Empuje hidrostático = Volumen de la cuña de presiones

APÉNDICE 1
HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
EMPUJE HIDROSTÁTICO
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO (E) SOBRE
UNA PARED VERTICAL Y FORMA RECTANGULAR, CONSIDERANDO LA EXISTENCIA DE
AGUA DE UN SOLO LADO DE LA PARED.
Primer enfoque:
Empuje hidrostático = Volumen de la cuña de presiones (Figura 1).
E = Vcp
(1)
E = empuje hidrostático en N, Kg, ton, libras, etc.
Vcp = Volumen de la cuña de presiones
El volumen de la cuña de presiones representa la integral o sumatoria de las fuerzas que actuan
sobre el Área de una pared que retiene un líquido.
Vcp = A * b
(2)
A = Área del triángulo que representa la distribución de presiones hidrostáticas dentro de un líquido
retenido por una pared.
b = Ancho de la pared
Sustituyendo la ecuación (2) en (1)
E  A*b
(3)
El área de un triángulo se calcula con:
A
base * altura
2
(4)
Si base = Pe h y altura = h, entonces:
A
Pe h * h
h2
 Pe
2
2
(5)
Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (3) queda:
E  Pe b
h2
2
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(6)
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
Figura 1.- Representación gráfica del empuje hidrostático sobre una
pared vertical de forma rectangular.
h
E
h
A
b
Peh
Peh
Distribución de presiones hidrostáticas dentro
de un líquido retenido por una pared, en la
superficie del líquido la presión vale 0 porque
se toma ese punto como valor de referencia
para medir la profundidad (h). El valor de la
presión
hidrostática
aumenta
conforme
aumenta la profundidad del líquido.
Una forma de considerar el empuje hidrostático
es como el volumen de la cuña de presiones.
Donde A es el área del triángulo y b es el ancho
de la cuña.
Segundo enfoque:
Considerando al empuje hidrostático como el “vector resultante” que integra la suma vectorial de
todo el perfil de distribuciones de presión, aplicada sobre un punto de aplicación conocido como
“centro de presiones”, para ello es necesario considerar el “centro de gravedad” de la pared
sobre la cual actúa el empuje y el área de la misma pared.
Recordando la definición de presión; la presión es la fuerza que se aplica por unidad de área, de
ahí que la ecuación para presión es:
P
F
A
(7)
Figura 2.- Gráfica para representar la relación existente
entre h y el centro de gravedad de la pared o placa (yg).

hg
h
yg
yh
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
por lo tanto despejando F queda que
F   P.dA
dA es el cambio o diferencial de Área
(8)
Si el empuje hidrostático es una fuerza entonces
E = F;
(9)
Si la presión hidrostática es
P = Peh
(10)
Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (8)
E   Pe .h.dA
(11)
De acuerdo con la Figura 2;
sen 
h
; despejando h
yh
h  sen . yh
(12)
Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (11)
E   Pe .sen  . y h .dA
(13)
considerando el peso específico del agua y el seno del ángulo como constantes, se sacan de la
integral, quedando como sigue:
E  Pe .sen   y h .dA
(14)
Para obtener el empuje del líquido sobre la placa o pared inclinada de la Figura 2, se considera el
momento estático de la placa o pared con respecto a la superficie libre del líquido, expresada en
términos de la profundidad del centro de gravedad y el área de la pared o placa. Entonces el
momento estático de la placa o pared respecto a la superficie libre del líquido es:
y
h
.dA  y g . dA
(15)
Sustituyendo la ecuación (15) en la ecuación (14) queda:
E  Pe .sen   y g dA una vez realizada la integral, la ecuación queda finalmente se obtiene;
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
La ecuación general para calcular el empuje hidrostático sobre una
superficie plana e inclinada cuyo ángulo de inclinación con respecto a la
superficie libre del agua es  (Figura 2 y Figura 4).
E  Pe .sen . y g .A
(16)
La ecuación general para calcular el empuje hidrostático sobre una
superficie plana y vertical (Figura 3 y Figura 5).
Si la pared es vertical formando un ángulo de 90° respecto a la superficie libre del agua, el
sen  = sen 90° = 1, por lo tanto la ecuación general queda;
E  Pe . y g . A
(17)
Si el área (A) de un rectángulo es
A = base x altura
(18)
Si la base es igual al ancho de la pared (b) y la altura es h, entonces;
A=b*h
(19)
Cada figura geométrica tiene su centro de gravedad definido 1, para el caso del rectángulo el centro
de gravedad es igual a:
yg 
h
2
(20)
Sustituyendo las ecuaciones (19) y (20) en la ecuación (17) queda que:
E  Pe
h
h2
bh  Pe b
2
2
(21)
La ecuación (21) es igual a la ecuación (6)
1
Hidráulica General; Sotelo Ávila; página 35; Tabla para determinar centros de gravedad y radio de giro de diversas figuras
geométricas.
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APÉNDICE 1
HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)
CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL Y
DE FORMA RECTANGULAR.
Figura 3.- Representación gráfica del empuje hidrostático sobre una pared vertical de
forma rectangular, considerando al empuje hidrostático como el “vector resultante”
que integra la suma vectorial de todo el perfil de distribuciones aplicada sobre un
punto de aplicación conocido como “centro de presiones”, para ello es necesario
considerar el “centro de gravedad” de la pared sobre la cual actúa el empuje y el
área de la misma pared.
yg
yg
yk
h
h
E
Peh
b
Generalmente el valor del centro de presiones se localiza un poco más profundo que el
centro de gravedad, como se puede observar en la fórmula para calcular el centro de
presiones (yk).
La fórmula general para calcular el centro de presiones (yk) sobre el cual actúa el empuje
hidrostático es (Figura 3):
2
r
yk  x  y g
yg
(22)
Aplicando la ecuación (22) para calcular el punto de aplicación o centro de presiones (yk) del
empuje hidrostático sobre una pared rectangular vertical, la ecuación queda como sigue:
El centro de gravedad se calcula con la ecuación (20), mientras que para el radio de giro se utiliza
la siguiente expresión1:
rx 
2
h2
12
(23)
Sustituyendo las ecuaciones (20) y (23) en la ecuación (21)
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APÉNDICE 1
HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
2
h
h
y k  12  Desarrollando la ecuación queda como sigue:
h
2
2
yk 
2h 2 h
 2h 1 
 2 1
2  6
8
2
  h
   h    h
 h   h 

12h 2
12h 2 
12 2 
 12 
12
3
Por lo tanto para calcular el centro de presiones del empuje hidrostático sobre una pared
rectangular vertical, la ecuación queda:
yk 
2
h
3
(24)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA
SOBRE UNA PARED INCLINADA, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LÍQUIDO EN AMBOS
LADOS DE LA PARED (FIGURA 4).
Denominemos triángulo 1 al triángulo de la izquierda y triángulo 2 al triángulo de la derecha.
Para calcular el empuje hidrostático (E) total se procede de la siguiente manera:
Se calcula el empuje hidrostático del lado izquierdo de la pared (E1) y posteriormente se calcula el
empuje hidrostático del lado derecho de la pared (E2), y el empuje hidrostático total (E) se calcula
como la diferencia entre E1 y E2.
Figura 4.- Representación gráfica del empuje que se genera en una compuerta o
pared inclinada con un ángulo  respecto a la superficie libre del agua, y retiene
agua en ambos lados de la misma.
A
A
B

B

Triángulo 1
h1
h1
Triángulo 2
Peh1
h
h2
C
C
Peh2
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
Para calcular el empuje hidrostático del triángulo 1, se parte de la deducción general de la
ecuación para el empuje hidrostático representada por la ecuación (16);
E  Pe .sen . y g .A
Se sabe que el centro de gravedad (yg) para una superficie rectangular se calcula con la ecuación
(20). Para determinar el valor de h se proyecta el triángulo formado por ABC, y se realizan las
operaciones trigonométricas necesarias, quedando como sigue:
sen 
cateto  opuesto
hipotenusa
cateto opuesto = h1
hipotenusa = h
sen 
h
h1
Despejando h
h
h1
sen
(25)
Considerando el centro de gravedad de la pared inclinada que tiene forma rectangular, para ello se
utiliza la ecuación (20);
yg 
h
2
Sustituyendo el valor de h de la ecuación (25) en la ecuación para el centro de gravedad (20), la
ecuación queda como sigue:
yg 
h1
2 sen
(26)
Para calcular el área de la pared rectangular se utiliza la expresión (4) y se sustituye el valor de h
(ecuación (25)), quedando la ecuación como sigue:
A  b*h  b*
h1
sen
(27)
Sustituyendo las ecuaciones (26) y (27) en la ecuación (16) queda:
 h  h 
E1  Pe .b.sen  1  1 
 2sen  sen 
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(28)
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Factorizando la ecuación (28), finalmente queda como;
 h1 2 
 h1  h1 

E1  Pe .b.sen 

  Pe b

 2sen  sen 
 2sen 
(29)
Igualmente se desarrolla la ecuación para calcular E2, quedando la ecuación siguiente:
 h2 
 h  h 
E 2  Pe .b.sen  2  2   Pe b 2 
 2sen  sen 
 2sen 
(30)
El empuje hidrostático total es entonces;
E = E1 – E2
 h1 2 
 h2 2



E  Pe b
  Pe b 2 sen
2
sen





 Factorizando la ecuación quedaría;


se obtiene el factor común Peb en el lado derecho de la ecuación, y se saca el mínimo común
denominador que en este caso es 2sen, quedando la ecuación de la siguiente manera:
2
 h2

h
E  Pe b 1  2 
 2sen 2 sen 
 h 2  h2 2
E  Pe b 1
 2 sen




(31)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)
CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES INCLINADA,
DE FORMA RECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.
Primeramente se calcula el empuje hidrostático para E1 en el triángulo 1 de la Figura 4.
Partiendo de la ecuación (24), donde la ecuación representa el centro de presiones sobre una
pared plana y rectangular;
yk 
2
h
3
Considerando el valor de h, representado por la ecuación (25);
h
h1
sen
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HIDRÁULICA
Sustituyendo la ecuación (25) en la ecuación (24)
y k1 
2 h1
3 sen
(32)
Para el triángulo 2 se calcula como sigue;
De la Figura 4, se puede deducir la ecuación para el centro de presiones en el triángulo 2,
sabemos por analogía con el triángulo 1, que yk2 se ubica también a
2 h2
, sin embargo habría
3 sen
que sumarle la parte de h1 que está por encima del nivel del agua del lado derecho de la pared, y
eso representaría otra incógnita que resolver.
Ahora bien, se conoce el valor de h1, y a ese valor se le resta el tercio que le hace falta para
completar el valor de h2, por lo tanto la ecuación quedaría como sigue:
yk 2 
1
h2
h  h2
3
 1
sen
3sen
h1 
(33)
Considerando momentos de las fuerzas respecto del punto B de la Figura 2, para ello se multiplica
cada uno de los empujes (E) calculados por sus respectivos puntos de aplicación o centros de
presiones (yk), con ello se obtiene la siguiente ecuación:
Eyk  E1 yk1  E2 yk 2
(34)
Sustituyendo las ecuaciones (29(, (30), (32) y (33) en la ecuación (34), nos queda;
 h 2  2 h1 
 h 2  h  h2 
Eyk  Pe b 1 
  Pe b 2  1

2
sen

3
sen

2
sen

3
sen









(35)
Sustituyendo el valor de E,
2
2
 h1 2  2 h1 
 h2 2  h1  h2 
h1  h2




Pe b
y k  Pe b
 3 sen   Pe b 2sen  3sen 
2sen
2
sen





yk se puede despejar para posteriormente factorizar y finalmente la ecuación quedaría de la
siguiente forma:
h
1 h1  h2
yk  1 
sen 3sen h1 2  h2 2
3
3
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(36)
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA
SOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA RECTANGULAR Y CON LÍQUIDO EN AMBOS
LADOS DE LA PARED (FIGURA 5).
Figura 5.- Representación gráfica del empuje que se genera en una compuerta o
pared vertical, rectangular y retiene agua en ambos lados de la misma.
h1
E
h2
Peh1
Peh2
En este caso el ángulo de inclinación de la pared respecto al nivel de la superficie libre del agua es
de 90º, por lo que
seno 90º = 1; sustituyendo este valor en la ecuación (31), la ecuación para calcular el empuje
hidrostático que se ejerce sobre una pared rectangular, vertical y con agua en ambos lados de la
pared es:
 h1 2  h2 2
E  Pe b
2





(37)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)
CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL,
DE FORMA RECTANGULAR Y AGUA EN AMBOS LADOS DE LA PARED.
Para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (36), haciendo el seno de 90º = 1 y
sustituyendo en la misma ecuación queda como sigue:
1 h  h2
y k  h1  12
3 h1  h2 2
3
3
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(38)
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA
SOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA TRIANGULAR Y CON LÍQUIDO EN UN SOLO
LADO DE LA PARED (FIGURA 6).
Figura 6.- Representación gráfica del Empuje hidrostático que se ejerce
sobre una pared de forma triangular y en posición vertical.
b
h
h
Peh
Para calcular el Empuje hidrostático sobre una pared vertical de forma triangular se parte de la
ecuación general (16)
E  Pe .sen . y g .A
Si la pared se encuentra en posición vertical, entonces el seno 90º es igual a 1, por lo que la
ecuación queda:
E  Pe . y g .A
(39)
el centro de gravedad de una pared triangular1 se calcula mediante la expresión:
yg 
2
h
3
(40)
Mientras que el área de un triángulo se calcula con;
A
bh
2
(41)
Sustituyendo las ecuaciones (40) y (41) en la ecuación (39);
E  Pe
2 bh
2
h
 Pe b h 2
3 2
6
Por lo tanto la ecuación queda:
h2
E  Pe b
3
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(42)
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HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)
CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL,
DE FORMA TRIANGULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.
Para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (22)
2
r
yk  x  y g
yg
El cuadrado del radio de giro (rx) de un pared triangular es1;
rx 
2
h2
18
(43)
Sustituyendo las ecuaciones (39) y (42) en la ecuación (22), queda:
h2
1
2
h  8h 9h
3h 2 2
2
h h =
 h =
=
y k  18  h =
2
12
3
12
12
36h 3
3
h
3
Finalmente;
yk 
3
h
4
(44)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL EMPUJE HIDROSTÁTICO DEL AGUA
SOBRE UNA PARED VERTICAL, DE FORMA CIRCULAR Y CON LÍQUIDO EN UN SOLO LADO
DE LA PARED (FIGURA 7).
Figura 7.- Representación gráfica del Empuje hidrostático que se ejerce
sobre una pared de forma circular y en posición vertical.
h
D
D
Peh
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APÉNDICE 1
HIDROSTÁTICA
HIDRÁULICA
Para calcular el Empuje hidrostático que ejerce el agua sobre la compuerta circular se parte de la
ecuación general (16)
E  Pe .sen . y g .A
Si la pared es vertical el ángulo  es igual a 90º, por lo que el seno de 90º es igual a 1, entonces la
ecuación queda:
E  Pe . y g .A
(45)
El centro de gravedad de la pared será ;
yg  R
(46)
el área de un círculo es;
A  R 2
(47)
Sustituyendo las ecuaciones (46) y (47) en la ecuación (45)
E  Pe .R.R 2 = E  PeR 3
(48)
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN PARA CALCULAR EL CENTRO DE PRESIONES (yk)
CUANDO LA PARED SOBRE LA CUAL ACTÚA EL EMPUJE HIDROSTÁTICO ES VERTICAL,
DE FORMA CIRCULAR Y AGUA DE UN SÓLO LADO DE LA PARED.
Para calcular el centro de presiones se utiliza la ecuación (22)
2
rx
 yg
yg
yk 
El cuadrado del radio de giro (rx) de un pared triangular es1;
rx 
2
R2
4
(49)
Sustituyendo las ecuaciones (45) y (48) en la ecuación (22), queda:
R2
R
R  4R 5R
R2
yk  4  R =
R = R =
=
R
4
4
4
4R
Finalmente;
yk 
5
R
4
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