SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS Y TRES VARIABLES

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JRC
LECCIÓN Nº
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Observa las dos ecuaciones siguientes:

2x + y = 7
3x y = 3
Este sistema formado por las ecuaciones I y II se llama sistema de
dos ecuaciones lineales con dos variables. En este caso las
variables son x e y.
Un par ordenado de números reales es solución de un sistema
de ecuaciones, si al sustituir las variables por dichos números,
los dos miembros de cada ecuación tienen el mismo valor.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
1) Método gráfico de resolución de sistemas.
Los sistemas de ecuaciones, por el número de sus soluciones, pueden ser compatibles o
incompatibles.
Ejemplo 1
Encuentra el conjunto solución del sistema
de dos ecuaciones:
x  2 y  4

2 x  3 y  1
Solución: TABULANDO
x – 2y = 4
x
y
-1
y=
0
2x + 3y = 1
1
2
x 4
2
1 4
= 2,5
2
0 4
y=
= 2
2
1 4
y=
= 1,5
2
2 4
y=
= 1
2
y=
x
y
-1
y
0
1
2
1  2x
3
1 - 2(-1)
1
3
1  2(0)
y
 0,333...
3
1  2(1)
y
 0,333...
3
1  2(2)
y
 1
3
y
Este sistema tiene una única solución que es: x = 2; y = 1
Porque se determinan dos rectas y que se cortan en el punto de coordenadas (2; 1)
“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
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2
JRC
Entonces: Cuando tiene una única solución el sistema es compatible determinado.
Ejemplo 2
Encuentra el conjunto solución del sistema
de dos ecuaciones:
x  y  2

2 x  2 y  4
Solución: TABULANDO
x–y=2
X
y
....
0
2x 2y = 4
1
2
X ....
y
y=x 2
y=
y =0 2= 2
0
1
2
2x 4
2
2(0) - 4
= 2
2
2(1) 4
y=
= 1
2
2(2) 4
y=
=0
2
y=
y =1 2 = 1
y =2 2=0
Entonces: Cuando tiene infinitas soluciones el sistema es Compatible indeterminado
Ejemplo 3
Encuentra el conjunto solución del sistema
de dos ecuaciones:
{
x y 4
2x 2 y  0
Solución: TABULANDO
x +y = 4
x
y
....
0
– 2x – 2y = 0
1
y=4 x
2
x
y
....
0
1
2
y= x
y=4 0=4
y =0
y = 4 1= 3
y= 1
y =4 2=2
y= 2
El sistema que no tiene ninguna solución se le llama sistema incompatible
“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
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2) Métodos analíticos de resolución de sistemas.
A) Método de reducción: En este método se hacen iguales los coeficientes y con signos distintos
{
de una de las incógnitas del sistema.
5 x + 6 y = 20
(I)
4x
( II )
3 y = 23
Vamos a igualar los coeficientes de una de las variables en ambas ecuaciones. Escogemos y
por tener signos diferentes.
{
Multiplicamos por 2 la ecuación ( II ). Obtenemos:
5 x + 6 y = 20
8x
6 y = 46
Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas
ecuaciones porque con ello se elimina la y:
5 x + 6 y = 20
8x
13x
6 y = 46
= – 26
26
= 2
13
x=
Reemplazamos x = – 2 en la ecuación ( I ) o en ( II ), para hallar el valor de y, por ejemplo en
( I ), se tiene:
5(– 2 ) + 6y = 20
–10 + 6y = 20
6y = 30
y=
30
=5
6
y=5
Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(– 2; 5)}
B) Método de sustitución: Consiste en despejar una de las variables en una ecuación del
sistema y sustituir su valor en la otra con la finalidad de encontrar la nueva ecuación con una
sola variable.
(I)
3 x + 2y = 8
{
( II )
4x 3y = 5
 Despejamos x en la primera ecuación y obtenemos.
3x + 2y = 8
x=
8
“Sigue practicando, tu
esfuerzo será compensado
con el éxito,” ja, ja, ja, ...
2y
3
 Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación
4x – 3y = 5
4 (
8
2y
)
3
3y = 5
 Multiplicamos por tres la ecuación para eliminar el denominador.
4(8 – 2y) – (3).3y = 3.5
32 – 8y – 9y = 15
“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
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 Transponemos términos y reducimos los semejantes:
– 8y – 9y = 15 – 32
– 17y = – 17
y=1
 Reemplazamos y en ( I ) por el valor obtenido para hallar el valor de x:
3x + 2y = 8
3x + 2(1) = 8
3x = 8 – 2
3x = 6
x=2
Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(2; 1)}
C) Método de igualación: Este método consiste en despejar la misma variable en las dos
ecuaciones e igualar las expresiones que resultan, logrando una ecuación de una sola variable.
Analiza cómo resolvemos el sistema por este método:
3 x  2 y  8

4 x  3 y  5
(I)
( II )
 Despejamos x en ambas ecuaciones:
x=
x=
8
2y
3
(I)
5 + 3y
4
( II )
 Igualamos ambas expresiones correspondientes a x:
8
2y 5 + 3 y
=
3
4
 Multiplicamos por el m.c.m. de (3 y 4) =12 y hallamos los productos:
4(8 – 2y) = 3(5 + 3y)
32 – 8y = 15 + 9y
 Transponemos términos y reducimos los semejantes:
– 8y – 9y = 15 – 32
– 17y = – 17
y=1
 Reemplazamos y = 1 en cualquiera de las ecuaciones, para hallar el valor de x.
3x + 2y = 8
3x + 2(1) = 8
3x + 2 = 8
3x = 8 – 2
3x = 6
x=2
Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(2; 1)}
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER
Ejemplo 1
Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones por el método de
determinantes
x  2 y  4

2 x  3 y  1
1º Se halla el determinante del sistema d(s):
“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
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d ( s) 
5
JRC
1 2
 (1).(3)  (2)(2)  3  4  7
2 3
2º Se halla el determinante que corresponde a la variable x:
d ( x) 
4 2
 (4).(3)  (2).(1)  12  2  14
1 3
3º Se halla el determinante que corresponde a la variable y :
d ( y) 
1 4
 (1).(1)  (4)(2)  1  8  7
2 1
4º El valor de la variable “x” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “x”
entre el determinante del sistema:
X=
d ( x)
d ( s)
X=
14
7
X=2
5º El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “y”
entre el determinante del sistema.
Y=
d ( y)
d ( s)
y=
7
7
X=–1
RESPUESTA: El conjunto solución del sistema es: C.S. = {- 1; 2}
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:
1)
x  6y  27

7 x  3y  9
x  6y  27

14x  6y  18
15x
= 45
45
x
3
15
2)
3x  2y  2

5x  8y  60
3)
3x  5y  7

 2 x  y  4
4)
7 x  4 y  5

9x  8y  13
Reemplazando x = 3
Respuesta:
en ( I ):
x3
3  6y  27
6y  27  3
y4
y
24
4
6
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5)
9x  16y  7

 3x  4y  0
6)
15x  11y  87

 12x  5y  27
7)
14x  11y   29

 8x  13y  30
8)
7 x  9y  42

12x  10y  4
9)
 4 x  5y  5

 4x  10y  7
10)
5x  7y  1

 3x  4y  24
11)
32x  25y  13

16x  15y  1
12)
 6 x  5y   9

4x  3y  13
13)
7 x  15y  1

 x  6y  8
14)
9x  11y  14

6x  5y  34
15)
10x  3y  36

 2 x  5y   4
16)
3x  4y  41

11x  6y  47
6
JRC
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17)
11x  9y  2

13x  15y  2
18)
11x  13y  163

 8x  7 y  94
19)
 9x  7 y   4

11x  13y  48
20)
18x  5y  11

12x  11y  31
21)
12x  14y  20

14x  12y  19
22)
2x  2y  0

x  3y  4
23)
x  y  19

3x  4y  8
24)
15x  y  40

19x  8y  236
25)
2x  3y  5

x  3y  4
26)
3x  5y  7

2x  y  4
27)
 2 x  5y  4

3x  4y  6
28)
36x  11y  14

24x  17 y  10
7
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29)
x  y  58

2x  4y  168
30)
 2 x  3y   2

2x  6y  1
31)
8x  y  21

9x  2y  7
32)
x
 5 

x 
 3
8
JRC
y
9
3
y
3
9
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
33)
x  6y  27

7 x  3y  9
SOLUCIÓN:
Despejando x ( I ):
x  27  6y
34)
3x  2y  2

5x  8y  60
35)
3x  5y  7

 2 x  y  4
36)
7 x  4 y  5

9x  8y  13
37)
9x  16y  7

 3x  4y  0
38)
15x  11y  87

 12x  5y  27
Sustituir en (II):
Reemplazando y = 4
7( 27  6y )  3y  9
en ( I ):
x3
189  42y  3y  9
 45y  9  189
x  6(4)  27
x  27  24
x3
y4
y
 180
4
 45
Respuesta:
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39)
14x  11y   29

 8x  13y  30
40)
7 x  9y  42

12x  10y  4
41)
 4 x  5y  5

 4x  10y  7
42)
5x  7y  1

 3x  4y  24
43)
32x  25y  13

16x  15y  1
44)
 6 x  5y   9

4x  3y  13
45)
7 x  15y  1

 x  6y  8
46)
9x  11y  14

6x  5y  34
47)
10x  3y  36

 2 x  5y   4
48)
3x  4y  41

11x  6y  47
49)
11x  9y  2

13x  15y  2
50)
11x  13y  163

 8x  7 y  94
9
JRC
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51)
 9x  7 y   4

11x  13y  48
52)
18x  5y  11

12x  11y  31
53)
12x  14y  20

14x  12y  19
54)
2x  2y  0

x  3y  4
55)
x  y  19

3x  4y  8
56)
15x  y  40

19x  8y  236
57)
2x  3y  5

x  3y  4
58)
3x  5y  7

2x  y  4
59)
 2 x  5y  4

3x  4y  6
60)
36x  11y  14

24x  17 y  10
61)
x  y  58

2x  4y  168
62)
 2 x  3y   2

2x  6y  1
10
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63)
8x  y  21

9x  2y  7
64)
x
 5 

x 
 3
11
JRC
y
9
3
y
3
9
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
65)
x  6y  27

7 x  3y  9
SOLUCIÓN:
Despejando x en (II):
x
9  3y
7
Despejando x ( I ):
Igualando(I) y (II):
x  27  6y
27  6y 
66)
3x  2y  2

5x  8y  60
67)
3x  5y  7

 2 x  y  4
68)
7 x  4 y  5

9x  8y  13
69)
9x  16y  7

 3x  4y  0
70)
15x  11y  87

 12x  5y  27
71)
14x  11y   29

 8x  13y  30
9  3y
7
189  42y  9  3y
 42y  3y  9  189
y
 180
4
 45
Respuesta:
x3
y4
Reemplazando:
x  27  6( 4)  3
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72)
7 x  9y  42

12x  10y  4
73)
 4 x  5y  5

 4x  10y  7
74)
5x  7y  1

 3x  4y  24
75)
32x  25y  13

16x  15y  1
76)
 6 x  5y   9

4x  3y  13
77)
7 x  15y  1

 x  6y  8
78)
9x  11y  14

6x  5y  34
79)
10x  3y  36

 2 x  5y   4
80)
3x  4y  41

11x  6y  47
81)
11x  9y  2

13x  15y  2
82)
11x  13y  163

 8x  7 y  94
83)
 9x  7 y   4

11x  13y  48
12
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84)
18x  5y  11

12x  11y  31
85)
12x  14y  20

14x  12y  19
86)
2x  2y  0

x  3y  4
87)
x  y  19

3x  4y  8
88)
15x  y  40

19x  8y  236
89)
2x  3y  5

x  3y  4
90)
3x  5y  7

2x  y  4
91)
 2 x  5y  4

3x  4y  6
92)
36x  11y  14

24x  17 y  10
93)
x  y  58

2x  4y  168
94)
 2 x  3y   2

2x  6y  1
95)
8x  y  21

9x  2y  7
13
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96)
x

 5

x 
 3
14
JRC
y
9
3
y
3
9
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER
Ejemplo 1
Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones por el método de
determinantes
x  2 y  4

2 x  3 y  1
1º Se halla el determinante del sistema d(s):
d ( s) 
1 2
 (1).(3)  (2)(2)  3  4  7
2 3
2º Se halla el determinante que corresponde a la variable x:
d ( x) 
4 2
 (4).(3)  (2).(1)  12  2  14
1 3
3º Se halla el determinante que corresponde a la variable y :
d ( y) 
1 4
 (1).(1)  (4)(2)  1  8  7
2 1
4º El valor de la variable “x” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “x”
entre el determinante del sistema:
X=
d ( x)
d ( s)
X=
14
7
X=2
5º El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “y”
entre el determinante del sistema.
Y=
d ( y)
d ( s)
y=
7
7
X=–1
RESPUESTA: El conjunto solución del sistema es: C.S. = {- 1; 2}
“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”
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JUGANDO CON LOS SISTEMAS
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMA POR EL MÉTODO DE CRAMER
1) 14 x  11 y  29

 8 x  13 y  30
2)
7 x  9 y  42

12 x  10 y  4
3)
3 x  4 y  8

8 x  9 y  77
4)
4 x  5 y  5

  4 x  10 y  7
5)
5 x  7 y  1

  3 x  4 y  24
6)
32 x  25 y  13

16 x  15 y  1
7)
6 x  5 y   9

4 x  3 y  13
8)
7x 15y 1

 x 6y  8
9)
9x 11y  14

6x 5y  34
10) 10 x  3 y  36

2 x  5 y   4
11) 3 x  4 y  41

11x  6 y  47
12)
13)
11x  9 y  2

13 x  15 y  2
11x  13 y  163

 8 x  7 y  94
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14) 9 x  7 y  4

11x  13 y  48
15)
18 x  5 y  11

12 x  11 y  31
Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas forman un sistema de ecuaciones lineales.
ax  by  cz  p

dx  ey  fz  q
 gx  hy  kz  r

Un sistema de ecuaciones de primer grado con tres variables (incógnitas) puede ser resuelto por los
siguientes métodos:
a) Por Reducción
b) Por sustitución
c) Por igualación
d) Por determinantes o por el método de Cramer
x  2 y  z  4

Observa cómo resolvemos el sistema: 2 x  4 y  z  1
6 x  6 y  z  2

SOLUCIÓN:
1) Determinante del sistema
1  2 1 1  2
d ( s)  2  4  1  2  4  (4  12  12)  (24  6  4)  28  14  14
6  6 1  6  6
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2) Determinante de la variable x
 4  2 1  4  2
d ( x )   1  4  1  1  4  (16  4  6)  (8  24  2)  14  14  28
 2  6 1  2  6
3) Determinante de la variable y
1  4 1 1  4
d ( y )   2  1  1  2  1  (1  24  4)  (6  2  8)  21  0  21
 6  2 1  6  2
4) Determinante de la variable z
1  2  4 1 2
d ( z )   2  4  1  2  4  (8  12  48)  (96  6  8)  68  82  14
 6 6  2  6 6
5) El valor de x:
x
d ( x) 28

2
d ( s) 14
6) El valor de y:
y
d ( y ) 21 3


d ( s) 14 2
7) El valor de z:
z
d ( z) 14

1
d (s) 14
Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es:

3 
S    2 ; ;1  
2 

JUGANDO CON LOS SISTEMA DE TRES VARIABLES
Resolver los siguientes sistemas por el método de Cramer:
1)
x  y  z  6

x  y  z  2
x  y  z  0

2)
5 x  2 y  z  29

 x  6 y  3z  17
3x  y  z  11

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3)
3x  2 y  6

x  z  4
x  y  z  6

4)
x  2 y  2 z  3

2 x  3 y  z  13
5 x  2 y  5 z  18

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