Gravitación problemas explicados

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Problemas de Gravitación explicados
Problema 19
Cada una de las tres partículas, A, B, y C, posee
una masa de 1.9 kg y están sujetas en los vértices
de un cuadrado mostrado en la figura.
a) ¿Cuál es el campo gravitatorio en el vértice vacío
(punto P)? Dar la respuesta en función de los
vectores unitarios i y j.
b) ¿Cuál es la fuerza gravitatoria que actúa sobre
una partícula de 2.3 kg de masa situada en el vértice
vacío?
B
P
0,56 m
C
A
0,56 m
La ley de Gravitación Universal de Newton nos da la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos puntuales
separados por una distancia r:

m m
F12  G 1 2 2 r̂12
r
Esta fórmula expresa que la fuerza de atracción entre dos cuerpos puntuales es directamente
proporcional a la masa de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
los separa. El versor señala la dirección de la recta que pasa por los dos puntos materiales y el sentido
es desde el cuerpo 1 hacia el cuerpo 2. Por esa razón el signo menos indica que el cuerpo 1 atrae a al
cuerpo 2. Del mismo modo la fuerza que 2 ejerce sobre 1, tendrá el mismo módulo, la misma dirección
y sentido opuesto.
En un punto del espacio el campo gravitatorio es el cociente entre la fuerza gravitatoria que actúa
sobre una partícula “de prueba” de masa mo ubicada en dicho punto, y la masa mo. Es decir:
m  mo
G
 
r 2 rˆ  G m rˆ
g (r ) 
mo
r2
El campo gravitatorio en el punto P debido a la partícula de masa m ubicada en A (origen de
coordenadas) será entonces:


xp
yp
m 
ˆ
ˆj 
i

x 2p  y 2p  x 2p  y 2p
x 2p  y 2p 

Análogamente, el campo gravitatorio en P producido por la partícula de masa m ubicada en B, es:

g A (xP ; yP )   G

m
g B ( x P ; y P )   G 2 iˆ
xp
El que produce la partícula C es:

m
g C ( x P ; y P )   G 2 ˆj
yp
a) El campo gravitatorio total en P producido por las tres partículas A, B y C es la suma vectorial de
estos tres campos. Realizando los cálculos numéricos, con los datos del problema, y la suma vectorial
se obtiene:

g ( x P ; y P )  5,47  1010 N iˆ  5,47  1010 N ˆj
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Problema 20:
Dos satélites terrestres de masa m1 y m2 están unidos por
un cable de longitud l como se muestra en la figura. Se
eligen las condiciones iniciales para que las trayectorias de
los satélites sean circulares con R2=R1+a
a) Halle el período orbital de este par de satélites.
b) Halle la tensión del cable.
R2
R1
Tierra
m1
m2
Si los satélites no estuvieran unidos cada uno de ellos tendría distinto período orbital. Las órbitas de
cada uno tienen diferentes radios. El módulo de la velocidad es distinto para cada uno.
Podemos ver en el problema 21 la deducción de la fórmula de la rapidez orbital:
GM
v
r
El período de revolución es la longitud de la órbita, 2r, divido por v:
T
2 r
 2
r3
GM
GM
r
Alrededor de la Tierra hay n satélites en órbita. En general sus órbitas no son circulares. Son elípticas
y por lo tanto r no es constante y tampoco lo es v. También hay varios satélites, entre esos n, que
comparten la órbita. Nosotros vamos a suponer que hay n satélites, todos con órbita circular. Entonces
de la fórmula anterior podemos deducir que existe una relación constante 1 para todos ellos. Esta
relación es el cociente entre el período de revolución al cuadrado y el radio de la órbita al cubo. En
efecto, vemos que:
T 2 4 2

r3 G M
Como conclusión de todo esto si dos satélites tienen órbitas de diferente radio, tienen períodos de
revolución distintos. Entonces si en algún instante se encuentran ambos alineados con el centro de la
Tierra, esta situación se modificará y se irán separando angularmente.
Entonces, para mantener a los satélites moviéndose
“juntos” unidos por un cable, es necesario que este cable
esté ejerciendo una fuerza que impida que se vayan
separando. Aclaremos que la posible separación de la que
hablamos es un distanciamiento angular.
Vamos a comenzar por realizar el diagrama del cuerpo
libre para ambos satélites y plantear la 2da ley de
newton
F21 es la fuerza que el cable ejerce sobre el satélite 1 y F12
es la fuerza que el cable ejerce sobre el satélite 2.
Consideramos que la masa del cable es despreciable en
comparación con las masas de los satélites. Entonces
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Esta relación se denomina Tercera Ley de Kepler y fue descubierta por este astrónomo varias décadas antes de que
Newton formulara su teoría de Gravitación Universal
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estas fuerzas se pueden considerar como las fuerzas que ambos satélites se ejercen mutuamente (a
través del cable) No incluimos en nuestro análisis la fuerza de interacción gravitatoria entre los
satélites ya que suponemos que sus masas son mucho menores a la de la Tierra. Planteamos…



FT 1  F21  m1 a1



FT 2  F12  m 2 a 2
Teniendo en cuenta que F21 y F12 se pueden tomar como si fueran un par de acción y reacción, ya que
la masa del cable se considera despreciable…
G




Mm1
rˆ  F21 rˆ  m1   2 r1 rˆ
r12
Mm2
rˆ  F21 rˆ  m 2   2 r2 rˆ
2
r2
Simplificando el versor y cambiando los signos nos queda:
G
G

Mm1
 F  m1  2 r1
2
r1



Mm2
 F  m 2  2 r2
r22
La condición de que ambos satélites tengan el mismo período, está expresada en que la velocidad
angular es la misma para ambos. F es la fuerza que ejerce el cable que los une.
G
Este sistema de ecuaciones tiene dos incógnitas. La velocidad angular  del sistema de satélites y la
tensión del cable que los une F. Tomamos como datos todas las masas, la constante G y los radios de
las órbitas.
Aclaremos que del enunciado se desprende que la distancia a que es igual a la diferencia entre los
radios de las órbitas es igual a la longitud l del cable. Si no fuera así habría que considerar que el cable
es extensible y eso daría lugar a que cada satélite tendría un movimiento oscilatorio superpuesto al
movimiento orbital.
Sumando miembro a miembro las dos últimas ecuaciones, podemos despejar la velocidad angular.
Conociendo la velocidad angular se puede calcular el período de revolución del sistema de satélites.
G



Mm1
Mm
 G 2 2  m1  2 r1  m 2  2 r2
2
r1
r2

m1 m 2
 2
r12
r2
  GM
m1 r1  m 2 r2
Con este valor de la velocidad angular, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del movimiento
se puede hallar F.
m1 m2
r23  r13
F  GM
m1 r1  m2 r2 r12 r22
De la expresión de la velocidad angular, sabiendo que es igual a 2 (1 giro) sobre el período, se puede
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despejar el período de revolución de este sistema particular de satélites unidos:
T  2
m1 r1  m 2 r2
m
m 
GM  21  22 
r2 
 r1
Sería interesante probar estas fórmulas con algunos valores particulares de los datos.
a) Por ejemplo si G = 6.6710-11Nm2/kg2 , M= 61024kg, m1 = m2 = 5000 kg, r1 = 600 km y r2 = 605
km.
b) Después de calcular T para este caso, se puede calcular T para un satélite de masa m = 10000 kg
ubicado en una órbita de radio r = 602,5 km y comparar.
c) ¿Qué pasa si los satélites se separan más? Por ejemplo se sugiere calcular con los mismos datos de
(a) pero con r2= 650 km. ¿Cómo cambian F y T?
d) ¿Y si los satélites del ejemplo (a) se ubican en órbitas más alejadas de la Tierra? Por ejemplo r1 =
1600 km y r2 = 1605 km.
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Problema 21:
Calcular el peso de un hombre de masa m = 75 kg, que se encuentra en una nave
espacial a 300 km sobre la Tierra, en una órbita circular uniforme. Hallar también la
velocidad de la nave. Datos: G, RT,
a) Según la ley de Gravitación Universal de Newton, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de
masa m ubicado a una distancia r del centro de la Tierra es:


M m
M 

FTA  G 2 rˆ    G 2 rˆ  m  m g
r
r 

En esta ecuación M es la masa de la Tierra, m es la masa del astronauta, r es la distancia desde el
centro de la Tierra hasta el punto donde está ubicado el astronauta. El paréntesis es el campo
gravitatorio2 que la Tierra produce en un punto ubicado a una distancia r de su centro. Es decir, la
fuerza que la Tierra ejerce sobre el astronauta (por eso el subíndice TA) es el peso del astronauta.
Ahora bien, r es la suma del radio terrestre RT más la altura desde la superficie terrestre hasta el punto
donde está ubicado el astronauta.
r  RT  h
Entonces el módulo del campo gravitatorio terrestre (aceleración de la gravedad) a diferentes alturas se
puede expresar de la siguiente manera.
M
g (h)  G
RT  h2
En esta fórmula se puede ver claramente que la aceleración de la gravedad disminuye con la altitud.
Para h = 0 estamos en la superficie de la Tierra y por la tanto g  9,8 m/s2.
ATENCIÓN: Esta fórmula no es válida para valores de h negativos, es decir
para puntos en el interior de la Tierra.
Entonces la aceleración de la gravedad donde está el astronauta es:
2
6  1024 kg
6  1024 kg
N  m2
m
11 N  m
g  6,67  1011

6
,
67

10
 8,94 2
2
2
2
13
2
kg 6390km  300km
kg 4,476 10 m
s
Por lo tanto el peso del astronauta a 300 km de altura sobre la superficie terrestre es de 670,6 N,
mientras que en la superficie de la Tierra pesa 735 N.
Suponemos que el astronauta está en el interior de un vehículo (transbordador, estación espacial, etc.)
o que está en el exterior del mismo realizando lo que se denomina una “caminata” espacial. Pero en
cualquiera de estos casos se encuentra orbitando la Tierra. Por ejemplo podría pensarse que está
describiendo alrededor del centro de la Tierra una circunferencia de radio 6690 km. Ahora bien, es
habitual escuchar que en estos casos el astronauta no tiene peso o los que es lo mismo, que está en
gravedad cero. Sin embargo nosotros hemos calculado tanto la gravedad, que da tan sólo un poco
menor que 9,8, y el peso del astronauta, que tampoco es demasiado chico comparado con el peso en
la superficie terrestre. Entonces, ¿Cuál es el significado de decir que el astronauta no pesa o que está
en gravedad cero?
b) Las leyes de Gravitación Universal de Newton y la segunda ley del movimiento aplicadas a la nave
en órbita circular permiten plantear la siguiente ecuación:
2
El campo gravitatorio tiene unidades de aceleración. Es decir, el campo gravitatorio no es otra cosa que la aceleración
debida a la gravedad. Por eso usamos la letra g para designarlo. Es un vector cuyo que “apunta” hacia el centro de la Tierra.
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
 v2
M  mN
ˆ

FTN  G
r

m
N 
r2
 r

rˆ 

Es decir, la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre la nave es la fuerza centrípeta que produce la
aceleración centrípeta necesaria para que la velocidad de la nave cambie continuamente de dirección
de modo tal que describe una trayectoria circular:
G
M  mN
r2
 mN
v2
r
Esta fórmula no es otra cosa que F = ma. Entonces despejando la velocidad (módulo), que no depende
de la masa de la nave, resulta:
GM
r
En nuestro caso, calculamos el módulo de la velocidad de la nave (rapidez):
v
N  m2
 6  1024 kg
2
2
kg
m
km
6 m
 59,82  10 2  7734,4  27800
6
s
h
6,69  10 m
s
6,67  1011
v
¿Rápido no? ¿Cuánto tarda esta nave en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra? La
circunferencia tiene una longitud igual a 2r. En este caso la órbita que describe la nave mide,
entonces, 42034,5 km. Si dividimos esta longitud por la rapidez nos da: ¡1 hora 30 min!
Observaciones
En todo el desarrollo del problema hemos supuesto que conocemos como datos la constante de
gravitación universal G, el radio de la Tierra RT, y la masa de la Tierra M. Pero en el enunciado
original nos dice que debemos resolverlo suponiendo como datos G y RT y no la masa de la Tierra.
Con G, RT y el valor de la aceleración de la gravedad3 en la superficie de la Tierra podemos calcular la
masa de la Tierra.
M
m
 9,8 2
2
RT
s
Entonces se puede calcular M y queda justificado todo el procedimiento anterior. También podemos
despejar M y resolver todos los pasos sin necesidad de utilizar el valor numérico de M. En este caso las
fórmulas quedan así:
g o  g (h  0)  G
M
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g o Rt2
G
g ( h)  g o
RT
Rt2
 h
2
v
g o Rt2
RT  h
Llamaremos a este valor go o también g(h=0) ya que la letra g ahora designa una magnitud que varía con h.
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Preguntas
1) En el problema 21, si por alguna razón la nave perdiera altura, ¿se movería más rápido o más
despacio?
GM
2) Utilizando la fórmula v 
, deducir la relación entre el período de revolución y el radio
r
(Tercera ley de Kepler)
M
3) Según la fórmula g (h)  G
, la aceleración de la gravedad decrece con la altitud
RT  h2
respecto a la superficie terrestre. En esta fórmula M es la masa total de la Tierra. Ahora bien,
¿por qué esta fórmula no vale para puntos por debajo de la superficie? La aceleración de la
gravedad, ¿aumenta o disminuye a medida que aumenta la profundidad?
4) Supongamos que medimos la aceleración de la gravedad en la planta baja de un edificio muy
alto con un procedimiento muy preciso y obtenemos el siguiente valor 9,80111 m/s2. ¿En qué
piso deberíamos repetir la medición para que con la misma precisión (5 decimales) pudiéramos
notar alguna diferencia? Supongamos que cada piso tien 3 metros de altura
5) En el problema 20, si las masas de los satélites son iguales, es decir m1 = m2 y la longitud del
cable es cero, es decir r1= r2, ¿cómo queda la fórmula del período de revolución orbital?
6) Si al llegar a un planeta desconocido podemos medir su radio y la aceleración de la gravedad
en su superficie, ¿Se puede calcular la masa del planeta? Si se puede explicar cómo hacerlo. Si
no se puede explicar si faltan datos o alguna otra información relevante.
7) Si al llegar a un planeta desconocido nos quedamos en nuestra nave en una órbita circular
alrededor de dicho planeta. ¿cómo podríamos determinar la masa de ese planeta? ¿Qué
magnitudes deberíamos medir?
8) Algunos satélites se usan como espías. ¿Se puede “detener” un satélite sobre una localidad
determinada para “ver” en vivo lo que está ocurriendo allí? ¿Se puede retardar o acelerar el
movimiento de un satélite en órbita circular? Es decir, ¿se puede lograr que tenga una
aceleración tangencial? Si esto es posible, cuáles serían las consecuencias no deseadas de esta
maniobra.