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UNIDAD 3
LOGARITMOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los
logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los
logaritmos y sus leyes.
Objetivos específicos:
1. Reconocerás las necesidades que motivaron el descubrimiento de los logaritmos
y valorarás su importancia y utilidad en el desarrollo de las matemáticas
aplicadas.
2. Recordarás la definición de logaritmo.
3. Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales y los logaritmos base
diez.
4. Recordarás las propiedades generales de los logaritmos.
5. Recordarás las leyes de las operaciones con logaritmos.
6. Recordarás el procedimiento para cambiar logaritmos de una base a otra.
7. Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos.
8. Aplicarás logaritmos en la resolución de problemas de casos reales.
Problemas propuestos:
Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial.
1.)
2.53  15.625
2.)
64  1296
3.)
23  0.125
4.)
144
5.)
4
3
1
2
2
 12

1
8
Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica.
6.)
log 3 729  6
7.)
log 9 27  3 2
8.)
log 36 6  1 4
9.)
log 9 243  2.5
10.)
log 1 64  6
2
Determina el valor de la incógnita.
11.)
log 2 x  4
12.)
log 5 x  0
13.)
log 3 x  2
4
14.)
log 1 x  3
2
15.)
log x 81  4
16.)
log x 16  4
17.)
log x
18.)
log x 4   2 5
1
3
8
19.)
log 2 64  x
20.)
log 3
1
x
81
Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los
logaritmos naturales de los números que se proponen:
21.)
2
22.)
20
23.)
200
24.)
1
25.)
1
2
20
Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si ése es su valor, y una P si es positivo
(diferente de 1) o una N si es negativo.
26.)
log 3 72
27.)
ln 0.333
28.)
log 12 11
29.)
log11  12 
30.)
log 6 63
31.)
log 9 32
32.)
ln 7
33.)
log10
34)
Demuestra la ley de la potencia para los logaritmos.
4
Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones:
35.)
log 6  23  3
36.)
ln
3x
2
37.)
38.)
4
ab
3
log 1  xyz 
log 3
2
39.)
40.)
41.)
42.)
log  a 2  b 2 
 3m  2n 
log 2 

 2 
log 1.5a 3b5 
  3 xy  z 2 
ln 

3
 2 x

Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las expresiones:
43.)
log a  log b  log c  log d
44.)
1
log 5 a  log 5 b  4 log 5 c
2
45.)
1
2
3
log x  log y  log z
2
3
4
46.)
1

 1

3  log x  log y   4  log x  log y 
3

 2

47.)
log 2 7  log 2 2 x  2  log 2 x  2 log 2 7 
48.)
 x  5 ln 4  ln 3
Sabiendo que ln 2 = 0.693147...; ln 3 = 1.098612...; ln 5 = 1.609438... y log 7 = 1.945910...;
calcula, utilizando sólo estos valores, los siguientes logaritmos:
49.)
ln12
50.)
ln
51.)
ln 225
52.)
ln 3.5
5
7
Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan.
53.)
ln 0.19 si log 0.19  0.721246... y log e  0.434294...
54.)
log 1 6 si log 2 6  2.584963... y log 2
2
55.)
1
 1
2
log 45 si ln 5  1.609438..., ln 3  1.098612...
y ln10  2.302585...
Obtén el valor de la incógnita:
56.)
4 log  3  2 z   1
57.)
log  x  3  log 2  log  x  2 
58.)
2 log  x  5   log  x  7 
59.)
ln  y 2  15   ln  y  3  ln y
60.)
log 2  x 2  1  log 2  x  1  2
61.)
2 log  3x  4   log100  2 log  2 x  1
62.)
log 3  x  a   log 3  x  a   log 3 x  log 3  x  a 
63.) ¿Cuántos años deberán transcurrir para que un capital de $ 8,250.00 invertidos a
una tasa anual de 4.25% se incrementen hasta lograr un capital de $ 10,590.00?
64.) ¿Cuál es el capital inicial necesario para acumular $ 8,019.25 en una inversión a
tres años que rinde el 3.3% de interés anual?
65.) Si en un hospital se inyecta una transfusión a un paciente a razón de 0.5 cm3 por
minuto, y se drena la sangre a la misma tasa, y si en la transfusión se ha disuelto
un medicamento con una concentración de 20 gramos por centímetro cúbico, la
ecuación que determina la cantidad de medicamento en la sangre del paciente, x,
después de t minutos es:
1  10  x  e
5
1
0.0001 t
¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que se tengan 500 g de medicamento
en la sangre del paciente?
66.) Si un refresco que está dentro de una hielera se saca a la intemperie y la
temperatura ambiente es de 21º C, cuánto tiempo tiene que transcurrir para que
el refresco se caliente hasta 12º C si en este caso C = – 19 y k = – 0.04152?
67.) La población de un país crece a una tasa anual de 1.12 %. Si actualmente hay 62
millones de habitantes, ¿cuánto tiempo habrá de transcurrir para que la población
aumente hasta 75 millones?
Soluciones:
1.)
log 2.5 15.625  3
2.)
log 6 1296  4
3.)
log 2 0.125  3
4.)
log144 12  1 2
5.)
log 4
6.)
36  729
7.)
9
8.)
36
9.)
92.5  243
10.)
1
   64
2
11.)
x  16
12.)
x 1
13.)
x  9 16
14.)
x8
15.)
x3
16.)
x  12
17.)
x  12
18.)
x  1 32
19.)
x6
20.)
x  4
21.)
log 2  0.301030...
ln 2  0.693147...
22.)
log 20  1.301030...
ln 20  2.995732...
23.)
log 200  2.301030...
ln 200  5.2983174...
3
2
1
1
3
2
8
 27
4
 6
6
24.)
log 1 2  0.301030...
ln 1 2  0.693147...
25.)
log 1 20  1.301030...
ln 1 20  2.995732...
26.)
(P)
27.)
(N)
28.)
(X)
29.)
(X)
30.)
(P)
31.)
(1)
32.)
(P)
33.)
(1)
log a x  p
34.)
n
x n   a p   a pn

x  ap

log a x n  pn
log a x n   log a x  n  n log a x

35.)
3log 6 2  log 6 3
36.)
1
1
ln 3  ln x  ln 2
2
2
37.)
log 3 4  log 3 a  log 3 b
38.)
3log 1 x  3log 1 y  3log 1 z
2
2
39.)
log  a  b   log  a  b 
40.)
log 2  3m  2n   log 2 2
41.)
log1.5  3log a  5log b
42.)
2 ln  3 xy  z   ln 2  3ln x
43.)
log
44.)
log 5
ab
cd
4
45.)
log
a b
c4
x2 z3
3
y2
2
46.)
log x 5 y 3
47.)
log 2
48.)
4
ln  
3
49.)
2.484907...
50.)
0.336472...
51.)
5.416100...
52.)
0.626381...
53.)
1.660731...
54.)
2.584963...
55.)
1.653213...
56.)
57.)
58.)
59.)
60.)
63.)
z  0.6108...
x  1
x  3
y5
x5
x  322 391
a
x ,
3
6 años.
64.)
$ 7,275.00
65.)
50 minutos
66.)
8 minutos
67.)
17 años
61.)
62.)
x
2  73
x5
a0