Teoría de Conjuntos Difusos una Aproximación a la Optimización Multi-Respuesta. Jorge Domínguez Domínguez 1 J. Axel Domínguez López 2 RESUMEN La calidad en el desarrollo de productos está en función de varias características que determinan su utilidad. Es necesario encontrar un valor óptimo que integre todas las respuestas para que el producto tenga la mejor calidad posible, entonces el problema se puede plantear como un problema de optimización multiobjetivo. Así la programación matemática se usa para la toma de decisiones en varios niveles: gerencia, producción, entre otros, en estos casos se emplean las funciones objetivo y restricciones. En problemas reales hay términos en los que las funciones expresan cuestiones tales como ganancias y pérdidas y las restricciones formulan temas relacionados con la inversión. Una mejor representación de tales consideraciones es necesaria para manejar tales imprecisiones. Varias formas de la programación matemática de la teoría de conjuntos difusos se han propuesto para atender estas situaciones. En este trabajo se desarrolla modelo de optimización multi-objetivo que incorpora los conceptos de la teoría difusa. Se ilustra la eficiencia del procedimiento mediante un ejemplo real. INTRODUCCIÓN El proceso de optimización multi-respuesta tiene aplicación en muchas áreas del conocimiento y con mayor frecuencia en problemas de diseño en ingeniería, y en los que se incluyen más de una característica de interés. La optimización multi-respuesta requiere encontrar características de la variable de control que generen un óptimo, o cerca del óptimo, tal que produzcan valores para cada una de las respuestas que se están considerando. Aquí la palabra óptimo se usa como referencia para considerar las condiciones más aceptables o más deseables, que las otras respuestas con respecto a ciertas condiciones. Las técnicas de optimización multi-respuesta se pueden estudiar mediante métodos gráficos y analíticos. La utilidad de la graficación multi-respuesta se discute en [4], ahí se presentan y comparan las ventajas y desventajas de la técnica gráfica con algunos métodos analíticos. Una de las ventajas del método gráfico es que permite generar varios escenarios de posibles soluciones óptimas [7], una línea abierta en esta dirección es incorporar la graficación dinámica. Otros caminos que han ido ocupando la atención de los investigadores en la optimización multi-respuesta tiene que ver con las técnicas multi-objetivo, las de lógica difusa y algoritmos genéticos, las que citaremos a continuación. El desarrollo de nuevos procesos y productos o la mejora de estos dependen de un conjunto de factores de control; mediante estrategias experimentales estos generan varias respuestas para describir las características de los productos. Entonces en el proceso de optimización multi-respuesta, el objetivo es determinar la mejor combinación de los valores en los factores de control que den lugar a un óptimo global sobre las respuestas. Para tomar una decisión multi-objetivo, en cada respuesta se define por separado la función objetivo en en términos de los factores de control. Las técnicas multi-objetivo se utilizan para resolver una amplia variedad de problemas en la ingeniería de desarrollo de productos y mejora de estos [8]. En problemas optimización multi-objetivo, es raro encontrar que las soluciones factibles den lugar a que todas las respuestas cumplan con su valor óptimo. Una alternativa al estudio de respuestas con ciertas metas establecidas se puede enfocar mediante la naturaleza de la lógica difusa [9]. Esta teoría proporciona un 1 Centro de Investigación en Matemáticas e-mail [email protected] 2 Consultor e-mail [email protected] camino natural para tratar problemas en la cual la fuente de imprecisión es la ausencia de criterios bien definidos. La lógica difusa proporciona una herramienta matemática para tratar problemas multi-respuesta. Cuando el número de factores crece aun de manera moderada en sus factores de control y de respuestas, los algoritmos de optimización convencional pueden fallar para encontrar un óptimo global. Una aproximación alternativa es un procedimiento de búsqueda heurística tal como los algoritmos genéticos mediante la lógica difusa [12]. Este trabajo tiene por objetivo desarrollar el modelo de optimización multi-objetivo utilizando los conceptos de la lógica difusa. Se aplica el método a un ejemplo ampliamente usando en la literatura para ilustrar los resultados. Mediante el método gráfico se resaltaran las soluciones alternativas que se pueden generar con el método. OPTIMIZACIÓN MULTI-OBJETIVO Descripción del problema El diseño de experimentos se ha aplicado de manera importante para mejorar la calidad de procesos y productos, adicionalmente para hacer que estos productos sean robustos ante condiciones extremas. Las características de respuesta para evaluar la calidad tienen un enfoque multi-respuesta. Es frecuente encontrar muchas aplicaciones industriales con varias respuestas. La finalidad es alcanzar la calidad global de un producto, por lo que es necesario optimizar de manera simultanea las respuestas de interés. En esencia, el problema de optimización de varias respuestas involucra la selección de un conjunto de condiciones o variables independientes tales que den como resultado un producto o servicio conveniente. Es decir, se desea seleccionar los niveles de las variables independientes que optimicen todas las respuestas a la vez. Varios esquemas experimentales se pueden plantear para este proyecto, tales como, diseños factoriales, diseños factoriales fraccionados, diseño Box - Benhken o diseño central compuesto [2]. Una matriz D(nxk) representa alguno de estos esquemas, donde n es el número de combinaciones (tratamientos), de valores de los k factores (variables de entrada al proceso). Se tienen r respuestas para cada respuesta en las n combinaciones, con la información generada por el experimento se pueden modelar de manea individual cada una de las r respuestas. Por lo general estos modelos son lineales y de forma cuadrática, estos están en función de los k factores. Así para r respuestas se tienen r modelos, el i-ésimo modelo para esa respuesta Yi se escribe como: Yi 0 X t X t BX donde (1) X t ( X1,..., X k ) k factores, 0 la constante, (1,..., k ) un vector de parámetros B (11 ,..., 1k , k1 ,..., kk ) matriz de parámetros de segundo orden, y ~ N (0, 2 ) El problema consiste en determinar la mejor combinación de los factores tal que produzcan el óptimo global. Es decir que todas las respuestas den su mejor valor. Generalmente, el problema de programación multi-objetivo se plantea como sigue: Optimizar Y1 Sujeto a Y2 O1 (2) Yn On 1 X R R: Región experimental, Oi (i 1,..., n 1) representan consideraciones importantes o restricciones para las respuestas. Entre otros aspectos relevantes de las Oi tiene que ver con los costos asociados al producto o a especificaciones. La donde los idea básica inicial al procedimiento optimización es ajustar un modelo por mínimos cuadrados para cada respuesta Y j (j=1,…,n) a los resultados de una estrategia experimental, [2] y [11]. Entonces cada modelo Y j se estima por Yˆj , se sustituyen estos modelos ajustados a el planteamiento de optimización. ˆ Yˆi ˆ0 X t ˆ X t BX (3) Procedimientos de optimización A continuación se indican las referencias de algunos procedimientos de optimización desarrollados por diferentes autores. La expresión (2) describe el planteamiento típico de un problema de programación lineal, la solución es un valor X 0 de X , que genera una respuesta óptima global bajo estas condiciones. Entre las ventajas de este procedimiento es su planteamiento matemático y que puede ser resuelto mediante una hoja de cálculo. Existen otros procedimientos analíticos eficientes, cómo el de la función de deseabilidad (DE) propuesto por [5] analizado y aplicado [6]. El método citado permite crear varios escenarios para posibles soluciones. El procedimiento denominado función distancia (DI) fue propuesto por [10], con éste también se obtienen una solución óptima puntual. Varios investigadores han producido trabajos interesantes en esta dirección, ver [3]. Un enfoque que considera a la función de pérdida (PE) es propuesto por [1]. No obstante que el método gráfico (MG) es un procedimiento descriptivo, éste contiene o ilustra a todos los resultados que se obtienen con los métodos anteriormente citados [4]. Éste funciona relativamente fácil ante situaciones cuando existen dos o tres factores, se complica un poco con cuatro. Se considera como una buena práctica que en la estrategias de optimización primero realizar experimentos para eliminar factores que aportan poca información a la respuesta de interés. Así que en la estrategia experimental para obtener un óptimo se trabaja con un número reducido de factores. Modelo de optimización multi-objetivo difuso. ai , para un conjunto dado de alternativas A {a1 ,..., al } y un conjunto de r objetivos O {o1 ,..., ol } , considerados mediante las r funciones objetivo Y ( X ) . A continuación se define los miembros de la función o para i El problema típico del modelo multi-objetivo involucra la selección de una alternativa cada una de las funciones objetivo, tal que para el peor valor ( Y min tiene un grado de membresía igual 0, y el mejor valor posible ( Y 1. La función número de miembros se puede expresar por: 0 Yˆ ( X ) Y min oi max min Y Y 1 ) posible de la de una función objetivo max ) tiene una grado de membresía igual a Yˆ ( X ) Y min si si Y min Yˆ ( X ) Y max si Yˆ ( X ) Y max Entonces el grado de la función membresía de una alternativa a en Oi denotada por oi (a) , es el grado en el que la alternativa a satisface el criterio especificado para éste objetivo. Buscamos una función decisión que satisface simultáneamente todas las decisiones objetivo, por lo tanto, la función decisión, D, está dada por la intersección de los objetivos, así D O1 ... Or . Por lo tanto, el grado de la función membresía que la función, D, tiene para cada alternativa La decisión óptima, a está dada por: D (a) min{o (a),..., o (a)} . i1 ir a , será entonces la alternativa que satisface: D (a0 ) max{ D (a)} μ_{D}(a_{o})=max(μ_{D}(a)). Para alcanzar esta meta se define el modelo de a A optimización multi-objetivo que se puede re-escribir como: r 1 Yˆ ( X ) Y min 2 minimizar F ( X ) max min i=1 r Y Y 1 2 (4) Ejemplo de estudio El procedimiento que se resume en la expresión (4) se ilustra con un problema de un compuesto para bandas en llantas, éste fue expuesto y discutido en [5]. El propósito del problema es mejorar el desempeño en la banda de las llantas medido por cuatro variables de respuesta controladas por tres ingredientes químicos. Las respuestas son: índice de abrasión: Y1 , el modulo 200%: Y2 , la elongación: Y3 , y la dureza: Y4 . Las variables de entrada son: sílice: X1 , seleno: X 2 el azufre: X 4 . Se realizó la estrategia experimental bajo un diseño central compuesto, los modelos cuadráticos estimados que generan los resultados experimentales son: Los valores objetivos de cada una de las respuesta obedece las condiciones: Objetivo Condición Y1 120 Maximizar Y2 1000 Maximizar 400 Y 3 600 Valor objetivo 500 60 Y3 75 Valor Objetivo 67.5 Resultado y conclusiones Se aplicaron los criterios para alcanzar las mejores condiciones enseguida se aplicó la expresión (4). Los resultados se muestran a continuación: Valor óptimo Respuestas óptimas X 1 0.34 Y1 131 X 2 0.26 Y2 1160 X 3 0.41 Y3 414 Y4 69 Es conveniente resaltar que los todas las respuestas cumplen con los valores establecidos. Aplicar este procedimiento es sencillo y tiene la ventaja de proponer varias alternativas. Para complementar este método será interesante incorporar una estrategia grafica. BIBLIOGRAFÍA [1] Ames, A. E., Mattucci, M., Stephen, M., Szonyi, G. and Hawkins, D. M. (1997). "Quality Loss Functions for Optimization Across Multiple Response Surfaces". Journal of Quality Technology 29, pp. 339-346. [2] Box, G. E. P. and Draper, N. R. (1987). Empirical Model Building and Response Surfaces. John Wiley & Sons, New York, NY. [3] Del Castillo, E., Montgomery, D. C. and McCarville, D. R. (1996). "Modified Desirability Functions for Multiple Response Optimization". Journal of Quality Technology 28, pp. 337-345. [4] De la vara, S.R. y Domínguez, D.J. Métodos de Superficie multi-respuesta: Un Estudio Comparativo. Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones 2002, 9(1): 47-65. [5] Derringer, G. and Suich, R. (1980). "Simultaneous Optimization of Several Response Variables". Journal of Quality Technology 12, pp. 214-219. [6] Derringer, G. (1994). "A Balancing Act: Optimizing a Product's Properties". Quality Progress pp. 51-58. [7] Dominguez, D.J y Rocha, M.R.M. Optimización multi-respuesta en Procesos Industriales: Una propuesta Gráfica. Memorias del XVIII Foro Nacional de Estadística. 2004, 13-20. [8] Kros, F.J. and Mastrangelo, C.M. Comparing Multi-response Design Methods with Mixed Responses. Qual. Reliab. Engng. Int. 2004, 20: 527-539. [9] Kumar, P. and Goel, P. Product Quality Optimization Using Fuzzy Set ConceptsA A Case Study. Qual. Eng., 2002, 15(1), 1-8. [10] Khuri, A. and Conlon, M. (1981). "Simultaneus Optimization of Multiple Responses Represented by Polynomial Regression Functions". Technometrics 23, pp.363-375. [11] Myers, R. Montgomery, D.C. (2002). Response Surface Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments, Wiley Series in Probability and Statistics. New York. [12] Ortiz, F. Simpson, J. and Pignatiello, J. (2004). A genetic Algorithm Approach to Multiple-Response Optimization. Journal of Quality Technology 36 No. 4, pp. 432-450.