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Distribución de Poisson
1. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson
con media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide:
a) Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.
Dado que son 100000 kilometros   0,6 , entonces
P( x  0) 
e0.6  0,60 e

0!
0.6
 0,60
0!
 e0.6  0,5488  54,88%
b) Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos
P( x  3)  P ( x  0)  P ( x  1)  P ( x  2)
e 0,6  0, 60 e 0,6  0, 61 e 0,6  0, 62


0!
1!
2!
0
1
2
 0, 6 0, 6 0, 6 
 e0,6 



1!
2! 
 0!


 0, 60 0, 61 0, 62
 e0,6 


0!
1!
2!

,6
0,18
 1
0,6
 e 1  0, 6  0,18 





 1, 78  e 0,6  0,976884  97, 68%
c) Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066
En este caso interesa obtener un valor de  que podamos asociar a los kilómetros detal que no ocurran
Pichazos
P( x  0) 
e   0
 0.4066
0!
e  0

 0.4066
0!
 e    0.4066
 ln(e   )  ln 0.4066
 ln(e)  ln 0.4066
 ln(e)  ln 0.4066
1
  0.8999253778
  0.8999253778
pero sabemos que   0.3 para 50.000 kilometros, entonces para
  0.8999253778 el valor proporcional de kilómetros se obtiene por una
regla de tres simple
X
0.8999253778 50000
 149987,563  kilometros
0.3
2. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que
la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:
a) El número medio de pedidos por día
eL promedio esta dado por el porducto de n por el éxito   n  exito  5  0.4  2
b) La varianza
 2  n  exito  fracaso  5  0.4  0.6  1.2
c) La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3
P(1  x  3)  P( x  1)  P( x  2)  P ( x  3)
e 2  21 e 2  22 e 2  23


1!
2!
3!
1
2
3
2 2 2 
 e 2    
 1! 2! 3! 

4  16

 e 2  2  2    e 2
3 3

d) La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos
P( x  2)  1  P( x  2)
P( x  2)  1  P( x  2)
 1   P  x  0   P( x  1) 
 1  P  x  0   P ( x  1)
e 2 20 e 2 21
 1

0!
1!
2 0
2 1
e 2 e 2
 1

0!
1!
2
2
 1  e  2e
 1  3e
2
o bien, dicho en otra forma
 e2 20 e2 21 
 1 


1! 
 0!
 e2 20 e2 21 
 1 


1! 
 0!
 1   e2  2e2 
 1  3e2
3. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro l = 0, 4 .
Calcular las probabilidades:
a) de que en un determinado dia se produzcan dos; a lo sumo dos; por lo menos dos accidentes.
b) de que hayan 4 accidentes en una semana.
c) de que haya un accidente hoy y ninguno mañana.
4. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una
distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.
a)¿Cual es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?
Si   0.1 para un minuto, entonces   6 para una hora.
P( x  2)  P( x  0)  P( x  1)  P( x  2)
e6 60 e6 61 e 6 62



0!
1!
2!
0
1
2
6 6 6 
 e6    
 0! 1! 2! 
b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje
durante ese lapso de tiempo sea 0.8.
bastara con calcular el  correspondiente y después proporcionarlo a los datos conocidos
e   0
P  x  0 
 0.8 , entonces e  0,8 .
0!
Aplicando ln se tiene que  ln e  ln 0,8 , de donde   0, 2231435
Y sabiendo que   0,1 para un minuto, entonces el tiempo esperado es de 2.23 minutos, es decir 2 muinutos
y 14 segundos.
5. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una
sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones).
¿Cuál es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones? ¿Cuál la de que responda bien a cuatro? ¿Cuál
la de que responda bien a seis?
Si tenemos 10 preguntas y el éxito esperado es 1/5, la media esta dada por su producto. Es decir , 2
Entonces
la probabilidad de que responda bien a dos P  x  2  
la de que responda bien a cuatro: P  x  4  
la de que responda bien a seis: P  x  6  
e   2 e2 22

 27, 06%
2!
2!
e   4 e2 24

 9, 02%
4!
4!
e   6 e2 26

 1, 2%
6!
6!
6. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se repite 14
veces es igual de probable obtener 2 éxitos que 3.
P  x  2   P( x  3)
e  2 e  3

2!
3!
2
2

 

2! 3  2!
1 
  3
1 3
pero el valor de  se obtiene multiplicando   n  exito , entonces el éxito esta

dado por exito  , es decir 3/14
n
7. Un equipo se sirve con 7 tornillos para ser montados por el cliente, pero el equipo sólo necesita 4 para
funcionar. Si la proporción de tornillos defectuosos es del 10%, ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo
pueda montarse?. ¿Cual es la probabilidad de que si compramos 3 equipos no podamos hacer funcionar
ninguno, por culpa de los tornillos? (Los tornillos de un equipo no sirven para el otro).
8. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o
rechazar un lote de componentes se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al
encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra, ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote si este
contiene un 1% de componentes defectuosos?¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8%
de unidades defectuosas?
Considerando el 1%
1
  n  exito  100 
1
100
P( x  3)  1  P  x  3
 1   P( x  0)  P( x  1)  P( x  2) 
 e 1 10 e 1 11 e 1 12 
 1 


1!
2! 
 0!
10 11 12 
 1  e 1    
 0! 1! 2!
Si cambiamos al 8%, entonces el  cambia
8
  n  exito  100 
8
100
P ( x  3)  1  P  x  3
 1   P ( x  0)  P ( x  1)  P ( x  2) 
 e 8  80 e 8  81 e 8  82 
 1 


1!
2! 
 0!
 80 81 82 
 1  e 8    
 0! 1! 2! 
 1  e 8 1  8  32
1

 1  e 1 1  1  
2

5
 1  e 1    8, 03%
2
 1  e 8  41  98, 62%
9. Se sabe que el 1% de los artículos importados de un cierto país tienen algun defecto. Si tomamos una
muestra de tamaño 30 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto.
P ( x  3)  1  P  x  3
 1   P ( x  0)  P ( x  1)  P ( x  2) 
  n  exito  30 
1
 0,3
100
 e 0,3  0,30 e 0,3  0,31 e 0,3  0,32 
 1 



0!
1!
2!


0
1
2
 0,3 0,3 0,3 
 1  e0,3 


1!
2! 
 0!
 1  e 0,3 1  0,3  0, 045
 1  e 0,3 1,345  0,3599%
10. La variable aleatoria X “tiempo de duración hasta su adquisición de cierto producto en el escaparate” está
distribuida de manera exponencial, con un tiempo promedio de 6 días.
a) Probabilidad de que dure más de 6 días pero menos de 10.
 6
 P( x  6)  P( x  7)  P( x  8)  P( x  9)
e6  66 e6  67 e6  68 e 6  69



P(6  x  10)
6!
7!
8!
9!
6
7
8
9
6 6 6 6 
 e6       47, 03%
 6! 7! 8! 9! 
b) ¿Cuantos días como mínimo tenemos que tener el producto en el escaparate para que la probabilidad de no
se venda durante ese periodo sea de 0.85?
Entonces, aplicando un proporcional, el problema
e   0
P( x  0) 
 0.85
esta resuelto.
0!
=
e   0.85
   ln(0.85)
  0.16525
c) Un comerciante tiene el producto en el escaparate tres días. ¿Cual es la probabilidad de que se venda en en
los próximos tres días?
11. Se ha comprobado que la duración de vida de ciertos elementos sigue una distribución exponencial con
media 8 meses. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que un elemento tenga una vida entre 5 y 12 meses.
b) El percentil 0'9 de la distribución.
c) La probabilidad de que un elemento que ha vivido ya más de 11 meses, viva 14 meses más.
12. Supóngase que la concentración de cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el
intervalo de 0 a 20 ppm (partes por millon). Si se considera tóxica una concentración de 8 o más, ¿cuál es la
probabilidad de que al tomarse una muestra la concentración de ésta sea tóxica?. Concentración media y
varianza. Probabilidad de que la concentración sea exactamente 10.
13. De la parada del autobus que recorre la línea Madrid-Alcalá de Henares sale un autobus cada 15 minutos.
Un viajero llega de imrpoviso en cualquier momento. Obtener:
a) Probabilidad de que el viajero espere menos de 5 minutos
b) La media y la varianza de la variable aleatoria tiempo de espera
14. Una máquina fabrica tornillos cuyas longitudes se distribuyen normalmente con media 20mm y varianza
0'25mm. Un tornillo se considera defectuoso si su longitud difiere de la media más de 1mm. Los tornillos se
fabrican de forma independiente. ¿Cual es la probabilidad de fabricar un tornillo defectuoso?.
Si los envasamos en envases de 15 tornillos, probabilidad de que un envase no tenga más de 2 defectuosos.
15. Una empresa dedicada a la fabricación y venta de bebidas refrescantes observa que el 40% de los
establecimientos que son visitados por sus vendedores realizan compras de esas bebidas. Si un vendedor visita
20 establecimientos, determinar la probabilidad de que por lo menos 6 de esos establecimientos realicen una
compra
16. La duración de un laser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media 7000
horas y desviación típica de 600 horas.
a) ¿Cual es la probabilidad de que el laser falle antes de 5000 horas?
b) ¿Cual es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres?
c) Si se hace uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera independiente, ¿cual es la
probabilidad de que los tres sigan funcionando después de 7000 horas?
17. Un servicio dedicado a la reparación de electrodomésticos en general, ha observado que recibe cada día
por término medio 15 llamadas. Determinar la probabilidad de que se reciban más de 20 llamadas en un día.
18. El número medio de clientes que entran en un banco durante una jornada, es de 25. Calcular la
probabilidad de que en un día entren en el banco al menos 35 clientes.
19. Las calificaciones de los alumnos de estadística, X, puede suponerse que se ajustan a una distribución
aproximadamente normal, con una media de seis puntos y desviación típica de tres puntos
a) Hallar el porcentaje de alumnos que suspende
b) ¿qué porcentaje de alumnos tiene notables y sobresalientes (es decir puntuaciones mayores que 7)?
c) Hallar la puntuación x tal que el 25% de los alumnos tiene una puntuación inferior o igual a x
20. Razonar para cuáles de los siguientes problemas la distribución binomial es un modelo adecuado:
a) Determinación de la probabilidad de que un agente de ventas lleve a cabo 2 ventas en 5 entrevistas
independientes si la probabilidad es 0.25 de que el agente lleve a cabo una venta en una entrevista determinada.
b) Determinación de la probabilidad de que no más de 1 de 10 artículos producidos por una máquina sea
defectuosos cuando los artículos se seleccionan a través del tiempo y se sabe que la proporción de defectuosos
aumenta con el desgaste de la máquina con el tiempo.