Integrales Impropias

CURSO
: ANALISIS MATEMATICO II
CARRERA
: INGENIERÍA INDUSTRIAL
DOCENTE
: JULIO CARDENAS
ALUMNOS
: QUINTO ENRÍQUEZ, DANTE
PABLO TARAPAQUI, LUZ
TEMA
: INTEGRALES IMPROPIAS
CICLO/TURNO
:
III-NOCHE
AULA
:
A306
LIMA – PERU
2009
ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
INDICE GENERAL
Dedicatoria……………………………………………………………………………………………………………… 3
Objetivos…………………………………………………………………………………………………………………. 4
Metodología de investigación………………………………………………………………………………. 4
Integral impropia…………………………………………………………………………………………………… 5
Carácter y valor de las integrales impropias…………………………………………………… 8
Integral de primera especie……………………………………………………………………………….. 8
Integral de segunda especie……………………………………………………………………………….. 9
Integral de tercera especie………………………………………………………………………………… 10
Ejemplos de Integrales Impropias ……………………………………………………………………. 10
Integrales Impropias especiales……………………………………………………………………….. 18
Función Gamma………………………………………………………………………………………………………. 18
Función Beta………………………………………………………………………………………………………….. 23
Equivalencia de función Gamma y Función Beta……………………………………………… 27
Conclusiones…………………………………………………………………………………………………………… 31
Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………….31
2
ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
“Al maestro que da un segundo más a su existencia, para impartir el
conocimiento y hacer más digna la existencia humana”
3
ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
OBJETIVOS:
-
Incentivar en el estudiante la investigación y el gusto por ciencias
exactas
-
Afianzar sus conocimientos impartidos en clase
-
Aumentar su óptica hacia la matemática, al investigar sobre lo
inmenso de las teorías matemáticas
-
Comprender la importancia y la aplicación de las teorías matemáticas
METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN
La metodología usada para hacer este informe monográfico se basa
básicamente en la recopilación de información publicada en la web y la
organización según una secuencia lógica y didáctica del tema
desarrollado.
Al ser la teoría matemática amplia y tener varias ópticas bajo diversos
especialistas, en el desarrollo de esta monografía la óptica mas
aplicativa, dejando de lado la parte axiomática y rigurosa que exige este
tema como todo los demás informes científicos.
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Integral impropia
Introducción
"Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c,
especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la
integral
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las
integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas
infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a
las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no
pueden definirse excepto como límites.
La integral
puede interpretarse como
pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio
interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral
de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de
integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma
de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que
Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta
extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual
forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de
integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los
límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en
lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación.
Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal
mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de
Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la
transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el
total de la recta real.
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Definición de integral impropia:
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales
definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la
función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.
si los límites existen.
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la
integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es
divergente.
Carácter y valor de las Integrales Impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su
carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que
obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos
las integrales en 3 tipos:
1-Primera especie
Son del tipo:
ó
8
ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación
(suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es
equivalente):
Si existe el
y es finito y en ese caso
entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge.
Se dice que es divergente si
es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.
2-Segunda Especie
Son del tipo:
y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos
de integración.
Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación
(suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Si el
existe y es finito y en este caso
entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge.
Se dice que es divergente en cualquier otro caso.
3-Tercera Especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito
en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más
puntos del intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos
integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto
deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener
en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie
como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier
otro caso, diverge.
Ejemplos de Integrales impropias
Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva
recta
la
y el eje
Como la curva es siempre positiva
Area
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la
curva se vuelve asíntotica al eje ``rapidamente'' y que por lo tanto la
porción que hay entre la curva y el eje se vuelve muy pequeña y llega a ser
despreciable.
Integral impropia de 1ra clase. (divergente)
Ejemplo 2: Mirar si
es convergente
luego es
convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo
se puede
decir que éste valor es el área bajo la curva
Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva
Como
para
con
Area
=
Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.
2)
Se toma un valor para calcular
y luego se hace tender hacia -
Es decir
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Ejemplo 4: La región limitada por la curva
el eje , el eje rota
alrededor del eje ;
encontrar el volumen del sólido obtenido.
Utilizando discos
Volumen
=
Ejemplo 5: Determinar si
es convergente o divergente
utilizando fracciones parciales
=
Como
es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar
la indeterminación
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Así :
3)
Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores
Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para
que la integral sea impropia en uno solo de los límites de integración
Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva
Por lo que la curva es siempre positiva Area=
y el eje
. Pero como la curva
es simétrica con respecto al eje
Area
=2
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Ejemplo 7: Determinar si
converge o diverge
como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si
existe
por lo tanto
Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente
podía haber sido divergente y el resultado
no da cero.
<U< INTEGRANDOS CON>Si es una función contínua en un intervalo
existe
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Si es discontínua en se hace
y si este límite
existe se dirá que la integral es convergente si no que es divergente.
Si es discontínua en se hace
con la misma
observación anterior
Si es discontínua en algún número
pero contínua en todos los
demás valores
aplicándose sobre el número lo que se
describió
Integral impropia de 2da clase.(convergentes)
Ejemplo 8: Decir si la integral
converge o diverge
El integrando es discontínuo en 0 entonces
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Como
siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva
Ejemplo 9: Decir si la integral
es convergente o divergente
El integrando es discontínuo en
luego la
integral diverge
Ejemplo 10: Decir si
converge o diverge
Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo
!!!
Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!
Como
es discontínua en 0
Como la región es simétrica con respecto al eje si
converge
también;
luego es divergente
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una circunferencia de radio es
La ecuación de una circunferencia de centro en
y de radio es
El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco
multiplicado por cuatro.
El integrando es discontínuo en
(el denominador se hace );
En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos
casos donde hay que hacer uso de integrales impropias.
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Integrales Impropias especiales
FUNCIÓN GAMMA
Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma
, la
cual es de gran importacia en análisis y en aplicaciones. Esta función se
define en términos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en
términos de funciones elementales.
Definición [Función Gamma]
La función
dada por
se conoce como la función gamma. Su gráfica se muestra en la figura 1.9.
Figura 1.9
El siguiente teorema establece una de las propiedades más importantes de
la función gamma.
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Teorema [Recursividad de gamma]
Para toda
se tiene que
Demostración
Integrando por partes
Ejemplo
Calcule
.
Solución
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente
corolario.
Corolario [Recursividad de Gamma]
Para
,
y
se tiene que
Observación: de los resultados anteriores obtenemos que
esta razón se conoce a esta función como el factorial generalizado.
, por
Ejemplo
Calcular los valores de
,
,
.
Solución
Usando la propiedad recursiva, tenemos que

Para
:
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia

Para

Para
:
:
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
De donde
CÁLCULO FRACCIONARIO
La n-ésima derivada de axb (donde n es un número natural) se puede ver de
la siguiente manera:
Como n! = Γ(n + 1) entonces
donde n
puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir
mediante límites.
De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e
inclusive de una constante c = cx0:
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
FUNCION BETA
A siguiente integral
se conoce como la función beta.
El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la función Beta.
Teorema [Propiedades de la función beta]
1. La función
converge para
2.
,
.
.
3. Para
,
se tiene que
4. Para
,
se tiene que
5. Para
,
se tiene que
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Demostración
1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos
partes
Ahora, observe que la primera integral convwerge si
y de igual manera, la segunda integral converge si
2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
3. Haciendo el cambio de variable
tenemos que
4. Haciendo el cambio de variable
tenemos que
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
5. La demostración de este resultado es un tanto más compleja y se sale
de los objetivos del curso, por esta razón no la haremos.
Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral
Solución
Usando los resultados del teorema anterior
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Observe que cuando es muy grande es extremadamente difícil calcular
aún con la ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el
número de posibles formas de barajar un maso de cartas podría tomar
mucho tiempo, pues involucra el calculo de
. El siguiente teorema
establece que
grande.
es una buena aproximación de
, cuando
,
es muy
Teorema [Fórmula de Stirling]
Observación: del la fórmula de Stirling1.4 tenemos que
Y por último el siguiente teorema expresa la relación entre la función
la transformada.
y
Equivalencia entre la función Gamma y Beta
La función beta[1] fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue
dado por Jacques Binet.
En matemática, dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y)
en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la
función beta. Para x e y, dos números complejos, con sus partes reales
positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):
Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero
el cambio de variables t = u2 y s = v2:
Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble
arroja
Haciendo t = r2 obtenemos
Definiendo la función beta
se obtiene
o
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Propiedades
1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha
mostrado
2. La función beta es simétrica
3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función
beta
Derivadas
Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la
función digamma y las funciones poligamma
donde ψ(x) es la función digamma.
Aplicación
Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la
primera propiedad enunciada que
de donde
.
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular
Entonces podemos[2]
Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos
De manera que
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ANALISIS MATEMATICO I I – Integral Impropia
CONCLUCIONES:
 Al puede concluir con satisfacion que al desarrollar la monografia se
aumentos la vision del alumnos al estar en contacto con una
informacion vasta solo publicada en la web.
 Se tiene claro las diversas escuelas matematicas, es decir la
matematica aplicada y la matematica pura,que desarrolla la teoria
matematica desde el punto de vista axiomatico y riguroso.
BIBLIOGRAFIA:
 Instituto de matemática y ciencias afines-Universidad Nacional de
Ingeniería – Perú
www.imca.edu.pe
 Universidad de Zaragoza - España



www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/.../07-impropias.pdf
Universidad Católica de Salta- Argentina
www.ucasal.net/recursos/INTEGRALES_IMPROPIAS.pdf
Facultad de Ingeniería ;Universidad de Buenos Aires- Argentina
www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/II00.pdf
Universidad de Alcalá – España
www2.uah.es/josem_salazar/material_docente.../teoria/.../t6.pdf
 Enciclopedia Libre Wikipedia es.wikipedia.org
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