Ejercicios de Estadística

Estadística I
Ejercicios de distribuciones
3.27. Se diseña un complicado sistema electrónico con cierta cantidad de componentes de
seguridad con sus subsistemas. Uno de ellos cuenta con 4 componentes idénticos, cada uno
con una probabilidad de fallar de 0.2 en menos de 1000 horas. El subsistema funcionará si dos
de los 4 componentes están trabajando. Suponga que cado uno opera de manera
independiente.
a) Determine la probabilidad de que dos de los cuatro componentes rindan más de 1000
horas.
b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione más de 1000 horas.
n = 4 ; x = 2 ; p = 0.2 ; q = 1-p ; q = 0.8
P(x) = nCx *(p^x)* (q^(n-x))
P(x) = 4C2*(0.2^29*(0.8^2)
P(x) = 0.1536
n = 4 ; x = 4 ; p = 0.2 ; q = 1-p  q = 0.8
P(x>=4) = 1-P(x<=3)
P(x<=3) = nCx *(p^x)* (q^(n-x))
P(x<=3) = 4C3*(0.2^3)*(0.8^1)
P(x) = 0.0256
P(x) = 1-0.0256
P(x) = 0.9744
3.28. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad gastrointestinal es
de 0.8. Suponga que se sabe que 20 personas contraen la enfermedad
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen 14 pacientes?
b) ¿Qué probabilidad existe de que se recuperen por lo menos lO? .
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sanen por lo menos 14, pero no más de 18?
d) ¿Qué probabilidad hay de que se recuperen 16 como máximo?
P(x=14) = 20C14 * (0.8^20) * (0.2^6)
P(x=14) = 0.1090
P(x>=10) = 1-P(x<10)
P(x<10) = (10C0*(0.8^0)*(0.2^10))+(10C1*(0.8^1)*(0.2^9))+
(10C2*(0.8^2)*(0.2^8))+ (10C3*(0.8^3)*(0.2^7))+ (10C4*(0.8^4)*(0.2^6))+
(10C5*(0.8^5)*(0.2^5))+ (10C6*(0.8^6)*(0.2^4))+ (10C7*(0.8^7)*(0.2^3))+
(10C8*(0.8^8)*(0.2^2))+ (10C9*(0.8^9)*(0.2^1))
P(x<10) = 0.603220
P(x>=10) = 1-P(x<10)
P(x>=10) = 0.396779
P( 18>=x>14)
= P(x=15)+P(x=16)+ P(x=17)+ P(x=18)
P(x>14 ^ x<=18) = (20C15*(0.8^15)*(0.2^5))+ (20C16*(0.8^16)*(0.2^4))+
(20C17*(0.8^17)*(0.2^3))+ (20C18*(0.8^18)*(0.2^2))
1
P(x>14 ^ x<=18 ) = 0.705031
3.29 Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con cinco respuestas
posibles, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los alumnos que lo presenta
contesta cada una de las preguntas mediante aleatoriedad independiente. ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos 10 de sus respuestas sean correctas?
n=15
P(correcta)=1/5=0.2
P(x>=10)=1-P(x<=0)=0.03529
P(x<=9) =0.964702
P(x=1) =0.31941
P(x=2) =0.23439
P(x=3) =0.2501
P(x=4) =0.4876
P(x=5) =0.1031
P(x=6)=0.04299
P(x=7)=0.01381
P(x=8) =3.45476
P(x=9) =6.71759
3.30. Muchos empresarios se percataron de que algunas personas que contratan no son lo
que afirman ser. Detectar aspirantes que dan información falsa en sus solicitudes ha generado
un nuevo negocio: el servicio de revisión de credenciales. El US. News and world report (13
de julio de 1981) publicó esta situación se destacó con un servicio del tipo mencionado
descubrió en un periodo de 2 meses que. 35% de las credenciales investigadas eran falsas.
Suponga que usted contrató a cinco empleados la semana pasada y que la probabilidad de que
alguno de ellos haya mentido en su solicitud es de 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que los
datos proporcionados en por lo menos una de las cinco solicitudes sean falsos? ¿Cuál es la
probabilidad de que la información proporcionada en dos o más solicitudes sea falsa?
P(x>=5) = 1-P(x<5)
P(x<5) = P(0)+P(1)+ P(2) + P(3)+ P(4)
P(x<5) = (5C0*(0.35^0)*(0.65^5))+(5C1*(0.35^1)*(0.65^4))+
(5C2*(0.35^2)*(0.65^3))+(5C3*(0.35^3)*(0.65^2))+
(5C4*(0.35)^4*(0.65)^1)
P(x<5) = 0.994752
P(x>=5)
P(x>=5)
P(x>=2)
P(x>=2)
=
=
=
=
1-0.994752
0.005248
1-P(x<2)
0.235171
3.31. Muchas compañías de servicios públicos promueven el ahorro de energía ofreciendo
descuentos a los consumidores que mantengan el consumo de energía por debajo de ciertas
normas de subsidio establecidas. Un informe reciente de la EPA (Environmental Protection
Agency) destaca que 70% de los residentes de la isla de Puerto Rico redujo el consumo de
energía lo suficiente corno para obtener el descuento. Si se eligen aleatoriamente cinco
suscriptores residentes en San .Juan, Puerto Rico, determine la probabilidad de cada uno de
los siguientes eventos:
a) Los cinco reúnen los requisitos para recibir el descuento.
b) por lo menos cuatro se hacen merecedores de la rebaja
2
a)
P(x=5) = 5C5*(0.7)^5*(0.3)^0
P(x=5) = 0.1681
b) P(x>=4) = 1-P(x<4)
P(x<4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)
P(x<4) = (5C0*(0.7^0)*(0.3^5))+ (5C1*(0.7^1)*(0.3^4))+
(5C2*(0.7^2)*(0.3^3))+
(5C3*(0.7^3)*(0.3^2))
P(x<4) = 0.47178
P(x>=4) = 1-0.47178
P(x>=4) = 0.528222
3.32
La probabilidad de que una nueva técnica quirúrgica tenga éxito es de suponga que la
operación se realiza cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro.
a)¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones tengan éxito si p= 0.8
b) ¿Qué probabilidad hay de que cuatro operaciones tengan éxito si p= 0.6
c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos tengan éxito si p = 0.3.
n=5
(a) P=0.3
5
P(x=5)=
5
(0.8)^5(1-0.8)^5-5
= 0.32763
(0.8)^4(1-0.8)^5-4
= 0.2592
(b) P=0.6
5
P(x=4)=
4
(c) P=0.3
P(x<2) = P(x<=1) = 0.52822
5
P(x=1)=
(0.8)^1(1-0.8)^5-1
= 0.3605
1
P(x=2)=0.16807
3.33 Una alarma contra incendios emplea tres celdas sensibles a la temperatura que operan
de manera independiente, de tal norma que una o varias pueden activarla, La probabilidad de
3
que cada celda active la alarma cuando la temperatura alcanza los 100°C o más es de p =
0,8. Si Y es el número de celdas que activan la alarma cuando la temperatura alcanza los 100
C, determine su distribución de probabilidades. Calcule la probabilidad de que la alarma
funcione cuando la temperatura alcance los 100°C.
n=3
P=0.8
P(x>=1)=1-P(X<=0)=0.992
3
P(x=0)=
(0.8)^0(1-0.8)^3-0
= 0.008
0
3.44. Se descubrió que a determinada concentración una sustancial química, encontrada en
agua contaminada, resultó mortal para 20% de los peces que se exponían a ella por más de 24
horas. Se colocan 20 peces en un tanque de agua que contiene esta concentración de químicos.
a) Determine la probabilidad de que sobrevivan 14 peces.
b) Estime la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan.
c) Determine qué probabilidad existe de que cuando mucho sobrevivan 16.
d) Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes.
a)
P(x=14) =20C14*(0.2)^14*(0.8)^6
P(x=14) = 0.000001664
b)
P(x>=10) = 1-P(x<10)
P(x<10) = (20C0*(0.2^0)*(0.8^20))+ (20C1*(0.2^1)*(0.8^19))+
(20C2*(0.2^2)*(0.8^18))+ (20C3*(0.2^3)*(0.8^17))+
(20C4*(0.2^4)*(0.8^16))+ (20C5*(0.2^5)*(0.8^15))+
(20C6*(0.2^6)*(0.8^14))+ (20C7*(0.2^7)*(0.8^13))+
(20C8*(0.2^8)*(0.8^12))+ (20C9*(0.2^9)*(0.8^11))
P(x<10) = 0.9974
P(x>=10) = 0.0026
P(x=16) = 20C16*(0.2)^16*(0.8)^4
P(x=16) = 0.000000013
E(x) = n*p
E(x) = 20(0.8)
E(x) = 16
son los que sobreviven
V(x) = n*p*q
V(x) = (20*0.8*0.2)
V(x) = 3.2 la varianza de los peces que sobrevivieron
4
3.45 . De los donadores de sangre de una clinica, 80% tiene el factor Rh presente en el
torrente sanguíneo.
a)Si se elige de manera aleatoria a cinco de los donadores, ¿cuál es la probabilidad de que por lo
menos uno carezca del factor Rh?
b)Si se selecciona al azar a cinco voluntarios, ¿qué probabilidad hay de que a lo sumo cuatro
tengan el factor Rh?
c)¿Cuál es la cantidad mínima de donadores que debemos elegir si deseamos estar por lo menos
90% seguros de que por lo menos cinco de los escogidos tienen el factor Rh?
a)
P(x>=1) = 1-P(x<1)
P(x<1) = (5C0*(0.2^0)*(0.8^5))
P(x<1) = 0.32768
P(x>=1) = 1-0.32768
P(x>=1) = 0.67232
b)
P(x<=4) = 1-P(x>4)
P(x>4) = (5C5*(0.8^4)*(0.2^0))
P(x>4) = 0.32768
P(x<=4) = 1-0.32768
P(x<=4) = 0.67232
c)
E(x) = np
0.8 = n*0.1
n=8
3.46. Goranson y Hall (1980) explican que la probabilidad de detectar una fisura en el ala de un
aeroplano es igual al producto de P1, la probabilidad de encontrar un avión con un ala averiada;
P2' la probabilidad de inspeccionar la parte en que se encuentra la fisura, y Por la probabilidad
de detectar el daño
a) ¿Qué suposiciones justifican la multiplicación de estas probabilidades?
b) Suponga que P, = 0.9,P2 = 0.8 Y P3 = 0.5 para cierta flotilla de aviones. Si se
inspeccionan tres de los aeroplanos que la integran, determine la probabilidad de detectar una
fisura en el ala en por lo menos uno de ellos.
porque tanto p1,p2 y p3 que son las probabilidades de las partes averiadas pertenecen
a un solo elemento que es el avión
b) p1 = 0.9; p2 = 0.8; p3 = 0.5
P(x>=1) = 1-P(x<1)
P(x<1) = P(0)  (3C0*(0.8^0)*(0.2^3))
P(x<1) = 0.008
P(x>=1) = 0.992
donde se encuentra la fisura
P(x>=1) = 1-P(x<1)
P(x<1) = P(0)  (3C0*(0.5^0)*(0.5^3))
P(x<1) = 0.125
P(x>=1) = 0.875
donde se detecta el daño
P(x>=1) = 1-P(x<1)
P(x<1) = P(0)  (3C0*(0.9^0)*(0.1^3))
P(x<1) = 0.001
P(x>=1) = 0.999
encontrar el ala averiada
5
3.51.Suponga que 30% de solicitantes de empleo en una industria están capacitados
en programación de computadoras. Los candidatos son elegidos al azar entre la
población y entrevistados en forma. Determine Ia probabilidad de encontrar en Ia
quinta entrevista al primer aspirante de conocimientos en programación.
P(x=5) = p*(q)^x-1
P(x=5) = ((0.30)*(0.70^4))
P(x=5) = 0.07203 /// es la probabilidad de encontrar el primer aspirante en la 5º
entrevista
3.53. Poco antes de las elecciones presidenciales de noviembre de 1992, en Estados
Unidos, una encuesta de Gallup indicó que un porcentaje sin precedentes, casi 73%,
de la población adulta no esta satisfecha con la forma en que marchaban las cosas
(GallufJ MOthly Poli, septiembre de I5 Suponga que al mismo tiempo usted realiza una
encuesta telefónica preguntando aleatoriamente a gente si se siente insatisfecha con el
estado del país. Determine la distribución de probabilidades Y, el número de llamadas
que se realizan hasta que se encuentra a la primera persona satisfecha .
73% de la población no esta satisfecha, q=0.73; p = 0.27, 27% de las personas
satisfechas
x=1
primer éxito de persona satisfecha
P(x=1) = (0.27*(0.73^0)) = 0.27
P(x=1)= (1-0.27)^1-1
(0.27)=0.27
3.54. Un explorador de petróleo hará una serie de perforaciones en determinada área
para localizar el pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un ensayo es
de 0.2.
a)¿Cuál es la probabilidad de que encuentre un pozo productivo hasta la tercera
perforación!
b)¿Cuál es la probabilidad de que el explorador no encuentre un pozo productivo si
sólo puede perforar a lo más diez pozos?
P(x<=3) = P(1)+P(2)+P(3);
p = 0.2 y q = 0.8
P(x<=3) = (0.2*(0.8^0))+(0.2*(0.8^1))+(0.2*(0.8^2))
P(x<=3) = 0.488
P(x<=10) = P(1)+P(2)+P(3)+ P(4)+P(5)+P(6)+ P(7)+P(8)+P(9)+P(10); p = 0.8
y q =0.2
P(x<=10) = (0.8*(0.2^0))+(0.8*(0.2^1))+(0.8*(0.2^2))+(0.8*(0.2^3)+
(0.8*(0.2^4))+(0.8*(0.2^5))+(0.8*(0.2^6))+
(0.8*(0.2^7)+(0.8*(0.2^8))+(0.8*(0.2^9))
P(x<=10) = 0.9999
3.55
Sea Y una variable aleatoria geométrica¡¡ con una probabilidad de éxito p.
a) Demuestre que para un entero positivo a,
P(Y > a) = q
b) Demuestre que para los enteros positivos a y b,
P(Y> a + b l Y > a) = q h = P(Y > b)
6
3.56
Si lanzamos diez veces una moneda perfecta y obtuvimos cero caras ¿Cuál es la
probabilidad de debemos lanzar la moneda por lo menos dos veces mas para obtener Ia
primera cara.
P=1/2 =0.5
P(x=11) =0.5) (1-0.27)^11-1
P(x=12)=(0 .5) (1-0.27)^12-1
P(11<=x<=12)=0.000732421
=0.000488281
=0.00024414
3.57
"
Un contador Público halla que en nueve de diez auditorias empresariales se cometieron
errores Si, en consecuencia, revisa una serie de compañías, ¿cuál es In probabilidad de q
a) la primera cuenta que contiene errores serios sen la tercera contabilidad revisada?
b) la primera cuenta con errores serios se encontrará después de revisar la tercera?
P = 9/10 =0.9
(a) P(x=3)=(0.9) (1-0.9)^3-1
=0.009
(b) P(x>3)=1-P(x<=3)=1-0.999
=0.001
P(x=1) = 0.9
P(X=2) = 0.09
P(x=3) = 0.009
3.58 ¿cual es la media y la desviación estándar de numero de cuenta que deben revisarse
para determinar la primera que tiene errores considerables?
E(x) = 1/P =1/0.9 =1.11
V(x) =(1-P)/P^2=(1-0.9)/(0.9)^2=0.1235
S = (0.1235)^1/2 = 0.351426
3.59
La probabilidad de que un cliente llegue al mostrador de una tienda de abarrote en cual quierer periodo
de un segundo es de 0.1. Suponga que los compradores se presentan aleatoriamente
en grupo, por lo que la llegada de uno de ellos en un segundo en particular es
independiente de la llegada de los otros.
a) Determine la probabilidad de que el primer comprador se presente durante el tercer
intervalo de un segundo
b) determine la probabilidad de que el primer cliente no se presente en el mostrador
hasta al menos el tercer intervalo de un segundo.
P=0.1
(a) P(x=3)= (0.1) (1-0.1) ^3-1
=0.081
(b) P= (0.9)
P(x<=3) =0.999
P(x=1)=(0.9) (1-0.9)^1-1
=0.9
P(x=2)=(0.9) (1-0.9)^2-1
=0.09
P (x=3)=(0.9) (1-0.9)^3-1
=0.009
7
3.60. En una población, 60% de los consumidores dice preferir un dentífrico marca A. Si se
entrevista en forma aleatoria a un grupo, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que
entrevistar exactamente a cinco personas para encontrar al primero que prefiere la marca A?
¿Cuál es la probabilidad de que haya que entrevistar por lo menos a cinco consumidores?
P(x=5) = (0.6*(0.4^4));
P(x=5) = 0.01536
p = 0.6 y q = 0.4
P(x>=5) = 1-P(x<5)
P(x<5) = P(1)+P(2)+P(3)+P(4)
P(x<5) = (0.6*(0.4^0))+(0.6*(0.4^1))+(0.6*(0.4^2))+(0.6*(0.4^3)
P(x<5) = 0.9714
P(x>=5) = 1-0.9714
P(x>=5) = 0.0256
3.61 en una encuesta sobre un tema controversial se pregunta por ejemplo ,”
¿alguna vez ha fumado mariguana ¿ mucha gente prefiere responder que no deduzca
la distribución de probabilidad para y. que es el numero de persona que sea necesaria
entrevistar para obtener una sola respuesta afirmativa , sabiendo que 80% de la
población respondería veridicamente “ no ”a la pregunta y que de 20% que debería
contestar afirmativamente ,70miente.
P(no)=0.8
P(si) =0.20
P(miente)=0.70
14%
P (verdad) =0.30 6%
P(y=1)=(0.06) (1-0.06)^1-1
=0.06
3.62.
Dos personas se alternan para lanzar un dado equilibrado hasta que una obtiene un 6.
Comienza
el individuo A, a éste le sigue n, A lanza en tercer lugar, y así sucesivamente. Si A arroja el
primer 6, ¿cuál es la probabilidad de que n obtenga el primer 6 en su segundo lanzamiento (es
decir, en el cuarto lanzamiento general)?
P(x obtenga 6 ) = 1/6 ;
p = 0.1666 ; q = 0.8333
P(x=4) = (0.1666*(0.8333^3))
P(x=4) = 0.964
3.63¿ cuantas veces debe usted esperar lanzar una moneda para obtener la primera
cara?
8
P= ½ =0.5
E(x)= 1/P =1/0.25 =2
3.64 ¿ el explorador perfora varios pozos hasta localizar uno productivo.
¿Cuantas perforaciones deberías esperar hacer?
Interprete su respuesta en forma intuitiva.
F(x) = 1/P =1/o.2 =5
3.72. Se somete a los empleados de una empresa que fabrica material aislante a un análisis
para detectar indicios de asbesto en los pulmones. Después se solicita a la empresa que envíe a
tres de los trabajadores cuyos resultados hayan sido positivos a un centro médico para que se
les practiquen mas pruebas. Si 40% de los empleados muestran resultados positivos de
asbesto en los pulmones, mine la probabilidad de que se tenga que examinar a diez operarios
para encontrar tres con re dos positivos.
x = 10; r = 3; p = 0.4; q = 0.6
P(x=10) = (x-1)C(r-1)*par*(q^(x-r))
P(x=10) = (9C2*(0.4^3)*(0.6^7))
P(x=10) = 0.06449
3.73.
Refiérase al ejercicio 3.72. si cada examen cuesta 20 dólares , calcule el valor
esperado y la varianza del costo total de las pruebas que es necesario realizar para
detectar los tres que dan resultados positivos….
3.74 Suponga que 10% de los motores armados en una línea de montaje están defectuosos.
Si seleccionan en forma aleatoria uno por 1 y se prueba, ¿qué probabilidad hay de localizar el
primer. motor que no tiene defecto en el segundo ensayo?
x = 2; r = 1; p = 0.10; q = 0.9
P(x=2) = (x-1)C(r-1) *(q^(x-r)) *p^r
P(x=2) = (1C0*(0.1^1)*(0.9^1))
P(x=2) = 0.09
3.75. Remitase al ejercicio 3.74. Encuentre la probabilidad de localizar el tercer motor sin
defecto:
a)en el quinto ensayo.
b)en el quinto ensayo o antes.
En el quinto ensayo.
P(x=5) = (4C2*(0.1^2)*(0.9^3))  x = 3; r = 5
P(x=5) = 0.04374
b)
En el quinto ensayo o antes.
P(x=5 o antes)
=2C2*(0.1^0)*(0.9^3))+(3C2*(0.1^1)*(0.9^3))+(4C2*(0.1^2)*(0.9^3))
x = 3,4,5; r = 3
9
P(x=5 o antes) = 0.99144
3.76. Remitase al ejercicio 3.74. Determine la media y la varianza del número de ensayo en el
que se localiza:
A ) el primer motor sin defecto.
E(x) = r/p ; r=1
E(x) = 1/0.9 = 1.11
V(x) = rq/p^2
V(x) = (1*0.1)/(0.9^2)
= 0.123
b) El tercer motor sin defecto.
E(x) = r/p`  r=3
E(x) = 3/0.9 = 3.33
V(x) = rq/p^2
V(x) = (3*0.1)/(0.9^2)
= 0.37
3.77. Refiérase al ejercicio 3.74. Si los dos primeros motores probados estaban defectuosos.
cual es probabilidad de que se tengan que probar por lo menos dos o mas antes de localizar el
primero que no tenga defecto?
x = 3; r = 2
P(x) = 2C1*(0.1)^1*(0.9)^2
P(x) = 0.1
3.78
Las líneas telefónicas de una oficina de reservaciones de una línea aérea están
ocupadas alrededor del 60% del tiempo.
a) Si usted llama a esta oficina, ¿Cuál es la probabilidad de que entre su llamada en el
primer intento?¿De que entre en el segundo? ¿ O en el tercero?
b) Si usted y un amigo deben Lamar a esta oficina,¿Cuál es la probabilidad de que
tengan que hacer cuatro intentos para lograr comunicarse?
P=0.4
(a)
K=1
P(x=1) = 1 - 1
X=1,2,3
0.4 1 (1 – 0.4)1-1
=0.4
0.4 1 (1 – 0.4)2-1
=0.24
0.4 1 (1 – 0.4)3-1
=0.288
1 - 1
P(x=1) = 2 - 1
1 - 1
P(x=1) = 3 - 1
1 - 1
(b) P =0.4
K =2
X=4
10
P(x=1) =
4 - 1
0.4 2 (1 – 0.4)4-1
=0.1728
2 - 1
3.84. Una urna contiene diez canicas. de las cuales cinco son verdes, dos azules y tres rojas.
Se van a extraer tres canicas de la urna, una por una sin reemplazo ¿Qué probabilidad hay de
que las tres que se saquen sean verdes?
5 verdes, 2 azules y 3 rajas = 10
N = 10; n = 3; r =5; x =3
P(x) = (rCx*(N-r)C(n-x))/NCn
P(x=3) = (5C3*5C0)/10C3
P(x=3) = 0.083
3.85. En un almacén hay diez impresoras, de las cuales cuatro están defectuosas. una
empresa escoge cinco máquinas al azar, suponiendo que todas funcionan. ¿Cual es la
probabilidad de que las cinco estén en buen estado?
N = 10; n = 5; r =5; x =5
P(x) = (rCx*(N-r)C(n-x))/NCn
P(x=5) = (6C3*6C0)/10C5
P(x=5) = 0.023
3.86
La compañía repara la impresora defectuosa a un costo de 50 dólares cada una.
Determine la media y la varianza del costo total de reparación.
3.87. Un grupo de seis paquetes de programas para resolver problemas de programación
lineal se clasificaron del número I al 6 (del mejor al peor). Una empresa de ingenieros, que
ignora la clasificación, elige aleatoriamente y compra dos paquetes. Si Yes el número de
paquetes adquiridos, los cuales pueden estar clasificados con 3,4, 5 o 6, proporcione la
distribución de probabilidades de Y.
N = 6; n = 2; r =4; x =0,1,2
P(x) = (4Cx*2C(2-x))/6C2
3.88
Una corporación muestra sin reemplazo n=3 empresa para decidir a cual le comprara
suministros. La muestra se tomara de una población de seis compañías, de las cuales 4
son locales y dos son foráneas.
Denote por y el numero de empresa foráneas entre las 3 que se eligen.
a) determine p( y=1).
b) Encuentre p(y>=1)
11
c) Determine p(y>=1).
3.89
Las especificaciones exigen que se someta a prueba a una resistencia termica entre los
9000 y los 10000 ohms a 25C . se dispone de diez , resistencia ,entre las cuales se
van a elegir 3 para utilizarse .
Si y es la cantidad de resistencias de las 3 elegidas que se ajustan
a las
especificaciones , determine la distribución de probabilidad de y (en forma tabular) con
las siguientes condiciones:
a) hay 2 resistencias entre las disponibles que no cumplen las especificaciones.
b) Entre las 10 resistencias de que se dispone, 4 que no se ajustan a las
especificaciones.
3.91
Un jurado se integro con 6 persona elegidas de un grupo de 20 candidatos, de los
cuales eran afro americano y 12 blancos. se supone que se selecciono a los miembros
en forma aleatoria , pero solo uno es afro americano .¿ cree que haya alguna razón
para dudar de la aleatoriedad de la selección ?
3.92
Si el proceso de selección fuera aleatorio, ¿cual seria la media y la varianza del numero
de miembros afroamericanos que forman parte del jurado?
3.93.
Suponga que un radiorreceptor tiene 6 transistores, dos de los cuales están
defectuosos. Se eliga tres al azar, se retiran del aparato y se revisan. Si Y es el
número de piezas con defecto observa y si Y = O, 1 o 2, determine la distribución de
probabilidad para Y. Exprese sus resultados de manera gráfica en un histograma de
probabilidad
N = 6; n = 2; r =3; x =0,1,2
P(x=0) = (3C0*3C2)/6C2
P(x=0) = 0.2
0.6
0.5
0.4
P(x=1) = (3C1*3C1)/6C2
P(x=0) = 0.6
0.3
0.2
P(x=2) = (3C2*3C0)/6C2
P(x=0) = 0.2
0.1
0
12
1
2
3.94.
Haga una simulación del experimento descrito en el ejercicio 3.93 marcando seis
canicas o monedas manera que dos representen piezas defectuosas y cuatro piezas sin
imperfecciones. Coloque canicas en un sombrero, revuélvalas, extraiga tres y anote Y,
el número de piezas defectuosas observadas. Vuelva a colocar las canicas en el
sombrero y repita el proceso hasta obtener n = 100 resultados para y. Construya un
histograma de frecuencias relativas para esta muestra y compárelo con la distribución
de probabilidad poblacional (ejercicio 3.93) ..
N = 6; n = 3; r =2; x =0,1,2
P(x=0) = (2C0*4C3)/6C3
P(x=0) = 0.2
0.6
0.5
0.4
0.3
P(x=1) = (2C1*4C2)/6C3
P(x=0) = 0.6
0.2
0.1
P(x=2) = (2C2*3C1)/6C3
P(x=0) = 0.2
0
1
2
3.95.
En una linea de producción de robots industriales se pueden ensamblar cajas de
engranajes en minuto cada una, cuando existen las perforaciones adecuadas, y en 10
minutos si es necesario volver a perforadas. En el almacén hay 20 cajas de
engranajes: 2 con perforaciones mal hechas, entre que sc tienen que elegir cinco para
instaladas en los siguientes cinco robots.
a) Calcule la probabilidad de que 5 cajas de engranajes ajusten correctamente
1») Determine la media, la varianza y la desviación estándar del tiempo que requiere
instalar la cajas de engranajes
N = 20; n = 5; r =18; x =5
P(x=5) = (15C5*5C0)/20C5
P(x=5) = 0.553
b)
E(x) = n*(r/N)
E(x) = 5*(18/20)
E(x) = 4.5
V(x) = n*(r/N)*((N-r)/N)
V(x) = 4.5*(2/20)
V(x) = 0.45
3.100
13
3.98 . determine la probabilidad de que exactamente 2 clientes lleguen dentro de un
intervalo de 2 horas:
a) entre las 14:00 y 16:00 horas(un periodo continuo de 2 horas)
b) entre las 13:00 y 14:00 horas o entre las 15:00 y 16:00 horas (2 periodos
separados de una hora , que suman 2 horas).
3.101.
La cantidad de veces que se equivoca una mecanógrafa tiene una distribución de poisson con
un promedio de 4 errores por cuartilla si excede este número. Debe volver a menografiar la
pagina completa ¿que probabilidad hay de que no necesite repetirlas
 = 4; x = 0,1,2,3,4;
P(x<=4) = (e^(-)*^x)/x!
P(x<=4) = P(0)+ P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)
P(x<=4) = 0.018315+0.073262+0.146525+0.195366+0.195366
P(x<=4) = 0.628834
3.103.
El número de nudos que hay en cierto tipo de madera tiene una distribución de Poisson con un
promedio de 1.5 nudos por 10 pies cubicos. Calcule la probabilidad de que un trozo de madera
de 1O pies cúbicos tenga por lo menos un nudo.
 = 1.5; x = 0
P(x>=1) = 1-P(x<1) ->
(e^(-)*^x)/x!
P(x<1) = P(0)
P(x<1) = 0.223
P(x>=1) = 0.7768
3.104.
la cantidad promedio de automóviles que pasa por un túnel es de uno cada periodo de 2
minutos el paso de muchos vehiculo en un periodo breve hace que sea peligroso recorrerlo.
Determine la probabilidad de que el número de automóviles que pasan por alli durante un
periodo de 2 minuto sea superior a tres: ¿Es conveniente usar la distribución de Poisson para
resolver este problema
 = 2; x = 0,1,2
P(x=0,1,2) = P(0)+P(1)+P(2)
P(x=0,1,2) = e^-2+2*e^-2+e^-2
P(x=0,1,2) = 0.5413
3.106.
Considere un experimento binomial con n = 20 Y P = 0.05. Utilice la tabla 1 del apéndice III
para calcular las probabilidades binomiales de Y = O, 1, 2, 3, 4. Estime las mismas
probabilidades mediante la distribución de Poisson con A. = np Y compare los resultados.
14
 = n*p; n = 20; p = 0.05 x = 0,1,2,3,4
P(x=0,1,2,3,4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)
P(x=0,1,2,3,4) = e^-1+e^-1+e^-1/2+e^-1/6+e^-1/24
P(x=0,1,2,3,4) = 0.996
3.107
un vendedor descubre que la probabilidad de hacer una venta en una sola entrevista
con clientes es de 0.03 aproximadamente. Si se acerca a 100 posibles clientes .¿ cual
es la probabilidad de hacer por lo menos una venta?
3.109
La probabilidad de que un ratón vacunado contraiga cierta enfermedad es de 0.2.
Mediante la distribución de polisón calcule la probabilidad de que a lo mas 3 de 30
ratones inoculados enfermen.
3.110
sea y una distribución de poisson con media a .estime e | y( y -1 )| y utilice el
resultado para demostrar que v(y) =
3.111. El número de defectos Y por pie en la producción diaria de cierto tipo de cuerda tiene
una distribución de poisson con media A = 2. Las utilidades por pie que se obtienen al venderla
están representadas por X, donde X = 50 – 2y – y^2. Calcule las ganancias esperadas por
pie.
E(x)
E(x)
E(x)
E(x)
=
=
=
=
E(50-2x-x^2)
50E(1)-2E(x)-E(x^2)
50 –2(2) –6
40
V(x) = E(x^2)-(E(x))^2
E(x^2) = V(x)+(E(x))^2
E(x^2) =  +  ^2 = 2+4
= 6
E(x) = sqrt(E(x^2)-V(x))
E(x) = sqrt( ^2 -  ) =
sqrt(6-2 ) =
sqrt(4) =
2
3.112
el propietario de una tienda saturado su almacen con cierto articulo y decid lanzar la
siguiente promocion para reducir su invierno . el precio del articulo es de 100 dolares .
15
por cada liente que lo compre en un dia determinado , el dueño reducira su precio a la
mitad . de modo que el primer cliente pagara 50 por el , el segundo 25 , y asi
sucesivamente . suponga que la cantidad de clientes que adquieren el articulo en el
transcurso del dia tienes distribucion de poisson con una media de
a) calcule el costo esperado del articulo al final del dia .[sugerencia : el costo del
articulo al final del dia es de 100(1/2) donde y representa la cantidad de clientes que
lo compran.]
3.113
un fabricante de productos alimenticios utiliza una maquina de extrusión ( para
elaborar bocadillos) que generen utilidades a razón de 200 dólares por hora , sin
embargo , la maquina se descompone un promedio de dos veces al día . si y
representa el numero de averías por día , el ingreso diario que genera la maquina esta
dado por r=1600=50y^2. calcule el ingresó diario esperado.
16