Mat_I_310_Web__Logaritmos_

INGENIERÍA VESPERTINA EN
AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL
GUÍA DE EJERCICIOS Nª 2
EXPONENCIAL Y LOGARITMO
MATEMÁTICA 1
PROFESOR
HERALDO GONZÁLEZ
2003
GUIA DE EJERCICIOS LOGARITMOS........ MATEMÁTICA I , HERALDO GONZALEZ SERRANO
Pagina 2
GUÍA DE EJERCICIOS Nª 2
EXPONENCIAL Y LOGARITMO
Ejercicios resueltos
1) Calcule x si loga ( x  1)  1  loga x
Solución.
loga ( x  1)  1  loga x  loga ( x  1)  loga x  1
x 1
 log a
1
x
x 1

a
x
1
 ax  x  1  x 
a 1
2) Calcule x si log3 ( x  4)  log3 ( x  2)  3
Solución.
log3 ( x  4)  log3 ( x  2)  3  log3 ( x  4)(x  2)  3
 ( x  4)(x  2)  33
 7
 x 2  2 x  8  27  x  
5
La solución de la ecuación original es x  5 ya que  7  Dom(log3 )
3) Resuelva la ecuación
1
1

1
5  log x 1  log x
Solución.
1
1

 1  1  log x  5  log x  (1  log x)(5  log x)
5  log x 1  log x
 (log x) 2  4 log x  1  0
 log x 
 4  16  4  4  20  4  2 5


2
2
2
2 


 2  5
10
 log x  
x
 2


 2  5
10
5 1, 7221381
5
 5,8067352(105 )
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4) Resuelva la ecuación 2 x1  32 x3
Solución.
2 x 1  32 x3  log(2 x1 )  log(32 x3 )  ( x  1) log 2  (2x  3) log3
 x log 2  log 2  2 x log3  3 log3
 x(log2  2 log3)  3 log3  log 2
27
log
3 log3  log 2
2
x

9
log 2  2 log3
log
2
5) Determine x si 55 x  5 x ( x 4)
Solución.
55 x  5 x ( x 4)  5 x  x( x  4) . Si hacemos el cambio de variable y  x , la
última ecuación queda 5 y  y 2 ( y  4) , es decir, y 3  4 y 2  5 y  0 .
Como y 3  4 y 2  5 y  0 se puede escribir y( y  5)( y  1)  0 entonces concluimos
0

que y  5 de donde
 1

0
0


x  5 así, x  25
 1
no hay solución


6) Determine x si log3  2 log(1  x)  0
Solución.
log3  2 log(1  x)  0  3  2 log(1  x)  1  log(1  x)  1 , de donde, aplicando
9
otra vez la definición de logaritmo obtenemos x  10 1  1  
10
Aplicación.
Supongamos que una cantidad ficha varía con el tiempo y que magnitud de la
cantidad en el tiempo t es Q(t )
Si la razón del cambio instantáneo de la magnitud en un instante dado t es
proporcional a la magnitud de la cantidad en dicho momento entonces, con ayuda
del Cálculo Diferencial podemos deducir que, la ecuación que gobierna tal fenómeno
es
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Q(t )  Q(0)e kt donde k  C te de crecimiento o decrecimiento y Q(0) es la magnitud en
el tiempo 0 o inicio de la experimentación.
Ejemplo.
El número de bacterias en cierto cultivo crece de 600 a 1.800 en dos horas.
Suponiendo que se cumple la ley de crecimiento exponencial, determine una fórmula
para determinar el número de bacterias en cualquier instante t. ¿Cuál es el número
de bacterias al cabo de 4 horas?
Solución.
La ecuación que se produce es Q(t )  Q(0)e kt ; como al inicio del proceso hay
600 bacterias entonces Q(0)  600 de donde la ecuación queda Q(t )  600e kt , falta
determinar la constante k .
Como al cabo de dos horas la cantidad de bacterias es 1.800 entonces
Q(2)  1.800, de donde, reemplazando en la última ecuación obtenemos 1.800  600e 2k ;
esta ecuación nos permite determinar el valor de k , tenemos:
Ln3
 0,549306144 , así, la ecuación pedida
1.800  600e 2k  e 2 k  3  2k  Ln3  k 
2
es Q(t )  600e 0,549306144 t
Otra manera de determinar la ecuación es: Q(t )  600e
Ln 3
t
2
 600(e
t
Ln 3 2
)  600(3)
t
2
4
2
Finalmente Q(4)  600(3)  5.400 bacterias
Ejemplo 2.
El radio se desintegra exponencialmente y tiene una vida media de 1.600 años
( es decir, dada cualquier cantidad de radio, la mitad de dicha cantidad se desintegrará
al cabo de 1.600 años ). Encuentre una fórmula para determinar la cantidad Q(t ) que
queda, al cabo de t años, si la cantidad inicial de radio es de 50 miligramos. ¿Cuánto
tiempo demorará en quedar 20 gramos?
Solución.
La ecuación que se genera es Q(t )  Q(0)e kt y sabemos que Q(0)  50 y
además que Q(1.600)  25. Como Q(t )  50e kt entonces la ecuación Q(1.600)  25 nos
1
Ln
1
2   Ln2 y la
indica que Q(1.600)  25  50e1.600 k , de aquí, e1.600 k  de donde k 
2
1.600
1.600

t
1.600
ecuación buscada es Q(t )  50(2)
Ahora estamos en condición de responder la última pregunta.
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Ejercicios propuestos:
1) Represente gráficamente la función f definida por:
Lnx
a) f ( x)  4 x b) f ( x)  log(x  3)
c) f ( x) 
4
2) Evalúe, sin usar calculadora
a) Ln(e 4, 2 )
b) e 2Ln 2
3) Calcule x si:
a) log64 32  x
f) e 2 x  (0,6)8 x
c)
Ln(3e)
2  Ln9
d) e Ln 3 Ln
3
2
b) 3 x1  23 x1
c)   2 x  5
g)  x  33 x
h) (log4 x) 2  3 log x  2  0
d) e x
2
x
2
x2 x3 x4
x5



4) Se puede demostrar que e  1  x 
2
6 24 120
x
Utilice lo anterior para calcular, en forma aproximada, el valor de e

1
2
; e
5) Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 3 x  4  729
b) 5 x
2
2 x
Resp. x  2
 125 Resp. x  3 , x  1
c) 274 x 5  9 3 x 2 Resp. x 
11
6
d) log3 ( x  3)  log3 ( x  2)  3 Resp. x 
e) 2 2 x  4 2 x  6 Resp. x 
 1 133
2
1
2
1
f) 2( Lnx) 2  Lnx  0 Resp. x  1 ; x  e 2
g)
x
256  4 x Resp. x  2
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5
h)  
 12 
 2
i)  
 3
Pagina 6
2 x 3
 (2,4) 3 x2 Resp. x  1
x 1
 3
 
 4
4
Resp. x  3
j) 3 x 5 x  5 Resp. x  0,422795011
k)
4
x ( x 1) 
1
2
 4 2 Resp. x 
3
1
;x
2
2
l) 5 x1  5 x  5 x 1  155 Resp. x  2
m) log
n) 25x
2
2 x 2 1
7 x 5
(5 x 4  3 x 2  7)  4 Resp. x   6 ; x  1
 53 x
2
12 x 3
Resp. x  1 ; x  15
0) 2 2 x2  6 x  2(32 x2 )  0 Resp. x  2
p) 5x2 3.125x1  x3 15.625x2  0 Resp. x  3
6) El moho crece a un ritmo proporcional a la cantidad presente en cada
instante. Inicialmente había 2 gramos, en dos días ha pasado a haber 3 gramos.
Calcule la cantidad de moho al cabo de 10 horas de iniciado el fenómeno
7) En cierto cultivo de bacterias el número de ellas aumentó de 100 a 400 en 8
horas. Suponiendo que el fenómeno sigue una ley de crecimiento exponencial
y que la primera medición se realizó a las 10.00 horas. ¿A qué hora habían
200 bacterias?
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