LÍMITES DE FUNCIONES. Actividades iniciales La noción de límite de una función en un punto x0 se introduce para estudiar el comportamiento (o tendencia) de la función y f (x) cuando la variable independiente x se aproxima al punto x0 . 1.- A partir de la gráfica de la función y f (x) , calcula: a) f (1) 1 f ) lím f ( x) 0 x j ) lím f ( x) x 2 n) lím f ( x) 1 x 4 b) f (0) 2 c) f (2) 3 g ) lím f ( x) d ) f (3) 0 h) lím f ( x) 2 x 0 x 0 k ) lím f ( x) 1 l ) lím f ( x) 3 x 2 x 2 ñ) lím f ( x) 1 i) lím f ( x) x 0 m) lím f ( x) 0 x 3 o) lím f ( x) 1 x 4 e) f (4) 1 x 4 p) lím f ( x) x y f (x) . o . 1 2 x 2.- Dada la función f ( x) x 1 x 2 2 si x 1 si 1 x 2 si x 2 Calcula: a) lím f ( x) x 1 Como en x 1 cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales. lím f ( x) lím x 1 2 2 x 1 Como lím x 1 y lím f ( x) lím x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 11 2 2 f ( x) lím f ( x) lím f ( x) (el límite no existe) x 1 x 1 b) lím f ( x) x 2 Como en x 2 cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales. lím f ( x) lím x 2 x 2 x 2 2 y x 1 2 1 Como lím f ( x) lím f ( x) x 2 x 2 lím f ( x) lím x 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 lím f ( x) 2 x 2 2 .- Concepto de límite de una función en un punto. Sea f : A R R y sea x0 un punto de acumulación de A. Diremos que el nº real L es el límite de la función f cuando x "tiende a" x0 , y escribiremos Lím f ( x) L si y solo si 0 0 / x x0 y x A f ( x) L x x0 Otra definición alternativa: (Utilizando entornos; es la que vamos a adoptar este año). Lím f ( x) L si y solo si E(L , ) E( x0 , ) / x E * ( x0 , ) A f ( x) E(L , ) x x0 Explicación: Cuando nos aproximamos a x0 en una cantidad menor que , entonces el valor que toma la función en ese punto x , f ( x) , se aproxima al valor del límite, L, en una cantidad menor que . Nota aclarativa: E ( L , ) ( L , L ) se lee: “entorno de centro L y radio (epsilon)”. E( x0 , ) ( x0 , x0 ) se lee: “entorno de centro x0 y radio (delta)”. E * ( x0 , ) E( x0 , ) x0 se lee: “entorno reducido de centro x0 y radio ”. .- Límites laterales: La noción de límite lateral aparece cuando nos aproximamos al punto de abscisas por la izquierda. x x0 por la derecha o Límite lateral por la izquierda: Lím f ( x) L si y solo si E(L , ) E ( x0 , ) / x E ( x0 , ) A f ( x) E(L , ) x x0 x0 , por la izquierda, en una cantidad menor que , entonces el valor que toma la función en ese punto x , f ( x) , se aproxima al valor del límite, L, en una cantidad Explicación: Cuando nos aproximamos a menor que . Límite lateral por la derecha: Lím f ( x) L si y solo si E(L , ) E ( x0 , ) / x E ( x0 , ) A f ( x) E(L , ) x x0 x0 , por la derecha, en una cantidad menor que , entonces el valor que toma la función en ese punto x , f ( x) , se aproxima al valor del límite, L, en una cantidad Explicación: Cuando nos aproximamos a menor que . Nota aclarativa: E ( x0 , ) ( x0 , x0 ) E ( x0 , ) ( x0 , x0 ) .- Unicidad del límite: El límite de una función en un punto, si existe, es único. Si existe el Lím f ( x) L , entonces este límite es único. x x0 En virtud de la propiedad anterior, enunciamos el siguiente resultado: Lím f ( x) L si y solo si Lím f ( x) L Lím f ( x) x x0 x x0 x x0 3 Límites infinitos: Sea f : A R R y sea x0 un punto de acumulación de A. Lím f ( x) si y solo si k R E( x0 , ) / x E * ( x0 , ) A f ( x) k x x0 Ejemplos: Lím f ( x) x 2 Lím f ( x) x 3 Límites finitos en el infinito: Sea f : A R R Lím f ( x) L si y solo si E(L , ) k R / x k f ( x) E(L , ) x Ejemplos. Lím f ( x) 0 Lím f ( x) 2 Lím f ( x) 0 Lím f ( x) 2 x x x x 4 Límites infinitos en el infinito: Sea f : A R R Lím f (x) si y solo si k R M R / x M f ( x) K x Ejemplos: Lím f ( x) Lím f ( x) Lím f ( x) Lím f ( x) Lím f ( x) Lím f ( x) x x x x x x 5 OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES. Sea x0 R donde R R , Sean f , g : A R R dos funciones con Lím f ( x) L x x0 y Lím g ( x) L' x x0 Se definen las siguientes operaciones con límites: a) Lím f g x Lím f ( x) Lím g ( x) L L' x x0 x x0 x x0 b) Lím k f ( x) k Lím f ( x) k L x x0 k R x x0 c) Lím f g ( x) Lím f ( x) Lím g ( x) L L' x x0 x x0 x x0 Lím f ( x) f L x x0 d ) Lím ( x) x x0 g Lím g ( x) L' x x 0 f ) Lím f ( x) e) Lím f ( x) g ( x ) Lím f ( x) x x0 x x0 x x0 Lím g ( x ) x x0 LL ' Lím f ( x) L x x0 g ) Lím Log a f ( x) Log a Lím f ( x) Log a L x x0 x x0 Todos estos límites estarán definidos, salvo en los siguientes casos de indeterminación. 0 ; ; 0 ; ; 1 ; 0 ; 0 0 0 Si al calcular un límite nos aparece una de estas indeterminaciones, debemos transformar el límite en otro equivalente (mediante técnicas algebraicas o utilizando la definición del número e) para así, resolver la indeterminación. Observación: No son indeterminaciones los siguientes casos: 0 0 k en este caso, debemos estudiar los límites laterales. 0 6 .- Situaciones del tipo K con K 0 0 Este tipo de situaciones pueden aparecer al estudiar el límite del cociente de dos funciones polinómicas. En este tipo de situaciones siempre nos encontraremos con dos ramas infinitas: una puede tender a y la otra a , o bien las dos tender a ó . Este tipo de límites está, por tanto, caracterizado por la presencia de una asíntota vertical. Se resuelven estudiando los límites laterales. Los límites laterales siempre van a ser ó Si los límites laterales coinciden el límite existe y será ó , y si un límite lateral es y el otro , entonces el límite no existe. Ejemplos: a) Lím x 0 K 0 1 x Estudiamos los límites laterales. Lím 1 1 x 0 Lím 1 1 x 0 x 0 x 0 Como Lím x 0 1 1 1 Lím se concluye que no existe el Lím x 0 x x x 0 x Nota: Cuando me acerco a 0 por la izquierda ( x 0 ) x toma valores muy cercanos a 0, pero negativos. En la expresión 1 , 0 es una cantidad muy cercana a cero pero negativa (-0,0000....01) 0 Cuando me acerco a 0 por la derecha ( x 0 ) x toma valores muy cercanos a 0, pero positivos. En la expresión b) Lím x 1 2 x 1 1 , 0 es una cantidad muy cercana a cero pero positiva (0,0000....01) 0 K 0 Estudiamos los límites laterales. Lím 2 2 x 1 0 Lím 2 2 x 1 0 x 1 x 1 Como Lím x 1 2 2 2 Lím se concluye que no existe el Lím x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Nota: 0 es una cantidad muy pequeña pero negativa, por eso -2 partido de 0 es positivo (menos entre menos es más) y el resultado es . Igual explicación se puede dar para el otro límite lateral. 7 c) Lím x 2 x x2 K 0 Estudiamos los límites laterales. Lím x 2 x2 0 Lím x 2 x2 0 x 2 x 2 Como x x x Lím se concluye que no existe el Lím x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Lím x 2 d ) Lím x 0 K 0 3 x2 Estudiamos los límites laterales. Lím 3 3 2 x 0 Lím 3 3 2 x 0 x 0 x 0 Como Lím x 0 e) Lím x 1 3 3 3 Lím 2 se concluye que el Lím 2 2 x 0 x x 0 x x 1 x 1 2 K 0 Estudiamos los límites laterales. Lím x 1 Lím x 1 1 x 1 2 1 x 1 Como Lím x 1 2 1 0 1 0 1 x 1 2 Lím x 1 1 x 1 2 se concluye que el Lím x 1 1 x 12 8 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES: Hacemos un breve repaso del cálculo de límites y resolución de indeterminaciones ya tratados el curso anterior. Veamos algunos ejemplos: . Indeterminaciones del tipo Calcula los siguientes límites: a) Lím x 3 3x 2 4 x 5 2 x 2 3x 1 x b) Lím x c) Lím x d ) Lím x e) Lím x 4 x3 5 x2 2 x 3 2 x x x3 x2 3 x 4 x 2 x 2 x 4x 3 4 3 4 x3 Lím 3 x 4 x 5x 4 3 2 3x 3 2 2 2 x 3 5x 4 x6 x4 2 x3 x2 Lím x x6 2 x3 4 3 Lím x x 2 x3 x3 2 x3 x6 2 x3 Lím 3 x2 x x 4 Lím x 2 x3 x 2 k 0 con k R Nota : Lím x 3 x2 x x 2 2 Lím x 2 x 3 x2 2x 3 2 x3 Lím . Indeterminaciones del tipo x3 1 Lím 0 4 x x x x x 3x 4 x x 5 x 3 4 3 Lím 3 x2 4 x 5 2 x3 Lím x3 x Lím x 2 x 2 x 2 Lím x3 x 6 2 x 3 Lím x 2 3 2 2 x3 x6 2 x3 2 0 . 0 Calcula los siguientes límites: x3 1 x 1 x 1 0 0 a) Lím 1 1 1 Lím x 1 0 0 -1 1 1 1 1 1 0 x 1 x 2 x 1 Lím x 2 x 1 12 1 1 3 x 1 0 0 x 1 x 2 x 2 2 x 3 Lím x 2 2 x 3 5 1 x 7x 6 Lím x 2 x 3 2 x 2 5 x 6 x 2 x 2 x 2 4 x 3 x 2 x 2 4 x 3 15 3 3 b) Lím 1 -2 1 0 -7 -6 -2 4 6 -2 -3 0 1 -2 1 -2 -5 6 -2 8 -6 -4 3 0 9 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 3x 2 Lím x 2 3x 2 Lím x 1 x 2 x 3 4 x 2 5x 2 Lím x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 Lím x 1 x 1 2 c) Lím 1 -1 1 -1 4 5 2 -1 -3 -2 3 2 1 -1 0 1 1 -1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1 -2 1 2 0 0 x 2 2 0 x24 x2 Lím x 2 2 x 2 2 Lím d ) Lím Lím x 2 x 2 ( x 2) x 2 2 x 2 ( x 2) x 2 2 x22 x 2 x 2 x 2 1 1 Lím x 2 x22 4 Nota: El producto de una suma por una diferencia es una diferencia de cuadrados, es decir, es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. a b a b a 2 b 2 x2 2 e) Lím x 0 x22 x2 2 22 x 2 4 0 0 x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x Lím Lím Lím 2 x 0 x 0 x 0 2 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x x x 1 1 x x 1 1 x Lím Lím 1 1 x 2 x 0 x 0 x 0 11 x x Lím 0 f ) Lím x 1 Lím x 1 Lím x 1 3x 2 4x 3 3x 2 4x 3 3x 2 4x 3 0 Lím x 1 x 1 x 1 3 x 2 4 x 3 3x 2 x 1 x 1 2 4x3 2 3x 2 4x 3 x 1 3x 2 4x 3 Lím Lím x 1 x 1 3 x 2 4 x 3 x 1 x 1 3x 2 4x 3 x 1 3x 2 4x 3 Lím Lím x 1 3x 2 4 x 3 x 1 x 1 3x 2 4x 3 1 3x 2 4x 3 1 1 11 2 10 0 0 x 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 x 2 4 2 x 2 Lím x 2 2 x 2 2 2 2 Lím Lím 2 x 2 x 2 2 2 x 4 x 2 2 2 x 2 x 2 2 2 2 2 2 g ) Lím x 2 2 x 2 2 2x 2 Lím Lím x 2 2x 2 x 2 2 2 x 2 x 2 2x 2 x2 2 x 2 2 x 2 2 42 x2 2 2 2 42 x 2 2 x 2 22 4 1 2 2 2 8 2 . Indeterminaciones del tipo 0 Este tipo de indeterminaciones se resuelven transformándolas en las del tipo 0 ó en las del tipo . 0 Calcula el siguiente límite: 1 Lím x 2 3 x x x x 2 3x Lím x x 0 x2 Lím x 1 Lím x x x x . Indeterminaciones del tipo Calcula los siguientes límites: a) Lím 4 x 5 x 2 x x 2 Lím x Lím x 4 x2 5 x 4 x2 4 x 2 5 x 2x 5x Lím x 4 x 2 5 x 2x 5x Lím x 4 x 2 2x Lím x 5x 2x 2x 5x 5 4x 4 x2 2 x2 1 b) Lím x x 1 x Lím 4 x 2 5 x 2 x 4 x 2 5 x 2 x Lím x 2 4 x 5 x 2 x Lím Lím x x3 2 x x3 x2 x 1 x x x 2 x x 3 x x 2 2 x 1 x 2 1 x x 1 2 x x3 x2 x 1 x x 2 x2 x 1 x x2 x Lím x2 1 x x 2 Lím 11 . Indeterminaciones del tipo 1 x x Se resuelven aplicando la definición del nº e: Lím 1 1 e , o bien, aplicando directamente la x siguiente fórmula: Lím f ( x) e g ( x) x x0 Lím x xo g ( x ) f ( x) 1 donde x0 R Veamos algunos ejemplos: x2 a) Lím 2 x x 3 x2 1 x2 Lím 1 2 1 x x 3 x2 (sumamos y restamos "1" en la base) x2 x2 3 Lím 1 x x 2 3 x2 3 Lím 1 2 x x 3 x2 (dividimos el numerador y el denominador entre (-3)) 3 Lím 1 2 3 x x 3 3 x2 1 Lím 1 2 x x 3 3 x2 (el siguiente paso es conseguir la misma expresión en el exponente y en el denominador de la base) x 2 3 3 x 3 x 2 3 2 1 Lím 1 2 x x 3 3 1 Lím 1 2 x x 3 3 x 2 3 3 x2 3 x 2 3 3 x 2 1 Lím 1 2 x x 3 3 x 2 3 3 x 2 3 (aplicamos la definición de número e) e Lím x 3 x 2 x 2 3 e Lím x 3 x 2 x2 1 e3 e 3 Vamos a resolver este mismo límite aplicando la fórmula: Lím f ( x) e g ( x) x x0 x2 a) Lím 2 x x 3 Lím e x 3 x 2 x 2 3 x2 Lím x e 1 3 x 2 x2 Lím x xo e g ( x ) f ( x) 1 Lím x e 3 2 2 x x 2 1 x 3 e Lím x 2 2 2 x x 3 x 2 x 3 e Lím x 2 3 x 2 x 3 1 e3 Como vemos resulta mucho más fácil aplicar la fórmula para calcular el límite (así lo haremos de ahora en adelante) 2 x b) Lím 1 3 x x 0 1 e 2 Lím 13 x 1 x 0 x e Lím x 0 6x x e6 12