6 NÚMEROS COMPLEJOS CALCULADORA GRÁFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)

CALCULADORA GRÁFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)
6
NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos los hemos utilizado en esta unidad en forma binómica y en
forma polar. Con ayuda de la calculadora, podrás pasar fácilmente de una forma a la
otra.
Además, los modelos TI-83 y TI-83 Plus incorporan en el menú MODE la posibilidad
de que la calculadora trabaje con números complejos en forma binómica o polar y el
menú MATH CPX otras posibilidades para pasar de una forma a otra.
De lo que viene a continuación, los ejemplos 1, 2, 3 y 4 podemos ejecutarlos con
cualquiera de los modelos. Los siguientes solo se pueden aplicar con TI-83 y TI-83
Plus.
EJEMPLO 1. Módulo de un número complejo
Halla el módulo de z = 3  4i.
Las partes real e imaginaria de z son 3 y 4, respectivamente. Para obtener su módulo,
pulsa:
2nd [ANGLE] 5 3 , () 4 ) ENTER .
Aparecerá en pantalla:
Por tanto,  z  = 5.
Unidad 6. Números complejos.
1
EJEMPLO 2. Paso de forma binómica a forma polar
Expresa en forma polar los números complejos:
a) 3  i
b) 3i
c) 5
a) Identifica
3, 1 .


3  i con el par compuesto por su parte real y su parte imaginaria:
La forma polar está compuesta por el módulo, r, y el argumento, .
Con la calculadora funcionando en MODE Degree el valor del argumento, , lo
obtendremos en grados. Para obtenerlo en radianes tenemos que pulsar MODE y
seleccionar Radian.
Para obtener el módulo pulsa:
2nd [ANGLE] 5
2nd [
] 3
,
1
)
ENTER .
1
)
ENTER .
Aparecerá en la pantalla:
 r2
Para obtener el argumento, pulsa:
2nd [ANGLE] 6
2nd [
] 3
,
Aparece en la pantalla:
   30
Por tanto:
3  i  230
b) Identifica la parte real y la parte imaginaria de z = 3i: (0, 3)
Obtén el módulo pulsando:
2nd [ANGLE] 5
Unidad 6. Números complejos.
0
,
3
)
ENTER .
2
Aparecerá en la pantalla:
 r3
Para obtener el argumento pulsa:
2nd [ANGLE] 6
0
,
3
)
ENTER .
Aparece en la pantalla:
   90
Por tanto: z  3i  390
c) Identifica la parte real y la parte imaginaria de 5: (5, 0).
Obtén el módulo pulsando:
2nd [ANGLE] 5
()
5
,
0
)
ENTER .
Aparecerá en la pantalla:
 r5
Para obtener el argumento, pulsa:
2nd [ANGLE] 6 () 5 , 0 )
ENTER .
Aparece en la pantalla:
   180
Por tanto:  5  5180
Unidad 6. Números complejos.
3
EJEMPLO 3. Paso de forma polar a forma binómica
Expresa en forma binómica:
a) 3240
b) 5 6  rad
a) Si llamas x a la parte real del número complejo e y a la parte imaginaria, veamos
cómo se obtiene cada una de ellas:
Para obtener la parte real pulsa:
2nd [ANGLE] 7
3
,
2
4
0
)
ENTER .
)
ENTER .
Aparecerá en la pantalla:
 x  1,5
Para obtener la parte imaginaria, pulsa:
2nd [ANGLE] 8
3
,
2
4
0
Aparece en la pantalla:
 y  2,598
Por tanto: 3240  1,5  2,598i
b) Prepara la calculadora para trabajar en radianes, seleccionando la opción Radian en
MODE . (Pulsa MODE , sitúate en Radian con la tecla  y pulsa ENTER ).
Llama x a la parte real del número complejo e y a su parte imaginaria.
Para obtener la parte real, pulsa:
2nd [ANGLE] 7
5
,
2nd [] 
6
)
ENTER .
Aparecerá en la pantalla:
 x  4,33
Unidad 6. Números complejos.
4
Para obtener la parte imaginaria, pulsa:
2nd [ANGLE] 8
5
2nd [] 
,
6
)
ENTER .
Aparecerá en la pantalla:
 y  2,5
Por tanto: 5 6  4,33 2,5i
EJEMPLO 4. Raíces de una ecuación
Estudia, representando la parábola correspondiente, si las siguientes ecuaciones
van a tener soluciones reales o no reales:
a) 2 x 2  5 x  1  0
b) x 2  2 x  5  0
a) Representa gráficamente la función y  2 x 2  5x  1. Para ello, pulsa Y= (borra
las funciones que haya con CLEAR y muévete por la pantalla con  ,  ,  .
y  ).
Introduce la función escribiendo:
2 X, T, 

x2
5
X, T, 
+
1 .
Pulsa ZOOM 6 (esto hace que x e y tomen valores entre 10 y 10 con escala
1), y te aparecerá la gráfica de la parábola.
Verás que corta en dos puntos al eje X; por tanto, la ecuación tiene dos soluciones
reales.
b) Representa la función y  x 2  2x  5 . Para ello, pulsamos Y= , borra las funciones
que haya con CLEAR , y escribe:
X, T, 
x2

2
X, T, 
+
5 .
Pulsamos GRAPH y te aparecerá la gráfica de la función.
Observa que la parábola no corta al eje X, por tanto, las soluciones de la ecuación son
complejas no reales.
Unidad 6. Números complejos.
4
5
EJEMPLO 5. Introducir en la calculadora números complejos en forma binómica
y en forma polar
Para trabajar con números complejos hemos de pulsar la tecla MODE , bajar a la
penúltima línea y colocar el cursor sobre la opción a+bi (forma binómica) o re^i
(forma polar).
Podemos seleccionar cualquiera de los dos formatos. En los dos casos es posible
introducir números como a+bi, o bien como re^i, obteniendo los resultados en la forma
que tengamos seleccionada.
Forma binómica
Forma polar
a + bi
re ^ i




Parte
real
Parte
imaginaria
Módulo
Argumento
Además, tener seleccionado Radian o Degree implicará que los argumentos, , que
introduzcamos deberán estar en radianes o grados, respectivamente, y los resultados que
obtengamos también estarán expresados en esa unidad de ángulos.
Pulsando MODE y desplazando el cursor selecciona Degree y a+bi.
Pulsa 2nd [QUIT] CLEAR para situarte en la primera línea de la pantalla
principal.
a) Introducir el número complejo 1- 3i .
Teclea
1

2nd
3
)
2nd [i]
Pulsa MATH   para seleccionar cpx, y
Obtendrás el número en forma polar:
7
ENTER .
En la expresión 2e^(60i), 2 es el módulo y 60 = 300 es el argumento.
Vamos a obtener ahora el conjugado, el módulo y el argumento a partir de la forma
binómica.
Teclea:
MATH
 
1
1

2nd
3
)
2nd [i] ENTER .
MATH
 
5
1

2nd
3
)
2nd [i] ENTER .
MATH
 
4
1

2nd
3
)
2nd [i] ENTER .
Unidad 6. Números complejos.
6
Vemos en la pantalla:
b) Introducir el número complejo en forma polar 3120
El módulo del número es 3 y su argumento 120. Tendremos que introducirlo como
3e^(120i).
Teclea
2nd [ex] 1
3
Al pulsar ENTER
igual a 3120
2
0
2nd [i] ) .
aparece un número complejo en forma binómica que no es
EJEMPLO 6. Operaciones con números complejos
Efectúa las operaciones
2 

a) 6  3 5  i 
5 

b)
 3i 2 1  2i 
2  2i
Con la calculadora en modos Degree y a+bi, teclea
a) 6

3
(
5
+
(
2

5
)
2nd [i] )
ENTER .
El resultado de la operación en forma polar lo conseguimos tecleando:
2nd [ENTRY] MATH
 
7
ENTER .
El módulo es > r = 21,03... y para ver el argumento pulsamos  varias veces. Este
irá apareciendo a la derecha de la pantalla,  = 172,4...
Unidad 6. Números complejos.
7
b) (
+
() 3 2nd [i] ) x2 (
2 2nd [i] ) ENTER .
1

2

2nd [i] )
(
2
.
El resultado es 2.25+6.75i.
Si quieres ver las partes real e imaginaria en forma de fracción, pulsa MATH
ENTER :
Si ahora pulsas
polar.

MATH

7
1 .
ENTER , verás el resultado en forma
El módulo es r = 7,11..., y el argumento,  = 71,56...
Efectuar la operación
3
1 i
1 i
Averiguamos primero el valor del cociente tecleando:
(
1


2nd [i] )
(
1
+
2nd [i] )
ENTER .
 
ENTER .
Lo pasamos a forma polar pulsando:
MATH
 
7 .
Por tanto, hemos de hacer
Teclea MATH
4
3
190 .
2nd [ANS] MATH
7
La calculadora devuelve el resultado 1e^(30i), es decir, 130, que es una de las tres
raíces cúbicas de i.
Las otras dos las obtenemos sumándole al argumento  = 30 los ángulos
360
y
3
360
2 .
3
Obtenemos las tres raíces, que son:
Unidad 6. Números complejos.
8
130
190
1210
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Puedes realizar o comprobar los resultados de los ejercicios de la unidad. Por ejemplo,
de los números 3, 14, 18, 19 y 20.
Unidad 6. Números complejos.
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