Propuestos_Trigonometria.pdf

UNIDAD 11
TRIGONOMETRIA
PROBLEMAS PROPUESTOS
Objetivo General
Al terminar esta unidad podrás resolver ejercicios y problemas utilizando
las funciones trigonométricas.
Objetivos específicos:
1. Recordarás las funciones trigonométricas en los triángulos
rectángulos.
2. Recordarás el uso de funciones trigonométricas en los ángulos en
general.
3. Recordarás los valores de las funciones trigonométricas en ángulos
usuales.
4. Recordarás el uso de grados y radianes. Utilización del círculo
unitario y proyecciones.
5. Recordarás el uso de las identidades trigonométricas fundamentales.
6. Recordarás la variación de las funciones trigonométricas según al
cuadrante al que correspondan los ángulos.
7. Recordarás el uso de unciones trigonométricas inversas.
8. Recordarás la ley de los senos y de los cosenos.
Ejercicios propuestos:
1) Halla los valores exactos de las 6 funciones trigonométricas de θ, si θ está en
posición estándar y P(-2, -5) se encuentra en el lado terminal.
2) Indica los valores de las 6 funciones trigonométricas par el ángulo θ.
5
4
θ
3
3) Encuentra los valores exactos de x y y
x
7
45°
y
4) Un leñador ubicado a 200 pies de la base de una secoya (es un tipo de árbol), se
observa que el ángulo entre el suelo y la parte superior es de 60°. Calcula la
altura del árbol.
5) Halla el valor exacto para
2π
⎛ 5π ⎞
a) sen
b) sen ⎜ − ⎟
3
⎝ 4 ⎠
6) Halla el valor exacto para
2π
⎛ π⎞
a) sec
b) sec ⎜ − ⎟
3
⎝ 6⎠
7) Calcula a tres lugares decimales
a) tan 21°10 '
b) cot 1.13
8) Brazo de un robot. Los puntos en lados terminales de los ángulos desempeñan
una parte importante en el diseño de brazos de robots. Supón que una máquina
tiene un brazo recto de 18 pulgadas de largo, que puede girar alrededor del
origen en un plano coordenado. Si la mano del robot se sitúa en (18, 0) y luego
gira en un ángulo de 60°, ¿cuál es la nueva posición de la mano?
9) Da la medida exacta del ángulo en radianes
a) 150°
b) -60°
c) 225°
10) Da la medida exacta del ángulo en radianes
a) 450°
b) 72°
c) 100°
11) Halla la medida exacta del ángulo en grados
a) −
7π
2
b) 7π
c)
π
9
12) Expresa θ en grados, minutos y segundos, hasta el segundo más cercano.
θ=5
13) Rotación de la Tierra. Nuestro planeta gira alrededor de su eje una vez cada 23
horas, 56 minutos y 4 segundos. Calcula el número de radianes que la Tierra gira
en un segundo.
14) Hallar el valor exacto de la expresión siempre que se encuentre definida
⎛
2⎞
⎛ 1⎞
a) sen −1 ⎜⎜ −
b) cos −1 ⎜ − ⎟
⎟⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠
15) Hallar el valor exacto de la expresión
⎡
⎛ 3 ⎞⎤
a) sen ⎢ arc sen ⎜ − ⎟ ⎥
⎝ 10 ⎠ ⎦
⎣
(
c) tan −1 − 3
1⎞
⎛
b) cos ⎜ arc cos ⎟
2⎠
⎝
)
c) tan ( arc tan 14 )
16) Hallar el valor exacto de la expresión
1
⎛
⎞
a) sen ⎜ arc sen + arc cos 0 ⎟
2
⎝
⎠
4⎤
⎡
⎛ 3⎞
b) cos ⎢ arc tan ⎜ − ⎟ − arc sen ⎥
5⎦
⎝ 4⎠
⎣
4
8⎞
⎛
c) tan ⎜ arc tan + arc cos ⎟
3
17 ⎠
⎝
17) Verifica la siguiente identidad
sen −1 x = tan −1
x
1 − x2
18) Verificar la siguiente identidad
arc sen ( − x ) = −arc senx
Soluciones:
1) −
2)
5
2 5 2
29
29
,−
, , ,−
,−
2
5
29
29 2 5
4 3 4 3 5 5
, , , , ,
5 5 3 4 3 4
3) x = 7 2
y=7
4) 200 3 ≈ 346.4 ft
3
2
b)
2
2
6) a ) − 2
b)
2
3
5) a)
7) a) 0.387
b) 0.472
8) (9, 9 3)
9) a )
5π
6
b) −
10) a)
5π
2
b)
11) a) − 630°
π
3
2π
5
c)
5π
4
c)
5π
9
b) 1260°
c) 20°
12) 286° 28' 44 ''
13) 7.29*10−5
14) a ) −
π
4
b)
2π
3
c) −
π
3
15) a ) −
3
10
16) a) −
3
2
1
2
c) 14
b) 0
c) −
b)
Sea α = sen −1 x y β = tan −1
17)
−
π
2
<β <
π
2
77
36
x
1+ x
2
con −
π
2
<α <
π
2
y
por lo tan to, senα = x y senβ = x. Como la
⎛ π π⎞
funcion seno es biunivoca en ⎜ − , ⎟ , tenemos α = β
⎝ 2 2⎠
Sea α = arc sen(− x) y β = arc senx con −
18)
π
π
2
≤α ≤
π
2
y
; por lo tan to, senα = − x y senβ = x. Con sec uentemente,
2
2
senα = − senβ = sen ( − β ) . Dado que la funcion seno es
−
≤β ≤
π
⎡ π π⎤
biunivoca en ⎢ − , ⎥ , tenemos α = − β .
⎣ 2 2⎦