Campo eléctrico II

Física
Departamento de Física Aplicada.
Facultad Ciencias Químicas. U.C.L.M.
CAMPO ELÉCTRICO II
1) Utilizando el teorema de Gauss para el campo eléctrico, calcular en las siguientes
situaciones, el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio. Tomar como
origen de potencial el infinito salvo que se indique lo contrario. Es preciso en cada caso
justificar la ventaja que ofrece aplicar el teorema de Gauss y discutir con detalle la simetría
del problema que justifica el tipo de superficie gaussiana elegida. Asimismo dibujar
aproximadamente las funciones obtenidas para E y V en los casos que indica al final 'dibujar'.
1a) Una esfera hueca de radio R cargada con una carga Q. dibujar
1b) Una esfera maciza de radio R cargada con una carga -Q. dibujar
1c) Una corteza esférica dieléctrica de radios R1 y R2 cargada con una densidad de carga .
Calcular en este caso sólo el campo eléctrico.
1d) Una corteza esférica dieléctrica de radios R1 y R2 cargada con una densidad de carga 
más una carga puntual -Q en el centro. (ver figura). Calcular en este caso sólo el campo
eléctrico.
1e) El mismo caso anterior pero la corteza es metálica y sin carga neta. Determinar la
densidad superficial de carga en las superficies de la corteza. dibujar
1f) Un hilo indefinidamente largo y estrecho cargado con una densidad de carga  por unidad
de longitud. (No calcular en este caso el potencial) dibujar solo E
1g) El mismo hilo de (e) pero con un radio no despreciable R. Tomar en este caso el origen de
potencial en la superficie del hilo: V(R)=0 dibujar solo E
1h) Un plano conductor indefinidamente grande de grosor t, cargado con una densidad
superficial de carga . Calcular en este caso sólo el campo eléctrico.dibujar
-t/2
+t/2
O
figura (1d)
figura (1h)
z
1i) Una esfera maciza dieléctrica de radio R cargada con una densidad volumétrica no
uniforme (r) = 1/r2
1j) Un condensador plano de placas muy grandes cargado con carga Q y con separación
entre placas d. dibujar
Solución:
(1a) E (r  R ) 
Q
1 Q
1 Q
u ; E (r  R)  0; V ( r  R) 
; V ( r  R) 
2 r
4 0 r
4 0 r
4 0 R
(1b) E (r  R) 
1 Q
rQ
1 Q
3Q
Qr 2
u
;
E
(
r

R
)

u
;
V
(
r

R
)

;
V
(
r

R
)


r
r
4 0 r 2
4 R 3 0
4 0 r
8 0 R 8 0 R 3
(1c) E (r  R2 ) 
 43  ( R23  R13 )
 43  (r 3  R13 )
u
;
E
(
R

r

R
)

ur ; E ( r  R1 )  0
r
1
2
4 0
r2
4 0
r2
1
3
3
3
3
4
4
1  3  ( R2  R1 )  Q 
1  3  (r  R1 )  Q 
(1d ) E (r  R2 ) 
ur ; E ( R1  r  R2 ) 
ur ;
4 0
r2
4 0
r2
E (r  R1 ) 
(1e) E (r  R2 ) 
1 Q
1 Q
ur ; E ( R1  r  R2 )  0; E ( r  R1 ) 
ur
2
4 0 r
4 0 r 2
V (r  R2 ) 
(1 f ) E (r ) 
1 Q
ur
4 0 r 2
1 Q
1 Q
Q 1 1
1
; V ( R1  r  R2 ) 
; V ( r  R1 ) 
 
 
4 0 r
4 0 R2
4 0  r R2 R1 
1 
ur
2 0 r
(1g ) E (r  R ) 

1 
1 r

r
  r 2
ur ; E ( r  R ) 
u
;
V
(
r

R
)

log
;
V
(
r

R
)

 1
2 r
2 
2
2 0 r
2 0 R
2 0
R
2 0 R  R

(1h) E (r  t / 2)  0; E ( r  t / 2) 
(1i ) E (r  R ) 

k
2 0
R
1
R
1
u ; E (r  R) 
ur ; V ( r  R) 
; V ( r  R) 
2 r
 0r
r 0
r 0
0
(1 j ) E fuera  0; E dentro 

k,
0
donde k señala la perpendicular a las placas; V 
2) Calcular la capacidad de una esfera conductora.
Solución: C  4 0 R
d
0

 r 
1  ln  R  
 

3) Calcular la capacidad de un condensador esférico formado por dos cortezas metálicas
conductoras de radios R1 y R2, cargadas con cargas de igual valor y signo opuesto, con una
sustancia dieléctrica de constante dieléctrica relativa r entre medias.
4 0 r R1R2
Solución: C 
( R2  R1 )
4) Calcular la capacidad de un condensador de placas plano-paralelas de superficie S,
separadas una distancia t y con una substancia de permitividad relativa r
S 
Solución: C  0 r
d
5) Dos esferas conductoras de radios 0.10cm y 0.15cm tienen cargas respectivas de 10-7 C
y 2·10-7 C. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga final de cada esfera.
R Q  R1Q2i
Solución: Q1 f  Q1i  Q; Q2 f  Q2i  Q; Con Q  2 1i
R1  R2
6) Un condensador plano de 1000pF se encuentra cargado con 1 C en cada placa. ¿Cuál
es la diferencia de potencial (ddp) entre las placas? Suponiendo que se encuentra aislado
(con lo que la carga permanece constante) se duplica la distancia entre sus placas. ¿Cuál
será la nueva ddp entre las placas?
Solución: V=1000V; V=2000V
7) Calcular la capacidad de los condensadores de las siguientes figuras. Puede ayudar
considerarlos como asociaciones de varios condensadores con diferente constante
dieléctrica relativa ()
C1
Solución: C1 
C2
21 2 A 0
1   2 d
C2 
1   2 A 0
2
d
C3

2   A
C3    3  1 2  0
 1   2  2d

8) La capacidad de un condensador variable puede ajustarse entre 50pF y 950pF girando
un dial ente 0º y 180º. Con el dial situado en 180º se conecta a una batería de 400V. Una
vez cargado el condensador se desconecta de la batería y se lleva el dial a 0º.
(a) ¿Cuál será la carga del condensador?
(b) ¿Cuánto vale la ddp cuando el dial se encuentra en 0º?
(c) ¿Cuánto vale la Energía del condensador en esta posición?
Solución: (a) 380nC (b) 7600V (c) 1.443·10-3 J
9) Se carga un condensador de 20 F con una batería de 1000V. Luego se conectan los
terminales del condensador cargado a los de otro condensador descargado de 5 F.
Calcular
(a) La carga original del sistema.
(b) Cantidad de carga intercambiada al conectarlos
(c) La ddp final de cada condensador.
(d) Energía final del sistema. y la perdida en el proceso de conexión
Solución: Q=0.02 C; Q 
Q0C1
 0.004C; Vf  800V ; E final  8J ; Eperdida  2J
C1  C2
10) Para la asociación de condensadores que se
muestra en la figura calcular:
(a) La capacidad equivalente del sistema.
(b) La carga almacenada en cada condensador.
(c) La Energía total almacenada en el sistema.
Solución: Ce=0.242 F Q0.30=2.42 C
Q1.0=1.94 C Q0.25=0.484 C E=1.21 x 10-5 J
11) Cinco condensadores idénticos de capacidad
C0 están conectados como indica la siguiente figura.
(a) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los
puntos a y b?
(b) Determinar la nueva capacidad equivalente si
el condensador central se cambia por uno de
capacidad 10·C0
(c) Si el sistema se conecta a una ddp de V0 entre
a y b, determinar la carga de cada condensador en
esta última configuración.
Solución: Ceq=2C0; Ceq=11C0; Qcentral=10C0V0 ;
Qresto=V0C0/2
12) Se llama tensión de ruptura a la máxima ddp que puede soportar un condensador sin
estropearse. Disponemos de condensadores planos de 2F y 100V de tensión de ruptura,
con una separación entre placas de 0.5 mm.
(a) Calcular el campo eléctrico que existe entre las placas del condensador cuando
la tensión aplicada es la de ruptura.
(b) Necesitamos un circuito equivalente con 2F de capacidad que pueda soportar
una tensión de 400V. ¿Qué asociación habrá que hacer?
Solución: E=2·105 V/m; Cuatro bloques idénticos en serie,cada uno de ellos formado por
4 condensadores en paralelo.
13) Un condensador de placas paralelas tiene una capacidad de 2F y la separación entre
placas es 1.6 mm. El campo máximo que puede existir ente las placas sin que se rompa el
condensador es 3MV/m.
(a) ¿Qué diferencia de potencial puede establecerse entre las placas sin que el
condensador se estropee?
(b) ¿Cuánto vale la carga eléctrica almacenada en el condensador en ese momento?
Solución: V=4800 V; Q=9.6 m.