Ley de Gauss I

Electrostática Ley de Gauss
Cuando tenemos un elemento de área cualquiera podemos admitir que siempre se
podrá dividir en un elemento sumamente pequeño tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variación de E.
El flujo en un pequeña área Ai con un campo
normal En será = En.Ai Y para obtener el flujo total
que atraviesa la superficie se debería hacer lo siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniforme.
Lo que normalmente interesa es calcular el flujo total
o neto que atraviesa una superficie cerrada el que puede
ser positivo o negativo según predomine el E saliente o
entrante.
Como el flujo es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera, el flujo neto es proporcional al número neto de líneas de fuerza
que atraviesa a la superficie (suma y resta de líneas entrantes y salientes).
Cuando la suma de infinitos términos se hace en una superficie cerrada, se indica con
el símbolo
Por lo tanto el flujo neto será
APLICACIÓN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esférica
Se procederá a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esférica de radio r que encierra una carga q.
Sabemos que el campo a una distancia r de una carga puntual
q es
y además el campo eléctrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la dirección radial, la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera

Como el valor
es constante en la integral se puede sacar de factor común
fuera de la misma y por lo tanto
pero
es el área total de una esfera 
Por lo tanto
pero como
el flujo neto total será
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada, que encierre una
carga q dado que el número de líneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo.
Enunciado de la Ley de Gauss:
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga q
es numéricamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vacío εo.
Si dentro de la superficie se encierran más de una carga la expresión de la ley de Gauss
pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga única por la suma algebraica de las cargas
obteniéndose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss.
Cálculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del
campo eléctrico.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo.
3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
Caso 1) Campo eléctrico debido a una carga lineal uniforme () de longitud
infinita
Debido a la simetría que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo del
conductor respecto a un punto, el campo debe ser perpendicular a la línea cargada y
solamente puede depender de r, lo cual pasaremos explicar.
Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado, observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor, nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existirán siempre cargas iguales y
simétricas respecto a dicho punto. Debido a esa simetría como se ve en la figura de la
derecha, la suma de los vectores campo de puntos simétricos como el a y el b darán una
resultante que siempre será perpendicular al conductor, esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee, por lo tanto E solo puede depender de r. Llamando  a la densidad
lineal de carga
definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela al
conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss. Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficie
total del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral. Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral.
 neto =  sup. lateral +  sup. caras como el flujo es saliente y perpendicular a la línea de
carga, el  caras = 0 dado que las líneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan.
 neto =  sup. lateral = En . 2 r .L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
 neto = En . 2 r L =
E=
=
 E=
Donde la q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual al
producto L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por la
longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss.
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en función de la constante de
permitividad del vacío nos quedaría que
k=

=
 E=
o en función de k
=
Es la fórmula que nos permite calcular dicho campo donde se observa claramente que
la intensidad de campo eléctrico es directamente proporcional a la densidad lineal de carga
 e inversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde el punto de vista
vectorial por simetría como ya se explicó el vector campo es perpendicular al conductor,
alejándose de él si está cargado positivamente o acercándose si la carga es negativa.
Caso 2) Campo eléctrico debido a un plano infinito de distribución uniforme de
carga
Se define densidad superficial de carga al cociente entre la carga total del
plano y su superficie q/A y se mide en(C/m2).
Por razones de simetría deducimos que el campo debido a su carga produce líneas
de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras. Se aplica aquí criterio
similar en cuanto a simetría que en el caso del conductor cargado, simplemente que la
simetría se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano, pasando por el pie de la
perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano.
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga características que hagan cómodo el cálculo del flujo total, por ello se traza con
caras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo. Como las líneas de fuerza
son perpendiculares al plano, resultan paralelas a la generatriz del cilindro, por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan, solamente serán atravesada las bases del
cilindro. Por lo tanto el flujo total o neto será

Donde la q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual al
producto A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la
superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss.
De la fórmula para calcular dicho
campo donde se observa claramente que la
intensidad de campo eléctrico es directamente
proporcional a la densidad superficial de carga
y es independiente de la distancia al plano
cargado. El campo existe a ambos lados del
plano. Si la carga del plano es positiva el
vector campo se alejará del plano y se la carga
es negativa, se dirigirá hacia el plano.
Caso 3) Campo eléctrico debido una corteza esférica cargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss, esta superficie se elige para envolver la carga de
modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a
la corteza cargada. Siendo R el radio de la esfero de Gauss. Para estudiar el campo en el
exterior de la corteza R debe ser mayor que r por lo tanto
R>r
siendo Q la carga total de la corteza

o
En el interior de la corteza R < r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto
por lo tanto si el flujo es cero también será cero el
campo E.
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero.
En el exterior de la corteza el campo se
comporta igual que si fuera una carga puntual
colocada en el centro de la corteza esférica
Siendo Q la carga total de la corteza
esférica, por lo tanto el campo es directamente
proporcional a la carga total Q e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia del
centro de la corteza al punto considerado R.
Caso 4) Campo eléctrico debido a dos planos infinitos cargados y paralelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales y
opuestos, por lo tanto su suma es cero. Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme.
En el interior el campo es la suma de los campos creados
por los dos planos cargados por lo tanto nos queda
que:
Flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss
Cuando una distribución de carga tiene una simetría sencilla, es posible calcular el
campo eléctrico que crea con ayuda de la ley de Gauss. La ley de Gauss deriva del
concepto de flujo del campo eléctrico.
Flujo del campo eléctrico
El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de
masa a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa
dicha superficie por unidad de tiempo.
El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias
denominadas líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse
el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene
resaltar que en el caso del campo eléctrico no hay nada material que realmente
circule a través de dicha superficie.
Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan
una determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a
las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal
modo que tenga en cuenta este hecho.
Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la
superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura.
El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el
producto escalar:
Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas
atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso
perpendiculares, y su producto escalar es nulo.
Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es
máximo, como también lo es el producto escalar de E y dS.
Ley de Gauss
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q
contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0.
La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina
superficie gaussiana.
Matemáticamente,
La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el
teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue
formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.
Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el
sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de
la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.
Campo creado por un plano infinito
El campo eléctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando
la ley de Gauss.
En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con una densidad
superficial de carga σ (= q/S) uniforme y positiva. Las líneas de campo siempre
salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme
(ya que la densidad de carga lo es) y sus líneas irán hacia afuera de ambos lados del
plano.
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es siempre el
mismo (ley de Gauss); en este caso, por simplicidad de cálculo, se ha elegido una
superficie gaussiana cilíndrica (representada en rojo en la figura).
El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la
atraviesa). Las únicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a
través de sus dos bases. El flujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces:
Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en
todos los puntos de su superficie, la integral anterior se simplifica, quedando:
El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss:
Y q/S es la densidad superficial de carga σ:
Campo en el interior de un condensador
Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores
(denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas,
separados por el vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que
se utiliza para almacenar energía eléctrica.
La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy
cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se
denomina plano-paralelo.
El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador,
como se ha visto en el ejemplo anterior, viene dado por:
Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están
dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga
negativa.
Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo
es el doble del campo que crearía una sola de las placas:
Los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para
almacenar energía. El primer condensador fue fabricado en 1746, y estaba constituido
por un recipiente de vidrio recubierto por una lámina metálica por dentro y por fuera.
Se conoce comúnmente como botella de Leiden.