TEMA 3 ( VARIAB. RESUELTO).pdf

LAS PALMAS DE G.C A 24 DE OCTUBRE 2010 .
CARMELO HERRERA SANCHEZ
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS
TEMA 3: Medidas de Variabilidad y Asimetría.
1.- La proporción de puntuaciones obtenidas en un concurso oposición en el que el total de
opositores presentados fue de 3000, fue la siguiente (Xi representa el punto medio del intervalo)
Xi
5
10
15
20
25
La varianza de estas puntuaciones es de: A) 25’25
pi
0’1
0’2
0’3
0’3
0’1
B) 32’25
C)30’25
Nos dan las proporciones ( frecuencias relativas) , las ponemos en % y con ello podemos hallar las
frecuencias absolutas ( ni) ( 10 % de 3000= 300; 20 % de 3000=600; 30% de 3000=900 ; 30 % de
3000=900 y 10 % de 3000=300).
Xi
5
10
15
20
25
Suma
Pi
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
%
10
20
30
30
10
100%
ni
300
600
900
900
300
3000
Nos piden la varianza: S x2 =
∑X
Xi*ni
1500
6000
13500
18000
7500
46500
2
i i
n
Xi^2
25
100
225
400
625
Xi^2*ni
7500
60000
202500
360000
187500
817500
− ( X ) 2 , caculamos la media X =
n
∑ X i ni = 46500 = 15.5 , luego la varianza es :
tenemos que : X =
3000
n
2
∑ X i ni − ( X )2 = 817500 − (15.5)2 = 32.25 .
S x2 =
3000
n
2.- Con los datos de la tabla
la desviación típica vale: A) 2
Xi
7
5
3
1
Suma
ni
200
150
100
50
500
Xi^2
49
25
9
1
B) 4
Xi.ni
1400
750
300
50
2500
Xi
7
5
3
1
Total
C) 29
Xi^2*.ni
9800
3750
900
50
14500
1 de 6
ni
200
150
100
50
500
∑X n
i i
n
en primer lugar y
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Nos piden la desviación tipica: calculos: La media es X =
S x2 =
∑X
2
i i
n
n
− ( X )2 =
∑X n
i i
n
=
2500
= 5 y la varianza es :
500
14500
− (5) 2 = 4 y como la desviación tipica es la raiz cuadrada de la
500
varianza tenemos que : S x = S x2 = 4 = 2 .
3.- Dadas las siguientes puntuaciones: 5; 6; 3; 7; 4, ¿cuánto vale su varianza? A) 2
C) 6
Xi
3
4
5
6
7
Suma
ni
1
1
1
1
1
5
La media es :
Xi^2
9
16
25
36
49
∑X n
X=
i i
n
Xi.ni
3
4
5
6
7
25
B) 1’41
Xi^2*.ni
9
16
25
36
49
135
25
= 5 y la varianza es : S x2 =
=
5
∑X
n
2
i i
n
− ( X )2 =
135
− (5) 2 = 2
5
4.- Sabiendo que la moda de una distribución es 4 y que la media es 8, ¿cuánto vale el índice de
asimetría de Pearson si la varianza es 4? A) 4 B) 2 C) Sólo podemos saber que la distribución es
asimétrica positiva.
El indice de asimetría de Pearson viene dado por : As =
X − Mo
, luego hallando la media , moda y
Sx
desviación tipica tenemos: X = 8; Mo = 4 y S2x = 4 , por lo tanto la S x = S x2 = 4 = 2 , siendo el
indice de asimetría : As =
X − Mo 8 − 4
=
=2
Sx
2
5.- Las puntuaciones diferenciales y las típicas tienen en común: A) que la media de ambas vale 0.
B) que la desviación típica de ambas vale 1. C) que siempre generan una distribución simétrica.
Las puntuaciones diferenciales x y las puntuaciones tipicas tienes en comun que la media en ambas
X−X
vale 0. (Las puntuaciones diferenciales y las tipicas son respectivamente : x = X − X ; Z =
)
S
6.- Cuando la distribución de una variable presenta valores extremos, además de asimetría, es
recomendable resumir la tendencia central de las observaciones con el valor de. A) la media
aritmética B)la mediana C) la media geométrica.
Cuando en una distribucion existen valores extremos y presenta asimetria , el indice de tendencia
central mas adecuado a dicho valores es la Mediana ( Md).
7.- La amplitud semi-intercuartil siempre toma valores: A) entre –1 y 1 B) mayores o iguales que
cero C) puede ser cualquier valor, positivo o negativo
Q − Q1 P75 − P25
La amplitud semi-intercuartil al ser Q = 3
, siempre tomara valores positivos.
=
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8.- Con los datos de la pregunta 2, el coeficiente de asimetría de Pearson vale: A) 0 B) +1 C) -1
Xi
7
5
3
1
Total
Xi
7
5
3
1
Suma
ni
200
150
100
50
500
Xi^2
49
25
9
1
Xi.ni
1400
750
300
50
2500
ni
200
150
100
50
500
Xi^2*.ni
9800
3750
900
50
14500
El indice de asimetría de Persson es : As =
X − Mo
, tenemos que la media vale 5 y la moda es X=7
Sx
( es el valor de mayor frecuencia) y la desviación tipica es 2 , luego As =
X − Mo 5 − 7
=
= −1
Sx
2
9.-Una distribucion tiene media 8 y de varianza 16 , entonces una puntuación directa de X=6 de la
distribucion le corresponde una puntuación tipica de : A) 1; B) 1,34; C) - 0.5
Como la puntuación tipica es Z =
X − X 6−8
=
= −0.5 , ya que al ser la varianza 16 la desviación
Sx
4
es 4 ( S x = S x2 = 16 = 4 )
10.- Un índice de asimetría igual a 0,8 indica: A) a los valores altos de la variable le corresponden
frecuencias altas; B) a los valores altos de la variable le corresponden frecuencias bajas; B) es
una distribución simétrica.
Cuando el indice de asimetría es mayor 0 ( 0.8 presenta asimetria positiva ) luego a valores altos de
la variable le corresponden valores bajos de las frecuencias absolutas.
11.- El coeficiente de variación: A) mide la variabilidad relativa; B) mide la variabilidad absoluta;
C) las dos anteriores son ciertas.
El coeficiente de variación siempre mide la variabilidad en terminos relativos.
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12.- En la distribución de los datos de la figura1 , la varianza vale: A) 0,44; B) 0,56; C) 2
Xi
1
2
3
4
Suma
Ni
20
90
30
10
150
Xi^2
1
4
9
16
∑X n
Xi.ni
20
180
90
40
330
Xi^2*.ni
20
360
270
160
810
330
= 2.2 ( numero medio de hijos) y la varianza viene dada por la
150
n
∑ X i2 ni − ( X )2 = 810 − (2.2)2 = 0.56 .
formula : S x2 =
150
n
La media es : X =
i i
=
13.- Si sobre los datos de la siguientes tabla, se efectúa la transformación Y = 3 + 6X, ¿cuál será la
varianza de la variable Y?
A) 287,55; B) 47,925; C) 296,55
Xi
ni
6
4
9
11
12
17
15
7
18
1
14.- Se sabe que la media de una variable X vale 8 y la varianza de dicha variable 6 y se efectua la
transformacion la transformación Y=2+5X, entonces la media y varianza de la variable es : A) 42 y
150 respectivamente; B) 8 y 6 respectivamente; C) No se puede calcular.
En la trasformacion lineal dada: Y=2+5X, tenemos que : Y = 2 + 5 X = 2 + 5 x8 = 2 + 40 = 42 y la
varianza de Y viene dada por : SY2 = 52 S X2 = 25 x6 = 150 .
15.- La puntuación típica de un sujeto en una prueba de concentración ha sido de 1,25. ¿Cuál fue su
puntuación directa si la media fue 6 y la desviación típica 2? A) 0; B) 8,5; C) 11.
La puntuación es : Z =
X −X
X-6
; como Z=1,25 tenemos 1,25=
, despejando X tenemos que :
Sx
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1,25 x 2 = X- 6 luego X=6 + 2,5 = 8,5.
16.- Si la varianza de un conjunto de datos vale 0: A) es imposible que tome ese valor; B) todas
las puntuaciones son iguales; C) se trata de una distribución simétrica.
La varianza siempre es positiva , pero puede cero cuando todas las puntuaciones son iguales.
17.- La amplitud semi-intercuartil en la distribución siguiente es: A) 9; B) 18,61; C) 9,3
Xi
72 - 80
81 - 89
90 - 98
99 - 107
108 - 116
117 - 125
ni
8
24
47
73
91
100
18.- Cuando en una variable todos los datos son iguales, el valor de la desviación típica es: A) no se
puede calcular porque se necesita al menos un valor diferente a los demás; B) 0; C)
Cuando todos los valores de una distribucion son todos iguales entonces la varianza vale 0 y por lo
tanto la desviación tipica tambien vale 0.
19.- El coeficiente de variación de la distribución de la figura es: A) 105’6; B) 102’8; C) 9’4
Xi
9
10
11
12
13
X=
ni
3
15
18
10
4
50
∑X n
i i
n
=
Xi^2
81
100
121
144
169
Xi.ni
27
150
198
120
52
547
Xi^2*.ni
243
1500
2178
1440
676
6037
547
= 10.94 ; la varianza es : S x2 =
50
∑X
n
2
i i
n
− ( X )2 =
6037
− (10.94) 2 = 1.0278
50
La desviación tipica es : S x = S x2 = 1.0564 = 1.0278 , luego el coeficiente de variación de
varacion es CV =
1.0278
x100 = 9.37% .
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20.-Una distribucion formada por 200 valores de una determinada variable tiene de varianza 25.Si a
tdos los 200 valores los multiplicamos por 8 , la nueva varianza sera : a) 50 b) 1600 c) No cambia
la varianza.
Si a todos los valores los multiplicamos por 8 la nueva varianza quedara multiplicada por 82 luego
la nueva varianza es : 64 x25 = 1600.
SOLUCIONES:
1
2
13
14
3
4
5
6
7
8
15
16
17
18
19
20
6 de 6
9
10
11
12