Polinomios 3º ESO

Matemáticas 3º ESO
Fernando Barroso Lorenzo
POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA
1. En cada caso escribe un polinomio que cumpla las condiciones que se indican:
a. Con grado 5 y coeficientes enteros.
b. Trinomio de grado 3 sin término independiente.
c. Completo de grado 4.
d. Incompleto y ordenado de grado 3.
2. Considera los polinomios: P(x)= -x2+5x-4, Q(x)=x4-3x3-x-1 y R(x)=x+2, y calcula:
a. P(x)·Q(x) – Q(x)·R(x)
b. (P(x))2 – R(x)·Q(x)
3. Dados Q(x)=2x2–6x+7 y R(x)=3x2+7x, calcula el polinomio P(x) para que se verifique que
2
Sol: P(x) = x + 13x -7
P(x)+Q(x)=R(x).
4. Dados los polinomios P(x)=16x3–23x2+x–19, Q(x)=23x4+7x2–x+6 y R(x)=-6x4+3x3+x–8, calcula:
4
a. R(x) – (Q(x) + P(x))
b. (R(x) – Q(x)) +P(x)
3
2
Sol: -29x – 13x + 16x + x + 5
4
3
2
Sol: -29x + 19x – 30x + 3x –33
5. Especifica cual será el grado del polinomio resultante de las siguiente operaciones:
a.
b.
(x
(x
)
+ 2 x + 1) − ( x
+ 2x + 1
10
107
3
(x
(x
c.
106
+ x 3 + 4)
d.
)
)
+ x13 + x 7 + 1 : ( x10 + x 3 + x1 + 4)
25
+ x 15 + x 5 + 1 ( x + x 3 + 4)
18
6. Realiza las siguientes operaciones:
a.
(8 x
(5x
4
) (
− 9 x 3 + 1 − 2 x + 3x 3 − 5 x 4
)(
)
+ 3x − 5 7 x − 6 x + 3
b.
3 2
 2 1
 x − x −  x − 5 x − 14
4
8
c. 
3
d. 2 x − 3x + 2 : (2 x − 1)
2
(
3
(
)
)
− 3m 4 n 4 + 4m 2 n 2 ÷ 5m 2 n 2
8x y + 4 x y − x y
x2 y3
h.
5 x 2 y 3 + 5 x 3 y 3 − 12 x 3 y 2 − 5 xy ÷ 5 xy
i.
1
1

 3
j.  2 x 3 − x 2 + 3  −  x 2 + 5 x − 
2
3

 4
2
)
3
3
2
4
4
(
)
e. (5x4 – 14 + 5x + x3) : (3 – x2)
f. 5m 3n 4 − 8m3 n3 + 24m 4 n3 − 16m 2 n 2 ÷ 4m 2 n 2
(
(2m n
5 5
g.
)
)
7. Efectúa las siguientes divisiones:
a. (x6–3x5+5x4+6x3+2x2–4x+2):(x3–2x +3)
f.
b. (6x6 – x5 – 12x4 + 8x3 – x2) : (x4 –2x2 +x)
5
2
3
(5 x 5 − 3 x 3 + x + 8) : ( x + 3)
g. (3x3-6x2+5x-4) : (2x2+4)
2
c. (x -3x +4) : (x +x -1)
h. (5x2- 3x+6) : (5x+1)
d. (3x4+x3+5x-7) : (x2+3)
i.
(x6 – 3x5 + 9x3 – x2 + 1) : (x – 1)
j.
(2x4 – 3x3 + x2 – 8x + 1) : (x – 3)
e.
(4 x
4
)
1

+ 4x3 − x 2 − x :  x − 
2

k. (2x4 – 3x3 + 6x + 2) : ( x + 3)
1
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(3x6+x3+12x-1) : (x+4)
l.
4
2
2
q. (4x − 2x − 6x +1) : (3x − 2x +1)
m. (x4-2x2+15x+12) : (x+3)
(2x -4x -5x+3) : (x-3)
r.
o. (x5+3x4-5x2+5x-2) : (x+4)
s.
n.
p.
4
(x
7
3
)(
)
(x
4
)(
− 5 x 3 + 11x 2 − 12 x + 6 : x 2 − x + 2
)
− x5 − x3 − x : x4 − x2 + 1
(
8. Haz la división x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + cx + d
resto sea cero:
9.
( x 4 − 3x 2 + 1) : ( x 2 − 1)
): ( x
2
)
+ x + 2 y calcula el valor de c y d para que el
Identifica los siguientes productos notables:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
x 2 − 4x + 4
9 x 2 − 16
x 2 + 8 x + 16
4 x 6 − 20 x 3 + 25
4x 4 + 4x 2 + 1
4 x 2 − 25 x 4
g.
h.
i.
j.
k.
4 x 4 − 12 x 3 + 9 x 2
x 2 − 6x + 9
x 2 + 10 x + 25
4x 2 − 4x + 1
( x + 4) 2
l.
( x − 5) 2
m. ( x 3 − 3) 2
n. (2 x − 3) 2
o. (3 x 2 + x 3 ) 2
10. Completa los espacios en blanco en las siguientes expresiones de manera que aparezca una
identidad notable y di a cuál se refiere escribiendo su equivalencia:
a. 9a 2 − .......... + b 2
b. (4ab − ……)(4ab + ……) = …… − 9c 2
11. Agrupa convenientemente y factoriza cada una de las siguientes expresiones
a.
x2 +xy +xz +yz=
j.
s. 20abc-30abd-60b2c+90b2d=
x2-xb+ax-ab=
b. 8x3-8x2-16x=
k. abc+2ab +2c +c2=
t.
c. 7m-7 +pm-p=
l.
u. 12x-20y+5a2y-3a2x=
d. 2r2+2r-3rs-3s=
m. 14mp+14mq-9np-9nq=
v. bx3+by3-cx3-cy3=
e. ax3-ay3-bx3+by3=
n. 21ax+35ay +20y+12x=
w. 3a2-3ac +3a-2ab+2bc-2b=
o. 5cu-8cv+5du -8dv=
x. 5a3bc-10a4b-15a3cd+30a4d=
g. x4+x3y2+xy3+y5=
p. py+qy-ry-pz-qz+rz=
y. 2mn +2m-2n-2+mnp+mp-np-p=
h. 2y4-6y2-5y2z+15z=
q. mx+nx+px-m-n-p=
z. 3a2bz+3xy2+2ay-2xb=
f.
i.
a2-ab-ac-a+b+c=
2a+ab-2b-b2=
r.
2a2x2+34a2x-120a2=
ap2+bp2-aq2-bq2=
amp-amq-anq+anp=
12. Calcula, agrupando los términos.
a. (2x2 + x)2
e. (2x - 3)2 - (x - 2)2 - (x - 1)(x + 1)
b. (2x2 - x)2
f.
c. (3a2 + 2a)2 - (2a)3
g. (a2 + b)2 - (ab - a)2 - (a2 - b)(b + a2)
d. (a3 + 2a2)2 - (a2-2a3)2
h. (a - 2b)3 - (a2 + 2b)2 - (2 - a2 + b)2
2
(a - 2b)2 - (b - 2a)2 - (2a - b) (b + 2a)
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i.
(2x +3y)2 - (x2 - 2y)2 - (x2 + 3y)(x2 - 3y)
j.
a x  a
 
x  x a   a x
 −  −  + 2 +  2 −  −  −   + 
 x 2a   x
 
a   a x  x a 
2
2
k. (x - 3)2 - (x + 2)2 - (-x + 2)(- x - 2) + 3x2 – 9
2
13. Factoriza los siguientes polinomios:
4
3
2
a.
P(x) = x3 + 5x2 +8x
bb.
P(x) = x +x -16x -4x+48
b.
P (x ) = 8 x 4 − 6 x 3 − 5 x 2 + 3 x
cc.
P(x) = x4+3x3+x2-7x-30
c.
3 x 2 y + 6 xy 2 + 9 xy
dd.
P(x) = x – 9x + 24x – 20x
ee.
P(x) = x – 3x – 3x – 5x + 2x + 8x
ff.
P(x) = x + 6x + 9x – x – 6x – 9
gg.
P(x) = x5+3x4-9x3-23x2-12x
2
6
5
2
6
5
4
6
5
4
3
3
d.
P(x) = 3x + 14x – 5
e.
P(x) =x2 – 6x + 9
f.
64 y 2 − 49
hh.
P(x) = 4x4 + 10x2
g.
P(x) =x2 – 9
ii.
P(x)=x4+6x3+15x2+18x
h.
P(x) =x2 – 64
jj.
P(x)=2x4+7x3+4x2-7x-6
kk.
P(x) = 10x3 – 250x
ll.
P ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27
2
2
i.
P(x) =2x – 2x
j.
P(x) =x2 – 4x + 4
k.
x 2 − 121
l.
x − 2x + x − 2
m.
P(x) = 4x5 + 2x4 – 2x3
n.
P(x) = – 5x2 – x
o.
P (x ) = x + x + 3 x + 5 x − 10
p.
4 x 2 − 4 xy + y 2
rr.
q.
P(x) = x3-3x2-9x-5
ss.
r.
P(x) = 4x4 + 10x2
tt.
s.
P(x) = 10x3 – 250x
uu.
t.
a4b6z8 – 169w2
vv.
u.
x2+2xy+y2-196z2
ww. P ( x ) = x 3 + 5x 2 − 29x − 105
v.
x2+6x+9 –y2-4y-4
xx.
w.
p4x- q2y
yy.
x.
25y6-9
zz.
y.
-100+x4y6
z.
(a-b)2-169
aa.
4x5 + 2x4 – 2x3
3
mm. 9a 2 + 24ab + 16b 2
2
4
3
2
nn.
oo.
pp.
2
qq.
P ( x ) = x 4 − 4x 3 − 20x 2 + 48x
P ( x ) = 8x 3 + 17x 2 + 18x + 2
P ( x ) = x 3 + 5x 2 − 138x − 792
P ( x ) = x 3 − 4x 2 − 103x − 182
P ( x ) = x 3 − 7x 2 − 16x + 112
P ( x ) = x 3 + 4x 2 − 20x − 48
P ( x ) = 7x 3 − 15x 2 + 58x − 8
P ( x ) = x 3 − 6x 2 − 61x + 210
P ( x ) = 2x 3 + 5x 2 − 28x − 15
P ( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2 + 4
P ( x ) = 3x 3 − 22x 2 − 47x + 18
P ( x ) = x 3 − 7x 2 − 7x + 8
5
4
3
2
aaa. P ( x ) = x + 3 x + 4 x + 4 x + 3 x + 1
bbb.
3
P ( x ) = x6 + 6x5 +14x4 +18x3 +17x2 +12x + 4
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14. Sabiendo que −
1 1
y son raíces de P(x) = 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 − 1 , factoriza P(x).
2 3
Sol: ( 2 x + 1)( 3x − 1) ( x 2 + x + 1)
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a.
x3 – 7x2 – x + 7 = 0
f.
2x4 + 7 x3 – 2x2 + 5x – 12 = 0
b.
(x–2)2(x2–2x + 1) = 0
g. 2x + x – 11x + 11x –3=0
c.
(2x + 1)(x2 – 4) = 0
h. x +4x + 6x – 4x + 1 = 0
4
4
d. 4x3 – 7x2 – 34x – 8 = 0
3
2
3
2
x2 – 4x + 3 = 0
i.
e. x3 + 2x2 – 3x = 0
16. Calcula el resto de las siguientes divisiones:
a. (x150 – x + 7) : (x –1)
17
b. (x
c.
d.
Sol: 7
– x – 3) : (x + 1)
Sol: -3
( x + 6 x − 1) : ( x − 1)
( 3x − 2 x + 3x + 3) : ( x + 1)
52
3
Sol: 6
2
Sol: -5
17. ¿Son exactas las siguientes divisiones?
4
a. ( x − 1) : ( x − 1)
b.
(x
5
)
− a 5 : (x − a )
2
18. Averigua si x + 3 es divisor de 12 x 4 − 26 x 3 + 2 x 2 + 15 x .
(
)
2
3
2
19. Halla los valores de m, n y p sabiendo que (x − 2) mx + nx + p = 2 x − 9 x + 14 x − 8 .
20. Añade el término independiente a P ( x ) = x5 − 5x3 + 2 x para que sea divisible por (x+2).
5
4
3
2
21. ¿Cuánto deben valer p y q para que el polinomio x − px + 5 x + qx − 12 x + 15 sea
divisible por (x+5) y por (x-1).
22. Halla el valor de k en los siguientes casos para que:
a. x2 + kx + 6 sea divisible por x - 2
4
3
b. 5 x + kx + 2 x − 3 tenga como factor x + 1
(
)
c. x – k sea factor del polinomio 2 x 3 − 13 x 2 + 6 x .
d.
(x
e.
(x+1) sea un factor de P ( x) = x 5 − kx 2 − 3
f.
5
)
− x 4 + x + 3k : (x − 2 ) tenga como resto 5
3
La división del polinomio P ( x) = x + 4 x + 3k por x − 3 sea exacta.
4
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g. P ( x ) = x 4 + 4 x 3 + kx 2 + 10 x + 3 es divisible por x+3
(
)
h. El resto de la división del polinomio 4 x 3 + 9 x 2 − kx + 7 entre ( x + 3) sea 10.
i.
Q( x ) = x 3 + 2 x 2 + kx + 3 que tiene por factor a x-1
j.
R ( x ) = 2 x 2 + kx − 15 es divisible por x+5
23. Halla el valor de b en el polinomio P ( x) = x 3 + bx 2 − 12 x sabiendo que x=−2 es una de
sus raíces. Factorízalo.
[sol] b=−4; P(x)= x( x + 2)( x − 6)
24. Hallar a y b para que al dividir el polinomio P(x) = 2 x 5 − 3 x 4 − 31x3 + ax 2 + bx + 30 sea
divisible por x+1 y por x–1. Calcula las raíces del polinomio para estos valores.
Sol: a=-27 y b=29 ; Raíces: -2, -1, 1, 5 y − 3
25. Hallar a y b para que:
a. Al dividir P(x)= 2 x 4 − 5 x3 + ax 2 + bx − 6
(
)
entre x+1 dé resto 15 y al dividirlo entre
x – 3 dé resto 3.
b. x 2 − 4 sea factor de P(x)= x3 − 3 x 2 + ax + b
(
)
(
)
c. P(x) = x 4 + ax 3 − 19 x 2 + bx + 90 sea divisible por x + 3 y por x – 2.
(
)
26. Probar que x – 2 es factor del polinomio 2 x 3 − 9 x 2 + 14 x − 8 .
27. Halla el valor de k para que el polinomio 3x2 – 5kx +2, tenga:
a. Dos raíces reales y distintas.
b. Dos raíces reales e iguales (raíz doble)
c. No tenga raíces reales.
28. Obtén un polinomio cuyas raíces sean:
a. 1 (raíz doble), -1 (raíz triple) y P(0)=1
b. -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble) y P(-1)=2
c. 0 (raíz doble), -1 (raíz doble), grado(P)=6 y P(1)=1
d. 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz simple) y término principal 3
29. Obtén un polinomio que verifique:
a. Es de grado 4 y tiene como únicas raíces x= ±2
b. Es de grado 4 y no tiene raíces.
c. Es de grado 2, completo, primo y su coeficiente principal 2.
d. Tiene dos raíces no enteras dobles y P(1) = -1
30. Halla el m.c.m y m.c.d de los siguientes polinomios:
a.
P ( x) = x 2 − 4 , Q( x) = x 4 + 9 x3 + 30 x 2 y R( x) = x 2 + 4 x + 4
b.
P ( x ) = 2 x 2 + 2 x y L( x ) = x 3 − x 2 − x + 1
c. A(x)=x2-x-12 y B(x)=x2-8x+16
5
2
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31. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
21x 2
7 x − 14 x 2
4− x
3 x − 12
3x 2 − 4 x
x3
4x − 8
2x
3 x 2 − 12
x+2
( x − 1) 2
x2 −1
x 2 + 6x − 7
2x − 2
4 x 2 − 40 x + 100
4 x 2 − 100
i.
x
x
l.
2
2
12 x 2 − 12 xy
u.
−1
12 xy − 12 y 2
− 4x + 4
a 2 − ab
v.
2x − 4
2
x − 5x
2
x − 25
x +1
2
x +x
2
2x − 7 x + 3
2
2x − 5x − 3
a 4 − a 2b 2
3
m.
n.
o.
2x2 − x − 3
4x2 − 9
x2 y − x3
ax 2 y − a 2 x 2
ax + a + 2 x + 2
2ax + a + 4 x + 2
x2 + x − 2
2x2 − 2
r.
s.
2
4
t.
x3 − 3 x 2 − 6 x + 8
2 x 4 + 2 x3 + 2 x 2 + 2 x
x.
x 2 (x + 2 )3 (x − 3)(x − 1)
q.
x3 − 2 x 2 − 8 x
w.
x (x + 2 )2 (x − 3)2 (x − 1)
p.
3x − 6 x
3x + 24 x 3 − 60 x 2
3
(x − 1)2 (x + 1)
k.
4 x2 + 8x + 4
x4 − 1
x4 − x3 − x2 − x − 2
x 4 + 2 x 3 − 3x 2
x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 10 x − 15
y.
z.
x +1
j.
x
[sol] a.
j.
2
+ 2x + 1
3x
1 − 2x
1
x +1
b. − 1 c. 3 x − 4
2
3
k. x − 1
d. 2( x − 2)
x
x
l.
x−2
2
m.
x
x−5
1
e. 3( x − 2) f. x − 1 g. x + 7 h.
i.
x+5
x +1
2
x + 10
2
x+5
n.
1
x
o.
2x − 1
2x + 1
32. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:
2
x +1
5
3x
3
+ 2
−
b.
2
x
x + x x +1
2
 x −1
c. 
 +1
 x +1
f.
2x − 1 2x 2 − 6x + 4
−
3x − 3 3x 2 − 6 x + 3
h.
a.
d.
x −1+
e.
g.
i.
6
3x 2 − 12 x + 12
6 x 3 − 54 x
:
x 2 − 5x + 6 x 3 − 6 x 2 + 9 x
3x
x+2
1
−
2
+
7x + 3
x+3
+ 5x + 6
x
2x − 1
3
+
−
2
x +1 x −1
x −1
x
x2 −1 x +1
:
x
x+2
x + 3 x 2 − 4x + 4
⋅
x−2
x2 − 9
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j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
5
x −5
+
=
x −1 x +1
3
x
−
=
x+2 x−2
4
x
+
x −1 x +1
5x
4
−
2 x + 3 3x − 1
6x + 2
1
− 2
x
x −1
2x
3
4
+
+
2
x −4 x−2 x+2
3x + 6
2x
−
=
2
x + 4x + 4 x + 2
q.
1  2x − 2
 x
−

:
 x − 1 x + 1  x3 − 1
r.
2x
x + 1 x2 − 1 1
⋅
−
+
4x − 4 x − 1 2x2 − 2 2
s.
1
x
x2
+
− 2
x x +1 x −1
t.
x
x
1 x +1
:
− ⋅
x −1 x +1 x x −1
dd.
ee.
ff.
gg.
hh.
ii.
jj.
kk.
ll.
2
u.
2
 x   2x + 2  x 
.
:
 x + 1  1 + x   x − 1 =


v.
x
x
x
−
−
x − 2 x − 1 x2 − 3x + 2
w.
a 2 − 2a a 2 + a
÷
=
a+3
a −1
x.
mm.
1
2
x −x
+
nn.
oo.
pp.
2x − 1 3x − 1
−
x −1
x
qq.
x+2
1− x
− 3
x + x +1 x −1
2
3
5x − 6
+
− 3
x x +1 x + x2
x − 2 9 + x2
·
x + 3 4 − 2x
2 x 2 − x − 15 5 − 6 x
÷ 2
x 2 − 3x
x −1
 x
1− x2
2  x 2 − 3x + 2
 2
− 2
+  ÷ 2
 x − 9 x − 3x x  x + x − 6
2
y.
z.
aa.
bb.
cc.
2
7
rr.
ss.
tt.
 x+2
1
x2  x2 − 9
 2
 ⋅
+ 2
−
x
+
3
x
+
4
x
+
6
x
−
4

 x +1
x−3 x−3
÷
=
x−2 x+2
( x − y)2 2 x2
· 2
x2
x − y2
 x
xy 
+
y

y

x 
2x3 − 5x2 + 3x
2x2 + x − 6
1   1 1 1 
1 1
− : 2 − + 
 −
x 2x 
 x 2 x 3x   x

1 
1 
 x + x  :  x − x  ⋅ ( x − 1)
 


 x + 1 x2 −1  x +1 

 

 (x − 1)2 ⋅ x  :  ( x − 1)2 

 

1 
1

 + x  1 −

x +1
x

x2 − 9x + 8 x − 8
÷
=
x −1
2x
x3 − 8 x 2 − 4
÷
=
x+2
x−2
1+
1
2x
−
2x − 1 4x2 − 1
 2 x 2 − 18   x 2 − 6 x + 9 
 2
 ÷ 
 =
2
x
−
8
x
+
15
3
x
−
75

 

 4 x  6  x + 1
=
 
+
 3  x − 2  x − 1
x
1
x
2
3
x
x
4
+
=
−
1
2
x +1 + x
=
3
x +1
x−
1
1−
1
1−
1
1− x
=
Matemáticas 3º ESO
Fernando Barroso Lorenzo
 3x 2   x − 2 
 2

=
 x − 4  2x 
uu.
2
[sol] a. x + 1
x +1
2
c. 2 x + 2
( x + 1) 2
b. 5
x2
2
h. x + x − 2
i.
x
d. 1
x −1
e.
x−2
2( x + 3)
f.
2
10x + 26x + 5
2
x + 5x + 6
g.
2x
2
− 5x − 2
2
x −1
x−2
x−3
33. Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado:
a.
9 + 6 x + x 2 3x 2 − x3
·
9 − x 2 3x 2 + x3
2 x − 4 2 x2 − 8x + 8
:
3 2
x−2
+
4 8
b.
x2 + 2 x + 1 4 x2 − 4 x
·
x2 − 1
x +1
2 x 2 + 14 x + 20
x −5
: 3
3
2
x − 50 + 2 x − 25 x 2 x − 20 x 2 + 50 x
c.
x − 1 2 x − 8 x − 10
·
x + 2x +1
x −1
2x + 2
x +1
: 3
2
x + x − 2 x − 4 x 2 − 7 x + 10
2
2
e.
3
2
x
− 2
+
x +1 x −1 x −1
x 2 − 25
x2 − 4 x − 5
f.
x2 − 2x +1 x2 −1
−
x −1
x +1
1
x
+
x2 − 1 x − 1
g.
3
2
x
− 2
+
x +1 x −1 x −1
x2 − 6 x + 5
x2 −1
2
 x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 x 2 + 2 x − 3  x 2 + x − 2
· 2

:
x2 − 9
x − 3x + 2  x2 + 4 x + 4

d.
2 x2 − 2 x
3 x 2 + 12 x + 12
−
3x 2 + 3x − 6
2x
Sol: los apartados: a,b,c,d,e dan todos 1 f) 0 g) x + 5
x−5
34. Racionaliza las siguientes expresiones:
a.
x +1
x +1
c.
x
1− x
x
b.
x
d.
x( x + 1) ;
x
b)
x;
2
x
x − x −1
x +1
2 x
[sol] a)
e.
c) ( x + 1) x ;
d) − x − 1 + 2 x ;
x −1
x
8
e) x + x( x − 1)