Elementos de Probabilidad y Estadística Problema Semanal 3 Los Frascos de Medicina

Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 3
Los Frascos de Medicina
Problema:
Una farmacia recibe un pedido de 10 botellas de cierta medicina. Cada botella contiene
1,000 píldoras. Cuando el farmacéutico termina de poner las botellas en un estante recibe
una llamada del laboratorio que envió las medicinas diciéndole que ha habido un error y
una de las botellas tiene píldoras que pesan 10 miligramos de más.
¿Puedes hallar un método para determinar cuál botella tiene las píldoras que pesan de más
usando una sola vez la balanza?
Seis meses después la farmacia recibe 10 botellas más de la misma medicina y de nuevo
reciben una llamada telefónica, pero ahora el error es más serio. Esta vez no se sabe cuántas
botellas contienen las píldoras que pesan 10 miligramos de más.
¿Puedes de nuevo hallar un método para determinar cuáles botella tienen las píldoras que
pesan de más usando una sola vez la balanza?
Solución:
El primer problema tiene una solución sencilla. Numeramos los frascos del 1 al 10 y
tomamos una pastilla del primer frasco, dos del segundo, y así sucesivamente hasta 10 del
frasco número 10. Pesamos todas las pastillas y si hay un excedente de k10 miligramos
sabemos que la botella con las píldoras defectuosas es la número k.
El segundo problema es más difícil. De nuevo buscamos una sucesión que le asigne un
número distinto a cada botella y que, además, cada subconjunto de la sucesión tenga una
única suma. Una posibilidad es tomar las potencias de dos: 1, 2, 4, 8, 16, … De nuevo
numeramos los frascos de 1 a 10 y tomamos una píldora de la botella 1, dos de la botella
dos, cuatro de la botella tres y así hasta tomar 512 de la botella 10.
Pesamos ahora todas las pastillas y supongamos que hay un excedente de k10 miligramos.
Escribimos k en base binaria; la posición de los unos en este desarrollo nos indica cuáles
frascos tienen las píldoras defectuosas. Por ejemplo, si hay un exceso de 170 gramos,
tomamos 17 y lo escribimos en base binaria como 10001 = 124 + 023 +022 +021
+120. Por lo tanto las píldoras defectuosas están en los frascos 1 y 4.
Esto funciona porque todo número entero tiene un desarrollo único como suma de
potencias de dos y los coeficientes correspondientes son ceros y unos. Los unos nos van a
indicar cuáles potencias de dos (y por lo tanto cuáles frascos) aparecen en el desarrollo del
número que obtenemos.
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Este problema aparece en el libro de M. Gardner Aha! Insight, Scientific American,
Inc./W.H. Freeman and Co., 1978.