unidad 4 ecuaciones inecuaciones y sistemas de ecuaciones

UNIDAD 4: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen
valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los
valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes. Las incógnitas se representan por letras y
constituyen los valores que se pretenden hallar. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa
dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; luego una ecuación es una igualdad
condicional en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta. Se llama solución o raíz de una
ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Resolver una ecuación es encontrar su
dominio solución, el cual es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple.
Ejemplo No. 56
Ecuación
Solución
Conjunto solución
2 x  3  11
x4
x2  6  x
x  3 y x  2
4
2,3
Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo
general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones
equivalentes más simples.
Para resolver ecuaciones se aplican las siguientes propiedades:
Si a  b , entonces a  c  b  c para todo a, b, c  R
Propiedad aditiva de la igualdad
Propiedad multiplicativa de la igualdad Si a  b , entonces a  c  b  c para todo a, b, c  R
4.1 ECUACIÓNES LINEALES
Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad entre dos expresiones algebraicas involucrando una o más
variables elevadas a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que
involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Una ecuación lineal tiene la forma:
ax  b  c , con a  0
Ejemplo No. 57
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
a. 2 x  4  9
c. 7 y  15  26 y  3  42  y 
b.  2b  5  3b  10
d.
1
x  4  1 x
2
3
Solución:
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 54
a. 2 x  4  9  2 x  9  4  2 x  5  x 
5
2
b.  2b  5  3b  10   2b  3b  10  5   5b  15  b 
c. 7 y  15  26 y  3  42  y   7 y  15  26 y  18  8  4 y
 15
 b3
5
 7 y  15  210 y  26
 7 y  15  20 y  52
 7 y  20 y  52  15  27 y  67  y 
d.
67
27
1
x  4  1 x  1 x  2  1 x  1 x  1 x  2  3x  2 x  2  x  2
2
3
6
2
3
2
3
6
 x  12
Actividad No. 14
1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
a. 8x  2x  4  8x  10
e. n  2 
b.  23m  6  4m  3  21
f.
c. 36   y  2  6  4 y  7
g.
d.  36  4 x   4  5x  6 x  4 x  3x  2
3
n  4
4
1
z  2  1 2 z  6
4
3
5
5 7
2
m  m
6
12 8
3
2. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
a. Un padre tiene 35 años y su hijo 5 . ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la
edad del hijo?
b. Si al doble de un número se le resta su mitad y resulta 54 . ¿Cuál es el número?
c. La base de un rectángulo es el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
d. En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que de hombres y
mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
e. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55 . ¿Cuál es el número?
f. ¿Qué número se debe restar de p  2 para obtener 5 ?
g. Tres números impares consecutivos suman 81 . ¿Cuáles son los números?
h. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103 . ¿Cuáles son los números?
i. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo.
¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 55
j. La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e
Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.
k. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $16900 . Si cada
cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $8 . ¿Cuánto
cuesta cada material?
l. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3 , la
fracción queda equivalente a 4 . Hallar la fracción.
3
4.2 ECUACIÓNES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, es una ecuación de la forma:
ax 2  bx  c  0 , con a, b, c  R y a  0
Dependiendo del valor de las constantes b y c , las ecuaciones cuadráticas se clasifican en:
Ejemplo
Son aquellas en las cuales b  0 o c  0
ax  0
2
Ecuaciones incompletas
ax  bx  0
2
ax  c  0
2
Ecuaciones completas
Son aquellas en las cuales b  0 y c  0
ax  bx  c  0
2

4x 2  0

3x 2  5 x  0

 2x 2  7  0

6x 2  7 x  2  0
Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la
igualdad.
4.2.1 Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas
En la solución de una ecuación cuadrática incompleta se distinguen tres casos:
 Caso 1: Ecuación de la forma ax 2  0
Para este caso la única solución es x  0 con multiplicidad algebraica 2 (repetida dos veces)
 Caso 2: Ecuación de la forma ax 2  bx  0
Para este caso se factoriza la expresión ax 2  bx obteniéndose de esta manera xax  b  0
De lo anterior se concluye que las soluciones son x  0 y x  
b
a
 Caso 3: Ecuación de la forma ax 2  c  0
Para este caso tenemos que las soluciones son x   
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
c
a
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 56
Ejemplo No. 58
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a.  3x 2  0
c. 4 x 2  16  0
b. 2 x 2  6 x  0
d. 4 x 2  16  0
Solución:
0
 x2  0  x  0
3
2
b. 2 x  6 x  0  x2 x  6  0  x  0 o 2 x  6  0
a.  3x 2  0  x 2 
Si 2 x  6  0  2 x  6  x 
6
2
 x3
16
 x 2  4  x   4  x  2
4
16
 x 2  4  x    4  x   4   1
d. 4 x 2  16  0  4 x 2  16  x 2  
4
c. 4 x 2  16  0  4 x 2  16  x 2 
 x   4  1  x  2i
4.2.2 Solución de ecuaciones cuadráticas completas
Para resolver una ecuación cuadrática completa de la forma ax 2  bx  c  0 , se utilizan cuatro métodos citados
a continuación:
1. Solución por factorización.
2. Solución completando cuadrado.
3. Solución por fórmula general.
4. Solución gráfica.
4.2.2.1 Solución por factorización
Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma ax 2  bx  c  0 , se factoriza (si es posible) la
expresión ax 2  bx  c
Ejemplo No. 59
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización:
a. x 2  2 x  8  0
b. 6 x 2  7 x  2  0
Solución:
a. x 2  2 x  8  0  x  4x  2  0  x  4  0 o x  2  0  x  4 o x  2
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 57
b. 6 x 2  7 x  2  0 





6
1
6x 2  7x  2  0 
36 x 2  42 x  12  0
6
6


1
6 x 2  76 x   12  0  1 6 x  46 x  3  0
6
6
4
2
6

  x  6 x  3  0   x  6 x  3  0
3
6

6
 x
2
2
1
 0 o 6x  3  0  x   o x  
3
3
2
4.2.2.2 Solución completando cuadrado
Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma ax 2  bx  c  0 , se completa cuadrado con la
expresión ax 2  bx  c
Ejemplo No. 60
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado:
a. x 2  6 x  16  0
b. 4 x 2  8x  12  0
Solución:
a. x 2  6 x  16  0  x 2  6 x   16  0  x  32  9  16  0  x  32  25  0

x  32  25

x  32
  25  x  3  5
 x  5  3  x  8 y x  2
b. 4 x 2  8x  12  0  4x 2  2 x   12  0  4x  12  4  12  0
 4x  12  16  0  4x  12  16 

x  12  4

x  12
x  12  164
  4  x  1  2  x  3 y x  1
4.2.2.3 Solución por fórmula general
Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma ax 2  bx  c  0 , se aplica la siguiente fórmula
general:
 b  b 2  4ac
x
2a
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 58
Ejemplo No. 61
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general:
a. x 2  4 x  5  0
b. 4 x 2  28x  48  0
Solución:
a. Para este caso tenemos que a  1 , b  4 y c  5 , por lo tanto:
x
  4 
 42  41 5 4 

21
16  20 4  36 4  6


 x  1 y x  5
2
2
2
b. Para este caso tenemos que a  4 , b  28 y c  48 , por lo tanto:
x
  28 
 282  4448 28 

24
784  768 28  16 28  4


 x3 y x 4
8
8
8
4.2.2.4 Solución gráfica
Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática representa los cortes, si los hay, de la parábola con el eje x
Ejemplo No. 62
Ecuación
Parábola
Soluciones
(cortes)
2x 2  6x  0
y  2x 2  6x
x0 y x3
Ecuación
Parábola
Soluciones
(cortes)
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
4 x 2  16  0
y  4 x 2  16
x  2 y x  2
Ecuación
Parábola
Soluciones
(cortes)
- Ecuaciones e inecuaciones
4 x 2  8x  12  0
y  4 x 2  8x  12
x  3 y x  1
Página 59
Actividad No. 15
1.
a.
b.
2.
a.
b.
3.
a.
b.
4.
a.
b.
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:
x 2  25  0
c. 4 x  2 x 2  0
4 x 2  64  0
d. 12 x 2  60 x
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando factorización:
x 2  10 x  25  0
c. 30 x  25  9 x 2
4 x 2  20 x  25  0
d. 5x 2  17 x  6
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado:
x 2  6 x  10  0
c. 2 x 2  4 x  16  0
3x 2  6 x  4  0
d. 9 x 2  9 x  4  0
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando formula general:
2x 2  6x 1  0
c. 6 x 2  x  12  0
2 x 2  4 x  1
d. x 2  5x  0
4.3 ECUACIONES QUE SE PUEDEN REDUCIR A ECUACIONES CUADRÁTICAS
Existen dos tipos de ecuaciones que aparentemente, no son ecuaciones cuadráticas. Dichas ecuaciones son las
ecuaciones con radicales y las ecuaciones bicuadráticas.
4.3.1 Ecuaciones con radicales
Una ecuación con radical es aquella ecuación que tiene una variable en un radicando.
Ejemplo No. 63
Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales:
a.
b.
x 1  5  x
2x  3  x  1  1
Solución:
a.
x 1  5  x 
x 1  x  5 


x  1  x  5  x  1  x 2  10 x  25
2
2
 x 2  10 x  x  25  1  0  x 2  11x  24  0  x  8x  3  0
 x 8  0 o x 3  0  x  8 o x  3
b.
2x  3  x  1  1 
2x  3  x  1  1 
 2x  3 


 
2
2x  3 

x 1 1
2

2
x  1  2 x  1  1  2x  3  x  1  2 x  1  1
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 60
 2x  3  x  2  2 x  1  2x  x  3  2  2 x  1

 x  1  2 x  1  x  1  2 x  1
2

2
 x 2  2 x  1  4x  1  x 2  2 x  1  4 x  4
 x 2  2x  4x  1  4  0  x 2  2x  3  0
 x  3x  1  0  x  3  0 o x  1  0  x  3 o x  1
4.3.2 Ecuaciones bicuadráticas
Una ecuación bicuadrática es una ecuación de la forma ax 4  bx 2  c  0 . Para solucionar una ecuación
bicuadrática, se convierte dicha ecuación en una ecuación cuadrática (de segundo grado). Para tal efecto se hacen
las siguientes sustituciones:
u  x2
u2  x4
Las cuales al ser reemplazadas en la ecuación original se obtiene:
au 2  bu  c  0
Como al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtienen dos valores para u , luego al hacer u  x 2 , se
obtendrán dos nuevos valores.
Ejemplo No. 64
Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas:
a. x 4  5x 2  4  0
b. 2 x 4  20 x 2  18  0
Solución:
a. Al realizar la sustitución u  x 2 y u 2  x 4 , nos queda que:
u 2  5u  4  0  u  4u  1  0  u  4  0 o u  1  0  u  4 o u  1
Para u  4 tenemos que x 2  4  x 2   4  x  2
Para u  1 tenemos que x 2  1  x 2   1  x  1
b. Al realizar la sustitución u  x 2 y u 2  x 4 , nos queda que:




2
1
2u 2  20u  18  0 
4u 2  40u  36  0
2
2
1
1
2
2u  182u  2  0
 2u   202u   36  0 
2
2
2u 2  20u  18  0 

WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO

- Ecuaciones e inecuaciones
Página 61
2
2
 2u  18 u    0  2u  18u  1  0
2
2
 2u  18  0 o u  1  0  u  9 o u  1
Para u  9 tenemos que x 2  9 
Para u  1 tenemos que x 2  1 
x 2   9  x  3
x 2   1  x  1
Actividad No. 16
1. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales:
x  2  3 x
a.
b.  1  x  5  2 x  0
2.
a.
b.
3.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
4.
a.
c.
d.
3x  14  3x  5  9
2 x  8  2 x  5  8x  25
Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas:
x 4  3x 2  36  0
c. 2 x 4  9 x 2  16  0
x 4  3x 2  4  0
d. 2 x 4  x 2  5  0
Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
Dos números reales se diferencian en 3 unidades. Si la suma de sus cuadrados es 369 , halle los números.
Claudia Marcela es 4 años mayor que Paola Andrea. Si dentro de 4 años el producto de
sus edades es 252 , determine las edades actuales.
Ricardo tiene 3 años más que Diego y el cuadrado de la edad de Ricardo disminuido en el
cuadrado de la edad de Diego es equivalente a 129 años. Halle la edad de ambos.
Halle las dimensiones del triángulo de la figura, si se sabe que su área es de 250 m2 .
Si se restan 2 cm al lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es igual a 25
cm2 ¿Cuánto mide el lado del cuadrado restante?
Andrea compró cierto número de libros $180000 . Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero,
cada libro le habría costado $1000 más ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno?
Cierto número de dulces costaron $3600 . Si cada dulce costara $20 menos, habría comprado 6 dulces
más. Halle la ecuación que corresponde al problema y resuélvala.
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales:
5  3x 7  4 x
3 x

 2
4
5
5
b. 2 x 
3x  5
3  5x
 3
4
6
c.
d.
1
3
3

 2
x x 1
x x
1 x
1
2
1
3
1
4
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 62
5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
3x
1

2
x  2 4  x2
1  2x
x 1
2
 2

b.
x  2 x  4 3x  6
a.
c.
d.
x 5
80
1 x 8
 2
 
x 3 x 9 2 3 x
x 1 x 1

1
x 1 x 1
4.4 INECUACIONES
4.4.1 Desigualdad
Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor (mayor o igual) o menor (menor o igual)
que otra. Los signos de desigualdad son:
Signo




Significado
Menor.
Menor o igual.
Mayor.
Mayor o igual.
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que
está a la derecha del signo de desigualdad.
4.4.1.1 Propiedades de las desigualdades
Propiedad
Si

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o

resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no
Si
cambia.


Si

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican 
o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la
Si
desigualdad no cambia.


WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
a  b , entonces:
ac bc
ac  bc
a  b , entonces:
ac bc
ac  bc
a  b y c  0 entonces:
ac  bc
a b

c c
a  b y c  0 entonces:
ac  bc
a b

c c
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 63
Si a  b y c  0 entonces:
 ac  bc
a
b

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican 
c c
o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de
Si a  b y c  0 entonces:
la desigualdad cambia.
 ac  bc

4. Si se invierten los dos miembros de una desigualdad, el
signo de la desigualdad cambia.
a b

c c
1 1
 Si a  b entonces 
a b
1 1
 Si a  b entonces 
a b
5. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y Sea a  0 , b  0 y n  0
se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la  Si a  b entonces a n  b n
n
n
desigualdad no cambia.
 Si a  b entonces a  b
6. Si los dos miembros de una desigualdad o uno de ellos Sea a  0 o b  0 y n  0 impar.
es negativo y se elevan a una misma potencia impar  Si a  b entonces a n  b n
n
n
positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
 Si a  b entonces a  b
7. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y Sea a  0 , b  0 y n  0 par.
se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de  Si a  b entonces a n  b n
n
n
la desigualdad cambia.
 Si a  b entonces a  b
8. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y Sea a  0 y b  0
se les extrae una misma raíz, el signo de la desigualdad  Si a  b entonces
no cambia.
 Si a  b entonces
n
a n b
n
a n b
4.4.2 Intervalos
 Un intervalo abierto a, b  es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores que b .
Es decir:
a, b  x  R : a  x  b
x
a
b
 Un intervalo cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a y
menores o iguales que b . Es decir:
a, b  x  R : a  x  b
x
a
b
 Un intervalo cerrado-abierto a, b  es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a
y menores que b . Es decir:
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 64
a, b  x  R : a  x  b
a
b
x
 Un intervalo abierto-cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y
menores o iguales que b . Es decir:
a, b  x  R : a  x  b
x
a
b
 Un intervalo a,  es el conjunto de todos los números reales x mayores que a . Es decir:
a,   x  R : a  x
x
a
 Un intervalo a,   es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a . Es decir:
a,   x  R : a  x
x
a
 Un intervalo  , b es el conjunto de todos los números reales x menores que b . Es decir:
 , b  x  R : x  b
x
b
 Un intervalo  , b es el conjunto de todos los números reales x menores o iguales que b . Es decir:
 , b  x  R : x  b
b
x
4.4.3 Inecuación
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se
verifica para determinados valores de las incógnitas. Resolver una inecuación es hallar los valores de las
incógnitas que satisfacen la inecuación. En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté
contenido en el dominio de las incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la
desigualdad correspondiente se cumpla, es una solución de la inecuación.
Ejemplo No. 65
En a inecuación x  2  3 , si x se reemplaza por 5 , la desigualdad se cumple. Es decir, se tiene que
5  2  3 , por lo que 5 es una solución de la inecuación x  2  3
Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuyos elementos son las
soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución.
Ejemplo No. 66
En la inecuación x  2  3 , el dominio de la incógnita es el conjunto de los números reales R y se puede
demostrar que esta desigualdad se cumple únicamente para los valores de x mayores que 1 , por lo que su
conjunto solución es:
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 65
S  1, 
Intervalo solución.
S  x  R : x  1 Conjunto solución.
La gráfica del intervalo solución es:
4.4.3.1 Inecuaciones lineales con una incógnita
Sean a , b y c constantes reales con a a  0 . Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con
una incógnita a toda inecuación que se pueda llevar a alguna de las siguientes formas:
 ax  b  c
 ax  b  c
 ax  b  c
 ax  b  c
Ejemplo No. 67
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a. x  7  12
b.  3x  2  11
Solución:
a. x  7  12  x  7  7  12  7  x  5
Por lo tanto:
Intervalo solución: S   ,5
Conjunto solución: S  x  R : x  5
La gráfica del intervalo solución es:
b.  3x  2  11   3x  2  2  11  2   3x  9 
3
9
x
 x3
3
3
Por lo tanto:
Intervalo solución: S   ,3
Conjunto solución: S  x  R : x  3
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 66
La gráfica del intervalo solución es:
Actividad No. 17
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales:
x
2
2 x7
4
3
e.

b.   3  2
f.
x  1x  2  x 2  3
c.
g.
2 x  3x  1  3x
x3
x
1 
4
2
a. 2x  3  5
x
3
5x  3  8x  2
d.  2  4x  5x  8
h.
4.4.3.2 Inecuaciones en las que un miembro es un producto y el otro miembro es cero
Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la multiplicación definida en el conjunto de
los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades:
Sean a  R y b  R , entonces:
 Si a b  0  a  0  b  0  a  0  b  0
 Si a b  0  a  0  b  0  a  0  b  0
Ejemplo No. 68
Resuelva la siguiente inecuación x  3x  2  0
Solución:
Tenemos que:
x  3x  2  0
 x  3  0  x  2  0  x  3  0  x  2  0
  x  3  0  x  2  0   x  3  0  x  2  0 
 x  3  x  2  x  3  x  2
Pero:
x  3  x  2   3,    ,2   3,2
x  3  x  2   ,3  2,   
Por lo tanto:
x  3  x  2  x  3  x  2   3,2     3,2
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 67
De esta manera:
Intervalo solución: S   3,2
Conjunto solución: S  x  R : 3  x  2
La gráfica del intervalo solución es:
Actividad No. 18
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a. x  43x  2  0
b. 3x  32x  1  0
c.
d.
2x  5 x  1  0
x  2x  3  0
4.4.6 Inecuaciones cuadráticas
Sean a , b y c constantes reales tales que a  0 . Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática
a toda inecuación en la que uno de sus miembros se puede llevar a una expresión de la forma ax 2  bx  c y el
otro miembro es cero.
Consideremos el caso en el cual la expresión ax 2  bx  c es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se
debe factorizar la expresión ax 2  bx  c , para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las
inecuaciones en el ejemplo anterior.
Actividad No. 19
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a. x 2  2 x  35  0
f.  2 x 2  3x  2  0
b.  3x 2  x  2  0
g. 18x  2 x 2  0
c. x 2  4 x  0
h. 7  x 2  0
d. x 2  9  0
i.
2x  3
0
3x  1
e. 2 x 2  x  6  0
j.
1
0
4 x  32 x  1
4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Toda igualdad de la forma ax  by  c donde a, b  R es una ecuación lineal con dos incógnitas. Cada pareja
ordenada de números reales x, y  que satisface dicha ecuación es una solución. De esta manera, dando valores
a x , se pueden obtener infinitos valores para y .
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 68
Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales o sistema de
ecuaciones simultáneas.
4.5.1 Sistema de ecuaciones lineales de 2x2
Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 es un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas cada una.
Un sistema de 2x2 puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Para determinar la solución o
soluciones de un sistema de 2x2 se emplean métodos tales como:
1. Método de sustitución.
2. Método de igualación.
3. Método de reducción.
4. Método gráfico.
4.5.1.1 Método de sustitución
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de sustitución, se despeja una de las
variables en cualquiera de las ecuaciones dadas. Luego se reemplaza dicho valor en la otra ecuación y se despeja
nuevamente la otra variable. Este valor se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para hallar la variable inicial.
Ejemplo No. 69
Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
 3x  2 y  11

 2 x  2 y   8
1
2
Solución:
Despejemos x en la ecuación 1 : 3x  2 y  11  3x  2 y  11  x 
Ahora se reemplaza x en la ecuación 2 y se halla el valor de y :
2 y  11
3
3
 4 y  22
 4 y  22  6 y
 2 y  11 
 2
 2 y  8 
 8
  2 y  8 
3
3
 3 
2 y  22
 8  2 y  22  24  2 y  24  22

3
2
 2 y  2  y    y  1
2
Por último el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 3 y se halla el valor de x :
x
2 1  11
 2  11
9
 x
 x   x3
3
3
3
De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada 3,1
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Página 69
4.5.1.2 Método de igualación
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de igualación, se despeja la misma variable
en las dos ecuaciones dadas. Luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. Este valor se
reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para encontrar el valor faltante.
Ejemplo No. 70
Resuelva por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:
2
 4x  y 

3x  5 y   10
1
2
Solución:
Despejemos la variable x en las dos ecuaciones e igualemos las expresiones obtenidas:
De la ecuación 1 se tiene que 4 x  y  2
 x
De la ecuación 2 se tiene que 3x  5 y  10  x 
y2
4
3
 5 y  10
3
4
A continuación se igualan las ecuaciones 3 y 4 y se despeja la variable y :
y  2  5 y  10

 3 y  2  4 5 y  10  3 y  6  20 y  40  3 y  20 y  40  6
4
3
 46
 23 y  46  y 
 y  2
23
Por último el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 1 y se halla el valor de x :
0
4 x   2  2  4 x  2  2  4 x  2  2  4 x  0  x   x  0
4
De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada 0,2
4.5.1.3 Método de reducción
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método de reducción, se reducen las dos ecuaciones
del sistema a una sola ecuación sumándolas. Para tal efecto, es necesario amplificar convenientemente una de las
dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la
variable se elimina y es posible despejar la otra. Luego se procede como en los métodos anteriores.
Ejemplo No. 71
Resuelva por el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:
 4x  3 y  2

 3x  2 y   1
1
2
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 70
Solución:
Al multiplicar por 3 la ecuación (1) y multiplicar por 4 la ecuación (2), se puede cancelar la variable x :
3 
4x  3y

2
4   3x  2 y   1

12 x  9 y  6
 12 x  8 y   4
y 2
Por último, el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 1 y se halla el valor de x :
4 x  32  2  4 x  6  2  4 x  2  6  4 x  4  x  
De esta manera la solución del sistema es la pareja ordenada  1,2
4
4
 x  1
4.5.1.4 Método Gráfico
Este método consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que conforman el sistema, para
determinar las coordenadas del punto x, y  en el que se cortan dichas rectas. Cuando se utiliza el método
gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 se presentan tres casos.
 Caso 1: Las rectas se cortan en un solo punto x, y  . Esto significa que el sistema tiene una única solución,
dada por los valores x y y los cuales son las coordenadas del punto de corte.
 Caso 2: Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es decir, el sistema no tiene solución.
 Caso 3: Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es
indeterminado.
Ejemplo No. 72
Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones:
 3x  y  1
x y  3
1
2
3x  y  2
3x  y  4
1
2
 x  2y  1
2 x  4 y  2
1
2
a. 
b. 
c. 
Solución:
a. Al despejar y de las ecuaciones 1 y 2 se tienen las rectas:
y  3x  1
y  x3
cuyas gráficas se muestran en la figura. Se observa que tienen un solo punto de corte en 1,4 . Por lo
tanto, la única solución del sistema es 1,4
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 71
b. Al despejar y de las ecuaciones 1 y 2 se tienen las rectas:
y  3x  2
y  3x  4
cuyas gráficas se muestran en la figura. Se observa que no tienen punto de corte. Es decir, son dos rectas
paralelas. Por lo que el sistema no tiene solución.
c. Al despejar y de las ecuaciones 1 y 2 se tienen las rectas:
1
1
y  x
2
2
1
1
y  x
2
2
las cuales representan la misma línea recta. Esto significa que dichas rectas coinciden en todos sus puntos.
Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir, es indeterminado
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Página 72
Actividad No. 20
1. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:
3x  5 y  0
 x  2y  1
3 x  y  1
b. 
2 x  y  9
 x  1  2 y  6
c. 
 x  6  31  2 y 
a. 
d.
e.
x  8

y  4
2 x  y

3x  y
 y2
 x2
 4
 11
2. Resuelva por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:
 4x  y  0
 4 x  y   2
d.
 x  3y  6
5 x  2 y  13
e.
a. 
b. 
x  y  5

 x  y  25
2 y  30
30  8  x  

 x  5  4 y 
 5 x  29
 2x  y  1
3x  2 y  2
c. 
3. Resuelva por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:
6 x  4 y  12
 3x  y  9
a. 
 x  2y
2 x  3 y
3x  2 y
c. 
 2x  y
b. 
 4
 1
 7
 14
d.
 x  2y  5

4 x  6 y  6
e.
 2 x  4 y   10

3
 2x  3 y 
4. Resuelva por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones:
 x y  5
2 x  y  4
a. 
4 x  y
2 x  y
2 x  y
c. 
3 x  y
b. 




5
7
9
1
d.
 8
 x y

2 x  2 y  16
e.
2 x  3 y   6

2 x  3 y  6
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 73
4.5.2 Sistema de ecuaciones lineales de 3x3
Un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 es un sistema formado por tres ecuaciones con tres incógnitas cada una.
Tal sistema en caso de tener solución es una terna ordenada de la forma x, y, z  . Para determinar la solución o
soluciones de un sistema de 3x3 se emplean algunos métodos ya explicados anteriormente para sistemas de 2x2.
Ejemplo No. 73
Resuelva por el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:
2 x  3 y  z

x  2 y  2z
3 x  2 y  z

 7

1

2
1
2 
3
Solución:
Despejemos z en la ecuación 1 : 2 x  3 y  z  7  z  2 x  3 y  7
4
Ahora se reemplaza z en las ecuaciones 2 y 3 :
Según 2 se tiene que x  2 y  2 2 x  3 y  7  1   3x  8 y  13
Según 3 se tiene que 3x  2 y   2 x  3 y  7  2  5x  5 y  5
 3x  8 y  13
 5x  5 y   5
Ahora se debe resolver el siguiente sistema de 2x2: 
Despejemos x en la ecuación 5 :  3x  8 y  13   3x  13  8 y  x 
Ahora se reemplaza x en la ecuación 6 y se halla el valor de y :
5
6
5
6 
8 y  13
3
7 
40 y  65
40 y  65  15 y
 8 y  13 
 5 y  5 
 5
5
  5 y  5 
3
3
 3 
25 y  65
 5  25 y  65  15  25 y  65  15  y  2

3
A continuación el valor de y encontrado se reemplaza en la ecuación 7  y se halla el valor de x :
x
82  13
16  13
3
 x
 x   x 1
3
3
3
Por último el valor de x y de y se reemplazan en la ecuación 4 para hallar z :
z  21  32  7  z  2  6  7  z  3
De esta manera la solución del sistema es la terna ordenada 1,2,3
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 74
Actividad No. 21
1. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:
a.
b.
 3x  y  z

 2 x  y  2 z
 4 x  7 y  5z

 7
 5
 x  2 y  4 z

 4x  6 y  2z
 x  y  6z

 1

c.
1
 2
d.
 3
 x yz

2 x  3 y  z
 x  y  3z

 0
 9

0
 x yz

 x  y  z
x  3 y  2z



1
5
 19
4.6 SISTEMA CONFORMADO POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Para resolver un sistema de ecuaciones en las cuales una ecuación es lineal y la otra es de segundo grado siga el
siguiente procedimiento:
1. Resuelva la ecuación lineal para una de las incógnitas en términos de la otra.
2. Sustituya tal incógnita en la ecuación de segundo grado y resuelva la ecuación obtenida en términos de la
segunda incógnita.
3. Sustituya en la ecuación lineal los valores encontrados en el paso 2 para encontrar los valores
correspondientes de la primera incógnita.
Ejemplo No. 74
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
 10
 7x  6 y
 2
6 x  19 x  6 y  38
1
2 
Solución:
Despejemos y de la ecuación 1 : 7 x  6 y  10  6 y  10  7 x  y 
Ahora se reemplaza y en la ecuación 2 y se halla el valor de x :
10  7 x
6
3
 10  7 x 
2
6 x 2  19 x  6
  38  6 x 2  19 x  10  7 x   38  6 x  19 x  10  7 x  38
 6 
 6 x 2  12 x  48  0  x 2  2 x  8  0  x  4x  2  0
 x  4  0 o x  2  0  x  4 o x  2
Si x  4 , entonces según 3 se tiene que y 
WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
10  74 10  28
18


6
6
6
 y  3
- Ecuaciones e inecuaciones
Página 75
Si x  2 , entonces según 3 se tiene que y 
10  7 2 10  14 24


 y4
6
6
6
De esta manera la solución del sistema son los puntos 4,3 y  2,4
7
6
Geométricamente la solución del sistema son los puntos de intersección de la recta y   x 
3
2
parábola y  x 2  x 
5
con la
3
19
, tal como se muestra en la figura:
3
Actividad No. 22
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
 x  2 xy  2 y
2
a. 

x y
2 x 2  y 2
b. 
 x y
2
  50

 109

7
5
c.
d.
 x2 y2

 16  9  1
 x y
 
 1

 4 3
7
1 1



x y
6
 1
1



3
 xy
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 76
2
2
4.7 SISTEMA CONFORMADO POR DOS ECUACIONES DE LA FORMA ax  by  c
Para resolver un sistema conformado por dos ecuaciones de la forma ax 2  by 2  c se realiza la siguiente
sustitución; u  x 2 y v  y 2 obteniéndose de esta manera un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 el cual
puede ser resuelto empleando algunos de los métodos explicados anteriormente.
Ejemplo No. 75
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
x 2  y 2
 2
2
x  y
 25

7
Solución:
Al realizar el siguiente cambio de variables u  x 2 y v  y 2 queda el siguiente sistema de ecuaciones
lineales de 2x2:
u  v  25

u  v  7
1
2 
Despejemos v en la ecuación 1 : u  v  25  v  25  u
3
Ahora se reemplaza v en la ecuación 2 y se halla el valor de u :
32
 u  16
2
Ahora el valor de u encontrado se reemplaza en la ecuación 3 y se halla el valor de v :
u  25  u   7  u  25  u  7  2u  7  25  2u  32  u 
v  25  16  v  9
Como u  x 2 , entonces x 2  16 
Como v  y 2 , entonces y 2  9 
x 2   16
 x  4
y 2   9  y  3
De esta manera la solución del sistema son los puntos:
 4,3 ,  4,3 , 4,3 y 4,3
Geométricamente la solución del sistema anterior se considera como los puntos de intersección de la
circunferencia:
x 2  y 2  25
Con la hipérbola:
x2  y2  7
Tal como se muestra en la siguiente figura:
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 77
Actividad No. 22
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
3 x 2  5 y 2
a.  2
2
7 x  4 y

8 x 2  5 y 2
b.  2
2
7 x  6 y
 11
  63
57
c.
 8
d.
 x2 y2


 16 25
 2
2
x  y

 25 16
1
2
 2
2

x
y
1
2
 2 2

y
x
 1
 1
  17

54
Autoevaluación No. 3
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. La solución de la ecuación lineal x  1  2 x  4 es:
A. x  4
C. x  3
B. x  3
D. x  4
2. La solución de la ecuación lineal ax  bx  a es:
A.
x
a
ab
C.
x
a
a b
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Página 78
B.
x
1
b
D.
x  b
3. La solución de la ecuación xx  1  x 2 es:
A.
B.
C.
D.
x  1
x0
x  0.5
x 1
1 1 1
4. La solución de la ecuación   es:
x 2 3
1
1
A. x  
C. x  
6
2
B. x  6
D. x  2
5. La solución de la ecuación 2 x  1  5 es:
A.
B.
C.
D.
x5
x  13
x  3
x  12
6. La solución de la ecuación 4  x  12  x  4 es:
A.
B.
C.
D.
x5
x0
x3
x  3
7. La suma de un número x con su recíproco es
1
2
A.
2 y
B.
3
y 1
2
C.
2 y
D.
5
y
2
5
. Los números son:
2
1
2
2
5
8. La ecuación cuadrática que tiene por soluciones x  4 y x  3 es:
A. x 2  7 x  12  0
C. x 2  7 x  12  0
B. x 2  7 x  7  0
D. x 2  7 x  12  0
9. La solución de la ecuación cuadrática x 2  6 x  5  0 es:
A. x  1 y x  5 C. x  1 y x  5
B. x  1 y x  5 D. x  1 y x  5
10. La solución de la ecuación cuadrática  3m 2  6m  24  0 es:
A. m  4 y m  2 C. m  4 y m  2
B. m  4 y m  2 D. m  4 y m  2
11. La solución de la ecuación 42 x  12  162 x  1  15  0 es:
A.
x
1
4
y x
3
4
C.
x
1
3
y x
4
4
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 79
B.
x
1
4
y x
3
4
x
D.
1
3
y x
4
4
12. La solución de la ecuación 2 p  p  10  0 es:
A.
B.
25
y p  4
5
25
p
y p4
5
p
C.
D.
25
y p4
4
25
p
y p  4
5
p
13. La solución de la ecuación logarítmica Log 2 x  13  4 es:
A.
B.
x  1 23 2
x  2 2
C.
D.
x  1 23 2
x2 2
14. La solución de la ecuación logarítmica Log3x  2  Log9  Logx  5 es:
A.
x
1
3
C.
x 1
B.
x0
D.
x
1
2
15. El valor de x en la ecuación 5 x1  10 es:
A.
B.
x  Log 2  1
Log 10
x
1
Log 5
C.
x3
D.
x  Log10  Log5  1
16. La solución de la ecuación 2 x 5 x  64 es:
A. x  6
C. x  3 y x  2
B. x  6 y x  1
D. x  2 6
17. La solución de la desigualdad x  1  2x  4 es:
A. x  3
C. x  3
B. x  3
D. x  3
18. Un taxi inicia un recorrido con un valor de $2200 y cobra $45 por cada 100 metros de recorrido. La
cantidad de metros que se deben recorrer como máximo para que el costo de una carrera no supere
$4000 es:
A. 40
C. 4500
B. 4000
D. 8888
19. La solución de la desigualdad x 2  x  12  0 es:
A. x  4 o x  3
C. x  4 o x  3
B. x  4 y x  3 D. x  4 y x  3
2
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- Ecuaciones e inecuaciones
Página 80
 3x  4 y

8
20. El siguiente sistema de ecuaciones: 
 6 x  8 y   16
A.
B.
Tiene exactamente una solución. C. Tiene infinitas soluciones.
No tiene solución.
D. Tiene dos soluciones.
 4x  3y

14
21. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es: 
 2 x  5 y   14
A. 0,0
C.  1,6
B. 2,2
D. 5,2
22. Según la grafica:
y
2
1
x
3
3
y
1
3
x
5
5
2 x  3 y 
1
La solución del siguiente sistema es: 
 x  5y   3
A. 1,2
C. 2,1
B. 2,2
D. 1,1
23. Se desea crear un nuevo limpiador para el hogar con una concentración de 30% de fosfato trisódico
(TSP). Para obtener 6 litros de dicho limpiador. Se requiere mezclar una solución con concentración
de 16% de TSP con otra cuya concentración es de 72% de TSP ¿Cuántos litros de cada una de
estas soluciones se requiere mezclar?:
A. 4.5 litros y 1.5 litros. C. 4.0 litros y 1.0 litros.
B. 4.1 litros y 1.4 litros. D. 0.5 litros y 1.5 litros.
24. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan $9000 . El precio por adulto es $3500 y por
niño $1000 . La distribución de personas era:
A. 3 niños y 1 adulto.
C. 1 niño y 3 adultos.
B. 2 niños y 2 adultos.
D. 4 adultos.
 3x  2 y  z

25. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es: 2 x  3 y  2 z
 x  4y  z

A.
B.
 2,1,4
2,1,4
C.
D.
 4
 7

10
2,1,4
 2,1,4
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