Problemas de aplicación

Problemas de aplicación
15. Una circunferencia mide 48,56 cm y las dos tangentes trazadas desde un punto
exterior forman un ángulo de 25º. Calcula la distancia del centro de la circunferencia a
dicho punto.
Solución: 35,71 cm aproximadamente.
En primer lugar, calculamos el radio de la circunferencia:
r
48,56
 7,73 cm.
2
sen 12,5º = r / D  D = r / sen 12.5º  D = 35,71 cm
16. Los radios de dos circunferencias tangentes exteriormente son de 15 cm y 8 cm,
respectivamente. Calcula el ángulo que forman sus tangentes comunes.
Solución: 35º 26' 16,31''
Por semejanza de triángulos:
8
15
 x  26,29 cm

x x  23
Por lo que sen  = 8/ x   17,7189. . º  2 35,4378. . º  35º 26' 16,31''

17. Bajo un ángulo de 90º, un barco divisa dos plataformas petrolíferas. Sabe que la
distancia a una de las plataformas es de 6,8 km, y que la distancia ala línea imaginaria
que las une es de 6 km. Calcula la distancia entre las plataformas y la distancia del barco
a la segunda plataforma..
Solución: Aproximadamente 14,45 km y 12,75 km, respectivamente.
Sea x la distancia a la segunda plataforma e y la distancia entre las plataformas.
6
De esta igualdad se deduce el ángulo y a partir de él, tenemos que:
6,8
x = 6,8· tg   12,75 km e y = 6,8/cos  14,45 km
sen 
18. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 32º 24' 36''. El lado desigual mide
7 cm. Calcula el área del triángulo
Solución:
h =3,5/tg 16º12'18'', A = b·h/2 = 7/2·3,5/tg 16º12'18''=42,15 cm2
19. El área de un triángulo rectángulo es 30 cm2, y su hipotenusa mide 13 cm. Averigua
el valor de los ángulos agudos de dicho triángulo.
Solución: 67º22'48,49'' y 22º37'11,51''
20. Situados en un punto de un terreno horizontal, el ángulo que forma la visual dirigida al
punto más alto de un árbol con la horizontal, es de 60º. ¿Cuál será el ángulo que formará si nos
alejamos una distancia el triple de la inicial?
Solución: tg  = tg 60º/3  = 30º
21. Desde el suelo, vemos la terraza de un rascacielos bajo un ángulo de 40º. ¿Con qué ángulo
la veríamos desde una distancia que fuera la mitad de la anterior?
Solución: tg  = 2 · tg 40º  = 59º12'36,96''
22. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide el triple que uno de los catetos.
Averigua el valor de los ángulos de este triángulo y la relación entre la hipotenusa y el
otro cateto.
Solución: Los ángulos agudos miden 70º 31' 43,61'' y 19º28'16,39''
Por Pitágoras, el otro cateto mide 2 2 del primero, por lo que la relación entre la
hipotenusa y él es 3/2 2
23. Calcula los ángulos que determina la diagonal de una caja de zapatos de 35x20x15
cm con cada una de las caras.
Solución Con la cara de 35X20, 20º24'37,6'', con la cara de 35x15, 27º42'34,6'', con la
cara de 15x20, 54º27'44,36''.
24. Un rectángulo de 3cmx4cm está inscrito en una circunferencia. Calcula cuánto
miden los arcos que determina en ella.
Solución:
La diagonal del rectángulo mide 5 cm, por tanto el radio 2,5 cm. Los ángulos que
determinan las diagonales son:
tg = 2/1,5 = 53,13º  2=106,26º y, por tanto el otro ángulo será 73,74º
Los arcos medirán, dos a dos:
2  2,5
2  2,5
106,26º
y 73,74º
 4,64 cm
 3,22 cm
360º
360º
25. Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcula:
a) el área del pentágono
b) el área de la corona circular que forman dicha circunferencia y la circunferencia
inscrita en el pentágono.
Solución: a) 118,88 cm2, b) 108,54 cm2
a) El ángulo central del pentágono mide 72º. Si l es el lado del pentágono:
l/2= 10· sin 36º = 5,88 cm, por lo que l = 11,76 cm
El apotema, a: a= 10·cos 36º=8,09 cm
A= 5·10 sin 36º· 10cos 36º/2= 118,88 cm2
b) El radio de la circunferencia inscrita es a= = 10·cos 36º=8,09 cm
Por tanto, el área de la corona circular es:
A = (102 - 8,092) = 108,54 cm2
26. Calcula el área del segmento circular correspondiente a un ángulo central de 115º en
una circunferencia de 15 cm de radio
Solución: 123,84 cm2, aproximadamente
Debemos calcular el área de la zona sombreada.
Calculamos primero el área del sector circular y a continuación le restamos el área del
triangulo isósceles cuyo ángulo desigual mide 115º y sus lados iguales, 15 cm
Área del sector =
115
  152  225,80 cm2
360
Ahora se calcula la altura del triángulo correspondiente a uno de los lados iguales:
h = 15 · sen 115º
Y el área del triángulo es: Área del triángulo = 15· 15 · sen 115º / 2  101,96 cm2
Por tanto, el área del segmento circular es de:
Área del segmento  225,80 - 101,96 = 123,84 cm2
El área del segmento circular es 123,84 cm2, aproximadamente.
27. Dos observadores ven el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 58º y 75º,
respectivamente, tal como indica la figura. La distancia que los separa es de 25 metros.
Calcula la altura de la torre.
Solución:
tg 58º= h/(25-x)
tg 75º = h/x
h = 28 m
28. Se observa la cima de un promontorio de altura 100m bajo un ángulo de 17º. Nos
acercamos una cierta distancia y entonces el ángulo de elevación es de 30º. Calcula qué
distancia nos hemos acercado.
Solución:
tg 17º = 100/x
x  327,085 m
tg 30º = 100/(x-d)
d  153,880 m
Nos hemos acercado 153,88 m aproximadamente.
29. Para medir la anchura de un río, dos amigos se colocan en una de las orillas
separados una distancia de 150m. Los dos miden el ángulo que forma su visual a un
mismo punto de la orilla contraria con la recta que los une y resultan 39º y 75º, tal como
indica la figura. ¿Cuál es la anchura del río?
Solución:
tg 75º = a/(150-x)
tg 39º = a/x
 a = 99,81 m