Práctica 10 - ExMa - Universidad de Costa Rica

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
MA-1210 Cálculo I
Práctica #10: Problemas de aplicación.
Problemas de función exponencial y logarítmica
Crecimiento exponencial: Si n0 es el tamaño inicial de una población, entonces la población n(t) en el tiempo t está
dada por n(t) = n0ert , donde r es la tasa de crecimiento relativo expresada como fracción de la población.
1.
La población de bacterias en el estómago de una persona que ha ingerido comida infectada
se expande por división celular duplicándose cada 20 minutos. Si inicialmente había 500 bacterias,
exprese el tamaño de la población después de t minutos utilizando la fórmula y = a ∙ 2bt y determine
las constantes a y b. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que la población sea de 5 000
1
bacterias?
R/
a = 500 y b =
, aproximadamente una hora y 7 minutos
20
Desintegración radiactiva: Si m0 es la masa inicial de una sustancia radiactiva con una vida media h, entonces la masa
m(t) que queda al tiempo t está dada por m(t) = m0e-rt, donde r está dado por r 
ln 2
.
h
2.
El polonio-210 tiene una vida media de 140 días. Suponga que una muestra de esta
sustancia tiene una masa de 300 mg. Determine:
a.
b.
c.
Una fórmula para la cantidad de la muestra que queda al tiempo t.
La masa que queda después de un año.
R/
 49,26 mg
¿Cuánto tarda para que la muestra se desintegre hasta quedar 200 mg?
R/ 82 días
Escala del pH Los químicos medían la acidez de una solución dando su concentración de iones de hidrógeno, hasta
que Sorensen, en 1909 propuso una medida más conveniente. Definió pH = -log[H+] , donde [H+] es la concentración
de iones de hidrógeno medida en moles por litro (M). Si pH = 7 la solución es neutra, si pH < 7 es ácida y si pH > 7 es
básica.
3.
La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia en 1974, su pH era de 2,4.
Determine la concentración de iones de hidrógeno. R/ 0,004 Moles por litro.
Escala de Richter
En 1935 el geólogo norteamericano Charles Richter definió la magnitud de un terremoto como
I
M  log  donde I es la intensidad del terremoto (medida según la amplitud de un sismógrafo tomada a 100 km
S
del epicentro del terremoto) y S es la intensidad de un terremoto “estándar” (cuya amplitud es de un micrón = 10 -4 cm)
4.
En la ciudad de México, en 1985 un terremoto tuvo una magnitud de 8,1 en la escala de
Richter. En China, en 1976, un terremoto fue 1,26 veces más intenso. ¿Cuál fue la magnitud de este
segundo terremoto?
R/
8.2 grados en la escala de Richter.
Escala de Decibeles: Tomamos como referencia la intensidad I0 = 10-12 watts/m2 a una frecuencia de 1 000 Hertz, lo
que mide un sonido que es apenas audible (el umbral de la audición). El nivel de intensidad  de un sonido, medido en
decibeles (dB) se define como
 I
 I0
  10 log 



5.
Use propiedades de los logaritmos para expresar esa fórmula de forma más sencilla y
determine el número de decibeles de un sonido de intensidad I  1010 .
R/ 60
6.
Un cultivo de bacterias crece según la función logística y 
1,25
donde y es el peso
1  0,25e 0, 4t
del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas.
a.
Calcule el peso del cultivo tras 1 hora y 10 horas.
R/
1,071g y 2,355g aprox.
b.
Determine la razón de cambio de y con respecto a t
R/
y 
c.
Calcule la velocidad a la que aumenta el peso del cultivo tras 1 hora y 10 horas.
g
g
R/
0,061
y 0,0023 aprox.
h
h
7.
La población V (en millones de m3 por acre) de un bosque de edad de t años está dada por
V  6,7e
48 ,1
t

e 0, 4t
8 1  0,25e  0, 4t

2
. Determine el ritmo de cambio de V cuando t = 20 y cuando t = 60.
R/ 0,073 y 0,040
8.
Un modelo matemático para la proporción P de respuestas correctas en un experimento
0,83
sobre aprendizaje resultó seguir el modelo P 
. Determine el ritmo de cambio de P después
n
1 e
de n=3 y de n=10 pruebas.

5
R/
0,038 y 0,017
Problemas de optimización
1.
Encuentre dos números positivos tales que su suma sea 50 y su producto sea el máximo
posible.
R/
25 y 25
2.
Divida el número 120 en dos partes tales que el producto de una parte y el cuadrado de la
otra se el máximo posible.
R/
80 y 40
3.
Un cierto día, el flujo (número de automóviles por hora) de una carretera congestionada está
v
dado por F 
donde v es la velocidad del tráfico en millas por hora. ¿Qué velocidad
22  0,02v 2
hace máximo el flujo?
R/
33,16
4.
Se puebla un río con N peces y su población crece de acuerdo con la curva logística
10000
p t  
donde t se mide en meses.
t
1  19e
a.
b.

5
Determine el valor de N.
Determine la razón de cambio de p con respecto a t.
R/
500
2
t
 

R/
p t   38000e 1  19e 5 


c.
¿A qué ritmo crece la población al final del primer mes? ¿Y al final del décimo mes? R/
indiv
indiv
113,5
y 135
mes
mes
d.
¿Al final de qué mes crece más de prisa?
R/
14

t
5
5.
Para estimar la defoliación producida por las lagartas durante un año, un ingeniero forestal
1
cuenta el número de montones de huevos x en
de acre en el otoño anterior. El porcentaje de
40
300
defoliación viene dado aproximadamente por y 
donde x denota el número de
x

3  17 e 16
montones en miles.
a.
Estime el porcentaje de defoliación si se cuentan 2000 montones.
R/
16,7%
2
de
3
x  38.8
ese bosque.
R/
c.
Determine la razón de cambio de y con respecto a x y concluya que y es creciente..
b.
Estime el número de montones de huevos en un bosque sabiendo que se han defoliado
x
x


1275 16 
16
e  3  17e 
R/ y  
4


d.
Estime el valor de x para el cual y está creciendo a ritmo máximo.
R/
Problemas tomados de:
Stewart, James: Precálculo. Editorial Thomson, México.
Larson–Hostetler-Edwards: Cálculo. 6a edición, volumen 1. Mc Graw Hill, España (1999).
Práctica sugerida
1.
Del material del Prof. Marco Alfaro: Ejercicios de la pág 40: 51, 55, 56 .
2.
Del material “Serie Cabécar”
Tema #2
IV Parte.
G. Asch y G. Bonilla. 8 a 10
Tema #4
III Parte.
A. Mondrus. 4
IV Parte.
A. Mondrus. 2, 3, 5.
2
x  27 .8