La evaluación de los aprendizajes y la

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Prácticas y teorías en evaluación de los aprendizajes en matemática1
1. Introducción
En esta clase nos proponemos mostrar la distancia entre las prácticas y las teorías en la
evaluación de los aprendizajes en matemática, y reflexionar acerca de las posibilidades
de acortarla.
Para ello, comenzaremos describiendo las prácticas evaluativas tal como las describe De
Ketele (1998), y en particular las de matemática a partir de Goñi (1997), Rico (1997) y
nuestras observaciones en un trabajo con docentes realizado en la Dirección de
Investigaciones del Ministerio de Educación de la Ciudad de Buenos Aires (1998).
Luego señalaremos algunos rasgos de la evaluación aportados por especialistas que han
buscado respuesta a algunas de las diferentes problemáticas que la evaluación colleva;
para mostrar después cómo algunos de esos rasgos son tomados por diversos
investigadores en Didáctica de la Matemática.
Finalmente, presentaremos algunas reflexiones sobre la posibilidad de modificar las
prácticas de evaluación en matemática, que se originaron en el trabajo realizado con los
docentes ya mencionado.
2. Las prácticas evaluativas
Actualmente, en las prácticas, la evaluación de los aprendizajes en matemática comparte
con la evaluación en otras disciplinas algunas características que la desvían del lugar
que la evaluación debería tener en los procesos de enseñanza y de aprendizaje, como
toma de información para el mejoramiento. Vemos por qué.
De Ketele, en su trabajo sobre paradigmas de la evaluación, plantea que las prácticas
que queremos describir están originadas en el paradigma de la intuición pragmática, que
funciona en la mayoría de las prácticas de evaluación “a pesar de los numerosos
trabajos que las desestimaron y a pesar de que en la formación de los docentes se ha
intentado reemplazarlas por otras prácticas”.
En este paradigma, “el evaluador no pretende objetivizar su práctica ni analizarla”,
confía en su experticia. El docente “no considera necesario definir con precisión sus
objetivos, ni el universo de referencia de las situaciones posibles de evaluación, ni los
criterios a considerar”. El acto de evaluación está altamente determinado por el
contexto, y la nota - que en general es la suma de un conjunto de informaciones
recogidas en forma ocasional e intuitiva - aparece como la imagen visible de las
prácticas.
En cuanto a las funciones de la evaluación, De Ketele, apoyándose en trabajos de
Perrenoud, considera que aunque la certificación es una muy importante, la función
primordial es la gestión social de la clase, lo que hace que la evaluación imprima una
fuerte marca tanto en el proceso de enseñanza como en el de aprendizaje.
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La distancia entre las prácticas y las teorías en la evaluación de los aprendizajes en
matemática. Graciela Chemello 2000.
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Plantea que, en este paradigma, se suele:
 asociar la evaluación sólo con la certificación. Para evaluar, se usa como
instrumento privilegiado la prueba escrita que valora aprendizajes que recuperan
información conceptual o el uso de procedimientos algoritmizados, y una
apreciación global fuertemente subjetiva del “trabajos realizado en clase”,
apreciación que en muchas ocasiones está más basada en el cumplimiento y forma
de presentación que en la calidad de los trabajos (Litwin, 1993, p.15).
 utilizar criterios de evaluación no explicitados. Los criterios, en algunos casos no
están relacionados con la valoración de las pruebas administradas. Tal es el caso de
la influencia que tiene en la nota, algunos factores que inciden en la gestión
institucional, como la imagen que quiere dar el profesor sobre su “nivel de
exigencia”, o las expectativas que tienen los docentes de los estudiantes, lo que se
muestra en el hecho de que diferentes grupos de alumnos de un mismo profesor,
obtengan calificaciones con una distribución similar.
 modificar los criterios y las valoraciones. Una misma prueba del mismo alumno
puede ser calificada con criterios y notas diferentes si se corrige en momentos
diferentes, pues la nota funciona como motivadora y sancionadora del aprendizaje.
(gestión de la clase)
La desviación del funcionamiento de la evaluación en el proceso de enseñanza, es
considerada por Díaz Barriga como patológica. Él señala: “muchas prácticas se fueron
transformando en función de la evaluación” (Díaz Barriga citado en Ltwin 1993)
2.1. Las prácticas evaluativas en matemática
Esta patología adquiere una fuerza particular en la enseñanza de la matemática, por el
poder de selección de los alumnos que tradicionalmente se le ha adjudicado a esta
disciplina. Respecto de la función de selección de los alumnos, Rico señala que “... se
ha considerado (tradicionalmente) que las pruebas de evaluación en matemáticas
garantizan la objetividad de los juicios emitidos, se le ha asignado a la materia y a sus
profesores dos rasgos destacables: respetabilidad y poder de decisión”. Y continúa
diciendo que por este motivo la evaluación en matemáticas se ha considerado adecuada
para satisfacer determinadas funciones relativas a: “la promoción a lo largo del sistema,
la selección de minorías cualificadas, la clasificación de los estudiantes según su
desarrollo intelectual, y la valoración de su inteligencia”.
En trabajos y reuniones recientes se ha discutido que haya posibilidad de modificar la
enseñanza de la matemática si no se modifica su papel respecto de estas funciones. Goñi
(1997) señala al respecto que una innovación curricular que acepta las teorías cognitivo
- constructivistas no puede seguir sustentando el modelo de evaluación positivista tecnológico. Rico menciona que ya en el Simposio de Valencia de profesores de
matemáticas (1987), se reflexionó en los siguientes términos sobre la función de las
matemáticas en el sistema escolar: “La formalización, jerarquización, y escisión de las
matemáticas encaja bien con las funciones de la evaluación en el sistema escolar: al
separar a los alumnos reproduce la separación social; al legitimar la diferenciación
legitima las jerarquías sociales además los distintos estatutos de la matemática, pura y
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aplicada, permiten cualificar de forma diferentes la fuerza de trabajo por regla general
mediante el establecimiento de dos currículos diferentes”.
Por otro lado, entre las conclusiones del Seminario Internacional sobre la evaluación en
matemática realizado en Granada en 1990 (ICMI) se afirmó la desigualdad y la tensión
crecientes que se dan entre la enseñanza contemporánea de las matemáticas y las
prácticas de evaluación tradicionales.
Cuando Goñi se refiere al modelo de evaluación positivista – tecnológico que se debiera
superar, se refiere a prácticas que conviven en alguna medida con las que asociamos al
paradigma de la intuición pragmática presentado. El modelo de evaluación positivista –
tecnológico combina, algunas de los rasgos de tres de los paradigmas propuestos por De
Ketele, el docimológico, el de la evaluación centrada en objetivos y el de la pedagogía
de los dominios del conocimiento.
*Del paradigma docimológico toma la evaluación como medición, y como
comparación entre lo que el alumno sabe y el saber acabado expresado en el programa.
O en términos de Chevallard, el control del aprendizaje como las diferencias y los
“agujeros” entre el texto del saber presentado por el docente y lo producido por el
alumno. Para realizar esta medición, es necesario asegurar fidelidad o confiabilidad de
los exámenes, lo que pareciera que en matemáticas está más garantizado que en otras
disciplinas. Para los que no son profesores de matemáticas, porque la conciben como
una disciplina con resultados siempre “exactos”, procedimientos “canónicos” como los
únicos válidos, y soluciones “únicas”, lo que permitiría realizar apreciaciones justas, y
por lo tanto mediciones confiables. Para los profesores de matemática, la confiabilidad
se garantiza presentando una matemática escolar que se atiene a las características
mencionadas, permitiendo así el control exigido en el sistema de enseñanza. El costo de
este enfoque de trabajo para los profesores es el ocultamiento de las características
esenciales de la actividad matemática, la pérdida de la fase heurística en la actividad de
la clase. Lo que algunos profesores podrían considerar como ganancia es justamente el
dudoso privilegio de ser quienes detentan - al menos en parte - el poder de selección.
*Del paradigma de la evaluación centrada en objetivos, toma la comparación
entre los objetivos prefijados, expresados como conductas parciales y categorizados y la
performance alcanzada, es decir, la comparación entre los logros parciales esperados de
los alumnos y los resultados. Al hacer una partición y categorización de los objetivos y
asociarlos a conductas parciales recortadas de otras expresadas en forma global, se
presupone que el todo es igual a la suma de las partes y por lo tanto que el logro de esas
conductas parciales asegura también el logro de la conducta global. Esta fragmentación
de objetivos y conductas se traduce en la enseñanza en la forma de presentación del
saber al alumno. Se traduce en la fragmentación del saber a enseñar y en la
simplificación de la tarea propuesta al alumno, con una reducción de la complejidad y a
la vez una pérdida del sentido de la tarea.
*Del paradigma de los dominios del conocimiento toma la hipótesis de que los
aprendizajes logrados por un alumno están en función del tiempo, por lo que diferentes
alumnos necesitarían diferentes tiempos de trabajo con un mismo contenido, ya que
todos deberían llegar al mismo resultado. Esto llevaría a la necesidad de diferenciar e
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implementar evaluaciones en tres momentos: antes, durante y después de la realización
de un conjunto de actividades de aprendizaje. Sería necesario precisar los resultados
esperados del conjunto de actividades de aprendizaje para elaborar la evaluación
posterior al conjunto de actividades, establecer sus prerrequisitos y evaluar a los
alumnos en función de ellos para poder prepararlos para entrar en esas actividades. Por
otra parte, a toda dificultad de aprendizaje se le asigna como solución un mayor tiempo
de práctica y ejercitación.
En un trabajo compartido con la Profesora Ana María Bressan, realizado con docentes
de 7mo. grado y 1er. año en escuelas públicas de MCBA, nos preguntamos acerca de la
relación entre las formas de evaluar y las formas de enseñar. Encontramos allí que las
prácticas evaluativas tienen características comunes con las que hemos descripto.
Nuestras observaciones sobre los trabajos de los docentes nos llevó al siguiente análisis
(1998):
“Si se analiza lo que acontece en las horas de matemática en las escuelas (sin dejar de
reconocer la existencia de prácticas más innovadoras) en base a los modelos de
evaluación (datos) obtenidos se encuentra que:
- la evaluación se utiliza en general con criterio sumativo, en orden a poner una
calificación al alumno (acreditación).
- habitualmente, las evaluaciones tienden a medir lo que el alumno sabe acerca
de temas “ya enseñados” por el docente, centrándose primordialmente en la
evaluación de hechos aislados, destrezas, habilidades de cálculo y manipulación
de símbolos, conductas cognitivas pertenecientes a los niveles de computación,
comprensión o aplicación (Wilson, 1975).
- en el nivel medio, la evaluación adopta formas estereotipadas: pruebas
escritas con ejercicios y problemas de aplicación al finalizar cada unidad de
enseñanza.
- en la escuela primaria la evaluación sumativa queda relegada para las
pruebas cuatrimestrales o de fin de año, hablándose más de “evaluación
continua” en el aula, pero sin rigor y sistematicidad alguna y que se manifiesta
en una valoración conceptual.
- las evaluaciones pertenecen al ámbito del aula, resultan formas de control de
los alumnos y no están pensadas como de interés para la institución, ni para los
padres.
- la evaluación para los alumnos es la forma de "sacarse una nota", y la manera
legítima que tiene el docente de calificarlos”.
3. Las propuestas teóricas
El interés por superar las prácticas a las que nos hemos referido, ha originado numerosos
trabajos de investigación y reflexiones teóricas, de los que se pueden extraer algunos
criterios para orientar las propuestas de cambio. Estos criterios los tomamos del análisis
de paradigmas de De Ketele, de Allal (1979) y del trabajo de Camilloni en el que
caracteriza los programas e instrumentos de evaluación.
Del paradigma de la evaluación formativa en la enseñanza diferenciada, tomamos:
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
La consideración del error como parte constitutiva del proceso de aprendizaje, y
por lo tanto la consideración de las siguientes etapas en la evaluación: recolección e
interpretación de la información, y la adaptación de las actividades de enseñanza.
Estas etapas estarán orientadas por un marco conceptual “para precisar qué
aspectos observar, cómo recoger la información, que principios usar en la
interpretación, y qué pasos seguir en la adaptación” (Allal)

La necesidad de diferenciar la intervención docente según las diferencias entre los
alumnos, como una forma de discriminación positiva que contrarreste: los procesos
de reproducción social (Bourdieu – Passeron), de legitimación de la desigualdad en
la escuela (Baudelot – Establet), y de fabricación de excelencia escolar cuando se
evalúa a los alumnos sin diferenciarlos (Perrenoud), todos planteados en el
paradigma sociológico. Para ello, “la evaluación formativa debe garantizar los
medios de formación que correspondan a las características de los alumnos”

La consideración de una función de regulación de la evaluación, para “asegurar la
articulación entre las características de las personas en formación y las del sistema
de formación” (Allal, 1979) y la distinción entre regulación retroactiva (control de lo
aprendido para programar actividades de recuperación), regulación interactiva
(seguimiento individualizado durante el proceso de enseñanza) y regulación
proactiva (recoger e interpretar información para preparar una nueva secuencia de
trabajo)
Del paradigma de la evaluación centrada en la pedagogía de la integración tomamos:

La pretensión de apartarse de la medición de la distancia con objetivos prefijados
para centrarse en la “toma de decisiones adecuadas”, aplicando el modelo de
Stufflebean a la evaluación escolar (evaluar para actuar mejor, según el modelo
Context, Input, Processus, Product).

La consideración de criterios de “validez (criterio presente como preocupación
central en el paradigma docimológico), pertinencia y confiabilidad en la
información recogida para considerar su grado de adecuación con objetivos fijados
al comienzo o ajustados en el camino, para fundamentar la toma de una decisión”.

La lucha contra el fraccionamiento practicada en el marco escolar (la
desincretización del saber, Chevallard). La pedagogía de la integración sostiene que
la comprensión y el saber utilizar lo aprendido sólo se puede ver si se mira en un
contexto donde no baste yuxtaponer lo adquirido sino que será necesario hacer
elecciones y nuevos ensambles con conocimientos anteriores. Para ello habrá que
presentar en las evaluaciones “situaciones de integración, es decir situaciones
complejas que permitan poner en juego los aprendizajes anteriores más
significativos, y que se encuentren lo más próximas posible a situaciones naturales
con las que se encontrarán los alumnos más tarde”
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Desde la perspectiva de análisis de la evaluación de los aprendizajes, la de proponer
orientaciones para elaborar programas de evaluación constituidos por instrumentos
adecuados, Camilloni recupera, a nuestro juicio, algunos rasgos coincidentes con los que
hemos destacado. Tomamos algunos párrafos que lo muestran (la negrita es nuestra):
Sobre la consideración de una teoría del aprendizaje y las etapas
“Para que haya una evaluación con sentido es indispensable que existan criterios que
permitan construir juicios de valor acerca de lo que la información recogida significa
en términos de aprendizaje de los alumnos. La primera operación consiste en recoger
información. La segunda en analizarla e interpretarla”. (p. 69)
Sobre la función de regulación y la consistencia con la enseñanza
“Los programas de evaluación han de ser consistentes con los proyectos de enseñanza
y de aprendizaje de una institución, pues entonces se pueden convertir en juicios de
autoevaluación”. (p. 68)
“La evaluación es un recurso indispensable para el perfeccionamiento de dos procesos:
el de enseñanza y el de aprendizaje”. (p.71)
Sobre la pedagogía de la integración y las situaciones complejas
“Cuando se opta por concepciones de enseñanza en las que se manifiesta nuestro
respeto por la capacidad de producción personal del alumno, los instrumentos de
evaluación deberán ser coherentes con esa postura”. (p.71)
Sobre el tipo y calidad de los instrumentos
“La evaluación tiene un estado inicial que puede construirse a partir de dos tipos de
operación: recoger datos a través de la observación … o algún otro medio no
diferenciado del proceso de enseñanza volcados en la elaboración de registros y, la
otra, ... obtener datos en situaciones especialmente diseñadas para recoger información
relevante indicadora del estado de situación de los aprendizajes ...” (p. 69)
“La evaluación de los aprendizajes se realiza sobre la base de un programa que, al
servicio de la enseñanza y el aprendizaje, está constituido por un conjunto de
instrumentos de evaluación. (p. 67)
“La calidad de un programa está sujeta ... a su capacidad para evaluar justa y
equitativamente a grupos numerosos de alumnos diferentes”. (p. 68) “Ante las dos
maneras de construir juicios de valor –subjetiva y objetiva- , es posible que, por la
naturaleza misma de los actos pedagógicos, ... se requiera poner en juego ambas
modalidades buscando el modo de articularlas”. (p.70)
“Las características que deben reunir los instrumentos de evaluación son cuatro:
validez, confiabilidad, practicidad y utilidad”.(p.76)
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Planteados estos rasgos como marco general es posible decir que la evaluación oscila
entre el deseo de medir a cualquier precio y la voluntad de explicar, de dar sentido a las
observaciones que permite hacer (Bodin 1997 citado en Crippa 2000)
Para entrar en la mirada teórica de la evaluación de los aprendizajes en matemática,
veremos en el próximo apartado que, aunque son pocos los trabajos ligados a la
evaluación en el campo de la Didáctica de la Matemática, la mayoría están guiados por
tratar de comprender los procesos para ayudar al alumno, por lo que se refieren al papel
asignado al error en el aprendizaje, cuestión que se articula con la organización de la remediación, y la reorientación de la enseñanza.
No queremos dejar de señalar que, aunque no la tomaremos en el próximo apartado, la
problemática de la medición tiene sumo interés, pues la certificación no se puede
suprimir en el sistema didáctico, y se debería procurar que la matemática dejara el lugar
de selección que actualmente tiene. Su análisis implicaría revisar, entre otros temas: la
posibilidad de medir lo aprendido, qué conjunto de instrumentos se puede diseñar para
ello, cómo hacer para que los instrumentos reúnan las características de ser válidos y
confiables, qué tipo de aprendizajes evaluar y por lo tanto qué tarea se le pedirá al
alumno, cómo construir los ítemes de una prueba sin deficiencias técnicas, o qué datos
es valioso consignar si se trata de registros, con qué criterios se evaluará la información
obtenida, qué escalas de calificación utilizar, cómo construir los referentes, qué uso
hacer de los resultados, quiénes deberían elaborarla.
4. La mirada de la Didáctica de la Matemática
Los problemas didácticos de la evaluación del saber matemático, son un campo de
estudio ineludible para la Didáctica de la Matemática. También los investigadores de
este campo consideran que la evaluación es uno de los procesos determinantes del
proceso didáctico, que regula tanto el comportamiento de los profesores como los
aprendizajes de los alumnos.
Señalan que las acciones dirigidas a la evaluación en el nivel del sistema (programas de
estudio, dispositivos de enseñanza, etc.) tienen efecto a nivel de los profesores y la
constitución de su contrato didáctico, entendiendo por contrato didáctico las condiciones
o reglas recíprocas de la relación maestro-alumno concernientes a tareas determinadas.
Ese efecto, se manifiesta en la evaluación cotidiana, en la elaboración de pruebas, en la
corrección y puesta de notas, y aún en la planificación, condicionando la naturaleza e
interpretación de la información relevante. (Chevallard y Feldman, 1986, citados por
Bodin)
Por otra parte, la evaluación integrada a las situaciones de aprendizaje, entendida como
la mirada valorativa y reflexiva sobre las actividades realizadas por los alumnos en
relación con el saber, se encuentra totalmente integrada al contrato y no se puede pensar
de manera independiente de la enseñanza. “En el marco de la clase, no es posible
concebir la enseñanza y la evaluación como acciones separadas”. (Bodin, 1997). Nos
centraremos en lo que sigue en la evaluación de los saberes en el marco de la clase.
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Encontramos en los trabajos de Vergnaud (1981), referencias respecto de qué tipo de
actividades permiten evaluar los saberes de los alumnos, pues señaló el rol fundamental
de la acción en situación como “la fuente y criterio de adquisición del pensamiento
conceptual”. Es decir que la resolución de problemas es a la vez la ocasión de construir
conocimientos y el criterio para reconocer el dominio del saber, por lo que el alumno
deberá ser confrontado a problemas tanto para adquirir y profundizar sus conocimientos
como para controlar su existencia o su desarrollo. (situaciones complejas, pedagogía
de la integración).
Además, un aspecto largamente utilizado y desarrollado por Brousseau (1976) bajo el
nombre de “dialéctica de la validación”, y retomado por Margolinas, es el que analiza un
momento de la actividad matemática en el desarrollo de la clase. Se trata de la “fase de
conclusión” que puede incluir la evaluación por parte del docente, o la verificación por
parte del alumno de la respuesta obtenida a la pregunta planteada, si la situación tiene un
desarrollo a-didáctico (1993). Esta fase tendrá lugar como parte de la clase si, dentro de
las actividades propuestas al alumno, se pide que verifiquen los resultados obtenidos y
tengan que pronunciarse sobre el valor de los procedimientos utilizados. Esta
verificación, que forma parte de la actividad normal del matemático como utilizador de
las matemáticas, debería ser incluida en la clase de modo de lograr que el alumno
domine estas competencias. En este sentido, una parte de la evaluación es interna al
alumno y puede ser retomada para su explicitación en la puesta en común de modo de
avanzar en la toma de conciencia de los saberes elaborados. (evaluación del propio
aprendizaje)
Se parte de una concepción de enseñanza según la cual el docente debería proponer a
sus alumnos actividades con distintas finalidades en el curso de los aprendizajes. Dichas
actividades deben estar orientadas a:
*realizar un estudio del estado de los conocimientos de los alumnos respecto de
los que se desean enseñar, es decir, recoger información respecto de cuáles son las
representaciones a las cuáles los alumnos recurren, los procedimientos, las reglas, las
imágenes que movilizan para dar sentido a la cuestión que se les propone, con el fin de
organizar una secuencia de enseñanza que tome en cuenta lo que ya conocen, y también
lo que no conocen.
*presentar problemas para aprender, es decir problemas que impliquen un
defasaje entre lo que el alumno sabe y las exigencias de la nueva tarea, que le obliguen a
buscar nuevos procedimientos, a modificar sus representaciones, a buscar nuevas formas
de comunicación, a iniciar la construcción de nuevos conceptos. Estos problemas
además de diferentes puntos de entrada, debieran permitir diferentes recorridos, es decir
que los alumnos utilicen diferentes procedimientos, representaciones y formas de
validación para su resolución.
*presentar problemas para la consolidación de los aprendizajes, proponiendo
actividades en las que deban utilizar las herramientas recién construidas. Estos
problemas permitirán la reinversión de los conocimientos en diferentes contextos y con
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variación de las tareas que debe afrontar el alumno, y eventualmente la familiarización
con los mismos para hacer mejor y más rápido lo aprendido.
*realizar el control de los aprendizajes, mediante actividades que evidencien el
grado de dominio adquirido sobre los conocimientos en cuestión, lo que permitirá
organizar tareas de ampliación y profundización de los aprendizajes para unos, y nuevas
tareas para aprender para otros.
Para cada actividad además, habrá que tener en cuenta con qué contrato didáctico está
ligada.
En todas las actividades planteadas, se recoge información sobre el desempeño de los
alumnos en la clase, lo que permite conocer la diversidad de sus saberes y en
consecuencia tomar decisiones sobre la enseñanza. Es decir que a partir de constatar el
estado y el progreso de los saberes y saber hacer que pueden poner en juego los alumnos
en las actividades matemáticas, se puede decidir qué estrategias de enseñanza emplear
para que continúen su proceso de aprendizaje (Bressan, 1997). De esta forma la
evaluación, juega una función de regulación de la enseñanza.
4.1. El registro, análisis e interpretación de los errores
Hemos visto que uno de los rasgos de la evaluación formativa en la enseñanza
diferenciada, es proponer tres etapas de tratamiento de los errores. Al recoger
información sobre el estado de los saberes, puede ocurrir que los alumnos no den
respuestas adecuadas, es decir, que se detecten y se registren errores. En este caso, el
docente deberá analizar su sistematicidad, e investigar sus causas. Sólo después de ello,
buscará la forma de remediar esos errores. Esta tarea no es posible más que por la vía de
una “mirada evaluativa reflexiva”, que revela particularmente los errores significativos.
(Chemello, 1997)
El registro de errores puede darse en el transcurso de actividades con cualquiera de los
propósitos mencionados anteriormente y en modalidades bien diversas: producciones
escritas, interrogatorios orales, observación del alumno en su intercambio con otros, etc.
A esa primera etapa de registro, le seguirá el análisis de su significatividad. Los errores
considerados significativos son aquellos que se repiten, están bien instalados en el
alumno, y están ligados a otros errores con los cuales constituye una trama.
Al comenzar el análisis, en primer lugar, excepto con errores que son evidentes (por
ejemplo, 3,4 + 2,9 = 5,13) siempre es necesario asegurarse que se trata de un error, y no
de otros procedimientos de resolución válidos, alternativos a los más utilizados por los
alumnos y conocidos por el docente. En este sentido, es importante tratar de “entrar” en
el modo en que ha pensado el alumno y, eventualmente, consultar con un colega.
Además, es necesario tener en cuenta si el error se ha producido por cuestiones como la
falta de claridad de las consignas (realizan otra tarea porque la consigna da para la
interpretación que el alumno realiza), la limitación en el tiempo de trabajo (la
evaluación es larga para el tiempo disponible), la realización de la tarea en horarios en
que el alumno está cansado (por ejemplo, de noche en la casa), etc., pues en estos casos
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no corresponde elaborar una estrategia de ayuda a los alumnos en un dominio cognitivo,
pues el error cometido no es fruto de una dificultad matemática.
Otras cuestiones no matemáticas que originan errores son la escasa capacidad de lectura,
o la mala comprensión de un enunciado. La estrategia de ayuda en estos casos tendrá
que estar centrada en mejorar la comprensión lectora, es decir el dominio de la lengua
escrita, pero sigue siendo responsabilidad del profesor de matemática pues la enseñanza
de esta disciplina incluye las cuestiones comunicacionales tanto en el lenguaje
matemático como en español con uso de vocabulario específico.
Cuando el error detectado ha sido despejado con respecto a esas razones, es necesario
que el docente comience a elaborar hipótesis interpretativas sobre su causa cognitiva.
Luego, deberá verificarlas, ya que el análisis incorrecto que puede llegar a hacer un
profesor del error del alumno puede ser agravante llevándolo a estar en una situación
que no comprende, por ejemplo si intentamos que cambie un procedimiento que no ha
utilizado.
Para verificar todas las hipótesis concernientes a la interpretación los errores, la única
manera de prevenir una mala estimación de su parte es obtener nuevas informaciones
del alumno mismo. La verificación consiste en replantear una situación en otros
términos: una actividad específica de control, una observación muy atenta de una
“marcha de resolución”. Una invitación al alumno a explicarse permiten ver confirmado
el error, y prevenir una eventual mala interpretación del docente. Como los alumnos
repiten siempre el mismo error hasta modificar lo que lo provoca y luego remediarlo
definitivamente, se pueden señalar sistemáticamente los errores particulares de algunos
de ellos durante varias secuencias.
Nos parece importante destacar aquí algo sobre la elaboración de hipótesis sobre las
causas de los errores, y esto es que no es conveniente quedarse fijado a un único punto
de vista. Es posible que un error, pueda ser atribuido a más de una causa.
De manera general, en el marco de la Didáctica de la Matemática, se considera que los
errores de los alumnos, son la expresión de conocimientos anteriores que no permiten
que el alumno resuelva el problema con éxito, son conocimientos que ya no
funcionan, no se adaptan a la presente situación.
4.2. Concepciones, mecanismos, interpretación de la tarea.
La importancia de interpretar correctamente el origen de los errores es la de organizar re
- mediaciones pertinentes, es decir, nuevas mediaciones entre el alumno y el saber: Para
ello habrá que proponer al alumno tareas diferenciadas en función de la causa de la
dificultad, lo que le permitirá superarla.
El origen de los errores ha generado numerosas clasificaciones. Entre ellas la de
Charnay (1990/1), que diferencia los errores relacionados con limitaciones de un
alumno en un momento de su desarrollo intelectual, los que se relacionan con
dificultades ligadas al contrato y los que tienen su origen en la relación del alumno con
el saber.
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Brousseau propuso una distinción entre las concepciones que se constituyen en
obstáculos, considerando obstáculos epistemológicos, didácticos y culturales.
Describiremos brevemente algunos para luego analizar las formas de remediación.
En las actividades los alumnos ponen en juego conocimientos que revelan sus
concepciones y modelos implícitos. Designamos por “concepción” de un alumno con
respecto a un saber, al conjunto de conocimientos correctos o falsos, que son atribuidos
al alumno por su maestro, y que permiten intentar una explicación de su
funcionamiento, sus razonamientos, sus estrategias, sus respuestas. Dichas concepciones
están estrechamente ligadas al contexto de la situación en el que son puestas de
manifiesto. Si pensamos que el aprendizaje se produce por adaptación al medio, a una
situación concreta, podemos pensar que los conocimientos se adquieren por progresos
relativamente discontinuos que suponen rupturas cognitivas, cambios en las
concepciones. Cuando los alumnos deben resolver situaciones, puede ocurrir que sus
concepciones no estén adaptadas a las situaciones que se plantean, lo que da origen a
cierto tipo de errores que forman parte del proceso de construcción de los
conocimientos, y en este sentido funcionan como un obstáculo. Brousseau denomina
obstáculo a una concepción que ha funcionado con éxito en un cierto campo, para un
conjunto de situaciones y que resulta resistente a ser modificada. Un ejemplo clásico en
relación a la multiplicación es la idea que se forman los alumnos acerca de que la
multiplicación agranda. En el campo de los números naturales esta concepción es válida,
pero funciona como obstáculo para la construcción del sentido de la multiplicación en el
campo de los números racionales.
Por su parte, Artigue analiza los errores ligados a los “mecanismos de producción” de
conocimientos en el aula. Artigue explica estos “mecanismos productores de
obstáculos”, diciendo lo siguiente. En algunos procesos de resolución, se utilizan
ciertos mecanismos que pueden ser identificados tanto en la generación de nuevos
conocimientos en la historia de la Matemática como en los alumnos cuando resuelven
problemas. Esos procesos, por ejemplo la generalización y la búsqueda de regularidades,
en algunas ocasiones funcionan adecuadamante y en otras producen obstáculos porque
generan conocimientos que no son válidos.
También hemos mencionado los errores debidos al contrato, es decir a la interpretación
que el alumno hace de su tarea en función del mismo. Es el caso en que los alumnos
actúan sobre la base de la representación que han construido sobre la tarea a realizar. Es
conocido el ejemplo de los problemas de la edad del capitán, en el que los alumnos
responden las preguntas de los problemas operando aún cuando no sea pertienente
hacerlo, pues piensan que “en un problema, para dar una respuesta hay que hacer alguna
cuenta con todos los datos que aparecen, y de esa cuenta hay algún indicio en el
enunciado”.
4.3. La re - mediación
En el caso de errores debidos a concepciones, no es posible dar respuestas a un alumno
error por error, como si cada uno tuviera su solución. Estos errores cuyas causas,
antiguas y profundamente ancladas no van a ser resueltas con un nuevo ejercicio
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circunstancial, deben ser tratados a largo plazo. Se trata entonces de proponer
situaciones que permitan que el alumno tome conciencia de la insuficiencia de su
concepción, reinvirtiendo la noción en cuestión y discutiendo acerca de los errores
provocados.
Por otra parte los errores que se generan cuando los alumnos usan procesos como la
generalización y búsqueda de regularidades, se pueden explicar por la diferente
capacidad que tienen un matemático, experto en el uso de dichos procedimientos y un
alumno novato en dicho uso para controlar su actividad, cambiar de registro, etc.
También en este caso, se buscará proponer a los alumnos nuevas situaciones de
enseñanza, pero en este caso dirigidas a construir las reglas bajo las cuales se validan los
resultados obtenidos.
En el caso de los errores debidos al contrato, se requiere una discusión sobre la
interpretación dada a la tarea pedida, y a largo plazo, un replanteo de las reglas de juego
en el aula.
En todos los casos, una respuesta adecuada del docente, es un encadenamiento de
situaciones apropiadas cuidadosamente concebido para una red de errores sistemáticos
detectados y verificados, y no una actividad aislada
La re-mediación es una actividad adaptada a la diversidad de posibilidades,
conocimientos y dificultades de los alumnos. Es por eso que en esta perspectiva
podemos decir que también se intenta tener en cuenta una acción diferenciada del
docente.
5. Un acercamiento entre las propuestas y las prácticas
Si consideramos que los alumnos pueden ajustar su proceso de aprendizaje, autorregular
su participación y aprovechamiento de las actividades desarrolladas en el aula a partir de
la toma de conciencia de sus modos de aprender, su ritmo y estilos de trabajo, los
conocimientos que domina y aquellos que le resultan más complejos, es necesario
proporcionarle los tiempos y las actividades para reflexionar sobre estos aspectos.
Del mismo modo, los docentes pueden ajustar sus procesos de enseñanza,
autorregularlos. Para ello, no sólo deberán tener los medios para reconocer la situación
en que se encuentran sus alumnos tanto en lo que se refiere a sus posibilidades, intereses
y conocimientos de partida como a los saberes adquiridos. Es necesario también que
estén dispuestos a reconocer la incidencia de su propio accionar en los resultados
obtenidos por los alumnos, dispuestos a retomar en la planificación de su tarea las
informaciones que obtienen en las evaluaciones, dispuestos a revisar sus saberes sobre
la disciplina que enseñan, sus concepciones de aprendizaje y enseñanza, y dispuestos a
modificar sus prácticas profesionales en consecuencia.
En el trabajo ya comentado realizado con Ana Bressan acerca de las prácticas de
evaluación hemos realizado un primer análisis del estado en que se encuentran los
procesos de autorregulación en los docentes participantes de la experiencia.
El desarrollo del proyecto incluyó la realización de cuatro reuniones con los docentes:
una primera reunión de diagnóstico de situación para conocer qué características tienen
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las evaluaciones que se toman en el sistema municipal, una segunda reunión informativa
en la que se discutió qué significado tiene la evaluación en las propuestas bibliográficas
más actualizadas, qué instrumentos se utilizan, cómo se consideran los errores, cómo
utilizar la información obtenida para mejorar los aprendizajes, una tercera reunión de
elaboración de una secuencia de actividades de enseñanza de un tema con al menos dos
evaluaciones, y una cuarta reunión para relatar y reflexionar sobre la puesta en aula de la
secuencia y los resultados obtenidos.
Luego analizamos los trabajos elaborados por los docentes y sistematizamos la
información en los cuadros siguientes, teniendo en cuenta que los docentes habían
elaborado evaluaciones con propósitos diferentes: diagnósticas, formativas y sumativas.
Informaciones:
(que obtienen
de las pruebas)
descriptivas o
expresivas
Informaciones
(que obtienen de
las pruebas)
inferenciales
Usos de la
evaluación con
los alumnos
Ajuste de los
resultados de las
pruebas a las
expectativas
previas del docente
Formas de
elaboración de
las pruebas,
¿dificultades?
Dificultades de
los alumnos (al
presentarle la
prueba / de
aprendizaje)
Escala
Adecuación
Modificación de la
enseñanza
E.D.
E.F.:
E.S.:
E.D.
E.F.:
E.S.:
En el primer cuadro registramos datos acerca del tipo de información que los docentes
obtienen de las pruebas. Resultó en la mayoría de los casos descriptiva o expresiva, sólo
en pocos casos los docentes hacían alguna inferencia sobre las dificultades o alguna
interpretación sobre el origen de los errores.
En la columna de “modificación de la enseñanza” consignamos los datos que obtuvimos
cuando les pedimos que respondieran por escrito acerca de esa cuestión a partir de los
resultados de las evaluaciones de sus alumnos, que en muchos casos mostraban bajos
resultados. Sobre sus reflexiones al respecto, consignamos las siguientes respuestas:



“Realizamos el cuadro de medidas de superficie... y buscamos equivalencias.
Considero aquí que fue muy apurado llegar a esta instancia. Reflexión: Los
lineamientos propuestos los volcaba intuitivamente, ahora tengo las
fundamentaciones”.
“Modificaría la secuencia ampliándola, insertando (¿el tema?) en próximas
evaluaciones”.
“Haría una mejor distribución del tiempo.y más actividades con problemas de
resolución abierta”.
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







“Me hubiera gustado dar problemas con “final abierto” pero “permití distintos
métodos”.
“Daría más tiempo al tema, para ejercitar más”.
“Usar menos tiza y pizarrón. Trabajo más individualizado. Flexibilizar tiempos”
“No haría modificaciones (en la enseñanza anterior, pero a futuro propone)
integrar con ángulos de un triángulo luego de una semana de ejercitación
abundante”
“Más tiempo para profundizar con guía de TP vinculando con temas anteriores”
“Permitir” que escriban estrategias y dificultades para que la evaluación sea una
“manera de comunicación alumno-profesor”.
“Sería importante que los temas no quedaran aislados unos de otros”.
“Respetar el tiempo de cada alumno”.
Nuestras conclusiones al finalizar el trabajo, compartidas con los docentes participantes
se centraron en dos cuestiones. Por un lado en señalar que los procesos de análisis de la
propia enseñanza, en forma incipiente, son parte de la práctica habitual de muchos
docentes, aunque pocas veces estos análisis dan por resultado una modificación de la
misma.
El análisis aparece asociado a una necesidad de cambio limitada por las condiciones de
contexto. La profundización de los mismos sea en la búsqueda de causas de los errores
como en su verificación y en la implementación de procesos de re - mediación no son
tareas que cada docente se sienta en condiciones de realizar en forma individual. Para
que los procesos de remediación, y planificación conjunta tengan lugar -dicen los
docentes- es necesario que en las escuelas se organicen espacios destinados al trabajo
conjunto de los docentes.
Efectivamente, y sobre todo en el caso de tener alumnos que tienen muchos errores, un
trabajo de equipo y un proyecto armonizado en el seno de la escuela constituyen la única
posibilidad de garantizarles el aprendizaje que necesitan. Para administrar la remediación sería necesario elaborar un “plan” de trabajo concertado entre los maestros de
un ciclo: elegir las actividades a desarrollar, constituir grupos de docentes con
necesidades comunes en seno del ciclo y repartir las tareas de elaboración y gestión de
estas actividades, usando el tiempo en forma compatible con la vida de las clases.
Pareciera que, si fuera posible potenciar el proceso de volver sobre lo realizado con un
trabajo institucional adecuado, la evaluación podría recuperar su sentido de dar
información no sólo sobre el tipo y la calidad de los aprendizajes, sino también sobre la
propuesta de enseñanza. De tal modo, los docentes intervendrían en el análisis de su
propia práctica, construirían saber sobre la enseñanza para modificarla.
Si los docentes toman la responsabilidad de evaluar la propia enseñanza, esto puede
influir en el mejoramiento de la misma. “Si la evaluación no es sólo externa sino
construida en un proceso participativo, puede influir en el mejoramiento de la
práctica”.(House, en Camilloni, p.74/5)
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6.
Bibliografía
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modalidades de aplicación. Traducción para uso didáctico.
ARTIGUE, Michele: Epistemología y didáctica. RDM N°10/2-3 La Penseé Sauvage Editions.
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Fac. De Filosofía y Letra y Novedades educativas.
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articulación entre los niveles primario y medio. “La relación entre la evaluación y las formas de
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CAMILLONI, A.(1998): La calidad de los programas de evaluación y de los instrumentos que
los integran, en La evaluación de los aprendizajes en el debate didáctico contemporáneo. Paidós
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trabajo. MCBA.
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HOUSE, E.R. (1980) : Evaluación, ética y poder. Morata. Madrid, 1994.
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ROSSANO, Pierre y otros: “Guía práctica de la evaluación en la escuela”. Pedagogie practique.
Nathan, París, 1993. Traducción propia.