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UNIDAD 5
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
PROBLEMAS PROPUESTOS
Objetivo general.
Al terminar esta unidad resolverás ejercicios en los que apliques los
resultados de los productos y cocientes notables.
Objetivos específicos:
1. Recordarás a qué se llama productos y cocientes notables.
2. Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el cuadrado de un binomio.
3. Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el producto de la suma por la
diferencia de dos cantidades.
4. Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el cubo de un binomio.
5. Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el producto de dos binomios con
un término común.
6. Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la diferencia de
los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.
7. Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de fracciones cuyo
numerador sea la suma o la diferencia de los cubos de dos cantidades, y el
denominador la suma o la diferencia de las cantidades.
Problemas propuestos:
Calcula los productos notables indicados:
 2x
2.)
1  a 
3.)
x
4
4.)
x
 1
5.)
3
3
 w  9z 
4

6.)
 1
1  
 x
7.)
 7c 3d 
  
2 
 3
8.)
 p4 6 
 2  6
t 
q
9.)

10.)
x
11.)
1


a
 3 ab 
2


12.)

3 y2
2
x


2

13.)

14.)
 x 1 
 1

 2

15.)
 9rs 2  6r 2 


3r


16.)
x
17.)
 x  y   xy 
2
 10 y 
2
1.)
5k 2
2
y  y3z2 
2
3
2
2
2
2
xy  7 x
m
2

y n  y2n 
a3b

2
2
2

x

2
2
2
xy  y xy
2

2
2
 a  b 2  a 2 


2
18.)
19.)
 a  2b   a 2 
2
20.)
 x  y 2   x  y  2 


2 1.)
 xy  by  xy  by 
2 2.)
b 
b

 5a    5a  
2 
2

2 3.)
1  2 1 

2
 4 s  p  4 s  p 
3 
3 

2 4.)
x
2 5.)
1 
1 

 x
 x 

x 
x

2 6.)
x 
x 

 x
 x 

x 
x

2 7.)
 2a  b  c  2a  b  c 
2 8.)
 x  y  z  x  y  z 
2 9.)
 x2
4
 3
2

a 1
 2 y b 1  x a 1  2 y b1 
 x 2

x   3 4 x 
 2

z

 z   5x 2  
2

30.)
10 x
3 1.)
a
2
3 2.)
a
x
3 3.)
1

 3x  
x

3 4.)
2 2 3 
 x  y
2 
3
3 5.)
 a  b 
2
2
 ab 
3
3
 ay 
3
3
3
3
3 6.)
x 2 x
3 7.)
 2a  b  c 
3 8.)
 4  xy 
 2 
 x 
3 9.)
3
1 
 x 6 3
x 

40.)
Comprueba que si los términos del ejercicio resuelto 10.) se agrupan como
3
3
3
b  c  23
3
se obtiene el mismo resultado.
Calcula los productos notables indicados:
4 1.)
1 

 x  y  x  y
2 

4 2.)
 2 1  2 a 
 a   a  
a 
4

4 3.)
 r s  3r   1r  r s 
4 4.)

4 5.)
 2x

y  2 x

 x y 



x  x
 x

4 6.)
 a  2  b  c  a  b  c 
4 7.)
1  2 x  x 1  2 x  3x 
4 8.)
 ax  by  2by  2a 
4 9.)
x
2
2
a b

a  7a b

2
2
 3 y  1  x  3 y  1
Calcula los cocientes notables indicados:
2
50.)
x2  1
x 1
51.)
x 2n  y 2 n 2
x n  y n 1
52.)
4x  y4
2 x  y2
x y
53.)
x y
54.)
r 2 s4  r 4 s 2
rs 2  r 2 s
55.)
8x  2
64 x 2  4
56.)
57.)
x3 z  xy
4
x3 z  4 xy
2 x 6 y 2  72 x 2 y 6
2  x3 y  6 xy 3 
58.)
a 2  b 2  c 2  2ab
abc
59.)
m3 r 3  1
1  mr
60.)
a3b6  1
ab 2  1
61.)
62.)
63.)
64.)
125  1000 z


5 23 z 1
a6  b6
b2  a 2
4 16 x 6  1024 y 3 
4 x 2  16 y
x 4  8z3
x
4
3
 2z
3
65.)
66.)
67.)
 c6
a  b
a  b  c2
 x  1
3
1
x2
 2 x  1
3
  x  1
3
3x  2
Soluciones:
1.)
4 x 4  40 x 2 y  100 y 2
2.)
1  2a 5 k  a10 k
3.)
x8 y 2  2 x 4 y 4 z 2  y 6 z 4
4.)
x 4  2 x2  1
5.)
9 2 27 3
w  wz  81z 6
16
2
6.)
1
7.)
49c 2
9d 2
 7cd 
9
4
8.)
p8 12 p 4 36


q 4 q 2t 6 t12
9.)
xy  14 x y  49 x
10.)
x2 m y 2n  2 xm y3n  y 4 n
11.)
9ab  3a b 
12.)
4x  6 y2 x 
13.)
3
2 1

x x2
a
4
9 4
y x
4
a 2  2 3 ab  3 b 2
14.)
x2 3x 9
 
4 2 4
15.)
9s 4  12 s 2 r  4r 2
16.)
x3 y  2 x 2 y 2  y 3 x
17.)
x 2  2 xy  y 2  2 x 2 y  2 xy 2  x 2 y 2
18.)
4a 4  8a 3b  8a 2b 2  4ab3  b 4
19.)
a 4  2a 3  a 2  4a 2 b  4ab  4b2
20.)
4 x4  8x 2 y 2  4 y 4
2 1.)
x 2 y 2  b2 y 2
2 2.)
25a 2 
2 3.)
1 2
p  16s 4
9
2 4.)
x 2 a  2  4 y 2 b 2
2 5.)
x
2 6.)
0
2 7.)
4a 2  4ab  b2  c 2
2 8.)
x 2  y 2  2 yz  z 2
2 9.)
x4
9 x
4
30.)
b2
4
1
x
50 x 4 
z2
2
3 1.)
a 6  3a 5b  3a 4 b 2  a 3b3
3 2.)
a 3 x  3a y  2 x  3a 2 y  x  a3 y
3 3.)
27 x3  27 x 
3 4.)
8 6
9
27 3
x  2 x4 y  x 2 y 2 
y
27
2
8
3 5.)
a 3  3a 2 b  3ab 2  b3 , ó   a 3  3a 2b  3ab 2  b3 
3 6.)
x3  6 3 x 7  12 3 x 5  8 x
3 7.)
8a 3  12a 2b  6ab 2  b3  12a 2 c  12abc  3b 2 c  6ac 2  3bc 2  c 3
9 1

x x3
3 8.)
64 48 y 12 y 2 y 3
 5  4  3
x6
x
x
x
3 9.)
x
40.)
36 x7 33 x
x3

 3
x
x
x
b3  3b 2 c  3bc 2  c3  6b 2  12bc  6c 2  12b  12c  8
3
1
xy  y 2
2
2
4 1.)
x2 
4 2.)
a3
1
a  a
4
4
4 3.)
r 4 s 2  3r 3 s  rs  3
4 4.)
a  ab  7 a ab  7 ab
4 5.)
y2  2
4 6.)
a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc  2a  2b  2c
4 7.)
3 x 4  4 x 3  2 x 2  4 x  1
4 8.)
2b 2 y 2  2abxy  2aby  2a 2 x
4 9.)
x3  x 2  x  3xy  3 x 2 y  6 y  9 y 2  1
4
50.)
x 1
51.)
x n  y n 1
52.)
2 x  y2
53.)
x y
54.)
rs 2  r 2 s
55.)
1
8x  2
56.)
57.)
4
y
2
 2y 
x
x
x3 z  4 xy
2 x3 y  6 2 xy 3
58.)
abc
59.)
m 2 r 2  mr  1
60.)
a 2 b 4  ab 2  1
61.)
100 3 z 2  50 3 z  25
62.)
a 4  a 2 b 2  b 4
63.)
16 x 4  64 x 2 y  256 y 2
64.)
3
x8  2 3 x 4  4 z 2
65.)
a 2  2ab  b 2  ac 2  bc 2  c 4
66.)
x2  x  1
67.)
3x 2  3x  1