Funciones exponenciales y logarítmicas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Leyes de los logaritmos La base e Crecimiento y decrecimiento exponencial Notación científica Logaritmos comunes y sus aplicaciones 1. Funciones exponenciales 20,000 = (10,000)21 40,000 = (10,000)22 80,000 = (10,000)23 Usamos b > 0 para evitar las raíces de números negativos, como en el caso de (-4)1 / 2 = 4 . Imagine usted que un cultivo de bacterias crece con tal rapidez que, a cada hora, el número de bacterias se duplica. En estas condiciones, sí había 10,000 bacterias cuando el cultivo empezó a crecer, el número habría aumentado a 20,000 después de una hora, habría 40,000 después de 2 horas y así, sucesivamente. Se vuelve razonable decir que y = f(x) = (10,000)2x nos da el número de bacterias presentes después de x horas. Esta ecuación define una función exponencial con la variable independiente x y la variable dependiente (o función) y. Una función como f(x) = bx, que tiene a la variable como exponente, se conoce con el nombre de función exponencial. Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base numérica b > 0. Por ejemplo, tomemos en consideración la función y = f(x) = 2x con su gráfica. Observe lo siguiente: 1. La función se define para todos los valores reales de x. Cuando x es negativa, podemos aplicar la definición de los exponentes negativos. Así, para x = -2, 2x 22 1 1 22 4 El dominio de la función es el conjunto de los números reales. 2. Para todos los reemplazos, de x, la función adquiere un valor positivo. O sea, 2x no puede representar jamás un número negativo y tampoco es posible que 2x se haga igual a cero. El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos. 3. Por último, como ayuda para elaborar la gráfica, se pueden localizar unos cuantos pares ordenados de números específicos. La función creciente y la curva resulta cóncava hacia arriba. El eje de las x es una asíntota horizontal, extendida hacia la izquierda. Si se desea, la exactitud de esta gráfica se puede mejorar usando más puntos. Por ejemplo, tomamos en cuenta valores racionales de x, como 1 3 o : 2 2 1 2 2 2 1.4 3 22 2 2.7 3 Se da el valor correcto de 2 con aproximación hasta décimos, tomando de la tabla I del apéndice. Usar valores irracionales para x como 2 o π,constituye una cuestión completamente diferente. (Recuerde usted que nuestro desarrollo delos exponentes se detuvo en los racionales.) Dar un significado preciso a uno de estos números queda fuera del alcance de este curso. Resulta, empero, que la forma indicada de la curva correspondiente a y = 2x es correcta y puede lograr que “se acomoden” en la curva las definiciones formales 2 de ciertos valores, como 2 . 2 Se puede usar una calculadora para entender mejor los números como 2 . Por ejemplo, verifique usted estas potencias de 2, con aproximación hasta diezmilésimos. 21.4 = 2.6390 21.41 = 2.6574 21.414 = 2.6647 21.4142 = 2.6651 Consulte los Ejercicios 34 y 35 para ver cómputos semejantes que implican potencias con exponentes irracionales. Observe que los resultados obtenidos con una calculadora nos brindan aproximaciones razonables, que son suficientes para nuestra aplicación. Dado que los exponentes con decimales están acercándose cada vez más al número irracional 2 , las 2 potencias correspondientes se aproximan a 2 . Así, las aproximaciones exponenciales sugieren 2 2 que 2 2.67 , con la aproximación hasta centésimos. Ahora, encuentre usted directamente 2 con una calculadora y compare los resultados. En estudios más avanzados se puede demostrar que, para cualquier base positiva a y b. se cumplen las siguientes reglas de los exponentes, representados por números reales cualesquiera, r y s. b rb s b r s arbr ab r br b r s s b b b b0 1 br r s rs 1 br Nuestro trabajo previo con estas mismas reglas, para exponentes racionales, puede servir de base ahora para aceptar estos resultados. EJEMPLO 1 Elabore la gráfica de la curva correspondiente a y = 8x en el intervalo [-1, 1], usando una tabla de valores. Solución Hasta aquí hemos restringido nuestra atención a las funciones exponenciales de la forma y = f(x) = bx, donde b > 1. Todas estas gráficas tienen la misma forma de la función y = 2x. Para b = 1, y = bx = 1x = 1 para todo valor de x. Como en este caso se trata de una función constante. f(x) = l, no usamos la base b = 1 en la clasificación de las funciones exponenciales. Ahora, exploremos las funciones exponenciales y = f(x) = bx para las cuales tenemos: 0 < b < 1. En 1 1 1 particular, si b , tenemos: y x ; o sea: y = 2-x . 2 2 2 x Todas las curvas correspondientes a y = bx, para 0 < b < 1, tienen la misma forma básica. La curva es cóncava hacia arriba, la función resulta decreciente y la recta definida por y = O es una asíntota horizontal que se extiende hacia la derecha. También es posible elaborar la gráfica de y gx 1 relacionándola con la gráfica de y f x 2x . x 2 1 2x f x, los valores de y para la función g son los mismos valores de y 2x correspondientes a f, pero en el lado opuesto del eje de las y. En otras palabras, la gráfica de g es el reflejo de la gráfica de f, respecto del eje de las y. Como gx EJEMPLO 2 Use la gráfica de y = f(x) = 2x para trazar las curvas definidas por y gx 2x3 e y hx 2x 1 Solución Como g(x) = f(x - 3), es posible obtener la gráfica de g desplazando la gráfica de y = 2x tres unidades hacia la derecha. Además, dado que h(x) = f(x) - 1, la gráfica de h se puede elaborar desplazando la de y = 2x una unidad abajo. La gráfica de g se obtiene mediante la traslación de la gráfica de f tres unidades hacia la derecha. La gráfica h se encuentra trasladando la de f una unidad hacia abajo. Hemos analizado funciones de la forma y = f(x) = bx para valores específicos de b. En cada caso, es preciso que usted advierta que las gráficas pasan por el punto (0, 1), ya que y = b0 = 1. Por otra parte, cada una de esas gráficas tiene el eje de las x como asíntota unilateral y no hay ninguna abscisa al origen. A continuación, se resumen éstas y otras propiedades de y = f(x) = bx , para b > 0 y b ≠ 1. PROPIEDADES DE y = f(x) = bx 1. El dominio consiste en todos los números reales x. 2. El rango consta de todos los números positivos y. 3. La función es creciente (la curva asciende) cuando b > 1, y decreciente (la curva desciende) cuando 0 < b < 1. 4. La curva es cóncava arriba para b > 1 y para 0 < b < 1. 5. Es una función biunívoca. 6. El punto (0, 1) está en la curva. No hay abscisas al origen. 7. El eje de las x es una asíntota horizontal de la curva hacia la izquierda, para b > 1, y hacia la derecha para 0 < b < 1. 8. bx1bx2 = bx1+x2; bx1/bx2 = bx1-x2; (bx1)x2 = bx1x2. Algunas veces es posible aplicar esta forma de la propiedad de las funciones biunívocas para resolver ecuaciones. La propiedad de las funciones biunívocas se pueden expresar de esta manera: Si f(x1) = f(x2), entonces: x1 = x2. Es decir: como f(x1) y f(x2) representan el mismo valor del rango sólo puede haber un valor correspondiente en el dominio; en consecuencia, xl = x2 .Usando f(x) = bx esta aseveración significa lo siguiente: Si bx1 = bx2, entonces: x1 = x2. x Esta propiedad se puede aprovechar para resolver ciertas funciones exponenciales, como 5 625 . Primero, observamos que 625 se puede expresar como 54. 2 5x 625 2 5x 54 2 Gracias a que la función f(t) = 5t es biunívoca, podemos igualar los exponentes y resolver la ecuación para x. x2 = 4 x = 2 (x = 2 o también: x = -2) 2 4 Para verificar estas soluciones, advertiremos que 5 5 625 y también 5 2 2 b c c b ADVERTENCIA: a significa a b b general, a a c c a b . a b , en tanto que a c bc 2 5 4 625 . . Por lo tanto, en c Los siguientes ejemplos ilustran más el aprovechamiento de que estas funciones sean biunívocas para resolver ecuaciones exponenciales. 1 81 3x1 EJEMPLO 3 Resuelva para x: Solución Escribimos 81 como 34 y 1 como 3-(x-1) 3x1 3x1 34 x 1 4 P ropiedadde la funciónbiunívoca x 1 4 x3 x 3 Verifique usted este resultado en la ecuación original. x 2 x 1 EJEMPLO 4 Resuelva para x : b Solución Observamos que 1 se puede escribir en la forma b0. De esta manera, tenemos bx 2 x b0 Si b x2 x 0 x1 b x , entonces: x1 x 2 2 x x 1 0 x 0 o bien : x 1 Verifique usted ambos resultados en la ecuación original. VERIFIQUE SU COMPRENSION Resuelva para x. 1. 2 x1 32 4. 3. 8 2x 1 64 2. 2 x 2 16 1 64 2x 5. 1 125 5x 1 6. 1 4 x2 64 7. 27 x 3 8. 27 x 9 9. 125 x 25 1 x 10. 32 4 3 x 27 11. 5 125 9 x 5 12. 25 3 EJERCICIOS 1 Elabore la gráfica de la función exponencial f utilizando una breve tabla de valores. Luego, aproveche esta curva para utilizar la gráfica de g. Indique las asíntotas horizontales. 1. f x 2x ; gx 2x 3 x 1 5 7. f x 3x ; gx 23x 4. f x 5x ; g x 10. f x 4 x 3. f x 4 x ; gx 4 x 2. f x 3; gx 3x 2 3x 2 3 2 1 gx 3x 2 5. f x ; g x 8. f x 3x ; x g x 41 x 6. f x 8x ; gx 8x2 3 x 9. f x 2 2 ; g ( x) 2 2 3 x Trace las curvas de cada ejercicio en los mismos ejes coordenados. 3 x 5 x 1 x 1 x 1 x x 11. y , y 2 , y 12. y , y , y 2 2 4 3 2 x x x x 14. y 2 , y 2 , y 2 2 (Sugerencia: Reste las ordenadas). 13. y 2 , x y 2x Aplique la propiedad de que una función exponencial es biunívoca para resolver con la función adecuada cada una de las ecuaciones indicadas. x 15. 2 64 x 16. 3 81 x2 17. 2 512 x1 18. 3 27 x3 20. 2 256 x 2 x 49 21. 7 x 2 x 1 22. b 23. x 25. 9 3 x 26. 64 8 x 27. 9 27 27x 9 31. 8 4 2x 1 125 19. 5 1 32 2x 1 10,000 10x 1 x 29. 7 49 24. x 28. 64 16 1 30. 5 125 33. En el mismo sistema de ejes coordenados, elabore las gráficas de las funciones y = 2x e y = x2, para el intervalo [0, 5]. (Utilice una unidad de medida más grande en el eje de las x que en el eje de las y.) ¿Cuáles son los puntos de intersección? x 32. 0.01 1000 x 34. Use una calculadora para verificar que 3 1.732050 …. Luego, anote en la tabla las potencias de 2, redondeando cada anotación con una aproximación hasta de cuatro cifras decimales (hasta diezmilésimos). X 2x 1.7 1.73 1.732 1.7320 1.73205 3 Con base en los resultados anteriores. ¿cuál es su aproximación para 2 hasta milésimos? Ahora encuentre 3 directamente el valor de 2 en la calculadora y compare ambos resultados. 35. Aplique las instrucciones del Ejercicio 34 con estos números: (a) 3 2 (b) 3 3 (c) 2 5 (d) 4 *36. Resuelva para x 62x 4 x 1728. 37. Resuelva para x 52x1 72x 175. 2. Funciones logarítmicas En la sección anterior, se hizo hincapié en que y = f(x) = bx, para b > 0 y para b ≠ l. es una función biunívoca. Como cada función biunívoca tiene una inversa, se deduce que f tiene una inversa. La gráfica de g, la función inversa, es el reflejo de y = f(x) al otro lado de la recta definida por y = x. He aquí dos casos típicos, para b > 1 y para 0 < b < 1. Recuerde usted que, a partir de la Sección 6.6, inversa de la función f. f 1 x es la notación usada para representar a la La ecuación correspondiente a g, la función inversa, se puede obtener intercambiando el papel que desempeñan las variables, de la manera siguiente: Función f: y f x bx Función inversa g: x gy by Por lo tanto, x = by es la ecuación correspondiente a g. Infortunadamente, no contamos con ningún método para resolver x = by y expresar el valor de y explícitamente, en función de x. Para vencer esta dificultad, se ha ideado una nueva terminología. La ecuación x = by nos dice que y es el exponente de la base b que produce x. En situaciones como ésta, se usa la palabra logaritmo en lugar de exponente. Entonces, un logaritmo es un exponente. Ahora, podemos decir que y es el logaritmo de base b que produce x. Esta definición se puede abreviar así: y = logaritmob x, y se abrevia más todavía para llegar a la forma definitiva: y = logbx Nota: y = bx e y = logb x son funciones inversas. que se lee así: “y es el log de x en la base b” o “y es el log de base b de x”. Es importante advertir que sólo estamos definiendo (no demostrando) que la ecuación y = logbx tiene el mismo significado que x = by. En otras palabras, estas dos formas son equivalentes: Forma exponencial: x = by Forma logarítmica: y = logbx Y, como son equivalentes, definen las misma función g: y = g(x) = logb x Y ya sabemos que y = f(x) = bx e y = g(x) = logbx son funciones inversas. En consecuencia, tenemos lo siguiente: f gx f logb x blogb x x y gf x bx logb bx x EJEMPLO 1 Escriba la ecuación de g, la función inversa de y = f(x) = 2x y elabore las gráficas de ambas en los mismos ejes coordenados. Solución La inversa g tiene la ecuación y = f(x) = 2x, y su gráfica se puede obtener reflejando y = f(x) = x 2 al otro lado de la recta definida por y = x. VERIFIQUE SU COMPRENSION 1. Encuentre la ecuación de la inversa de y = 3x elabore la gráfica de ambas funciones en los mismos ejes. 1 x 3 2. Encuentre la ecuación de y y elabore la gráfica de las funciones en los mismos ejes. Sea y = f(x) = log5x, Describa usted como se puede obtener la gráfica de cada una de las siguientes funciones, a partir de la gráfica de f 3. gx log 5 x 2 5. gx log5 x 4. gx 2 log5 x 6. gx 2log5 x Encontramos y = logbx intercambiando el papel que desempeñan las variables de y = bx.. Como consecuencia de este intercambio, también se intercambian los dos dominios y rangos de las dos funciones. Por consiguiente, El dominio de es igual al rango de y = bx. El rango de y = logbx es igual al dominio de y = bx. Estos resultados se incorporan a la siguiente lista de propiedades importantes de la función y = logbx, donde b > 0 y b ≠ 1. PROPIEDADES DE y = f(x) = logb x 1. El dominio consiste en todos los números x positivos. 2. El rango consta de todos los números reales y. 3. La función crece (la curva asciende) para b > 1 y decrece (la curva desciende) para 0 < b < 1. 4. La curva es cóncava hacia abajo para b > 1 y cóncava hacia arriba para 0 < b < l. 5. Es una función biunívoca; si logb(x1) = logb (x2), entonces x1 = x2 6. El punto (1, 0) está en la gráfica. No hay ordenada al origen. 7. El eje de las y es la asíntota vertical de la curva, en sentido descendente, para b > 1, en sentido ascendente para 0 < b <1. log x 8. logb bx x y b b x . 2 Encuentre el dominio de y = log (x - 3). EJEMPLO 2 Solución En y = log2 (x - 3, la expresión x - 3 desempeña el mismo papel de la x en log2x. Por lo tanto, x - 3 > 0, y el dominio consiste en cada x > 3. ADVERTENCIA: No confunda usted x = by con su inversa y = bx. Estas dos formas no son equivalentes. La siguiente tabla suministra varios ejemplos específicos de la equivalencia entre estas dos formas. En cada caso, la expresión en la forma logarítmica. a la izquierda, es equivalente a la que aparece en la columna de la derecha. Forma logarítmica logb x = y Log5 25 = 2 Log27 9 = 2/3 Log6 1/36 = -2 logb 1 = 0 Forma exponencial by = x 52 = 25 272/3 = 9 6-2 = 1/36 b0 = 1 De las formas, y = logbx y x = by, generalmente es más fácil trabajar con la exponencial. En consecuencia, cuando surge un problema concerniente a y = logbx, con frecuencia es conveniente convertir la expresión en la forma exponencial. Por ejemplo, para calcular el valor de log9 27, escribimos y = log927 Luego, convertimos y = log9 27 en la forma exponencial. Así: 9y = 27 Para resolver esta ecuación exponencial, volvemos a escribir cada lado usando la misma base. Es decir: como 27 = 33 y 9y = (32)y = 32y, tenemos 32y = 33 2y = 3 y = 3/2 (f(t) = 3t es una función biunívoca) EJEMPLO 3 Resuelva para b: logb 8 = 3/4 Solución La convertimos en la forma exponencial. b3/4 = 8 Elevamos la potencia 3/4 de ambos lados. (b3/4)4/3 = 84/3 4 3 8 8 2 4 3 4 b = 16 EJERCICIOS 2 Elabore la gráfica de la función f . Refleje esta curva al otro lado de la recta definida por y = x para obtener la gráfica de g, la función inversa, y escriba la ecuación de g. l. y = f(x) = 4x 2. y = f(x) = 5x 3. y = f(x) = (1/3)x 4. y = f(x) = (0.2)x Describa cómo se puede obtener la gráfica de h a partir de la gráfica de g. Encuentre el dominio de h y escriba la ecuación de la asíntota vertical. 5. g(x) = log3 x; h(x) = log3 (x + 2) 6. g(x) = log5x; h(x) = log5 (x - l) 7. g(x) = log8 x; h(x) = 2 + log8x 8. g(x) = log10x; h(x) = 2 log10 x Elabore la gráfica de f y señale su dominio. 9. f(x) = log10x 10. f(x) = -log10x 12. f(x) = log10 (-x) 13. f(x) = log10 x 11. f(x) = log10x 14. f(x) = log1/10 (x + 1) Convierta cada expresión exponencial en forma logarítmica. 15. 28 = 256 16. 5-3 = 1/125 17. (1/3)-1 = 3 3/4 0 18. 81 = 27 19. 17 = 1 20. (1/49)-1/2 = 7 Convierta cada expresión logarítmica en forma exponencial. 21. log10 0.0001 = -4 22. log64 4 = 1/3 23. log 2 2 2 24. log13 13 = 1 25. log12 1/1728 = -3 26. log27/8 9/4 = 2/3 Resuelva para la cantidad indicada: y, x o b. 27. log2 16 = y 28. log1/2 36 = y 29. log1/3 27 = y 32. log8 x = y 33. logb 125 = 3 34. logb 8 = 3/2 37. log27 3 = y 38. log1/16 x = 1/4 39. logb 16/81 = 4 42. log 3 x 2 47. log9 x = 1 1 8 43. log 8 y 44. logb 1/128 = -7 30. log7 x = -2 35. logb 1/8 = -3/2 40. log8 x = -3 31. log1/6 x = 3 36. log100 10 = y 41. logb 1/27 = -3/2 45. log0.001 10 = y 46. log0.2 5 = y Calcule el valor de cada expresión 48. log2 (log4 256) 49. log3/4 (log1/27 1 ) 81 Intercambiando el papel que desempeñan las variables, encuentre la función inversa g. Demuestre que (f o g)(x) = x y (g o f)(x) = x. *50. y = f(x) = 2x+1 *51. y = f(x) = log3 (x + 3) 3. Leyes de los logaritmos Para las leyes de los exponentes, tenemos 23 24 = 23+4 = 27 Ahora, concentrémonos nada más en la parte exponencial: 3+4=7 Los tres exponentes incluidos aquí se pueden expresar como logaritmos. 3 = log2 8 porque 23 = 8 4 = log2 16 porque 24 = 16 7 = log2 128 porque 27 = 128 Sustituir estas expresiones en 3 + 4 = 7, nos da: log2 8 + 10g2 16 = log2 128 Además, como 128 = 8 16, tenemos log2 8 + log2 16 = log2 (8 16) Este es un caso especial de la primera ley de los logaritmos: LEYES DE LOS LOGARITMOS Si M y N son positivos, b > 0 y b ≠ 1, entonces: LEY 1. logb MN = logb M + logb N LEY 2. logb M/N = logb M - logb N LEY 3. logb (MK) = k logb N LEY 4. logA N = logb N/ logb a La ley 1 dice que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. ¿Puede usted dar interpretaciones semejantes de las leyes 2 y 3? Como los logaritmos son exponentes, no es de asombramos que estas leyes se puedan demostrar usando las reglas adecuadas de los exponentes. A continuación, aparece una demostración de la ley 1; las demostraciones de las leyes 2 y 3 se dejan como ejercicios. Sean: logb M = r y logb N = s M = br y N = bs Convertimos en la forma exponencial: Recuerde: si logbx = y, entonces: by = x. Multiplicamos las dos ecuaciones: MN = brbs = br+s Luego, convertimos esta expresión en la forma logarítmica: logb MN = r + s Sustituimos r y s por sus equivalentes para obtener el resultado final: logb MN = logb M + logb N EJEMPLO 1 Para los números positivos A, B y C, demuestre que log b Solución AB 2 log b A 2log b B log b C C AB 2 log b log b AB 2 log b C C logb A logb B2 logb C log b A 2log b B log b C (Ley 2) (Ley 1) (Ley 3) EJEMPLO 2 Escriba 1/2 logbx – 3logb (x - 1) como el logaritmo de una sola expresión en x. Identifique usted las leyes de los logaritmos que se aplican en los Ejemplos 2 y 3. Solución 1 1 3 log b x 3log b x 1 log b x 2 log b x 1 2 1 logb logb x2 x 1 3 x x 1 3 EJEMPLO 3 Dados: logb 2 = 0.6931 y logb 3 = 1.0986, encuentre usted: logb 12 . Solución 1 1 logb 12 logb 12 2 logb 12 2 1 1 logb 3 4 logb 3 logb 4 2 2 1 logb 3 logb 22 2 1 logb 3 2logb 2 2 1 Este ejemplo indica que, para cierto logb 3 logb 2 2 número b, que sirve de base, b0.0231 = 2, 1 b1.0986 = 3 y b1.2424 = 12 . 1.0986 0.6931 2 1.2424 VERIFIQUE SU COMPRENSION Convierta los logaritmos dados en expresiones que incluyan logb A. logb B y logbC. 1. logb ABC 4. logb AB2C3 AB 2 A 2. logb BC A B 5. logb C 3. logb C A 3 6. logb BC 3 Transforme cada expresión una sola expresión en x. en el logaritmo de 7. logb x + logb x + logb 3 1 2 8. 2logb x 1 logb x 9. logb (2x - 1) - 3 logb (x2 + 1) 10. logb x - logb (x - 1) - 2 logb (x - 2) Use la información dada en el Ejemplo 3 para encontrar estos logaritmos. 11. logb 18 12. logb 16 27 EJEMPLO 4 Resuelva para x: log8 (x - 6) + log8 (x + 6) = 2. Solución Primero, observamos que en log8 (x + 6) debemos tener x - 6 > 0; o sea: x > 6. De manera parecida, (x + 6) exige que tengamos x > - 6. Por consiguiente, las únicas soluciones, si las hay, deben satisfacer la condición: x > 6. Log8 (x - 6) + log8 (x + 6) = 2 Log8 (x - 6)(x + 6) = 2 (Ley 1) Log8 (x2 - 36) = 2 ¡ADVERTENCIA! log8 (x2 - 36) ≠ x2 - 36 = 82 (convertimos en la forma exponencial) 2 8 2 log8 x – log 36 x - 100 = 0 (x + 10)(x - 10) = 0 x = -10 o bien: x = 10 Los Ejemplos 4 al 6 ilustran cómo se pueden usar las leyes de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas. Las únicas soluciones posibles son -10 y 10. Nuestra observación inicial de que x > 6 elimina automáticamente al -10. (Si no se hubiera hecho esa observación inicial, el -10 se habría eliminado de todos modos, al verificar en la ecuación dada). El valor x = 10 se puede verificar de la manera siguiente: Log8 (l0 - 6) + log8 (l0 + 6) = log8 4 + log8 16 2 4 2 3 3 EJEMPLO 5 Resuelva para x: log10 (x3 - 1) – log10 (x2 + x + 1) = 1. Solución log10 x 3 1 log10 x 2 x 11 x 3 1 log10 2 1 x x 1 x 1x 2 x 1 log10 1 x2 x 1 log10 x 1 1 x 1 101 x 11 (Ley 2) (factorizando) (¿Por qué?) Verificación: Log10 (11 - 1) – log10 (112 + 11 + 1) = log10 1330 – log10 133 3 = log10 1330 133 = log10 10 = 1 EJEMPLO 6 Resuelva para x: log3 2x – log3 (x + 5) = 0. Solución log3 2x - log3 (x + 5) = 0 log3 2x 0 x5 2x 30 x5 2x 1 x5 2x x 5 x 5 Verificación: log3 2(5) - log3 (5 + 5) = log3 10 - log3 10 = 0 Algunas veces, es conveniente resolver una ecuación logarítmica aplicando la propiedad de que las funciones logarítmicas son biunívocas. Esta propiedad (expuesta en la página 367) dice así: Si logb M = logb N, entonces: M = N. He aquí, por ejemplo, la solución de la ecuación del Ejemplo 6 con la aplicación de esta propiedad. log3 2x - log3 (x + 5) = 0 log3 2x = log3 (x + 5) 2x = x + 5 (por ser una función biunívoca) x=5 PRECAUCION: APRENDA A EVITAR ERRORES COMO ESTOS MAL logb A + logb B = logb (A + B) logb (x2 - 4) = logb x2 - logb 4 BIEN logb A + logb B = logb AB logb (x2 - 4) = logb (x + 2) (x - 2) = logb (x + 2) + logb (x - 2) (logb x)2 = (logb x) (logb x) (logb x)2 = 2 logb x logb A logb B logb A logb B logb A logb B logb Si 2 logb x = logb (3x + 4), Entonces: 2x = 3x + 4 logb Si 2 logb x = logb (3x + 4), Entonces: logb x2 = logb (3x + 4) x logb x 2 2 logb logb (x2 + 2) = 2 logb (x + 2) A B x logb x logb 2 2 logb (x2 + 2) no se puede simplificar más. EJERCICIOS 3 Aplique las leyes de los logaritmos (hasta donde sea posible) para convertir los logaritmos en expresiones que incluyan sumas, diferencias, y múltiplos de los propios logaritmos. 1. logb 3x x 1 2. log b x2 x 1 3. logb x 2 1 x 4. logb 1 x2 Convierta cada expresión en el logaritmo de una sola expresión en x. 7. logb (x + 1) - logb (x + 2) 8. logb x + 2 logb (x - 1) 5. logb 1 x2 6. logb x 1 x 1 9. 1 1 logb x 2 1 logb x 2 1 2 2 10. logb (x + 2) - logb (x2 - 4) 11. 3 logb x - logb 2 - logb(x + 5) 1 1 logb x 1 logb 3 logb x 1 3 3 Use las leyes adecuadas de los logaritmos para explicar por qué es correcta cada expresión. 13. logb 27 + logb 3 = logb 243 - logb 3 14. logb 16 + logb 4 = logb 64 15. 2logb 12. 4 81 logb 9 16 16. 1 logb 0.0001 logb 100 2 Encuentre los logaritmos usando las leyes de los propios logaritmos y la siguiente información: logb 2 = 0.3010, logb 3 = 0.4771 y logb 5 = 0.6990. Suponga que todo los logaritmos tienen la misma base b. 17. (a) log 4 (b) log 8 (c) log 1/2 18. (a) log 2 (b) log 9 (c) log 12 19. (a) log 48 (b) log 2/3 (c) log 125 20. (a) log 50 (b) log 10 (c) log 25/6 21. (a) log3 5 (b) log 203 (c) log 900 22. a) log 0.2 (b) log 0.25 (c) log 2.4 Resuelva para x y verifique 23. log10 x + log10 5 = 2 24. log10 x + log10 5 = 1 25. log10 5 – log10 x = 2 x=2 27. log12 (x - 5) + log12 (x - 5) = 2 28. log3 x + log3 (2x + 51) = 4 26. log10 (x+ 21) + log10 2 29. logl6 x + logl6 (x - 4) = 5/4 30. log2 (x ) - log2 (x - 2) = 3 31. log10 (3 - x) – log10 (12 - x) = -1 32. logl0 (3x2 - 5x - 2) – log10 (x - 2) = 1 33. log1/7 x + log1/7 (5x - 28) = -2 34. log1/3 12x2 - logl/3 (20x - 9) = -1 35. log10 (x3 - 1) – log10 (x2 + x + 1) = -2 36. 2 log10 (x - 2) = 4 37. 2 log25 x – log25 (25 - 4x) = 1/2 38. log3 (8x3 + 1) – log3 (4x2 - 2x + 1) = 2 *39. Demuestre la ley 2. (Sugerencia: guíese con la demostración de la ley l, usando br b r s ) s b *40. Demuestre la ley 3. (Sugerencia: use (br)k = brk.) *41. Demuestre para x: (x + 2) logb bx = x. *42. Resuelva para x: logN2 N = x. *43. Resuelva para x: logx (2x)3x = 4x. *44. (a) Explique por qué logb b = 1. (b) Demuestre que (logb a)(loga b) = l. (Sugerencia: aplique usted la ley 3 y el resultado blogbx = x.) *45. Utilice BlogBN = N para obtener: logB N logb N (Sugerencia: empiece tomando el logaritmo de ambos logb B lados en la base b). 4. La base e Todas las gráficas de y = bx, para b > 1 tienen la misma forma básica, como se pone de manifiesto en la figura siguiente. Observe usted que, cuanto mayor es el valor de b, tanto más aprisa asciende la curva hacia la derecha y más rápidamente se aproxima el eje de las x hacia la izquierda. Usted puede usar la imaginación para ver que, cuando se tomen en consideración todos los valores posibles de la base b > 1, las curvas correspondientes llenarán completamente la regiones sombreadas, como se ilustra en la siguiente página. Advierta usted que, en nuestra explicación, el concepto de la recta tangente a una curva que no es un círculo se presenta intuitivamente. La definición precisa se ofrece en el estudio del cálculo. Todas estas curvas pasan por el punto P(0, 1). Las rectas tangentes a las curvas en el punto mencionado resultan virtualmente horizontales (con una pequeña pendiente positiva) para los valores de b cercanos a 1, en tanto que son casi verticales para los valores grandes de b. Las pendientes de dichas tangentes consisten en todos los números m > 0. Estas figuras muestran las curvas correspondientes a y = 2 x e y = 3x, incluyendo en cada caso la tangente que pasa por el punto P(O, 1). Por las marcas señaladas en la Cuadrícula, usted puede observar que la pendiente de la tangente a y = 2x es menor que 1 ; pues, para cada aumento de 1 unidad en sentido horizontal, la variación en el sentido vertical resulta menor que 1 unidad. De manera semejante, puede usted apreciar que la pendiente de la tangente a y = 3x es ligeramente mayor que 1. Sospechamos que debe haber un valor b que permita que la pendiente de la tangente a la correspondiente función exponencial y que pase por P resulte exactamente igual a 1. En efecto, en cursos avanzados es posible demostrar que existe dicho valor de b. El número indicado desempeña un papel muy importante en las matemáticas y se designa por medio de la letra e. e es el número real que permite que la tangente a la curva definida por y = ex, en el punto P(0, 1), tenga la pendiente igual a 1. Además. el número e está íntimamente relacionado con la expresión de n, la expresión 1 1 n 1 n 1 n n 1 10 1 2.59374 10 se va aproximando al número e. Por ejemplo: . Conforme se toma un valor cada vez más grande Como la curva correspondiente a y = ex queda entre las definidas por y = 2x e y = 3x, esperamos que e satisfaga esta condición: 2 < e < 3. En efecto, esto es correcto; de hecho, resulta que e es un número irracional que está más cerca de 3 que de 2. Aproximado hasta cienmilésimos, se obtiene: e = 2.71828. Es importante tener presente que e es un número real, así como π es un número real que encontramos con frecuencia en las matemáticas. Los valores específicos para las potencias de e se pueden encontrar en la tabla II del apéndice. Por ejemplo, con dicha tabla obtenemos los siguientes valores, redondeados a décimos, centésimos o milésimos. Estos datos se encuentran en la columna encabezada por ex para los valores de x e 2 7.39 e 3 20.1 e 4 54.6 e2 0.135 e3 0.050 e4 0.018 Estos datos se encuentran en la columna encabezada por e-x para los valores de x. e es el númeromás importante como base de funciones exponenciales y Para propósitos teóricos, y = loge x. En lugar de loge x, escribimos ln x, expresión que logarítmicas. La inversa de y = ex está dada por recibe el nombre de logaritmo natural de x. Por lo tanto. x = ey e y = ln x son equivalentes. PROPIEDADES DE y e x 1. Dominio: todos los números reales. 2. Rango: toda y 0 3. Es una función creciente. 4. La curva es cóncava hacia arriba. 5. Es una función biunívoca: si e x1 e x 2 , entonces: x1 = x2. x 0 6. 0 e 1, para x < 0; e 1; e x 1, para x > 0 x1 x 2 x1x 2 7. e e e e x1 e x1 x 2 x2 e (e x1)x 2 e x1x2 ln x 8. e x 9. Ecuación de la asíntota horizontal: Como e > l, las propiedades de y = bx y de y = logbx (b > 1) ¿Cuál es la ecuación a la curva siguen cumpliéndose con y = de ex lay tangente con y definida = In x. por A y = e x en el pu continuación, reunimos estas propiedades para una fácil referencia. En cada lista, la propiedad 8 es consecuencia directa de que las funciones f (x) e x y g(x) ln x sean inversas. Por consiguiente, x f (g(x)) f (lnx) e ln x y también x g( f (x)) g(e x ) lne x general, en la página 367. Además, consulte usted el caso PROPIEDADES DE y ln x 1. Dominio: cada x > 0. 2. Rango: todos los número reales. 3. Es la función creciente. es cóncava hacia abajo. 4. La curva 5. Es una función biunívoca; si ln x1 ln x 2, entonces: x1 x 2 . 6. ln x 0, para 0 x 1; ln 1 0 ; lnx 0, para x 1. 7. ln x1 x 2 ln x1 ln x 2 x1 ln ln x1 ln x 2 x 2x ln x1 2 x 2 ln x1 x 8. lne x . 9. Ecuación de asíntota vertical; x = 0. En los ejemplos siguientes, se utiliza la base e para resolver cada caso de manera semejante a la que puso antes en práctica, con otras bases. EJEMPLO 1 (a) Encuentre el dominio de y ln( x 2) . (b) Elabore la gráfica de y ln x 2 , para x > 0. Solución (a) Como el dominio de y ln x consta de cada x > 0, el dominio de y ln( x 2) consistirá en cada x para cada x > 2. la cual se tenga x – 2 > 0; o sea, 2 (b) Dado que y ln x 2ln x , obtenemos la gráfica multiplicando por 2 las ordenadas de y ln x . EJEMPLO 2 Sea f (x) 3x 2 . Aplique las leyes de los logaritmos para escribir ln f (x) como una x2 4 expresión que incluya sumas, diferencias y múltiplos de los logaritmos naturales. Solución Como f (x) 3x 2 , podemos proceder de la siguiente manera: x2 4 3x 2 x2 4 2 x 2 4) ln 3x ln( ln 3 ln x 2 ln(x 2 4) ln 3 2ln x ln(x 2 4) ln f (x) ln (Por la ley 2 de los logaritmos) (Por la ley 1 de los logaritmos) (Por la ley 3 de los logaritmos) Siempre que M = N, por la definición de función, se deduce que ln M = ln N. Es decir, para valores iguales en los dominios de M y N, sólo puede haber un valor en el rango. EJEMPLO 3 Resuelva para t : e ln(2t1) 5 Solución e ln(2t1) 5 2t 1 5 (Propiedad 8, para y e x ; e ln x x ) 2t 5 t 3 EJEMPLO 4 Resuelva para t: e2t1 5 . Solución Escribimos la expresión exponencial en forma logarítmica. e 2t1 5 2t 1 ln5 (log e 5 ln5 2t 1) 2t 1 ln5 1 t 1 ln5 2 21 21ln 51 e1ln 51 e ln 5 5 Verificación: e Con aproximación hasta milésimos: t 1 1 ln5 1.305 2 EJEMPLO 5 Resuelva para x: ln(x 1) 1 ln x . Solución ln(x 1) ln x 1 ln (x 1) 1 x Ahora, convertimos la expresión a la forma exponencial: (x 1) e x ex x 1 (e 1)x 1 x 1 e 1 1 e ln 1 ln lne ln(e 1) e 1 e 1 Verificación: 1 1 ln(e 1)1 1 ln e 1 Recuerde: Si logb x = y, entonces: by = x. x 1 x 1 loge 1 x x x 1 1 Por lo tanto, e x ln EJEMPLO 6 (a) Presente h(x) ln(x 2 5) como la composición de dos funciones. (b) Exprese F(x) e x 2 3x como la composición de tres funciones. Solución (a) Sean: f (x) ln x y g(x) x 2 5 . Entonces: ( f o g)(x) f (g(x)) f (x 2 5) ln(x 2 5) h(x) (b) Sean: f (x) e x , g(x) x , h(x) x 2 3x . Entonces: ( f o g h)( x) f (g(h(x))) h es la función “interna” 2 f (g(x 3x)) g es la función “central” f ( x 2 3x ) f es la función “externa”. (son posibles otras soluciones) 7 Determine los signos de f (x) x 2e x 2xex . EJEMPLO Solución Encontramos que f (x) x 2e x 2xex xex (x 2) , donde ex > 0 para cualquier x, en tanto que los demás factores se igualan a cero, cuando x = 0 o cuando x = -2. ,2 2,0 0, Signo de x + 2 - + + Signo de x - - + + - + Intervalo Signo de f(x) f (x) 0 , en los intervalos (,2) y (0,) . f (x) 0 , en el intervalo (-2,0) Use valores específicos para verificaren cada intervalo, con el fin de determinar el signo de f(x) para dicho intervalo. Por ejemplo, sea x = -1 en el intervalo (-2,0). EJERCICIOS 4 Trace en los mismos ejes las gráficas de cada pareja de funciones. 1. y e x ; y e x2 3. y ln x; y 1 ln x 2 4. y ln x; y ln(x 2) 5. y ln x; y ln(x) 7. y e x ; y e x 2 9. f (x) ex ; g(x) 1 ex 11. g(x) 1 ex ; t(x) 1 e(1 2)x 8. y ln x; y ln x 10. g(x) 1 ex ; s(x) 1 e2x 12. u(x) 1 e3x ; v(x) 1 e(1 3)x 13. f (x) lnex 14. f (x) x x 2 1 1 x Encuentre el dominio. 19. f (x) ln( x 2) 22. f (x) 15. f (x) ln x 17. f (x) ln(x 2 1) ln(x 1) 1 ln x 18. f (x) ln x 3 20. f (x) ln x 23. f (x) ln(x 1) x 2 21. f (x) ln(2x 1) 24. f (x) ln(ln x) Utilice (hasta donde sea posible) las leyes de los logaritmos para escribir ln f(x) como un expresión que incluya sumas, diferencias u múltiplos de los logaritmos naturales. 25. f (x) 6. y e x ; y ex Explique cómo es posible obtener la gráfica de f a partir de la curva definida por y = ln x. (Sugerencia: aplique primero las leyes adecuadas de los logaritmos.) 16. f (x) ln 2. y e x ; y 2e x 5x 2 x 4 27. f (x) 26. f (x) x x 1 2 (x 1)(x 3) 2 x2 2 28. f (x) x7 x7 29. f (x) 30. f (x) x 3 (x 1) x 3 x 2 1 Convierta cada una de las siguientes expresiones en el logaritmo de una sola expresión. 31. 1 ln x ln(x 2 5) 2 ln x ln( x 1) 32. ln2 33. 3ln( x 1) 3ln( x 1) 35. 34. ln(x 3 1) ln(x 2 x 1) 1 1 ln x 2ln(x 1) ln(x 2 1) 2 3 Simplifique. 3x 36. ln(e ) 37. e 2 3 38. ln(x e ) ln x Resuelva para x. 3x 5 100 42. e 39. e 2 ln x 0.01x 27 43. e ln(1 x ) 2x 45. e 46. lnx ln2 1 48. lnx 2 49. lne x 1 40. (e ) 44. e x 2 e x e 3 4 47. ln( x 1) 0 3 ln(6x 50. e 2 x 2 0 51. ln(x 4) ln(x 2) 0 52. (e 1)ln(1 2x) 1 54. ln(x 4) ln(x 2) 2 e x 41. ln x1 e ln x 2 2 4 ) 1 2 5x 53. ln x ln4 55. ln x 2 ln(1 x) 2 ln8 3 56. ln(x 2 x 2) ln x ln(x 1) cada valor con aproximación hasta diezmilésimas 57. Use una calculadora para completar la tabla. Anote (cuatro cifras). n 2 10 100 500 1000 5000 10,000 1 n 1 n Demuestre que cada función es la compuesta de dos funciones. 58. h(x) e 2x 3 59. h(x) ex x 61. h(x) ln x 1 2 60. h(x) ln(1 2x) x 62. h(x) (e x ex ) 2 63. h(x) 3 ln x es la compuesta de tres funciones. Demuestre que cada función 64. F(x) e x 1 68. f(x) = xex + ex 65. F(x) e(3x1) 2x 69. f(x) = e2x' - 2xe x 72. Demuestre que ln 4 3 67. F(x) ln ex 1 70. f(x) = -3x2e-3x + 2xe-3x x 4 ln x x 2 4 4 2 2 66. F(x) ln( x 1) 2 71. f(x) = 1 + ln x *74. Resuelva para x : e x ex 1 2 *75. Resuelva para x en función de y : y cuadrática en u que obtenga.) 2. ex 1 x (Sugerencia: haga usted u e x y resuelva la expresión 2 2e Crecimiento y decrecimiento exponencial Existe una gran variedad de problemas de aplicación relacionados con las funciones exponenciales y logarítmicas. Antes de tomar en consideración estas aplicaciones, será útil aprender a resolver una ecuación x exponencial. como 2 35 . 2 x 35 Si A B, entonces: ln A ln B ¿Por qué? ln 2 x ln 35 x ln 2 ln 35 x ln 35 ln 2 Se puede obtener una aproximación al valor de x usando la tabla III del apéndice. Los números de esta tabla suministran los valores de ln x aproximados hasta milésimos. (En la mayor parte de los casos, ln x es irracional.) En esamisma tabla, tenemos: ln 2 = 0.693. Aunque ln 35 no se suministra (directamente) en la tabla, podemos encontrarlo aplicando la segunda ley de los logaritmos. ln 35 ln3.510 ln 3.5 ln 10 1.253 2.303 TablaIII 3.556 Ahora, tenemos: x ln 35 3.556 5.13 ln 2 0.693 Como tosca verificación, observamos que 5.13 es un valor razonable, ya que 25 = 32. Observe que los valores encontrados en la tablas de logaritmos son sólo aproximaciones. Para evitar complicaciones. Empero, usaremos el signo igual (=) VERIFIQUE SU COMPRENSION Resuelva para x cada ecuación expresada con logaritmos naturales. Señale la solución aproximada usando la tabla III. x 1. 4 = 5 -x 2. 4 = 5 1 x 3. 12 2 4. 23x = 10 5. 4x=15 6. 67x = 4 Al principio de la Sección 1, desarrollamos la fórmula y = (10,000)2x, que nos da el número de bacterias presentes en un cultivo, después de x horas de proliferación; 10,000 es el número inicial de bacterias. ¿Cuánto tardará este cultivo de bacterias en llegar a 100,000? Para contestar este pregunta, hagamos y = 100,000 y resolvamos la ecuación para x. 10,0002 x 100,000 2 x 10 Dividimos entre10,000 x ln 2 ln 10 ln 10 ln 2 2.303 3.32 0.693 x Tardará aproximadamente 3.3 horas. En el ejemplo anterior, se usaron funciones exponenciales y logarítmicas para resolver un problema de crecimiento exponencial. Muchos problemas que implican el crecimiento exponencial o el decrecimiento exponencial se pueden resolver usando la fórmula general: y f x Aekx que muestra en qué forma depende del tiempo x la cantidad de una sustancia determinada y. Como f 0 A , la propia A representa la cantidad inicial de la sustancia, en tanto que k es una constante. En una situación dada, k 0 significa que y es un valor creciente (aumenta) con el tiempo. Para k 0, la sustancia decrece (disminuye). (Compare usted las gráficas de y e x y de y ex ). También el citado problema de las bacterias se ajusta a esta fórmula general, ln 2 como se puede observar al sustituir 2 e en la ecuación y 10,0002x : y 10,000 2 x 10,000 e ln 2 10,000eln 2x x EJEMPLO 1 Una sustancia radiactiva se desintegra (y se convierte en otro elemento químico) de acuerdo con la fórmula: y Ae0.2x , donde y es la cantidad remanente después de x años. (a) (b) Si tenemos la cantidad inicial A = 80 gramos. ¿qué cantidad quedará después de 3 años? La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en descomponerse la mitad de la Encuentre la vida media de esta sustancia. en la que A = 80 gramos. misma. Solución (a) Como A = 80. tenemos: y 80e0.2x . Necesitamos resolver esta ecuación para la cantidad y, cuando x 3. y 80e0.2x 80e0.23 80e0.6 800.549 TablaII 43.920 Habrá alrededor de 43.9 gramos después de 3 años. (b) Esta pregunta se refiere al tiempo x en el que sólo queda la mitad de la cantidad inicial. En consecuencia, 0.2x la vida media x constituye la solución de 40 80e . Dividimos ambos lados entre 80: 1 0.2x e 2 Tomamos el logaritmo natural de ambos lados, o convertimos la expresión en la forma logarítmica, para 1 2 obtener: 0.2x ln . Como ln siguiente: 1 ln1 ln 2 ln 2 , resolvemos la ecuación para x de la manera 2 0.2x ln 2 ln 2 x 0.2 3.465 La vida media aproximadamente 3.465 años. 14C, es un isótopo radiactivo de dicho elemento, que tiene una vida El carbono 14, representado mediante media de alrededor de 5750 años. Encontrando qué cantidad de 14C contienen los restos de lo que fue un organismo vivo, es posible determinar qué porcentaje representa de la cantidad original de 14C, en el momento de la muerte. Una vez que se tiene esta información, la fórmula y Aekx nos permite calcular la antigüedad de los restos. La fecha correspondiente se obtiene al resolver la ecuación para la constante k. Dado que la cantidad de 14C después de 5750 años será Explique cada paso de esta solución A , obtenemos lo siguiente: 2 A Ae5750 k 2 1 e 5750k 2 1 5750k ln 2 ln 0.5 k 5750 Sustituimos k por este valor en y Aekx para obtener la siguiente fórmula de la cantidad residual del carbono 14. después de x años: y Aeln 0.5 / 5750x EJEMPLO 2 Se encuentra que el esqueleto de un animal contiene la cuarta parte de la cantidad original de 14 C . ¿Qué antigüedad tiene el esqueleto? Solución Sea x la antigüedad del esqueleto. Entonces: 1 A Aeln 0.5 / 5750 4 1 eln 0.5 / 5750x 4 ln 0.5 1 x ln ln 4 5750 4 x 5750ln 4 ln 0.5 11,500 El esqueleto tiene alrededor de 11,500 años de antigüedad. También las fórmulas usadas en la evaluación del interés compuesto constituyen aplicaciones del crecimiento exponencial. Cuando una inversión gana un interés compuesto, esto significa que el interés obtenido después de un periodo fijo de tiempo se agrega a la inversión inicial y, entonces, el nuevo total, gana intereses durante el siguiente periodo de inversión; y así, sucesivamente. Supongamos. por ejemplo, que una inversión de P pesos gana intereses cada año con el rédito del r por ciento de interés compuesto anual. En estas condiciones. después del primer año, el valor total corresponde a la suma de la inversión inicial P más el interés Pr (r se utiliza en forma de fracción decimal). De este modo, el total después de un año es P Pr P1 r Después del segundo año, la cantidad total es P1 r más el interés ganado por esta cantidad, el cual corresponde a P 1 rr . Entonces, el total después de dos años es P1 r P1 rr P1 r1 r P1 r 2 De modo parecido, después de tres años, el total es P1 r P1 r r P1 r 1 r P1 r 2 2 2 y, después de t años, la cantidad final A está dada por A P1 r t 3 Los periodos para señalar el rédito por el interés compuesto son habitualmente menores de un año. Pueden ser trimestrales (4 veces al año), mensuales o diarios, o de cualquier otro intervalo. En casos así, la tasa de interés para el periodo señalado corresponde al rédito r anual dividido entre el número de los periodos de interés que hay en cada año. Así, si el interés compuesto es trimestral, la tasa de interés para cada periodo corresponde a r/4. Ahora, de acuerdo con el razonamiento usado para obtener A P1 r , la cantidad final A, después de un año (4 periodos redituables), es: t A1 P1 r 4 4 Si hay n periodos redituables por año, el rédito por cada periodo viene a ser r/n y, después de un año, tenemos A1 P1 r n n De manera semejante, después de t años, la cantidad final A, está dada por At P1 r n nt Este resultado se puede derivar del resultado anterior. Véase el Ejercicio 46. EJEMPLO 3 Una inversión de $5000 gana intereses con el rédito anual del 8.4 %, compuesto mensualmente. Conteste usted lo siguiente: (a) (b) (c) ¿Qué cantidad se tendrá después de un año? ¿Qué suma de dinero habrá después de 10 años? ¿Qué interés se habrá ganado en los 10 años? Solución (a) Como el rédito anual corresponde a r = 8.4% = 0.084, y el interés compuesto se determina mensualmente, la tasa del interés mensual es r/n = 0.084/12 = 0.007. Sustituimos este valor, con P = 5000 y n = 12, en r n A P1 . n A 50001 0.007 50001.007 5436.55 12 12 Para determinar el valor de (1,007)12, use una calculadora que tenga la tecla exponencial, generalmente señalada con el símbolo yx . Primero registre 1.007, oprima la tecla yx y, a continuación registre el 12 para obtener 1.08731. (También es posible usar una tabla con las tasas de interés compuesto.) Al redondear la cantidad de dinero suprimiendo los centavos, la cantidad que permanece en depósito, después de un año, es $5437, r nt r (b)Usamos la fórmula: At P1 donde P 5000, 0.007, n 12, y t 10. n n 1210 A 50001.007 50001.007 11547.99 120 Después de 10 años, la cantidad asciende aproximadamente a $11,548. (c) Después de 10 años, el interés ganado es 11548 - 5000 = 6548 pesos Como ejemplo, tome usted r = 0.2 y use una calculadora para verificar los siguientes cómputos, redondeados hasta 0.2 n 0.2 cienmilésimos (cinco cifras decimales), que demuestren que 1 se aproxima a e conforme n se vuelve n cada vez más grande. 0.2 10 1 1.21899 10 0.2 100 1 1.22116 100 0.2 1000 1 1.22138 1000 Adem ás, e 0.2 1.22140 1 n se aproximan al número e, conforme n n r r n se hace cada vez más grande. También es cierto que 1 se aproxima a e , conforme n aumenta cada n La nota al margen, en la página 377, señala que los valores de 1 vez más. Estas observaciones, cuando se hacen matemáticamente precisas. conducen a la siguiente fórmula del interés compuesto continuo: A Pe rt donde P es la inversión inicial, r es la tasa de interés anual y t es el número de años, En estas condiciones, $1000 invertidos al 10% de interés compuesto continuo, durante 10 años, producen una cantidad de A 1000e0.1010 1000e1 10002.718 2718 Tras 10 años, a pesar de aplicarse un interés compuesto continuo, la cantidad que permanezca en depósito (redondeada al entero más cercano) no aumentará a más de $2718. EJEMPLO 4 Supongamos que se invierten $1000 al 10% de interés compuesto continuo. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que se duplique esta inversión? Solución Deseamos que la cantidad final en depósito sea $2000. Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación, y necesitamos resolverla para t: 2000 1000e0.10t 2 e0.1t Dividimos entre1000 ln 2 0.1t Escribim osen la form alogarítm ica ln 2 t 0.1 0.693 t 0.1 6.93 t Dividimos entre 0.1 Encontram osln 2 en la tabla III Se necesitarán aproximadamente 7 años para que la inversión duplique su valor. Como verificación, observe 0.1 7 usted, en la tabla III, que e e 0.7 2.01, que es aproximadamente igual a 2. EJERCICIOS 5 Use la tabla III y calcule el valor de cada una de las siguientes expresiones aproximando hasta milésimos (tres cifras decimales). 1. ln 6 ln 2 2. ln 10 ln 5 3. ln 8 ln 0.2 4. ln 0.8 ln 4 5. ln 15 ln 3 6. ln 25 ln 5 Calcule el valor de y en y Aekx , para los valores dados de A, k y x. 9. A = 100, k = 0.75, x = 4 10. A = 25, k = 0.5, x = 10 11. A = 1000, k = -1.8, x = 2 12. A = 12.5, k = -0.04, x = 50 7. ln 100 ln 10 8. ln 80 ln 8 k. Deje cada respuesta expresado en logaritmos naturales. Resuelva para A Ae100k 2 17. Un cultivo de bacterias crece de acuerdo con la fórmula y 10,000e 0.6x , donde x es el tiempo, expresado 13. 5000 = 50 e 2k 14. 75 = 150e e 10 k 15. A Ae4 k 3 16. en días. Calcule el número de bacterias que habrá después de 1 semana. del Ejercicio 17, después de que ha proliferado 18. Calcule el número de bacterias que hay en el cultivo durante 12 horas. 19. ¿ Cuánto tiempo se necesitará para que se triplique el cultivo de bacterias del Ejercicio 17? 20. ¿ Cuánto tiempo hará falta para que el número de bacterias del Ejercicio 17 llegue a 1,000,000? 21. Cierta sustancia radiactiva se descompone de acuerdo con la fórmula exponencial S Soe0.04 t donde So es la cantidad inicial de la sustancia y S es la cantidad de dicha sustancia que queda después de t años. Si al principio hay 50 gramos de la sustancia radiactiva, ¿cuánto tiempo se necesitará para que se descomponga la mitad? 22. Demuestre usted que, cuando se resuelve para t la fórmula del Ejercicio 21, el resultado es t 25ln S So 23. Una sustancia radiactiva está desintegrándose de acuerdo con la fórmula y Aekx , donde x es el tiempo, en años. Se tiene la cantidad inicial A = 10 gramos y, después de 5 años, quedan 8 gramos. (a) Encuentre el valor de k. Deje la respuesta expresada en logaritmo natural. (b) Calcule la cantidad restante después de 10 años. (c) Calcule la vida media, aproximando hasta el décimo más cercano de un año. 24. La vida media del radio es de 1690 años, aproximadamente. Un laboratorio tiene 50 miligramos de radio. (a) Utilice la vida media al resolver para k la ecuación y Aekx . Deje la respuesta expresada en logaritmo natural. (b) Aproximando a las decenas de años más cercanas, ¿cuánto tiempo se necesitará para que sólo queden 40 miligramos? 25. Supongamos que 5 gramos de una sustancia radiactiva se descomponen a razón de 4 gramos por cada 30 segundo. ¿Cuál es su vida media, aproximada hasta la décima de segundo más cercana? 26. ¿Cuánto tiempo se necesita para que se desintegren las dos terceras partes del material radiactivo del Ejercicio 25? Aproxime su respuesta a la décima de segundo más cercana. 27. Cuando se estudió por primera vez el crecimiento demográfico de cierta ciudad, tenía una población de 22,000 habitantes. Se encontró que la población P, en función del tiempo (en años), crecía de acuerdo con la fórmula exponencial P 22,000100.0163t ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? 28. ¿Cuánto tiempo hará falta para que se triplique la población de la ciudad mencionada en el Ejercicio 27? 29. Se ha descubierto que una momia egipcia contiene el 60% de su 14C. Con aproximación al siglo más cercano, ¿qué antigüedad tiene la momia? (Observación: si A es la cantidad original de 14C, la cantidad restante será 3 A) 5 30. Un esqueleto contiene la centésima parte de la cantidad original de 14C. Aproximando el valor al milenio más cercano, ¿cuál es la antigüedad del esqueleto? 31. Responda la misma pregunta del Ejercicio 30, si sólo queda una millonésima del 14C. Use una calculadora que tenga la tecla exponencial y la de logaritmo natural e x , para contestar las siguientes preguntas. 32. Supongamos que una inversión de $10,000 gana réditos con la tasa del 9% de interés compuesto anual. Si el tiempo de depósito de la inversión es de un año (t = 1), encuentre usted el valor de la inversión para cada uno de los siguientes periodos de aplicación del interés compuesto: (a) n = 4 (trimestrales) (b) n = 12 (mensuales) (c) n = 52 (semanales) (d) n = 365 (diarios) (e) continuamente. 33. Siga las instrucciones del Ejercicio 32, pero aumente a 5 años el tiempo de depósito de la inversión. 34. Calcule el interés ganado en cada caso del Ejercicio 32. 35. Siga las instrucciones del Ejercicio 32, pero cambie a 3.5 años el tiempo de depósito de la inversión. 36. Supongamos que se invierten $1500 a rédito con la tasa de 8% de interés compuesto continuamente, anual. ¿Qué cantidad habrá en depósito después de 5 años? ¿ Y después de 10 años? 37. La señorita Rivera deposita $5000 al 9% de interés anual. ¿Cuánto tiempo necesitará para que se duplique su inversión? ¿Cuánto tiempo tardará, si la tasa de interés fuera el 12%? 38. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que se duplique una inversión de $1000, si gana el 12% de interés compuesto, continuo, anual? ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse? 39. Una inversión de $1000 gana réditos a la tasa del r% compuesto, continuo, anual. Si la inversión se duplica en 5 años, ¿cuál es el valor de r? 40. ¿Cuánto tiempo hace falta para que se duplique una inversión de $4000, si gana réditos con la tasa del 8% de interés anual, compuesto trimestralmente? 41. En el Ejercicio 40, ¿cuánto tiempo se necesitaría, si los periodos de aplicación del interés compuesto fueran mensuales? 42. Una inversión P gana el 9% de interés anual. compuesto continuamente. Después de 3 años, el valor de la inversión es de $5000. Encuentre usted la cantidad inicial P. (Sugerencia: resuelva para P la fórmula A Pe rt .) 43. Conteste la pregunta del Ejercicio 42 empleando 6 años como tiempo de depósito. 44. Una inversión P gana el 8% de interés anual, compuesto en periodos trimestrales. Después de un año, el valor de la inversión es de $5000. Encuentre la cantidad inicial P. (Sugerencia: resuelva A P1 1 r para n n P.) 45. ¿Qué suma de dinero se debe invertir a la tasa de interés del 12% anual, compuesto en periodos de 5 años? (Sugerencia: mensuales, para lograr que el valor de la inversión ascienda a $20,000 después r n resuelva usted At P1 para P.) n 46. Explique cómo se puede obtener el resultado At P1 nt r a partir de A1 P1 n r . [Advertencia: n n A2, el valor de la inversión después de 2 años, se obtiene cuando A ha ganado durante un año el interés r n compuesto n veces: por lo tanto, A A1 .] n 3. Notación científica Para escribir números muy grandes o muy pequeños los científicos usan con frecuencia una forma de expresión llamada notación científica. Como lo observará usted, la notación científica es útil para simplificar ciertos tipos de cómputos. He aquí algunos ejemplos de la notación científica: 623,000 = 6.23 x 105 6230 = 6.23 x 103 0.00623 = 6.23 x 10-3 0.0000623 = 6.23 x 10-5 Es fácil verificar que son correctos. Por ejemplo 6.23 x 105 = 6.23 x 100,000 = 623,000 6.23 x 10-3 = 6.23 x 1 6.23 0.00623 3 10 1000 Los ejemplos anteriores indican que un número N se ha puesto en la notación científica, cuando está expresado como el producto de un número del 1 al 10 por una potencia del propio 10 con exponente entero. Así, tenemos: N x10c donde 1 x 10 y c es un entero ESCRITURA DE UN NUMERO EN LA NOTACION CIENTIFICA Se coloca el punto decimal después del primer dígito diferente de cero (esto produce el número entre el 1 y el 10). Luego, se determina la potencia del 10, contando el número de cifras que se ha desplazado el punto decimal. Si el punto decimal se ha movido hacia la izquierda, la potencia es positiva; si se ha movido hacia la derecha, la potencia es negativa. Ejemplos: 2,070,000. 2.07x106 seis cifras haciala izquierda 0.00000084 8.4 x107 siete cifras haciala derecha Para convertir de nuevo en la notación normal un número dado en la notación científica, lo único que se necesita es desplazar el punto decimal las cifras señaladas por el exponente de 10. El punto decimal se mueve hacia la derecha cuando el exponente es positivo y hacia la izquierda cuando es negativo. 4 EJEMPLO 1 Escriba 1.21x10 en la notación normal. Solución Movemos el punto decimal de 1.21 cuatro cifras hacia la derecha. 1.21x10 4 12,100 EJEMPLO 2 Escriba 1.21x10 2 en la notación normal. Movemos el puntodecimal de 1.21 dos cifras hacia la izquierda. Solución 1.21x102 0.0121 VERIFIQUE SU COMPRENSION Convierta en notación científica. 1. 739 4. 0.739 2. 73,900 5. 73.9 3. 0.00739 6. 7.39 Convierta en notación normal. 3 8. 4.01x10 4 11. 9.2x10 3 7. 4.01x10 5 10. 1.11x10 2 9. 1.11x10 0 12. 4.27 x10 aritméticos. Por ejemplo, para evaluar La notación científica puede ayudar a simplificar cómputos 2,750,000 0.015 750 primero, escribimos cada número en la notación científica: 2,750,0000.015 2.75x10 1.5x10 2 6 2 750 7.5x10 En seguida, acomodamos todo de otra manera para reunir todos los números del l al 10 y todas las potencias de 10, de la manera siguiente: 2.75x10 1.5x10 2.751.5 x 10 10 2 6 7.5x102 6 7.5 Calculamos el valor de cada una de las fracciones: 2.751.5 4.125 0.55 7.5 7.5 2 10 10 1062 104 102 102 102 102 6 Entonces, la solución es este producto: 0.55 x10 2 55 La labor anterior se realiza habitualmente de manera más compacta: 102 2 2,750,0000.015 2.75x10 1.5x10 2 6 2 750 7.5x10 2.751.5 x 10 10 2 6 2 7.5 0.55x102 10 55 En la notación científica, esta solución se escribe así: 5.5 x 10. 1 . 800,000 EJEMPLO 3 Use la notación científica para calcular: Solución 1 1 1 1 x 5 0.125 x10 5 0.00000125 5 800,000 8x10 8 10 En la notación científica, la solución del Ejemplo 3 se escribe 1.25 x 10 -6 EJEMPLO 4 Use la notación científica para calcular el valor de 2,310,000 11,200,0000.000825 2 Solución 2.31x10 2,310,000 11,200,0000.000825 1.12x107 8.25x104 6 2 2 2.31 2 1.12x10 7 x 106 2 8.25x10 4 2.31 x 1012 1.128.25 107 104 2 ab n anbn a a m n mn 0.5775x109 577,500,000 EJERCICIOS 6 Escribacada número en notación científica. 1. 4680 2. 0.0092 3. 0.92 7. 25 8. 36.09 9. 0.000000555 Escriba cada número en notación normal. 13. 7.89 x 104 14. 7.89 x 10-4 4. 0.9 10. 0.57721 15. 3.0 x 103 5. 7,583,000 11. 202.4 16. 3.0 x 10-3 6. 93,000,000 12. 7.93 17. 1.74 x 10-1 18. 1.74 x 100 19. 1.74 x 101 20. 2.25 x 105 21. 9.06 x 10-2 Exprese cada una de las siguientes fracciones con una sola potencia de 10. 108 x 104 x 105 102 x 103 109 x 102 26. 106 x 109 10 3 x 10 5 10 1 10 x 10 2 10 3 x 10 4 25. 1010 22. 103 105 (102 ) 3 x 101 27. (103 ) 4 23. 24. Compute, usando notación científica. 2 (6,000)(720) 1 1 0.0064 29. 31. 30. 32. 80,000 12,000 5000 0.0005 0.000016 (240)(0.0000332 ) 4,860,000 (0.0111)(66,600)(555) (0.000025 ) 33. 34. 35. 36. (0.008)(12,000) (0.081)(19,200) (22,200)(0.000333) (0.0625)(0.02) 28. indicada aplicando la notación científica. Ejecute la operación 37. 1,440,000 (40) 4 (0.015) 2 40. 24,000 0.000625 3125 12 42. (0.002)(0.2)(200)(20,000) 3 38. (0.0006) 39. (1,728,000)1 3 41. (0.06)(400) 2 43. La luz viaja a una velocidad de aproximadamente 300,000 kilómetros (186,000 millas) por segundo. La (93,000,000 de millas). Use la notación distancia promedio del Sol a la Tierra mide 150,000,000 de kilómetros científica para averiguar cuántotiempo tarda la luz en llegar a la Tierra desde el Sol. 44. Basándose en la información dada en el Ejercicio 43, utilice la notación científica para demostrar que 1 año-luz (la distancia que recorre la luz en un 1 año) corresponde aproximadamente a 9.461 x 10 12 kilómetros (5.87 x 1012 millas). 4. Logaritmos comunes y sus aplicaciones Los logaritmos se descubrieron hace alrededor de 350 años. Desde entonces se han usado ampliamente para simplificar los cómputos numéricos complicados. Ahora, gran parte de esta labor se puede llevar a cabo de modo más eficaz con la ayuda de las computadoras y calculadoras. Sin embargo, los cómputos logarítmicos nos ayudarán a entender mejor la teoría de los logaritmos, que desempeñan un papel importante en muchas ramas de las matemáticas (incluso en el cálculo) y en sus aplicaciones. Para el trabajo científico y técnico, a menudo los números se escriben en la notación científica y por lo tanto, se emplean los logaritmos de base 10, llamados logaritmos comunes. Más adelante aparece un extracto de la tabla IV del apéndice. Contiene los logaritmos comunes de números de tres cifras de 1.00 a 9.99. Para encontrar un logaritmo, digamos log10 3.47, buscamos primero el valor 3.4 bajo el encabezado x; luego, en el renglón del 3.4 y en la columna encabezada por el dígito 7, se encuentra el número .5403: éste es el logaritmo común de 3.47. Escribimos: log10 3.47 0.5403 Recuerdequeesto significa: 3.4710 0.5403 Advierta usted que los valores encontrados en las tablas de logaritmos son aproximaciones. Por sencillez, empero, usaremos el signo igual (=) Invirtiendo el proceso, podemos empezar con log10 x 0.5403 para encontrar el valor de x. x . . . 3.3 3.4 3.5 . . . 0 . . . .5185 .5315 .5441 . . . 1 . . . .5198 .5328 .5453 . . . 2 . . . .5211 .5340 .5465 . . . 3 . . . .5224 .5353 .5478 . . . 4 . . . .5237 .5366 .5490 . . . 5 . . . .5250 .5378 .5502 . . . 6 . . . .5263 .5391 .5514 . . . 7 . . . .5276 .5403 .5527 . . . 8 . . . .5289 .5416 .5539 . . . 9 . . . .5302 .5428 .5551 . . . Los logaritmos comunes de la tabla IV son decimales de cuatro cifras, entre 0 y 1. Salvo por el caso log 10, 1=0, todos son valores aproximados. El hecho de que estén entre 0 y 1 se tomará en cuenta en los ejercicios. Como siempre se considera que los logaritmos comunes corresponden a la base 10, podemos simplificar la notación y suprimir el índice 10 de las expresiones logarítmicas. Así, escribiremos log N en lugar de log10 N. Verifique usted los siguientes valores, tomados de la tabla IV: log 3.07 0.4871 log 8.88 0.9484 Si log x 0.7945, entonces: x 6.23 Para encontrar el log N, donde N no está entre 1 y 10, escribimos primero el número N en la notación científica: N = x( 10c). Esta forma de expresar N, junto con la tabla IV, nos permitirá encontrar log N. En general, log N log x10c log x log10c log x c Ley 1 de los logaritm os ¿Por qué? El entero c es la característica del log N, y la fracción decimal con cuatro cifras, correspondiente al log x, constituye su mantisa. Usando N = 62,300, tenemos: log 62,300 log 6.23104 log 6.23 log104 log 6.23 4 0.7945 4 4.7945 Observe esta diferencia: log N: Logaritmo común base 10 ln N: Logaritmo natural base e EJEMPLO 1 Encuentre log 0.0419. Solución TablaIV log0.0419 log 4.19102 log 4.19 log102 0.6222 2 Supongamos que, en el Ejemplo l. se combina la mantisa 0.6222 con la característica negativa: 0.6222 2 1.3778 1 0.3778 1 0.3778 Dado que la tabla IV no tiene mantisas negativas, como -0.3778, evitamos estas combinaciones y conservamos la forma del log 0.0419 de modo que la mantisa sea positiva. Para los cómputos, hay otras formas útiles de 0.6222 + (-2) en las que se preserva la mantisa 0.6222. Observe usted que -2 = 8 – 10, 18 – 20, y así, sucesivamente. En estas condiciones. 0.6222 2 0.6222 8 10 8.622210 18.6222 20 De manera semejante, log 0.00569 7.755110 17.7551 20 log 0.427 9.630410 29.6304 30 Una manera sencilla de encontrar N, si log N = 6.1239, consiste en buscar en la tabla IV el número x, de tres cifras, que corresponde a la mantisa 0.1239. Luego, x se multiplica por 106. Por lo tanto, dado que log 1.33 = 0.1239, tenemos: N 1.3310 61.330,000 En la siguiente explicación puede usted descubrir por qué da resultado esta técnica. log N 6.1239 6 0.1239 6 log1.33 log106 log1.33 log106 1.33 log1,330,000 Por consiguiente, log N = log 1,330,000, y sacamos la conclusión de que N = 1,330,000. VERIFIQUE SU COMPRENSION Encuentre el logaritmo común. 1. log 267 4. log 0.267 7. log 0.000813 2. log 26.7 5. log 0.0267 8. log 7990 3. log 2.67 6. log 42,000 9. log 0.00111 Encuentre N. 10. log N = 2.8248 12. log N = 9.8248 – 10 14. log N = 7.7126 11. log N = 0.8248 13. log N = 0.8248 – 3 15. log N = 18.9987 - 20 Nota: Mientras no se diga lo contrario, log N siempre significará log10 N. EJEMPLO 2 Calcule P = (963)(0.00847) usando logaritmos (comunes). Solución log P log 9630.00847 log 963 log0.00847 Ley 1 Ahora, usamos la tabla IV. Se sum a log 0.00847 7.927910 log P 10.911510 0.9115 log 963 2.9836 P 8.16100 8.16 Nota: La mantisa 0.9115 no aparece en la tabla IV. En este caso, usamos el valor más cercano; a saber: 0.9117, que corresponde a x = 8.16. Estas aproximaciones son suficientemente adecuadas para nuestros propósitos. Para fácil referencia: Ley 1. log MN log M log N M Ley 2. log log M log N N Ley 3. log N k k log N Para un procedimientos más preciso, consulte el Ejercicio 39. Por otra parte, el Ejercicio 38 ilustra la manera de encontrar log x cuando 0≤x<1 y x tiene más de tres cifras. EJEMPLO 3 Use logaritmos para calcular el valor de Q Solución 0.00439 . 0.705 Encontramos: log Q = log 0.00439 - log 0.705 (por la ley 2). Luego, consultamos la tabla. Esta form ase usa paraevitarque aparezcauna m antisanegativacuandoreste, en el siguiente paso log 0.00439 7.642510 17.6425 20 Se resta log 0.705 9.848210 9.848210 log Q 7.794310 Q 6.23103 0.00623 EJEMPLO 4 Use logaritmos para calcular el valor de R 3 0.0918 . Solución 1 1 log 0.0918 Ley 3 3 Evitam osla característica fraccionaria 1 1 8.962810 28.9628 30 3 3 cam biandoa 28.9628 30 log R log 0.09183 9.654310 R 4.5110 1 0.451 EJEMPLO 5 Para determinar cuánto se debe cobrar por un galón de pintura, se necesita saber, en primer lugar, cuánto le cuesta al vendedor. La pintura está guardada en un tambor cilíndrico que mide 21 pies de diámetro y 3 3 pies de altura. Si se han pagado $400 por esa cantidad de pintura, ¿cuánto cuesta cada galón? 4 (Utilice usted esta equivalencia: 1 pie cúbico = 7.48 galones.) Volumende un cilindro: Solución V r2 h El volumen del tambor se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. Así, tenemos: 1.25 3.75 2 pies cúbicos de pintura en el tambor. Entonces, el número de galones es: 1.25 3.757.48 2 Como el costo total fue de $400, el costo por cada galón está dado por: C 400 1.25 3.757.48 2 Empleamos π = 3.14 para efectuar el cómputo, usando logaritmos: logC log 400 log 3.14 2 log1.25 log 3.75 log 7.48 log 400 2.6021 log 3.14 0.4969 log1.25 0.0969 2 log1.25 0.1938 Se resta Se sum a log 3.75 0.5740 log 7.48 0.8739 2.1386 2.1386 log C 0.4635 C 2.91 x 100 2.91 La pintura le costó al vendedor aproximadamente $2.91 por galón. EJERCICIOS 7 Encuentre el logaritmo común. 1. log 457 2. log 45.7 Encuentre N. 7. log N = 0.5705 10. log N = 2.9523 3. log 0.457 8. log N = 0.8904 11. log N = 9.1461 - 10 Calcule cada valor usando logaritmos comunes. 13. (512)(84,000) 14. (906)(2330)(780) 17. 0.42181.7 368750 21. 28.3 579621 4. log 0.783 18. 621 0.0941 0.83 2 7.73 927 818 3 23. 6. log 8.56 9. log N = 1.8331 12. log N = 8.6972 - 10 16. 274 28.3 621 19. 579 57928.3 3 22. 15. 5. log 72.9 186 2 1 4 600 274 927818 28.3 20. 579621 4 600 2 24. 2 1863 Use logaritmos comunes para resolver los siguientes problemas. 25. Tras agotársele la gasolina, una automovilista hizo que le llenaran el depósito con un costo de $16.93. ¿Cuál fue el costo por galón, si el depósito de combustible tiene una capacidad de 14 galones? 26. Supongamos que una nave espacial tarda 3 días, 8 horas y 20 minutos en viajar de la Tierra a la Luna. Si la distancia recorrida fue de un cuarto de millón de millas. ¿cuál fue la velocidad promedio de la nave, en millas por hora? 27. Una nave espacial. lanzada desde la Tierra, recorrerá 432,000,000 millas (695,088.000 kilómetros) en el viaje al planeta Júpiter. Si la velocidad promedio es de 21,700 millas (34,915.3 kilómetros) por hora, ¿cuánto durará el viaje? Dé usted la respuesta en años. En los Ejercicios 28 al 30, se usan las fórmulas del interés compuesto. estudiadas en la Sección 5. 28. Cuando se invierten P pesos en un banco que paga interés compuesto con el r por ciento anual (expresado en forma decimal), la cantidad A de los intereses, después de t años, está dada por la fórmula A P1 r t (a) Encuentre el valor de A con P = 2500, r = 0.09 (9%) y para t = 3. (b) Una inversión de $3750 gana réditos con la tasa del 11.2% de interés compuesto anual. Encuentre el valor de la cantidad A, después de 5 años. 29. La fórmula P A t da la inversión inicial P en función de la suma de dinero actual A, junto con el 1 r rédito r correspondiente a la tasa del interés compuesto anual y con el número de años t. ¿Qué cantidad de dinero se invirtió al 12.8%, si después de 6 años se tienen $8440 en el banco? 30. Sise invierten P pesos a rédito r y el interés es compuesto n veces al año, la cantidad A, después de t años, está dada por r nt A P1 n (a) Use esta fórmula para computar A con P = $5000 y r = 0.08. si se aplica el interés compuesto semestralmente, durante 3 años. (b) Encuentre el valor de A, con los datos señalados en la parte (a) cuando el periodo del interés compuesto es trimestral. (c) Encuentre el valor de A, como en la parte (a), pero con n = 8. 31. Un buque cisterna transporta 253,000 barriles de petróleo crudo, el cual producirá 1,830,000 galones (6,926,550 litros) de cierto tipo de combustible. ¿Cuántos galones de dicho combustible se producen con 1 galón de petróleo crudo? (1 barril = 31.5 galones = 119.2275 litros). 32. Las dimensiones de un recipiente que tiene la forma de un prisma rectangular son 2.75 por 5.35 por 4.4 pies. ¿Cuántos galones puede contener este recipiente? (Use 1 pie cúbico = 7.48 galones.) Si el recipiente se llena de agua. ¿cuántas libras de agua contendrá? (Utilice usted 1 pie cúbico de agua = 62.4 libras.) 33. El volumen V de una esfera que tiene el radio r está dado por la fórmula: V encontrar el volumen de una esfera cuyo radio mide 12 centímetros. 3 3 r . Use π = 3.14 para 4 34. El área de la superficie S de una esfera está dada por S = 4πr2. ¿ Cuál es el área de la superficie de la esfera del Ejercicio 33? 35. El periodo P de un péndulo simple es el tiempo (en segundos) que tarda en realizar una oscilación completa. El periodo está por P 2 de un péndulo que tiene 3 3 pies. 4 l , donde l es la longitud del péndulo. Encuentre el valor del periodo 32