Geometría analítica 4º ESO

Matemáticas 4º ESO
Fernando Barroso Lorenzo
GEOMETRÍA ANALÍTICA
r
r
1. Dados los vectores cuyas coordenadas son u = ( −10, 2) y v = (13, 2) , calcular el módulo
ur
43 r
298621
v . Sol w =
2
2
8
2. Dados dos vectores u y v que verifican u = 3 , v = 4 y cos u , v =
, calcular el
24
ur
r
del vector resultante de la siguiente combinación lineal w = u +
( )
módulo siguiente: u + 3v
Sol: u + 3v = + 177
3. Responde a las siguientes cuestiones teóricas:
a. ¿Qué ángulo forman los vectores u y v si se cumple que u·v = − u · v ?
b. Demuestra que si el vector u es perpendicular a los vectores v y w , también es
perpendicular a cualquier combinación lineal de ellos.
r
r
c. Sabiendo que u =3 y v = 5 , halla los posibles valores del parámetro a para que los
r
r
r
r
r
r r r
r r r
r
r
d. Dados los vectores a , b y c tales que a = 3, b = 1, c = 4 y a + b + c = 0 , calcula la
rr rr rr
siguiente suma a.b + b .c + a.c
vectores u + av y u − av sean perpendiculares.
e. Sean u y v vectores ortogonales y de módulo 1. Halla los posibles valores del
parámetro a para que los vectores u +a·v y u –a·v formen un ángulo de 60º.
r
r
4. Sean los vectores a = (1,−3) y b = (2,1) . Halla:
r
r
a. a + 3b
r
r
b. −2a + b
{r }
r
r
r
c. Dada la base B = a , b y el vector u = (3, −6) , halla u B .
r
r
d. Las coordenadas de v sabiendo que vB = (2, −1)
r
e. Las coordenadas del vector −4i respecto de la base B
r
f. Un vector paralelo y un vector perpendicular a a
r r
r r
h. Ángulo que forman a y b
r
i. Un vector paralelo a a que sea unitario.
r
j. Un vector perpendicular a b que tenga módulo 2.
g. Producto escalar a ⋅ b
r
k. Halla las coordenadas de un punto A y otro B de forma que AB = a
5. Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿Cuál es la ecuación
paramétrica de cada uno?.Sol: y=0, x=0; {x=λ,y=0}; {x=0,y=λ}
6. Escribe la ecuación explícita de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe también la
de la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrante. Sol: y= x; y= -x.
7. ¿Pertenece el punto P(3,3) a la recta que pasa por los puntos A(1,-1) y B(2,1)? Sol: Sí
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8. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (2,1). Calcula A sabiendo que B
tiene coordenadas (1,2). Sol: (3,0)
9. Busca un punto P situado en el segmento AB, A=(1,2) y B=(4,-1) que lo divida en dos partes
una doble de la otra. Sol: P=(2,1); P'=(3,0)
uuur
uuur
10. Sabiendo que A(2,4) y C(6,0). Halla las coordenadas del punto B de modo que CA = 1 CB .
4
Sol: (3,3)
11. Los puntos B(1,4) y C(8,3) son vértices de un triángulo rectángulo. Si BC es la hipotenusa,
hallar el vértice A, sabiendo que está en la recta r ≡ y=x-1.
Sol: (2,1), (7,6)
12. El centro de un cuadrado es el punto P(2,2) y un vértice A(2,1). Halla las coordenadas de los
otros vértices y el área del cuadrado.
Sol: C(3,2) B(1,2) D(2,3); área=2 u2
13. Dada la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(-1,-2).
a. Halla un vector direccional.
b. Halla la pendiente y la ordenada en el origen
c. Halla un vector perpendicular a dicha recta de módulo 1.
d. Halla los puntos de corte con los ejes de dicha recta.
e. ¿El punto C=(3,-2) pertenece a dicha recta?
f. Halla el punto medio del segmento AB
14. Halla las ecuaciones de la recta en cada uno de los siguientes casos:
→
→
→
a. Pasa por A(5,3) y lleva la dirección u = i − 2 j .
→
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
Pasa por el punto A(3,1) y lleva la dirección u = (4,2)
Pasa por los puntos A(5,0) y B(0,3).
Perpendicular al segmento de extremos A(5,6) y B(1,8) en su punto medio.
Paralela a 3 x + 4 y − 5 = 0 que pase por el punto (0,0).
Pasa por el punto A(1,-2) y dista 2 unidades del punto B(3,1).
r
Es perpendicular al vector w (2,1) y que corta a r ≡ y=x-2 en el punto de ordenada 3
La mediatriz del segmento de extremos los puntos A(1,3) y B(5,-1)
Perpendicular a la recta del apartado anterior que pasa por (1,0).
Pasa por el punto de corte de las rectas r ≡ 2 x + 3 y − 4 = 0 y s ≡ x − y = 0 y por
A(2,1).
Pasa por el punto de intersección de las rectas r ≡ y=x+2 y r´≡ 3x+y=2 formando un
ángulo de 45º con la segunda de ellas. Sol: t1 ≡ y=2x+2; t2 ≡ x+2y-4=0
Pasa por el punto A(5,2) y forma un ángulo de 30º con el eje de abscisas.
Pasa por el punto P(2,-3), forma un ángulo de 45º con la recta r ≡ 3 x − 4 y + 7 = 0 .
Pasa por P(0,4) y la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas es 2.
Pasa por el punto de intersección de r ≡ 2 x + 3 y − 5 = 0 y r´≡ x + y = 0 y el punto de
intersección de las rectas s ≡ x + 5 y − 3 = 0 y s´≡ − x + y − 3 = 0 .
Equidista de los puntos A(5, -2) y B(-1, 5).
15. Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas coincidentes, no coincidentes,
secantes o perpendiculares:
r1 ≡ 2 x + 3 y − 4 = 0 , r2 ≡ x − 2 y + 1 = 0 , r3 ≡ 3 x − 2 y − 9 = 0 , r4 ≡ 4 x + 6 y − 8 = 0 ,
r5 ≡ 2 x − 4 y − 6 = 0 y r6 ≡ 2 x + 3 y + 9 = 0
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16. Prueba que las rectas r ≡ y=ax+5 y s ≡ y=(a-1)x-2 no pueden ser ni paralelas ni
perpendiculares.
17. Halla el ángulo que forman las rectas r ≡ 2 x + 3 y − 5 = 0 y r´≡ x − y + 7 = 0 .
18. Dadas las rectas r: 3x+y=3 y s: -2x+ay=8. Determinar "a" para que forman un ángulo de 45º.
Sol: a=1
x = 2 − λ
 x = 1 + 2λ
formen un ángulo
y r′ ≡ 
 y = 2λ
 y = 2 + kλ
19. Halla el valor de k para que las rectas r ≡ 
de 45º. Sol: k=6.
20. Determina si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados. Caso de que formen un
triángulo halla su área.
21. Demuestra que todas las rectas cuyas ecuaciones se ajustan a la forma y = ax-a, pasan por
un punto. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?. Sol: P(1,0)
22. Calcula el valor de a y b para que las rectas r ≡ ax-3y+5=0 y s ≡ bx+2y-1=0 sean
perpendiculares y además la segunda pase por el punto P (-1,2). Sol: b=3; a=2
23. Calcula a y c sabiendo que la recta r ≡ 3x + 2y – 8 = 0 es perpendicular a la recta
s ≡ ax+ 2y+c=0, y que esta última pasa por el punto P(3,5).
24. Halla las coordenadas de un punto C que pertenece a la recta r ≡ 2x+y+2=0 sabiendo
que los puntos A(3,0), B(1,3) y C forman un ángulo recto desde A. Sol: C(0,-2)
→
25. Dadas las rectas: r determinada por el punto A(2,1) y el vector u = ( a,4) y s determinada
→
por el punto B(-1,4) y el vector v = (5,3) . Determina “a” para que r y s sean paralelas.
¿Para qué valores de “a” las rectas r y s son secantes? ¿Pueden ser coincidentes?
Sol: a =20/3
26. La recta s ≡ 5 x + 3 y + 7 = 0 corta a los ejes en dos puntos. Halla la longitud del segmento
que determinan.
27. Busca un punto P de la recta r ≡ -3x+4y+1=0, de forma que la recta rOP (recta que pasa por
el origen O y el punto P) pase por el punto medio del segmento AB, siendo A=(2,1) y
B=(1,1).
Sol: (3,2)
28. Halla un punto de la recta r ≡ x+y-2=0 equidistante de A(1,3) y B(1,1). Sol: (0,2)
29. Halla las coordenadas de un punto de la recta r ≡ x-y-1=0 que diste 1 unidad de la recta
s ≡ 3x-4y+2=0. Sol: (1,0)
30. Halla las coordenadas de un punto P equidistante de A (4,4), B (5,3) y C (-1,3). Sol: P(2,1)
31. Un punto P que es equidistante de A=(1,1) y de B=(-2,3), dista el triple del eje de abscisas
que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son sus coordenadas?
Sol: (11/6,11/2)
32. La recta t ≡ 4 x − 3 y = 12 es mediatriz del segmento AB. Sabiendo que las coordenadas
de A son (1,0), halla las de B.
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33. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer
vértice A en la recta r ≡ x + 2 y − 15 = 0 , siendo AB y AC los lados iguales. Calcula las
coordenadas de A y las tres alturas del triángulo. Sol: A(7,4)
34. Halla las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A(3,1), B(0,2) y C(1,-2).
Sol: r ≡ 2 x − 5 y − 1 = 0; s ≡ 5x + 4y - 8 = 0; t ≡ 7x - y - 9 = 0
35. Dado el triángulo de vértices A(0,1), B(2,3) y C(3,0) calcula el baricentro, el circuncentro y
el ortocentro. Sol: G(5/3,4/3), C(7/4,5/4) y O(3/2, 3/2)
36. El baricentro del triángulo ABC es el punto G(2,1). El punto medio del segmento AB es
M(3,0) y el punto medio del segmento BC es N(1,5). Calcula los vértices del triángulo
ABC.
37. Dado el triángulo de vértices A(2,5), B(3,1) y C(2,-1).
a. Calcula su área.
b. Calcula las coordenadas del baricentro G del triángulo ABC.
c. Calcula las coordenadas de los puntos medios M, N y P de los lados del triángulo
ABC.
d. Calcula el baricentro G´ del triángulo MNP.
e. Compara G con G´.
38. Los puntos A(0,0) y C(1,7) son vértices opuestos de un rectángulo. Un lado está situado
sobre la recta x-3y=0. Hallar las coordenadas de los vértices B y D y las ecuaciones de los
lados.
Sol: B(-2,6); D(3,1). AB:3x+y=0; BC:x-3y+20=0; AD: x-3y=0; CD: 3x+y=10.
39. La distancia del punto A(10,6) a otro B del eje de abscisas es 10. Halla las coordenadas
del punto B.
40. Determina el área del círculo circunscrito al triángulo que con los ejes determina la recta
r ≡ 4x + 3y - 24 = 0.
41. Halla la tangente del ángulo que forman las rectas r ≡ − x + 2 y + 1 = 0 y r´≡ 3 x + y + 5 = 0 .
42. Dadas las rectas r ≡ mx+(2m-1)y+3=0 y s ≡ (4m-7)x -(m+2)y -8=0, halla el valor de m
para que::
a. r sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
b. s sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.
c. r y s sean paralelas. ¿Pueden ser coincidentes?
43. Dadas las rectas: r ≡ 3 x + by − 8 = 0 y s ≡ ax − 3 y + 12 = 0 :
a. Determina a y b para que se corten en el punto P(2,-3). Sol: a=-21/2; b=-2/3
b. Determina para qué valor de a, la recta s, determina con los ejes un triángulo de 36
unidades de superficie.
44. Determina el valor de “a” para que las rectas r ≡ ax + ( a − 1) y − 2 ( a + 2 ) = 0
r´≡ 3ax − ( 3a + 1) y − ( 5a + 4 ) = 0 sean:
a. Paralelas.
b. Perpendiculares.
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y
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45. Halla la distancia entre las rectas r y r´ en cada uno de los siguientes casos:
a. r ≡ 2 x + 3 y − 5 = 0 y r´≡ 2 x + 3 y + 7 = 0 .
 x = 2 − 3t
y = 1+ t
b. r ≡ 
y
r´≡
x+3 y+5
=
−3
1
46. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0), halla el punto de la bisectriz de los cuadrantes 2º y 4º
que equidista de los dos.
47. Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto A(4,5) y forma con los semiejes
positivos un triángulo de 40 unidades de superficie. Te aconsejo que uses la ecuación
segmentaria.
48. Hallar las ecuaciones de las rectas que son incidentes con el punto A(2,3) y distan 2
unidades del origen de coordenadas.
Sol: 5x-12y+26=0
49. Dados el punto P(-1,2) y la recta r ≡ 3x - 5y - 21 = 0, calcula:
a. El pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.
b. La distancia desde dicho pie al punto en el que esta recta corta al eje OX.
c. El punto Q simétrico de P respecto de la recta r.
50. Encuentra un punto C de la recta de ecuación s ≡ 2 x − y + 5 = 0 que equidiste de A(3,5) y
B(2,1).
51. Calcula el pie de la perpendicular trazada por el punto P(-1,2) a la recta
t ≡ 3 x − 5 y − 21 = 0 , y la distancia de dicho pie al punto en que esa recta corta al eje OX.
52. Calcula en cada uno de los siguientes apartados:
a. Las coordenadas del punto P', simétrico del P(2,1), respecto del M(2,0).
b. Las coordenadas del punto A', simétrico de A(-2,1), respecto de la recta r ≡ 2x+y-2=0.
c. La ecuación de la recta r', simétrica de r ≡ x+2y-3=0, respecto de la s ≡ x+y=4.
Sol: a) (2,-1); b) (0,2); c) 4x+3y=21
53. Dados los puntos A(3,6) y B(1,0) y la recta r ≡ x-y+1=0, hallar:
a. El simétrico de A respecto a B.
b. El simétrico de B respecto a r.
c. La ecuación de la recta s, simétrica a la AB respecto de r.
Sol: a. (-1,-6); b. (-1,2); c. x-3y+7=0.
54. Pilar tenía escrito en su cuaderno los vértices de un paralelogramo, pero le ha caído un
borrón de tinta y se le ha tapado uno de los vértices.
a. Calcula las coordenadas del vértice C, sabiendo que A(2,2), B(12,8) y D(6,1)
b. Halla las ecuaciones de sus diagonales.
c. Halla el punto de corte de las diagonales.
d. Comprueba que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
55. Por el punto A(2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer
cuadrante y del segundo cuadrante. Halla:
a. Las ecuaciones de dichas rectas.
b. Las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la recta r ≡ 3 x − 13 y − 8 = 0
con dichas rectas.
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56. Halla el valor de m para que las rectas r ≡ mx + y = 12 y s ≡ 4x-3y = m + 1 sean paralelas.
Calcula su distancia. Sol: m=-4/3, d(r,s)=7
57. La recta r ≡ 3 x + ny − 7 = 0
pasa por el punto A(2,3) y es paralela a la recta
s ≡ mx + 2 y = 13 . Calcula “m” y “n”
58. Las rectas r ≡ y = 2x -4 y r´≡ y = -3x +2 determinan con el eje de abscisas un triángulo.
Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo y dibuja el triángulo en tu cuaderno.
Calcula el área del triángulo.
59. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 2) y es paralela a la recta que
pasa por los puntos A(0, -3) y B(4, 2). Halla las coordenadas de los puntos de corte de la
recta cuya ecuación has calculado con los ejes de coordenadas. Calcula el área del
triángulo que determina la recta calculada con los dos ejes de coordenadas.
60. Calcula el haz de rectas en cada uno de los siguientes casos:
a. El haz de rectas que pasa por el (1,-2).
b. El haz de rectas paralela a la recta r ≡ 3 x − 2 y + 5 = 0 .
c. El haz de rectas perpendiculares a la recta anterior.
d. El haz de rectas que forma un ángulo de 30º con el eje de abcisa.
e. El haz de rectas que forma un ángulo de 30º con el eje de ordenada.
r
f. El haz de rectas que tiene vector director ur = (3, −1) .
61. Dadas las rectas r ≡ 3x + my - 7 =0; r´≡ 4x + y - 14 =0 y r´≡ 7x + 2y - 28 =0, determina
m para que las tres rectas sean rayos del mismo haz.
62. Hallar el haz de rectas que pasa por el punto A(3,-1) en forma explícita. ¿Cuál de las rectas
del haz es paralela a la recta r ≡ 3x-y=2? ¿Cuál de las rectas del haz pasa por el punto
medio del segmento de extremos A(4,-1), B(0,-5)?
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