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7. 1
UNIDAD 7
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que
involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo
grado
Objetivos específicos:
1. Recordarás a qué se llama: ecuación idéntica o identidad; ecuación condicional
o ecuación; variable o incógnita, y constante.
2. Recordarás a qué se llama: solución o raíz de una ecuación; conjunto de
soluciones de una ecuación; ecuaciones equivalentes; ecuaciones de primer
grado y ecuaciones de segundo grado.
3. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones básicas
y las utilizarás para resolver una ecuación, transformándola en ecuaciones
equivalentes.
4. Resolverás ecuaciones de primer grado.
5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización.
6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y resolverás
ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.
7. 2
Objetivo 1. Recordarás a qué se llama ecuación condicional o ecuación;
variable o incógnita; constante, y ecuación idéntica o identidad.
Se llama ecuación a una proposición algebraica que establece la igualdad entre dos expresiones a
las que se llama miembros de la ecuación. En una ecuación hay una o más cantidades desconocidas
llamadas variables o incógnitas y números llamados constantes.
Una ecuación que se satisface para todos los valores de las variables para los que están definidos
ambos miembros de la ecuación, se llama ecuación idéntica o identidad. En una identidad es común
sustituir el signo = por el símbolo  que se lee “idéntico a”.
Ejemplos:
1.)
a  b 2  a 2  2ab  b 2
Como se puede observar, la igualdad es cierta para cualquier valor de a, b ε R
puesto que el segundo miembro es el desarrollo del cuadrado del binomio del
primer miembro.
x2
1
2.)
 x 1 
; x ≠ –1
x 1
x 1
La división algebraica de la fracción del primer miembro da como resultado un
cociente de  x  1 y un residuo de 1:
x 1
x 1
x2
 x2  x
___________
x
 x 1
_________
+1
Por ello, la ecuación propuesta es una identidad para todos los valores de x, excepto
para x  1 , debido a que este valor produce un cero en el denominador de los dos
7. 3
miembros de la ecuación. En estos casos se dice que cada miembro de la ecuación
es indefinido para x  1 .
Una ecuación condicional, o simplemente una ecuación, es una igualdad que resulta verdadera
solamente para alguno o algunos valores de las variables.
Ejemplos:
1.) 2 x  3  x  2
En este caso la igualdad se cumple únicamente cuando x  5 . Cualquier otro valor
de la variable x hace que la proposición sea falsa.
2.) x  y  10
Esta igualdad es verdadera para un número infinito de pares de valores de x y de y,
pero no para cualquier par de valores. Por ejemplo, se cumple para x  5, y  5 ;
para x  0, y  10 ; para x  14, y  4 , etcétera; pero no se cumple para
x  5, y  4 ; x  0, y  12 ; x  14, y  3 etcétera.
3.)
x 2  3x  2  0
Esta proposición es verdadera tanto cuando x  2 como cuando x  1 .
Objetivo 2.
Recordarás a qué se llama solución o raíz de una ecuación,
conjunto de soluciones de una ecuación, ecuaciones equivalentes, ecuaciones de
primer grado y ecuaciones de segundo grado.
Si una ecuación se convierte en identidad para algunos valores de las variables, se dice que la
ecuación se satisface para dichos valores. Los valores de las variables que satisfacen a la ecuación
se llaman solución o raíz de la ecuación, y cuando hay más de una solución, a la totalidad de ellas
se le llama conjunto de soluciones.
7. 4
Resolver una ecuación significa encontrar su conjunto de soluciones.
Ejemplos:
En los siguientes ejemplos, donde x   , se encuentra el conjunto de soluciones y se indica
el número de elementos de dicho conjunto.
1.)
1
3
x6  2 x
2
2
Se prueba para diferentes valores de x si se encuentra(n) alguno(s) para los que la
igualdad se cumple, por ejemplo, para x  2 :
1
2  6  2  3 2
2
2
;
1 6  2  3
Para x  3 :
1
3  6  2  3 3
2
2
;
3
9
6  2
2
2
;
26  26
Para x  4 :
1
4  6  2  3 4
2
2
Puesto que la ecuación se satisface para x  4 , y sólo para este valor, la solución o raíz
es única y el conjunto de soluciones de la ecuación es 4
2.) x 4  16  0
Nuevamente al hacer la sustitución directa para diferentes valores de x de entre los
números enteros, se obtiene que la ecuación se satisface para x  2 y para x  2 .
Por lo tanto, su conjunto de soluciones tiene dos elementos: {–2, 2}
3.) x 2  9  0
Para esta ecuación no existe número real alguno que la satisfaga ya que tanto x  3
como x  3 hacen que el primer miembro sea igual a 18 y no a cero. En este caso no
existe solución en  por lo que el conjunto solución es vacío: 
7. 5
4.)
2 x  22  4 x 2  8 x  4
Se observa que la ecuación propuesta es una identidad porque el segundo miembro es
el desarrollo del binomio cuadrado del primer miembro: el cuadrado del primero menos
el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Recordando
el contenido del objetivo 1, se cumple para todo valor de x en el conjunto de los
números reales por lo tanto, su conjunto solución es { x x   } y su número de
elementos es 
5.)
x2  4  0
Como en el ejemplo 2.) esta ecuación tiene dos raíces: x = 2 y x = – 2, de modo que su
conjunto de soluciones tiene dos elementos: {–2, 2}.
En los ejemplos 2 y 5 el conjunto de soluciones de la ecuación que se analizó en cada uno es el
mismo: {–2, 2}. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de
soluciones.
Al igual que un polinomio, el grado de una ecuación con una variable, es el mayor exponente al
que se encuentra elevada la incógnita en alguno de los miembros de la ecuación.
Ejemplos:
1.) El grado de la ecuación
5 x  12  9 
3
x
2
es 1, puesto que en los dos miembros de la ecuación el mayor exponente al que se
encuentra elevada la variable x es 1
2.) La ecuación
3 y 2  5 y  9  12 y 3  7
es de grado 3 porque es la mayor potencia a la que aparece elevada la variable y en
el segundo miembro.
7. 6
3.) Para determinar el grado de la ecuación
x
3
 
2

2
3
 6  3x 2  1  9  x 
Se analiza la expresión y al recordar que al elevar un exponente a otra potencia los
 
exponentes se multiplican, entonces, en el primer término la variable x 3
 
en los otros términos: 3x 2
2
 9x 4 y
 x 3   x 3 .
2
 x6 y
Por lo tanto, el grado de la
ecuación es 6.
Las ecuaciones de grado uno, o de primer grado, se llaman también ecuaciones lineales; las
ecuaciones de grado dos, o de segundo grado, se llaman también ecuaciones cuadráticas.
Ejemplos:
1.) Las siguientes expresiones son ejemplos de una ecuación de primer grado o lineal:
a) 2 x  7  15
La variable tiene exponente 1 en el único término en que aparece.
b) 3 z  11  4  9 z 
La variable z aparece en los miembros de la ecuación, pero en ambos su
exponente es 1 y por los productos indicados no puede variar.
c)
x
1
1  x 
2
2
Como en el ejemplo anterior, x tiene exponente 1 en los términos en que
aparece y no puede modificarse por las operaciones involucradas.
d) 4 
5
3 ; y≠0
y
Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por la variable y, se obtiene la
ecuación equivalente:
4y  5  3y
que es una ecuación de primer grado.
7. 7
e)
a 2  36
0.
a6
Aunque a primera vista la ecuación parece de segundo grado, el numerador es
una diferencia de cuadrados cuya factorización se simplifica con el
denominador como:
a 2  36 a  6a  6

 a6
a6
a6
por lo que la ecuación
a 2  36
0
a6
es equivalente a la ecuación
a6  0
que es de grado uno.
2.) Las siguientes expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
a) 9 x 2  11x  3 
x 1
2
El primer miembro tiene a la variable elevada a la segunda potencia y no existe
otro término con el que pudiera eliminarse.
b)
x  37  2 x   x  21
El producto de los binomios en el primer miembro de la ecuación da como
resultado un término en x 2 , por lo tanto la ecuación es de segundo grado o
cuadrática.

c) x 2  10

2
 x 4  2x 2
Cuando se eleva al cuadrado el binomio del primer miembro se tiene
x 
2 2
 x 4 , sin embargo en el segundo miembro aparece también x 4 con el
mismo signo, por lo que al transponerse se cancelan y el mayor exponente de x
es 2, tanto en el primero como en el segundo miembro.
d)
x9
 x  1; x ≠ 0
x
7. 8
Al multiplicar los dos miembros de la ecuación por la variable x se obtiene la
ecuación equivalente:
x  9  x x  1
que es una ecuación cuadrática por el producto que aparece en el segundo
miembro.
Objetivo 3. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro
operaciones
básicas
y
las
utilizarás
para
resolver
una
ecuación
transformándola en una ecuación equivalente.
Uno de los métodos que se emplean para resolver una ecuación consiste en derivar de ella una serie
de ecuaciones equivalentes, cada una más sencilla que la anterior, hasta llegar a una cuya conjunto
de soluciones es obvio. Las operaciones que pueden efectuarse en una ecuación dada para obtener
una equivalente, se derivan de las propiedades de las igualdades para la adición, la sustracción, la
multiplicación y la división, que pueden resumirse como sigue:
Si p  q es una ecuación, con p y q expresiones algebraicas en x, si r es otra expresión
algebraica en x , y k es una constante diferente de cero , entonces
a) Si se suma o se resta la misma expresión r a ambos miembros de la ecuación, la
ecuación que resulta es equivalente a la dada:
p  q es equivalente a p  r  q  r y también p  r  q  r
b) Si ambos miembros de la ecuación se multiplican por, o se dividen entre la misma
constante no nula, la ecuación resultante es equivalente a la dada:
p  q es equivalente a kp  kq y también
p q
 , para k  0
k k
En el proceso de solución de una ecuación se aplican estas propiedades tantas veces como sea
necesario, hasta obtener la o las raíces de la ecuación.
7. 9
Debe notarse que, mientras en a) se menciona la “expresión r”, que puede ser una constante o un
polinomio, en el caso b) k es una “constante no nula”, y se restringe a ello porque si se multiplica o
divide una ecuación por una expresión que contiene una variable, la ecuación que resulta puede o
no ser equivalente a la original. Cuando no es equivalente puede ocurrir que, o bien se obtenga una
raíz extraña (porque no corresponde a la ecuación original), o que se pierda una raíz de la ecuación
original. Un caso de cada una de estas situaciones se analiza en los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
1.) La ecuación
5 x  20  2 x  80 se resuelve transformándola en una ecuación
equivalente más sencilla.
Para determinar el valor de la incógnita se debe obtener una sucesión de ecuaciones
equivalentes a la original cada vez más sencillas hasta “despejar” a x. Para esta
ecuación se necesita aplicar el principio de la suma de una expresión a los dos
miembros, eligiendo r  2 x  20 , con la cual todos los términos en x estarán en
el primer miembro y todos los términos constantes en el segundo:
5 x  20  2 x  20  2 x  80  2 x  20
Ahora se suman los términos semejantes en cada miembro de la ecuación y se
obtiene:
3 x  60
que como se ve, es una ecuación mucho más sencilla en la que se puede determinar
el valor de x fácilmente. Si ahora se aplica el principio de dividir los dos miembros
de la ecuación por una constante diferente de cero, k  3 , se encuentra el valor de
x:
3 x 60

; de donde x  20
3
3
Es importante comprobar que efectivamente este valor es la solución o raíz de la
ecuación original, y esto se hace sustituyendo dicho valor en ella:
7. 10
520  20  220  80
100+20 = 40 + 80
120 = 120.
Entonces x = 20 es la solución o raíz de la ecuación propuesta
2.) Para determinar la raíz de la ecuación
2 2 1 11
  
; x  0 , se encuentra una
x 5 x 10
sucesión de ecuaciones equivalentes a ella.
Lo primero que se debe hacer es buscar cómo “eliminar” los denominadores para
obtener una ecuación equivalente más sencilla. Como en dos fracciones el divisor es
la variable x y en los otros dos, 10 es múltiplo de 5, el factor por el que conviene
multiplicar la ecuación es r  10 x . Esta situación no corresponde exactamente al
inciso b) y es un ejemplo de cuándo sí es posible obtener una ecuación equivalente
a la dada multiplicando toda la ecuación por una expresión; como se tiene la
condición x  0 , entonces r  0
El producto que se debe efectuar es:
10 x  2  2   10 x  1  11 
x
5
x
10 
que queda como:
20 x 20 x 10 x 110 x



x
5
x
10
Todas las fracciones que resultaron tienen alguna simplificación posible, con lo que
la ecuación equivalente es más sencilla que la original:
20  4 x  10  11x
Ahora, como en el ejemplo 1.) se suma a los dos miembros de la ecuación la
expresión r  11x  20 y se reducen términos semejantes:
7. 11
20  4 x  11x  20  10  11x  11x  20
 15 x  10
Para obtener el valor de x es necesario hacer k  
1
15
y multiplicar los dos
miembros de la ecuación por esta constante, con lo cual se obtiene:
x
10 2

15 3
Finalmente, se comprueba la validez de la solución sustituyendo el valor de x en la
ecuación original:
2
2
1
11
 

 2  5  2  10
 
 
3
3
6 2 3 11
  
2 5 2 10
30  4 15  11

10
10
26 26

10 10
3.) Si se aplica el principio de igualdad para la suma o el principio de igualdad de la
división a la ecuación x x  2  3 x  2  , la ecuación que se obtiene es, en el primer
caso equivalente, y en el otro no.
Se aplica primero el principio de igualdad de la suma de una expresión. Para ello se
suma en ambos miembros la expresión 3  x  2  :
x  x  2  3 x  2  0
y al tomar factor común se obtiene:
x  3x  2  0
7. 12
Esta ecuación tiene dos raíces: x  3
y x  2 ya que con cada uno de estos
valores el primer miembro se hace cero y la ecuación se satisface; el conjunto de
soluciones de la ecuación original es {2, 3}
Ahora si se aplicara sin restricciones el principio de igualdad para la división, al
observar que el factor común en ambos miembros es  x  2  si se divide la ecuación
por este factor común (con x  2 para que el denominador no se anule) se obtiene
la siguiente ecuación:
x x  2 3 x  2 

x2
x2
que al simplificar resulta
x3
Entonces, al dividir la ecuación por el factor común únicamente se tiene una
solución: x  3 , mientras que la ecuación original tiene 2 raíces: x  2 y x  3 .
Este es un ejemplo de cuándo la división por una expresión que contiene a la
variable puede conducir a ecuaciones no equivalentes (también llamadas
defectuosas) y perder raíces válidas, como en este caso.
4.) Dada la ecuación x  4 , cuya raíz es 4, si se elevan al cuadrado los dos miembros de
la igualdad (es decir, al multiplicar ambos miembros por el factor x  4 ) se obtiene la
ecuación x 2  16 , que tiene por raíces x  4 y x  4 . La operación que se hizo
introdujo lo que se llama una raíz extraña que es x  4
Objetivo 4. Resolverás ecuaciones de primer grado.
La aplicación de las propiedades de la igualdad para las operaciones básicas, que permiten obtener
ecuaciones equivalentes cada vez más simples para llegar a la solución de una ecuación dada, se
sintetiza en las siguientes reglas y procedimientos:
7. 13
Regla de transposición de términos. Cualquier término puede transponerse de un miembro a
otro de la igualdad con la condición de que cambie su signo.
Es posible cambiar los signos de todos los términos de una ecuación sin que esta varíe,
porque equivale a multiplicar por –1 los dos miembros de la ecuación.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita es conveniente aplicar el siguiente
proceso:
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay.
Paso 2. Transponer los términos de manera que en un miembro aparezcan todos los que
contienen a la incógnita y en el otro todas las cantidades conocidas.
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro.
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de
la incógnita.
Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original.
Ejemplos:
1.) Se aplica el proceso de solución mencionado para resolver la ecuación:
21  6 x  2  27  8 x  1
Paso1. Efectuar las operaciones indicadas. En cada uno de los miembros de la
ecuación existe una operación indicada por el paréntesis; si se efectúa el
producto la ecuación queda como:
21  6 x  12  27  8 x  8
Paso 2. Transponer los términos de manera que en un miembro aparezcan todos los
que contienen a la incógnita y en el otro todas las cantidades conocidas.
Los dos términos que contienen a la variable x se reacomodan en el primer
miembro y los cuatro términos constantes se pasan al segundo. Conviene
recordar que a cada término que se trasponga debe cambiársele el signo
7. 14
(con ello se están aplicando implícitamente las propiedades de la igualdad
para la suma y la resta):
 6 x  8 x  27  8  21  12
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro:
2 x  14
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita. (Con ello se aplica la propiedad de la igualdad
para la división). El coeficiente de x es 2, por lo tanto, la ecuación
equivalente que se obtiene es:
2 x  14

2
2
de la que se obtiene directamente el valor de x:
x  7
Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface a la ecuación dada:
21  6 7   2  27  8 7   1
21 + 54 = 27 + 48
75 = 75
2.)
5
1

x 1 x 1
2
; x 1
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas. Toda ecuación con fracciones requiere
suprimir los denominadores y después efectuar las operaciones que
resulten.
7. 15
Se observan los denominadores de cada fracción: el primero es la diferencia
de los cuadrados de x y de 1, y el otro es la diferencia de estos. Como la
diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia de las bases:
x 2  1   x  1 x  1
de modo que el denominador del segundo cociente es un factor del primer
denominador. Entonces, para suprimir los denominadores se debe
multiplicar por el máximo común múltiplo que es, precisamente, la
diferencia de cuadrados:
x
2
 5 
 1 
2
1  2
  x 1 

 x 1
 x 1



El producto en cada miembro de la ecuación da por resultado la ecuación
equivalente:
5   x  11
5  x 1
Paso 2. Transponer los términos para reunir a todos los que contienen a la incógnita
en el primer miembro y a las constantes en el otro:
 x  1 5
Paso 3. Reducir términos semejantes en cada miembro.
 x  4
Paso 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita.
En este caso el coeficiente de la incógnita es –1, por lo que se dividen
ambos miembros de la ecuación por –1 para obtener
x4
Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original.
5
4
2
1

1
4 1
7. 16
5 1

que es cierta.
15 3
Este paso es especialmente importante en este caso, puesto que en el primer
paso se multiplicó por una expresión que no es una constante.
3.)
x  3 2  3x 4 x


2
7
3
Paso 1. Para quitar los denominadores se debe multiplicar por el mínimo común
múltiplo de los tres, que en este caso es 2  7  3  42
 x  3
 2  3x 
 4x 
42
  42
  42 
 2 
 7 
 3 
21 x  3  62  3 x   144 x 
21x  63  12  18 x  56 x
Paso 2. Se dejan en el primer miembro los términos que contienen a la incógnita y
en el segundo todos los demás, cambiando el signo a los que se transponen:
21x  18 x  56 x  63  12
Paso 3. Se reducen términos semejantes:
 17 x  51
Paso 4. Se despeja la incógnita:
 17 x  51

 17
 17
x3
Paso 5. Se verifica la solución obtenida:
3  3 2  33 43


2
7
3
6  7 12


2 7
3
3 1  4
7. 17
La solución es correcta.
Objetivo 5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización.
La ecuación general de segundo grado tiene la siguiente estructura:
ax 2  bx  c  0
Si la ecuación dada tiene solución en el conjunto de los números reales, tendrá dos raíces, y sólo
dos, que pueden ser diferentes o iguales. Si las raíces no son números reales, la solución estará dada
por dos valores diferentes del conjunto de los números complejos.
Cuando la ecuación es fácilmente factorizable, sus raíces se obtienen efectuando esta operación y
aplicando el teorema que establece que si a, b   y ab = 0, entonces a  0 ó b  0 .
Ejemplos:
1.)
6 x 2  5x  4  0
Para factorizar un trinomio de la forma
ax 2  bx  c , con a  1 , se buscan dos
números que multiplicados den ac  y sumados b  ; se sustituye b por la suma de
estos números en la expresión y se factoriza por agrupación.
Para la ecuación dada:
a  6, b  5, c  4 , por lo que ac   24
Entonces se deben buscar dos números que multiplicados den –24 y sumados 5.
24 se obtiene al multiplicar 24 por 1; 12 por 2; 8 por 3 y 6 por 4, y como
ac = –24, uno de los factores deberá ser positivo y el otro negativo.
De estos pares de números solamente 8 y 3 pueden sumar + 5 si 8 es positivo y 3 es
negativo.
7. 18
Ahora se sustituye el término  5 x por ( 8 x  3 x ) y se factoriza por agrupación:
6 x 2  8 x  3x  4  0
6 x 2  3x  8 x  4  0
3 x2 x  1  42 x  1  0
2 x  13x  4  0
Entonces
2 x  1  0
ó
Si
2 x  1  0 ,
Si
3x  4  0 ,
3x  4  0
x
1
;
2
x
4
3
Las dos raíces de la ecuación son x1 
1
2
y
x2  
4
, resultado que debe
3
comprobarse.
Para x1 
1
:
2
2
6 5
16
1
1
6   5   4    4 
4  0
4 2
4
2
 2
Esta raíz satisface a la ecuación.
Para x 2  
4
:
3
2
96 20
96  60
 4
 4
6    5    4 

4 
40
9
3
9
 3
 3
La segunda raíz también satisface la ecuación, por lo tanto la solución es
correcta.
2.) 4 x 2  7 x  15  0
7. 19
Los dos números que se buscan deben tener un producto de 4  15  60 y una
suma de (–7):
60 se obtiene de 20 por 3;
15 por 4; 12 por 5; 10 por 6. De estas
posibilidades, sólo 12 y 5 pueden sumarse algebraicamente para obtener -7:
 12  5  7
Estas cantidades se sustituyen en lugar de (–7x) y se factoriza por agrupación de
términos semejantes:
4 x 2  12 x  5 x  15  0
4 x x  3  5 x  3  0
x  34 x  5  0
Ahora se pueden determinar fácilmente las raíces de la ecuación:
Si
x  3  0 ,
x1  3
Si 4 x  5  0 , x 2  
5
4
Finalmente deben comprobarse los resultados sustituyendo cada solución:
Para x1  3 :
2
43  73  15  36 – 21 – 15 = 0.
Esta raíz satisface a la ecuación.
Para x 2  
5
:
4
2
25 35
60
 5
 5
4    7    15 

 15 
 15  0
4
4
4
 4
 4
La solución es correcta.
Objetivo 6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y
resolverás ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.
7. 20
Para resolver una ecuación de segundo grado, el método de factorización no es el más eficiente.
Aun para expresiones cuadráticas sencillas, determinar los dos valores cuya suma sea b y su
producto sea ac es, cuando menos, tardado.
Para encontrar las dos raíces de una ecuación de segundo grado conviene aplicar las fórmulas:
x1 
 b  b 2  4ac
2a
y
x2 
 b  b 2  4ac
2a
Las raíces de una ecuación cuadrática son dos, y sólo dos, que pueden ser reales diferentes o
iguales, o complejas. El carácter de estas raíces depende del binomio en el radicando: b 2  4ac ,
que también recibe el nombre de discriminante de la ecuación general de segundo grado. El
resultado de este binomio puede ser:
1. Positivo: b 2  4ac >0. En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.
2. Nulo:
b 2  4ac = 0. Puesto que el radical se anula, las raíces serán reales e iguales y su
valor x1  x 2  
3. Negativo:
b
2a
b 2  4ac < 0. En el conjunto de los números reales no existen raíces
cuadradas de números negativos; por lo tanto, si el radicando es negativo, las raíces son
imaginarias y desiguales.
Ejemplos:
1.) x 2  5 x  5  0
Como la ecuación se encuentra ya expresada en la forma general, todo lo que se
necesita para determinar qué tipo de raíces tiene es identificar el valor de los
coeficientes a, b y c y evaluar el discriminante.
Las constantes son a  1;
b  5;
c  5
El discriminante tiene un valor de:
2
b 2  4ac =  5  41 5 = 25 + 20 = 45 > 0
7. 21
Corresponde al primer tipo, por lo que las raíces de la ecuación son reales y desiguales.


2.) 5 x 2  28  x   3 x 2  x  25
Para tener la ecuación expresada en la forma general (en el primer miembro un solo
término en x 2 , otro en x y un término independiente, e igualada a cero), se deben
realizar las operaciones indicadas por los paréntesis:


5 x 2  28  x   3 x 2  x  25
5 x 2  16  2 x  3 x 2  3x  25
Ahora se trasponen todos los términos al primer miembro y se iguala a cero:
5 x 2  3 x 2  2 x  3 x  16  25  0
Luego se reducen términos semejantes:
2 x 2  5 x  11  0
La ecuación está ya en la forma general, donde a  2; b  5;
c  11
y el discriminante: b 2  4ac = (–5)2 – 4(2)(11) = 25 – 88 = – 63 < 0
Por lo tanto las raíces de la ecuación propuesta son complejas y diferentes.
 

3.) 2 x7  3 x   x  3x 2  46  6 x  9   x x  1
Se eliminan los paréntesis realizando los productos indicados:
14 x  6 x 2  x  3 x 2  46  6 x  54  x 2  x
Se iguala a cero pasando todos los términos al primer miembro;
14 x  6 x 2  x  3 x 2  46  6 x  54  x 2  x  0
Se reducen términos semejantes:
 2x 2  8x  8  0
7. 22
Ahora a  2;
b  8;
c  8
y el discriminante tiene un valor de:
b 2  4ac = (8)2 – 4(–2)( –8) = 64 – 64 = 0
Las raíces son reales e iguales.
4.) En este ejemplo se determina el valor de k para que las dos raíces de la ecuación
kx 2  6 x  3  0 sean iguales.
Como se ha señalado, para que las dos raíces de una ecuación cuadrática sean iguales,
el discriminante debe ser igual a cero.
En la ecuación propuesta a  k ; b  6 , y c  3 . Para encontrar el valor de k se
deben sustituir estos valores en la fórmula del discriminante y despejar a la incógnita,
que es precisamente k:
 6 2  4k 3  0
36  12k  0
 12k  36
 12k  36

 12
 12
k 3
Comprobación:
2
El discriminante es  6   433  0 ;
36 – 36 =0, por lo que la
ecuación 3 x 2  6 x  3  0 tiene dos raíces reales e iguales.
Para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado, conviene aplicar el siguiente
procedimiento:
7. 23
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay.
Paso 2. Transponer todos los términos de la ecuación al primer miembro e igualar a cero el
segundo.
Paso 3. Reducir términos semejantes.
Paso 4. Aplicar las fórmulas para resolver una ecuación de segundo grado.
Paso 5. Si la solución existe en el conjunto de los números reales, verificar que satisfaga a la
ecuación original.
Ejemplos:
1.)


9 x 2  1  52 x  1  2 x4 x  3  13
Paso 1. Efectuar las operaciones indicadas:
9 x 2  9  10 x  5  8 x 2  6 x  13
Paso 2. Trasponer todos los términos al primer miembro e igualar a cero:
9 x 2  8 x 2  10 x  6 x  9  5  13  0
Paso 3. Reducir términos semejantes:
x2  4x  1  0
Paso 4. Aplicar las fórmulas para resolver la ecuación:
a  1; b  4;
c 1
2
  4    4  411
 b  b 2  4ac
x1 
=
2a
21
=
4  16  4
= 2 3
2
2
  4   4   411
 b  b 2  4ac
x2 
=
2a
21
=
4  16  4
= 2 3
2
Comprobación
La ecuación original es equivalente a x 2  4 x  1  0
Para x1  2  3 :
7. 24
2  3 

2

 4 2  3 1  4  4 3  3  8  4 3 1
 88 4 3 4 3  0
Entonces x1  2  3 es solución de la ecuación.
Para x 2  2  3 :
2  3 

2

 4 2  3  1  4  4 3  3  8  4 3 1
 88 4 3  4 3  0
x 2  2  3 también satisface a la ecuación.
2.) Para resolver la ecuación mx 2  1  m x  1  0 como la variable es x, (m es un
parámetro, es decir una constante que puede tomar diferentes valores) la ecuación ya
está expresada en la forma general, donde: a  m ; b  1  m ; c  1
Las raíces de la ecuación están dadas por:
x1 
 1  m  
x2 
1  m2  4m 1
2m 
 1  m  
y
1  m2  4m1
2m 
Para encontrar el valor de las raíces, se efectúan primero las operaciones
dentro del radical:
x1 
 1  m   1  2m  m 2  4m
2m 
=
 1  m   1  2m  m 2
2m
El radicando es el desarrollo del cuadrado del binomio m  1 por lo que
2
 1  m   m  1
 1  m  m  1  2
1
x1 
=
=
= 
2m
2m
2m
m
7. 25
Y la segunda raíz:
x2 
 1  m  
=
1  m2  4m1
2m 
 1  m   1  2m  m 2
2m
El discriminante es el mismo para ambas raíces, de modo que
x2 
 1  m  m  1
 2m
=
= 1
2m
2m
Comprobación
Para x1  
1
:
m
mx 2  1  m x  1  0
2
 1
 1
m     1  m      1
 m
 m
=
1 1 m
  1  0
m m m
x1 satisface a la ecuación.
Para x 2  1 :
2
m  1  1  m  1  1
= m 1 m 1  0
x 2 también es solución de la ecuación.
3.) Para encontrar dos números tales que su suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 se
plantea la siguiente ecuación:
Sean x y y los dos números, entonces,
x y 9 y
x 2  y 2  53
7. 26
Para tener una sola ecuación con una variable, se despeja a y de la primera
ecuación:
x y9

y 9x
y se sustituye este valor en la ecuación x 2  y 2  53 :
2
x 2  9  x   53
Se eleva el binomio al cuadrado y se reducen términos semejantes:
x 2  81  18 x  x 2  53
2 x 2  18 x  81  53  0
La ecuación que se debe resolver para encontrar los dos números es
2 x 2  18 x  28  0
Para aplicar las fórmulas: a  2; b  18; c  28
x1 
=
x1 
 182  42 28
22 
  18 
18  324  224
4
=
18  324  224
4
18  100 18  10
=
= 7
4
4
 182  4228
22
  18 
=
=
18  100
18  10
=
= 2
4
4
Como se puede comprobar:
7 + 2 = 9 y ( 7 )2 + ( 2 )2 = 49 + 4 = 53
2
Y en la ecuación: 27   187   28 = 98 – 126 +28 = 0
2
22   182   28 = 8 – 36 + 28 = 0
7. 27
Las dos raíces satisfacen a la ecuación que se obtuvo del planteamiento.