PROCESOS DE MODELIZACIÓN EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA CHILENA. UNA PROPUESTA DE AULA QUE INCORPORA COMO EJE CENTRAL LA EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES. MARÍA ARAVENA D.; CARLOS CAAMAÑO E.; CARLOS CABEZAS M; GIMÉNEZ, JOAQUÍN.1 INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE. TALCA-CHILE. RESUMEN. La ponencia se enmarca en un Proyecto de tres años financiado por el Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico (FONDECYT N° 1030122), en ejecución. Se presenta una propuesta de trabajo que incorpora dos temas específicos que presentan dificultades en su enseñanza: las funciones en Tercer Año de Educación Secundaria y las Isometrías en Primer Año. Para el tratamiento de los temas se ha incorporado como central la modelización de situaciones y su evaluación de tal manera de verificar el progreso real de los estudiantes mediante la elaboración de pautas que incorporan los aspectos cognitivos, metacognitivos y de formación transversal necesarios para enfrentar un mundo en cambio permanente. Para el diseño de la propuesta de aula se ha realizado un estudio sobre: (1) Las deficiencias que existen en la educación media chilena, donde se coloca de manifiesto que en el aprendizaje de la matemática, se entrega una visión enciclopédica y artificial del conocimiento, que no comunica bien el saber científico, no ofrece un acercamiento auténtico al proceso investigativo y sólo da un acceso esquemático y restringido a una imagen no siempre contemporánea del mundo físico y humano. Dentro de los obstáculos se incorpora un estudio realizado por Aravena (2001), quien muestra que éstos son similares a los reportados por Clement, 1985; Janvier, 1981; Kerslak, 1977; Azcárate, 1995 y Cantoral, 1995. Asimismo, el estudio muestra que las prácticas evaluativas tampoco contribuyen a desarrollar capacidades de alto nivel, puesto que se basan sólo en pruebas escritas descontextualizadas donde se privilegia la memorización, los algoritmos y la parcelación del conocimiento, dejando de lado las aplicaciones en contextos auténticos. Se agrega además, un problema anexo que está relacionado con la diversidad de los estudiantes en la mayoría de los establecimientos deprimidos socioculturalmente. (2) La componente histórica-epistemológica que permitió tener en consideración una reconstrucción del conocimiento matemático apuntando a: que la introducción del concepto de función surga como una necesaria respuesta a problemas reales para su posterior análisis; los tipos de representaciones mediante el tránsito de una representación a otra; los obstáculos en la creación de los conceptos, en especial cuando se enseña a construir aparatos conceptuales nuevos (Filloy, 1989). En el diseño del trabajo geométrico se tuvo en consideración que en su enseñanza se debe incorporar: manifestaciones artísticas de nuestro entorno cultural, que lleven a la idea de transformación de forma natural e intuitiva; construcción de la idea de transformación, de tal manera de ver la necesidad de los aparatos conceptuales y los obstáculos en la evolución conceptual. (3) Modelos de enseñanza, donde hemos seleccionado y adecuado dos modelos: para el trabajo con funciones nos hemos enmarcado en las propuestas de Talyzina (1988), Jorba (1996), Leontiev (1993) y Davydov (1998), y en el trabajo con las isometrías en las propuestas de los VanHiele(1957), Jaime y Gutiérrez (1996), Alsina, Pérez y Ruiz (1989), Fortuny y Giménez (1998) y (4) Modelos de evaluación, en este aspecto hemos seguido las propuestas de Giménez (1997), Alsina (1998), William $ Ahmed (1997), Izard (1997). A partir de los estudios realizados, la secuencia de aula en bloques de trabajo incorpora: (1)Tema funciones: conexión matemática y ciencias, situaciones gráficas y de la vida cotidiana, interrelación con al geometría, modelización de situaciones de la realidad chilena de las ciencias y un trabajo matemático –computacional para afianzar los conceptos y procesos matemáticos (2) Tema de isometrías: Se consideró la jerarquización y secuencialidad de los niveles de Van-Hiele que da origen a la unidad estructurada de forma interdisciplinar que incorpora: El arte en la historia de la cultura chilena, donde se introducen los conceptos de traslación rotación y simetría y se formalizan los conceptos y procedimientos isométricos. El trabajo matemático culmina con construcciones de frisos y mosaicos y descubriendo las isometrías en las ciencias, donde se interrelacinan los conceptos isométricos con fenómenos naturales Finalmente se diseñó la organización global de aula donde se incorporan proyectos de trabajo como actividad de integración en ambos temas. 1 Giménez Joaquín. Catedrático de la Universidad de Barcelona. Colaborador Internacional. Proyecto de Incentivo a la Cooperación Internacional FONDECYT N° 7030099 FUNDAMENTACIÓN. La investigación aborda un problema vigente que está relacionado con las dificultades que presentan los estudiantes en el aprendizaje de la matemática en la enseñanza media chilena, especialmente en los establecimientos municipalizados. La bibliografía revisada da cuenta que una de las dificultades en la enseñanza de la matemática es la forma como se articula el contenido, donde se destaca una orientación de los problemas al ámbito puramente matemático, no se relaciona el contenido con otras áreas de la propia matemática, como también son escasas las aplicaciones hacia otras áreas del conocimiento. Se orienta preferentemente el trabajo en el aula a la ejercitación y el manejo de algoritmos con escasa vinculación con problemas del mundo real. Siendo consistente además con los sistemas tradicionales de evaluación imperantes en Chile, basados sólo en pruebas escritas que no contribuyen a desarrollar capacidades de alto nivel. Al mismo tiempo, la región del Maule- Talca, históricamente ha sido reconocida como una de las áreas geográficas con los rendimientos más deficitarios a nivel de mediciones nacionales de la calidad de la educación, apreciándose además, que estas diferencias son mayores en los establecimientos deprimidos socioculturalmente, donde se manifiesta más claramente la diversidad (Fuentes, Caamaño y otros, 1996). A partir de este reconocimiento, se aborda dos áreas deficientes en Chile, a partir de contenidos matemáticos específicos, para el desempeño matemático actual y futuro de los estudiantes de educación media: el álgebra y la geometría. Dentro del tema del álgebra el trabajo de funciones es tratado, en general, desde un punto de vista estrictamente matemático generando una serie de obstáculos y dificultades en la comprensión de los conceptos y procesos matemáticos (Aravena,2001) similares a investigaciones reportadas por Booth, (1988), Clement, (1985), Janvier (1981)), Arcavi (1995); Azcárate (1995) y Cantoral (1995). Respecto de los temas geométricos, tenemos una gran desventaja con respecto a otros países, tanto en la investigación, como en la práctica educativa. Esto es, a partir de los 60, surgió una nueva estratificación de saberes, privilegiándose el pensamientos abstracto por sobre las representaciones, se desplaza la aritmética, se separa el álgebra de la geometría y se dejan de lado las aplicaciones (Aravena, Caamaño, 2000 y Aravena, 2001). Esta desintegración tuvo como consecuencia que en la mayoría de los establecimientos no se enseñaran temas de geometría, y en los que este tema era tratado, sólo era visto desde un punto de vista eminentemente teórico, sin aplicaciones y alejado de la realidad del estudiante. Producto de la utilización de la matemática en el mundo actual, consideramos de vital importancia que exista una complementariedad del pensamiento algebraico con el geométrico y el analítico y una integración con las otras áreas del conocimiento (Gutiérrez, 1996), de tal manera que los estudiantes desarrollen esquemas de razonamientos cada vez más abstractos a partir de objetos matemáticos concretos. Pero para tener éxito, es de vital importancia el diseño de una sistemática de evaluación que regule los aprendizajes continuamente y que permita evaluar las capacidades desarrolladas mediante esta integración. Este énfasis de integración basado en lo algébrico – geométrico- analítico permite una mejor compresión de la matemática. La perspectiva histórica muestra que muchos problemas analíticos no resultaron claros hasta que fueron abordados por métodos algebraicos y en la actualidad existen problemas cuya solución obliga a resultados numéricos, siendo factibles después de la algebrización de dichos problemas. Además desde el punto de vista algébricogeométrico numerosas investigaciones acerca del aporte que hace la visualización y la intuición geométrica a la comprensión y tratamiento de los problemas matemáticos, confirman nuestro planteamiento (Caamaño, 2001; Giménez, 1998). De las investigaciones realizadas en Chile, no existen estudios que muestren como desarrollar un proceso de modelización en la educación secundaria, mediante el trabajo de proyectos, que incluya una propuesta integrada reguladora que contemple las características anteriormente descritas para tratar el contenido matemático. Esto es, en nuestro estudio nos interesamos por la formación matemática en estudiantes secundarios de manera integrada, donde se trabajen los contenidos con problemas concretos incorporando la modelización de situaciones y el trabajo de proyectos en grupo como integración del contenido, que enriquece el trabajo matemático de aula y permite el desarrollo de capacidades y habilidades matemáticas necesarias en un mundo cada vez más matematizado (William & Ahmes,1997); Niss,1996; Blomhoj, 2000; Giménez, 1998; Alsina, 1998, Abrantes,1994 y Aravena 2001). A partir de la situación descrita, la propuesta articula tres ámbitos: modelización, proyectos y evaluación que sitúa un trabajo de manera integrada en unos contenidos matemáticos específicos para su mejor aprendizaje, de tal manera que los estudiantes se apropien de los conceptos y objetos matemáticos como proceso de integración y construcción, contextualizada en un ambiente de resolución de problemas a través de la regulación continua de los aprendizajes (Giménez, 1997), donde la planificación del desarrollo de los contenidos contemple una enseñanza investigativa y cíclica (Dubinsky,1996)y unas bases para su enseñanza basado en la teoría de la actividad ( Talyzina,1988; Jorba,1996; Leontiev,1993 y Davydov,1998). ORGANIZACIÓN DE LA SECUENCIA DE TRABAJO DE MODELIZACIÓN. Hemos seleccionado problemas que ofrecen una visión integradora de ésta con las otras ciencias y de sus aplicaciones, de tal manera que permita a los estudiantes comprender los diferentes fenómenos sociales y desarrollar la capacidad crítica y el rol de la matemática en la sociedad. Incorporando actividades computacionales colocando el énfasis en la construcción y comparación de procedimientos y procesos rutinarios, de tal manera que el estudiante reconozca su utilidad y sus limitaciones. Hemos adecuando los problemas a la realidad educativa de nuestro país. En efecto, la búsqueda de nuestra identidad y la valoración de nuestro patrimonio histórico-cultural, ha sido incorporado con fuerza en la propuesta de isometrías puesto que nuestras culturas pasadas trabajaban en forma “intuitiva” numerosos aspectos de la geometría, y en particular de las isometrías. Mostramos en términos globales el diseño de la propuesta. TEMA DE FUNCIONES. (1)Contenidos. Para quienes se inician en un trabajo de modelización incorporamos contenidos claves que no estaban en el programa de estudio, tales como: interpolación lineal y cuadrática, ajuste de datos y aproximación, contenidos que han estado presentes en la historia de la matemática y de las ciencias desde los primeros rudimentos de la idea de modelo (Boyer, 1996), cuyo conocimiento es vital cuando se trabaja con problemas reales a través de la modelización de situaciones. Aún más, la idea de aproximación permite a los estudiantes comprender que “incluso las ciencias más precisas funcionan normalmente con aproximaciones” (De Guzmán, 1998) y, que cuando se modela un fenómeno del mundo real estamos representando una simplificación de la realidad, aislando ciertas variables y considerando sólo ciertos aspectos del problema y que muchos modelos matemáticos no pueden resolverse con exactitud, donde la única alternativa consiste en buscar una aproximación a la solución exacta. Por ello, hemos tenido en consideración una reconstrucción del conocimiento matemático que considere: que la introducción del concepto de función surja como una necesaria respuesta a problemas reales para su posterior análisis y los obstáculos en la creación de los conceptos. (2) Los tipos de representaciones. Nos hemos basado en los estudios históricos e investigaciones, que muestran que la búsqueda de formas de representación para analizar un fenómeno ha sido una constante en la historia y que tales representaciones, ponen en funcionamiento diferentes procesos cognitivos (Janvier, 1987; Font, 2001). El paso de una representación a otra se ha organizado de tal manera que el estudiante pueda ampliar y reorganizar la información que está implícita en una de las formas de representación y, para deducir, generalizar y afianzar conceptos, se utilice software matemático simplificando algunas de las posibles traducciones entre las representaciones. La tabla que se presenta organiza las traducciones entre las diferentes formas de representación, agregando nuevas componentes a observar en el trabajo matemático que las utilizadas por Janvier (1987) y las modificadas por Font (2000). (3) Modelo de enseñanza para el contenido. Uno de los motivos de la evaluación, es el control de consecución de los objetivos de aprendizaje. Por ello, la elección del modelo de enseñanza juega un papel crucial en la regulación y autorregulación de los aprendizajes. Las características de este tipo de trabajo, requiere que el estudiante sea capaz de utilizar el conocimiento disponible en situaciones nuevas, regulando sus propios procesos de razonamiento y elaborando su propia manera de ser..Para ello, se seleccionó y modificó el Modelo de Jorba (1996), que regula los aprendizajes en ciclos y fases. El ciclo contiene: la regulación y autorregulación y las fases de aprendizaje: exploración del problema; introducción de conceptos y procedimientos; estructuración y aplicación. FASES: Modelo de Jorba para regulación y análisis del trabajo matemático de aula y proyectos. Modificado. Abstracto INTRODUCCIÓN DE CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Reconocimiento lenguaje matemático y conceptos involucrados y procedimientos. Construcción del conocimiento FAMILIARIZACIÓN CON EL CONTENIDO Matematización. Conceptualización. Comunicación. Resultados del proceso. EXPLORACIÓN Concreto Simple PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN REAL y recococimiento de la información , organización, interpretación y planificación de la información del problema (datos- tablasgráficos- ejes) Tercera fase. Elementos que deben notarse. ESTRUCTURACIÓN APLICACIÓN CONCLUSIONESINTERPRETACIÓN GENERALIZACIÓNCONSISTENCIA, UTILIDAD- PROYECCIÓN. Matematización Simbolización, destrezas específicas y las habilidades observables a través de sus explicaciones orales o escritas. (1)Operatoria algebraica, colocar las ecuaciones matemáticas en juego, . (2)ajuste como aproximación para la situación, destrezas específicas. (3) Cálculos matemáticos correctos, aproximación de los datos. Representación gráfica correcta de los datos. Evaluación de alguno de los datos en el modelo descrito. Interpretación realidad Modelo de Jorba(1996) modificado complejo Tercera fase del modelo (4) Los tipos de situaciones permiten una visión integradora de los aspectos teóricos y funcionales de la matemática. Éstas conectan la matemática con la vida real, con las ciencias, con el arte y con la propia matemática. Se establece así una clasificación que interrelaciona lo algébrico-geométrico-analítico. La visualización geométrica ha sido considerada como un paso necesario para la formalización analítica presentando situaciones en las cuales hay que construir la función a partir de elementos geométricos como recurso para introducir y visualizar los conceptos de crecimiento y decrecimiento y a la vez los fundamentos de optimización. El ejemplo muestra una situación de la región. (5) La regulación continua de los aprendizajes. Iniciamos las actividades seleccionando los conceptos a través de problemas donde el trabajo de los estudiantes se manifieste a partir de la intuición y la exploración (fase 1), donde la deducción empiece a ocupar un lugar central, pero que se fundamente en la argumentación que faciliten la construcción del conocimiento de los alumnos (fase 2). El reconocimiento de situaciones de modelaje y el trabajo matemático incorpora los contenidos procedimentales tales como la matematización y conceptualización, de tal manera de estructurar los conceptos y procedimientos y la sistematización de ellos (fase 3). La aplicación de conceptos a situaciones similares o en contextos de aplicación le permite familiarizarse con el contenido, reconocer las posibilidades que ofrece, interpretar la realidad, saber utilizar el nuevo aprendizaje, reconocer su utilidad y establecer proyecciones ( fase 4). Se presenta un ejemplo que coloca de manifiesto los contenidos cognitivos conceptuales, procedimentales, metacognitivos y de formación transversal considerados para la regulación del trabajo de aula. TEMA ISOMETRÍAS. (1) Contenidos. En el tratamiento del contenido hemos seguido las propuestas de Fortuny y Giménez (1998), relacionando los valores culturales, sociales y antropológicos del uso y la concepción de la forma en la sociedad, permitiendo una conexión interdisciplinar, esto es, con la geografía, el arte y la ciencia en general. Hemos adecuado los problemas a la realidad educativa de nuestro país, valorando nuestro patrimonio cultural. Al respecto, la valoración de nuestro patrimonio es esencial en un mundo globalizado, especialmente por la sobrevaloración que existe de patrones culturales ajenos a las realidades socioculturales de nuestra región (Thomas, 2000). En efecto, la búsqueda de nuestra identidad y la valoración de nuestro patrimonio lo hemos incorporado con fuerza en nuestra propuesta. La geometría en general y en particular las isometrías por su presencia en la naturaleza y contextos culturales y científicos, proveen de un ambiente adecuado por excelencia para introducir a los estudiantes en la enseñanza de la geometría. A continuación mostramos dos actividades de clase donde se observa la riqueza de figuras en el diseño prehispánico y en la cultura Diaguita del Norte de Chile. ¿Se repite este modulo? Textil prehispánico . Periodo intermedio tardío (1000 dC-1400dC).Bolsa faja con decoración zoomorfa, usada para cenír la camisa..Costa de Arica. ¿Qué otra figura se repite en el tapiz? Problema 4 Textil prehispánico Isometrías en la cultura Diaguita. Norte de Chile (2) Modelo pedagógico de los Van- Hiele. En la descripción de los procesos de razonamiento, identificamos una secuencia de tipos de razonamiento y en las fases de aprendizaje hemos organizado la propuesta de tal manera ayudar a los estudiantes a alcanzar con facilidad un nivel superior. Esto permite que los estudiantes pueden recorrer progresivamente esta fascinante teoría consiguiendo, en consecuencia, una relación más cercana con la matemática, su lenguaje y sus métodos. Por el carácter gráfico del quehacer geométrico y para facilitar la visualización de los objetos de estudio, incorporamos en algunas actividades el uso de software que simulan movimientos en el plano y permiten la manipulación por parte de los estudiantes con el objeto de buscar regularidades de la dinámica de transformaciones y procurar generalizaciones. Mostramos un ejemplo de una matriz para el caso de las traslaciones y la foto de una mujer mapuche donde se observa la presencia de las isometrías en el collar de plata. (3)La regulación de los aprendizajes. Identificamos un proceso de regulación de lo que el alumno aprenderá desde una perspectiva de evaluación continua. Para ello, iniciamos las actividades explorando elementos de nuestra cultura a partir de la intuición que faciliten posteriormente la construcción del conocimiento geométrico. IMPLICACIÓNES DIDÁCTICAS. La organización permite: 1. Formar a los estudiantes para una participación activa en el ámbito social y cultural. Esto responde a la necesidad actual de comprender los diferentes fenómenos sociales y para ello se debe desarrollar una visión integrada de las matemáticas que les permita a los estudiantes comprender y valorar la utilidad de los conceptos y procesos en un mundo cada vez más matematizado (Niss, 1989). Las matemáticas configuran un código lingüístico que permite expresar ideas de un contexto social. En este marco de comunicación la propuesta entrega los elementos matemáticos para que los alumnos accedan a la información y adquieran elementos de juicio para opinar críticamente sobre los acontecimientos que se exponen. 2. Formación matemática para entender los fenómenos científicos. Responde a la necesidad de comprender la importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico, evitando la descontextualización con las otras áreas del conocimiento. La propuesta ofrece la posibilidad de vincular la matemática con las ciencias y permite que el estudiante de significado a los conceptos y métodos matemáticos apreciando la aplicabilidad de los conceptos, la utilidad de las representaciones gráficas y geométricas de los fenómenos y de la manipulación algebraica en la descripción matemática del fenómeno en estudio (Aravena, 2001). 3. Una formación matemática para un conocimiento personal y grupal Necesitamos formar a los estudiantes como agentes del desarrollo, que puedan contribuir no sólo a solucionar problemas, sino a plantear nuevos problemas. La discusión que genera este tipo de problemas es un medio potente para la autorregulación del conocimiento y para desarrollar una actitud positiva hacia la matemática. La propuesta potencia el desarrollo de la autonomía basada en la reflexión de la propia experiencia (Abrantes, 1994) y aporta los elementos necesarios para el desarrollo interpersonal e intrapersonal en la formación matemática de los estudiantes (Aravena, 2001). BIBLIOGRAFÍA. ABRANTES, P. (1994). Teses "O Trabalho de Projecto e a Relaçao dos Alunos com a Matemática a experiência do Projecto" MAT789.Lisboa. ALSINA, C.; PÉREZ, R; RUIZ, C. (1989): Simetría dinámica Editorial Síntesis. Madrid España. ALSINA, C.(1998). Neither a microscope nor telescope, just a mathscope, Proceed. ICTMA-1997. ARAVENA. D. .M., CAAMAÑO, E. C.(2000) “Análisis Epistemológico de los problemas presentados en los textos de álgebra usados en la enseñanza universitaria a partir de 1980. En Libro resúmenes. 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