Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores Gymnázium Budějovická Solución a los ejercicios de vectores: Nota 1: Estas soluciones pueden tener errores y erratas (es un rollo escribiros las soluciones bonitas con el ordenador), así que hay que verlas con espíritu crítico y confiar también en vuestra lógica y vuestro “saberhacer”. Se agradecerá que los errores que se puedan detectar sean comunicados al profe, Diki Moc!!. 1. Determinar las componentes de un vector de módulo 5 unidades, que forma 60º con el eje positivo OX. ¿Y si el ángulo es de 120º ? Solución: 1 v x v·cos 5·cos60 5· 2,5 2 a) 3 v y v·sen 5·sen60 5· 2,5· 3 2 b) v x v·cos 5·cos120 5· v y v·sen 5·sen120 5· -1 2 3 2,5 2,5· 3 2 2. ¿Qué dirección (ángulo con eje OX) tendrá el vector de coordenadas (-4, 7)? ¿Y el vector (3,-4)? ¿Y el vector (0,-6)? ¿Cuáles serán las coordenadas de los vectores opuestos (de sentido contrario) a estos? Solución: v a) 1 arctg y v x 7 arctg -60,26 pero en realidad estamos buscando un ángulo en el II -4 1 180º60,26º 119,74º cuadrante (cos <0 y sen >0) luego: v b) 2 arctg y v x del III -4 arctg 53,13º (o lo que es lo mismo, si queremos escribir este ángulo 3 cuadrante como 2 360º53,13º 306,77º positivo (sentido contrario a las agujas del reloj) ) 3. Un vector tiene su punto de aplicación (origen) en el punto (2,4) y su extremo en el punto (7,7). Determina el módulo de ese (7,7) vector, así como su dirección (ángulo con OX) Solución v (vx ,v y ) (7 2,7 4) (5,3) v v v x2 v y2 25 9 34 (2,4) vy 3 arctg 30,96º 31,0º 5 vx arctg 4. Calcula el módulo del vector cuyas coordenadas son (4,-3) Solución: v v v x2 v y2 42 (3) 2 25 5 0 5. La suma de vectores, ¿será conmutativa?. Demostrarlo gráficamente mediante algún ejemplo. 1 Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores Gymnázium Budějovická Solución: ya lo hemos visto en clase la suma de vectores es conmutativa (os dejo como ejercicio “demostrarlo” gráficamente mediante un ejemplo) 6. Las direcciones de dos vectores, cuyos módulos son de 3 y 4 unidades, forman entre sí un ángulo recto. ¿Cuánto valdrá el módulo de su resultante? Solución: R R 32 42 5 7. En el caso anterior, ¿cómo podríamos determinar la dirección del vector resultante? Solución: Suponiendo los vectores coincidiendo con los ejes X e Y: R v1 v 2 v1 (v1x ,v1y ) (3,0) y v 2 (v2x ,v2y ) (0,4) y aplicando trigonometría básica, el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es: arctg 53,13º = (esta sería la solución si el vector de módulo 4 esta verticalmente) 4 3 8. ¿Cómo se procederá para determinar la resultante de un conjunto de vectores libres? Solución: Desplazando los vectores hacia el mismo punto y haciendo coincidir sus orígenes. 9. ¿Cómo se determinaría la resultante (gráfica) de un conjunto de vectores que poseen la misma dirección: a. con igual sentido, b. con sentidos diferentes. ¿Qué conclusiones pueden deducirse de estas situaciones? Solución: Pensadlo vosotros, es fácil 10. Obtener todos los elementos de la resultante de los vectores A (2,5) , B (0,-3) y C un vector de módulo=4 unidades y α=35º. Solución: C (C·cos35,C·sen35) (4·cos35,4·sen35) (3,28 ; 2,29) R A B C (2,5) (0,3) (3,28;2,29) (5,28;0,71) R R (5,28)2 (0,71)2 5,33 0,71 7,66º 5,28 arctg 11. ¿Puede el módulo de un vector ser negativo? ¿Y las componentes de un vector, pueden ser negativas? Solución: No, los módulos siempre son positivos Si, por supuesto que pueden serlo, son números escalares “normales”. 12. Dibujar los vectores: A (-3,-4) , B (0,-3) y C (-3,4) Solución: Dibujar vectores si sabéis no? 2 Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores 13. Gymnázium Budějovická Dados los vectores a (1,0) y b (3,0) . Obtener el vector c a b Solución: c a b (1,0) (3,0) (4;0) 14. Dados los vectores e (2,0) y f (0,3). Obtener el vector h 3·e 2·f Solución: h 3·e 2·f 3·(2,0) 2·(0,3) (3·2;2·3) (6;6) 15. Obtener las componentes de un vector, si sabemos que su módulo es de 12 unidades y forma un ángulo de 30° con la parte positiva del eje OX. Solución: Este tipo de ejercicio lo hemos hecho ya un millón de veces. v x v·cos 12·cos30 12· 3 6· 3 2 1 v y v·sen 12·sen30 12· 6 2 16. Obtener las componentes de un vector, si sabemos que su módulo es de 8 unidades y forma un ángulo de 300° con la parte positiva del eje OX. Solución: 1 v x v·cos 8·cos300 8· 4 2 3 -4· 3 v y v·sen 8·sen300 8· 2 A 17. Dado el vector A (-3,7), comprueba que el vector u es un vector de A modulo unidad en la misma dirección y sentido que A . (Ayuda: Calcula el vector u y después usa la fórmula (3) para comprobar que la tangente de los ángulos que forman con el eje X , tanto A como u son iguales. 2 2 Solución: A (-3,7) A A Ax Ay 58 A 1 1 3 7 u ·A (3,7) , 58 A A 58 58 Veamos que ambos vectores forman el mismo ángulo con el eje X: 7 tg -3 7 7 7 α A α u arctg - 3 58 tg tg - 3 -3 58 A tg(α A ) tg Y AX u tg(α u ) tg Y uX El valor de este ángulo esta calculado en el ejercicio siguiente 3 Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores 18. Gymnázium Budějovická Determina TODAS las características (módulo, ángulo con eje X) del vector A del ejemplo anterior. Solución: Solo os queda por obtener el angulo que A (-3,7) forma con el eje X. 7 -66,8º Ojo!!! este ángulo está en el IV cuadrante pero nuestro vector esta en -3 el II cuadrante tenemos que buscar el ángulo equivalente. α 180 - 66,8º 113,2º arctg 19. Dado los vectores A=-5i +4j; B=-i -7j. Obtener todas las características del vector P= 5A -3B. Solución: P 5·A 3·B 5·(-5,4) 3·(-1,-7) (25 3;20 21) (22;41) El módulo y el ángulo que forma P con el eje x lo calculáis vosotros (ya sabéis como). 20. Dado el vector H 2i 5 j . Obtener un vector unitario en su MISMA dirección y sentido. Solución: H 2i 5 j (2,5) H H H x2 Hy2 29 H 1 1 5 2 u ·H (2,5) , (0,37;0,93) 29 H H 29 29 21. Expresar en notación de vectores unitarios (como suma de vectores unitarios i y j ) los vectores de los ejercicio 14 al 18. Solución: Os dejo este ejercicio a vosotros para que practiquéis, es trivial. 22. Dado el vector a con origen en el origen de coordenadas y de componentes: ax=3 unidades, ay=4 unidades. Exprésalo en forma vectorial, calcula su módulo y el ángulo que forma con el eje OX Solución: 4 a 3i 4 j (3,4) ; v a 42 32 25 5 0 ; arctg 53,13º 3 23. ¿Es posible que la suma de dos vectores, de módulos 3 y 4 sea un vector de módulo 1? Solución: ¿Que pensais vosotros? Que ocurriría si por ejemplo sumamos los vectores - 3·i 4·i El modulo de la suma de dos vectores siempre cumple que: a b ab a b 4 Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores Gymnázium Budějovická Esto no hay que saberlo para mi asignatura es solo por información y curiosidad. Trata de imaginarte o de dibujar de que forma puedes sumar dos vectores para obtener un vector lo más largo posible (módulo mayor) o lo más corto posible (módulo menor). 24. Calcula las componentes cartesianas del vector a que tiene por origen el origen de coordenadas, de módulo cinco unidades y que forma un ángulo de 52º con el eje de las abscisas. Solución: v x v·cos 5·cos52 5·0,616 3,08 v y v·sen 5·sen52 5·0,788 3,94 5