2RdR
( R  x 2 )3 / 2
2
1



2x
1
E  k  2
 2kx  

2 1/ 2 
2
2
R x 
( R  x ) 0
x
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1
1
 E  2kx  
2
R  x2
x
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ˆ
i

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24. Una varilla de vidrio se dobla en forma de un
Y
dq
semicírculo de radio R. En la mitad superior se
distribuye uniformemente una carga +Q, y en el
+Q

inferior se distribuye uniformemente una carga –Q, tal
dE

x
dE x
P
como se muestra en la figura. Determinar el campo
eléctrico en el punto P situado en el centro del
dE 
dE
-Q
semicírculo.

y
dE

y
dE 
dq
dE y  dE cos 
dE y  2
kRd
cos 
R2
 E
dE 
kdq
r2

dq  dl
Ey 
dl  Rd
2k  /2
2k
 /2
cos  d 
sen 0

R 0
R
2k ˆ
j
R
25. Un hemisferio hueco, no conductor de radio interno a, tiene una carga q,
distribuida uniformemente en su superficie interna. Determinar el campo
eléctrico de su centro de curvatura.
Y
dE
X
dq=dA
Z
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X
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dE y  dE sen
dE 
ds  rd
dE y 
kdq
r2
x  r cos 
k2r cos  rd
sen
r2
E y  k sen 2 
dq  dA
 /2

0
z  r sen 
E y  k2 

Ey 
dA  2xds
 /2
0
sen cos  d
 ˆ
j
40
26. Se ubica una carga puntual positiva +q en el centro de
3
un cascarón no conductor con carga -2q de radio interno
a y externo b. Determinar la expresión del campo
1
2
a
b
eléctrico en las tres zonas indicadas.
Nota: Asuma la zona 2 a un radio equivalente de (a+b)/2
Para la superficie Gaussiana 1
qn
 E  dA  
qn  q
A  4r12
0
E
q
0 4r12
Para la superficie Gaussiana 3
qn
 E  dA  
q n  q  2q
A  4r32
0
E
q
0 4r32
Para la superficie Gaussiana 2
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qn
 E  dA  
0
(a  b)/2
qn  q 

.dV con dV  4r 2 dr
a
(a  b)/2
q n  q  4

a
(a  b)/2
 r3 
r dr q n  q  4  
 3 a
2
 (a  b)3 / 8 a 3 
q n  q  4 
 
3
3

ab 2
A  4(
)
2
 (a  b)3 / 8 a 3 
q   4 
 
3
3

E
ab 2
 0 4 (
)
2
27. Campo de un cilindro largo cargado: Consideremos un cilindro infinito
de radio a, cargado con densidad uniforme r.
Usando la ley de Gauss podemos encontrar el
campo en la superficie gaussiana indicada
 E  dA 
qn
0
E
a 2 L
0 2rL
E
a 2
rˆ
0 2r
q n  r 2 L

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E
A  2rL
a
Superficie
Gaussiana
r

E

A
a 2
0 2r
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EJERCICIOS FUERZA ELECTROSTÁTICA
28. Dos monedas reposan sobre
Considérese que se encuentran en
una mesa, con una separación de
el vacío.
1.5 m y contienen cargas idénticas,
R: F = 0.51 nN
¿De qué magnitud es la carga en
cada una si una de las monedas
experimenta
una
fuerza
de
31. En el modelo de Bohr del
átomo de hidrógeno, el electrón
magnitud 2 N?
R: q = 2 10-5 C
circunda a un protón en una órbita
de radio 5.3 10-11 m. La atracción
del protón por el electrón aporta la
29. En el problema anterior, Sí la
fuerza centrípeta para mantener al
separación entre las monedas es
electrón en la órbita. Encuéntrese
de 1.5 m y se encuentran dentro
a) La fuerza de atracción eléctrica
de una tina de agua. ¿Cuánto vale
entre las partículas
la carga si la constante dieléctrica
es aproximadamente 80?
R: q = 2 10-4 C
b) La rapidez del electrón.
R: F=82 nN; v=2.2 106 m/s
30. Un núcleo de helio tiene una
carga +2e y uno de neón de +10e,
32. Tres
donde e es el quantum de carga
colocan sobre el eje x como
1.6 10-19 C. Encuéntrese la fuerza
muestra la figura. Determínese la
de repulsión ejercida sobre cada
fuerza neta sobre la carga de -5μC
uno de ellos debido al otro, cuando
ocasionada
se encuentran apartados 3.0 nm.
cargas.
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cargas
por
puntuales
las
otras
se
dos
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35. Las cargas de la figura son
estacionarias.
Encuéntrese
la
fuerza ejercida sobre la carga de
R: F=0.6 N
4μC, debida a las otras dos cargas.
33. Determínese la razón de La
fuerza eléctrica de Coulomb Fe a la
fuerza gravitacional de Newton Fg
entre dos electrones en el vacío.
R: Fe/Fg = 4.2 1042
R: Fx=-0.45 N; Fy=3.9 N
34. La figura muestra dos esferas
36. Dos cargas están colocadas
idénticas en equilibrio, cada una de
sobre el eje x: +3.0 μC en x=0 y -
masa 0.1
10-3
kg, portan cargas
5.0 μC en x=0.4 m ¿Dónde debe
iguales y están suspendidas por un
colocarse una tercera carga q si la
hilo de igual longitud. Encuéntrese
fuerza resultante sobre ésta debe
la carga de cada esfera.
ser cero?
R: x=1.4 m
37. ¿Cuántos
electrones
están
contenidos en una carga de 1.0 C?
¿Cuál es la masa de los electrones
en 1.0 C de carga?
R: n=6.2 1018 electrones; m=5.7
R: q=0.1 μC
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10-12 kg
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38. Si dos cargas iguales de 1 C
42. Tres
están separadas en el aire por una
colocan sobre el eje X: +2.0 μC en
distancia de 1 km ¿Cuál sería la
x=0, -3.0 μC en x=0.4 m, y -5.0 μC
fuerza entre ellas?
en x=1.2 m. Encuéntrese la fuerza:
R: 9 kN
cargas
puntuales
se
a) sobre la carga de -3.0 μC
b) sobre la carga de -5.0 μC
39. Determínese la fuerza entre
R: +0.55 N; 0.15 N
dos electrones libres separados
1.0 angstrom.
43. Cuatro
R: 23 nN
cargas
puntuales
iguales de +3.0 μC se colocan en
los cuatro vértices de un cuadrado
40. ¿Cuál es la fuerza de repulsión
cuyo
lado
es
entre dos núcleos de argón que
Determínese
están separados por una distancia
fuerza sobre una de las cargas
el
de
0.4
tamaño
de 1.0 nm. La carga del núcleo de
de
m.
la
R: 0.97 N
argón es de 18e.
R: 75 nN
44. Cuatro cargas puntuales de
igual magnitud 3.0 μC, se colocan
igualmente
en los vértices de un cuadrado de
cargadas están separadas por una
0.4 m de lado. Dos, diagonalmente
distancia de 3 10-2 m en el aire y
opuestas, son positivas y las otras
se repelen con una fuerza de 40
dos son negativas. Determínese la
μN. Calcúlese la carga de cada
magnitud de la fuerza sobre una de
esfera.
las cargas negativas-
41. Dos
esferas
R: 2 nC
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R: 0.46 N
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ASIGNATURA FISICA II
45. Cargas de +2.0; +3.0 y -8.0 μC
47. Dos
se colocan en los vértices de un
metálicas idénticas portan cargas
triángulo equilátero cuyo lado es
de +3 nC y -12 nC. Calcúlese:
de 0.1 m. Calcúlese la magnitud de
a) La fuerza de atracción, si las
la fuerza que actúa sobre la carga
esferas están separadas 0.03 m
diminutas
esferas
de -8.0 μC debida a las otras dos
b) La fuerza de repulsión, si las
cargas
esferas se juntan y después se
R: 31 N
separan a 0.03 m
R: 4 10-4 N; 2 10-4 N
46. Una carga de +5.0 μC es
colocada en x=0 y una segunda
carga de +7.0 μC en x=1 m
¿Dónde
debe
colocarse
una
tercera carga para que la fuerza
neta debida a las otras dos sea
cero?
R: x=0.46 m
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ASIGNATURA FISICA II
EJERCICIOS CAMPO ELECTROSTÁTICO
48. Calcúlese:
a)
La
intensidad
de
campo
eléctrico E en el aire a una
distancia de 0.3 m de una carga
puntual q1=5.0 nC
R: 9 105 N/C; -0.036 N; 0.1 m
b) La fuerza sobre una carga
q2=0.4 nC colocada a 0.3 m de q1
c) la fuerza sobre la carga q3=-0.4
50. Tres cargas están colocadas
nC colocada a 0.3 m de q1 (en
sobre vértices de un cuadrado de
ausencia de q2)
lado 0.3 m, como se muestra en la
R: 0.5 kN/C; 0.2 μN; ´0.2 μN
figura. ¿Cuál sería la fuerza sobre
una carga de 6 μC situada en la
esquina vacante?
49. Para
la
situación
que
se
muestra en la figura, encuéntrese:
a) la intensidad de campo eléctrico
E en el punto P
b) la fuerza sobre una carga q3= 4.0 10-8 C colocada en el punto P
c) el lugar en donde el campo
eléctrico será igual a cero (en
ausencia de la carga q3)
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R: 1.48 N a 118°
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51. El campo eléctrico de dos
53. En la figura anterior un protón
placas
se dispara con una rapidez de 2.0
metálicas
separadas
0.15
en
el
vacío,
m,
como
se
105 m/s desde A hacia P ¿Cuál
muestra en la figura, es uniforme y
será su rapidez inmediatamente
tiene una intensidad E=3000 N/C.
antes de golpear la placa en el
Un electrón está en reposo en el
punto
P
justamente
sobre
punto P?
la
R: 356 km/s
superficie de la placa negativa.
a) ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzar la otra placa?
54. Dos
b) ¿Cuál será la rapidez a la que
metálicas idénticas tienen cargas
viajará
q1 y q2. La fuerza repulsiva que
exactamente
antes
de
chocar?
diminutas
esferas
una ejerce sobre la otra cuando
están separadas 0.2 m es de 1.35
10-4 N. Posteriormente se tocan
una a la otra y se vuelven a
separar a 0.2 m, ahora la fuerza
repulsiva es de 1.406
10-4 N.
Determínese q1 y q2
R: q1=20 nC; q2=30 nC
R: 2.4 10-8 s; 1.3 107 m/s
55. En cierto punto del espacio una
52. Supóngase que en la figura
carga de +6.0 μC experimenta una
anterior que un electrón se dispara
fuerza de 2.0 mN en dirección +x.
en línea recta hacia arriba desde el
a) ¿Cuál era el campo eléctrico en
106
ese punto antes de que la carga se
punto P con una rapidez de 5
m/s ¿A qué distancia sobre el
colocara?
punto A golpea la placa positiva?
R: 0.12 m
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b)
Descríbase
la
fuerza
que
58. Una esfera de 0.2 g cuelga de
experimentará una carga de -2.0
un hilo en eun campo eléctrico de
μC si se situara en el lugar de la
3.0 kN/C dirigido hacaia arriba.
carga de +6.0 μC?
¿Cuál es la carga de la esfera si la
R: 0.33 kN/C; 0.67 mN en la
dirección -x
tensión en la cuerda es:
a) cero
b) 4.0 N
R: +653 nC; -680 nC
56. Una carga puntual de -3.0 10-5
C se coloca en el origen de
coordenadas.
Encuéntrese
el
campo eléctrico en x=5.0 m
59. Determínese la aceleración de
un protón en un campo eléctrico de
R: 11 kN/C en dirección -x
intensidad
veces
es
0.5
kN/C
más
¿Cuántas
grande
esta
aceleración que la debida a la
57. Cuatro cargas de 4.0 μC se
colocan en las esquinas de un
cuadrado
de
lado
0.2
gravedad?
R: 4.8 1010 m/s2; 4.9 109
m,
Determínese el campo eléctrico en
el centro del cuadrado
60. Una pequeña esfera de 0.6 g
a) sí todas las cargas son positivas
tiene una carga cuya magnitud es
8.0 μC. Está suspendida por un
b) si los signos de las cargas se
alternan alrededor del perímetro
del cuadrado
hilo en un campo eléctrico de
300N/C dirigido hacia abajo ¿Cuál
es la tensión en el hilo si la carga
c) si las cargas tienen la secuencia
alrededor del cuadrado; más, más ,
menos, menos
de la esfera:
a) positiva
b) negativa
R: cero; cero; 5.1 MN/C hacia el
R: 8.3 mN; 3.5 mN
lado negativo
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61. La pequeña esfera que se
se detiene debido a un campo
encuentra en el extremo de un hilo,
eléctrico uniforme en la región.
como muestra la figura, tiene una
Encuentre la magnitud y dirección
masa de 0.6 g y está en un campo
del campo.
eléctrico horizontal y uniforme de
intensidad
encuentra
700
en
N/C.
Si
equilibrio
en
R: 57 N/C en dirección +x
se
la
posición que se muestra ¿Cuál es
63. Una partícula de masa m y
la magnitud y el signo de la carga
carga –e se proyecta con velocidad
de la esfera?
horizontal v, en un campo eléctrico
de intensidad E dirigido hacia
abajo. Encuentre:
a) las componentes horizontal y
vertical de su aceleración
b) sus desplazamientos horizontal
y vertical después de un tiempo t
R: -3.1 μC
c) la ecuación de su trayectoria
R: ax=0, ay=Ee/m; x=vt, y=0.5ayt2;
62. Un electrón se proyecta en el
y=0.5(Ee/mv2)x2
eje de las x con rapidez inicial de
3.0 106 m/s. Se mueve 0.45 m y
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