Syllabus ALGEBRA LINEAL N2L

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS Y FISICAS
CARRERA DE INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
CARRERA DE INGENIERIA EN NETWORKING
PROGRAMA ANALITICO
1. DATOS GENERALES
ASIGNATURA:
CÓDIGO:
PRE-REQUISITO:
PERÍODOS POR SEMANA:
PERÍODOS POR SEMESTRE:
ALGEBRA LINEAL
202
CRÉDITOS: 5
MATEMÁTICAS DISCRETAS
6
84
2. DESCRIPCIÓN SINTÉTICA
Este programa emplea un enfoque moderno y aplicado, analiza los sistemas de ecuaciones lineales de forma
vectorial y matricial. Utiliza como herramientas las matrices elementales y los determinantes, realiza un
estudio de los espacios vectoriales en general, aplica las transformaciones lineales, realiza un análisis de la
ortogonalidad y las proyecciones y finalmente introduce los autovalores y autovectores.
3. OBJETIVOS
Generales
Proveer al estudiante conocimientos que le permitan comprender con claridad el estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales, desarrollar habilidades de abstracción para resolver problemas de aplicación relacionados
con el entorno e incrementar la capacidad de resolver aplicaciones matemáticas con la ayuda de un
computador.
Específicos
 Identificar la linealidad de los problemas matemáticos, particularmente con respecto a los espacios y las
transformaciones lineales.
 Proponer un enfoque geométrico de los sistemas de ecuaciones.
 Identificar la independencia lineal de vectores y el conjunto generador de un espacio.
 Construir bases y determinar las dimensiones de los espacios fundamentales del álgebra lineal.
 Asociar las transformaciones lineales con las matrices.
4. CONTENIDO PROGRAMÁTICO
UNIDAD 1
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES (24 períodos)
1.1
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales y notación matricial.
1.2
Consistencia e Inconsistencia, Soluciones.
1.3
Multiplicación de Matrices.
1.4
Matrices elementales.
1.5
Factorización LU.
1.6
Matriz Inversa y Matriz Transpuesta.
1.7
Traza de la matriz.
1.8
Aplicaciones.
UNIDAD 2
DETERMINANTES (6 períodos)
2.1
Propiedades de los determinantes.
2.2
Matriz adjunta de cofactores y regla de Crámer.
2.3
Matriz Inversa por el método de cofactores.
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2.4
UNIDAD 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
UNIDAD 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
UNIDAD 5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
UNIDAD 6
6.1
6.2
6.3
6.4
Aplicaciones en Áreas y Volúmenes.
ESPACIOS VECTORIALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (18
períodos)
Introducción y propiedades de los vectores.
Dependencia e Independencia Lineal
Sistema de ecuaciones homogéneo y solución trivial.
Conjunto generador, Bases, Dimensión de un espacio vectorial.
Introducción y propiedades de los espacios vectoriales.
Introducción y propiedades de los subespacios vectoriales.
Espacios fundamentales: Columna, Fila, Nulo y Nulo-transpuesto.
TRANSFORMACIONES LINEALES (10 períodos)
Introducción a las proyecciones, rotaciones y reflexiones
Matriz que representa a la trasformación lineal.
Núcleo y Recorrido de la transformación.
Inversa por Izquierda e Inversa por derecha.
Proyecciones, rotaciones, reflexiones de imágenes.
Aplicaciones.
ORTOGONALIDAD Y PROYECCIONES (12 períodos)
Producto Interno y Norma.
Ley del Coseno, Pitágoras y Proyecciones.
Vectores unitarios.
Vectores ortogonales y ortonormales.
Espacios y Bases ortogonales.
Método de los mínimos cuadrados.
Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Factorización QR.
Aplicaciones.
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES (14 períodos)
Introducción a los autovalores y autovectores.
Matrices Diagonales.
Factorización en Valores Singulares SVD.
Aplicaciones.
5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO SYLABUS
SESIONES
CONTENIDO A TRATAR
UNIDAD I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Sesión 1
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.
Representación: Planos que se intersecan, ley del
paralelogramo.
Sesión 2
Notación Matricial de los sistemas de ecuaciones. Comparación
de eliminación-reducción y eliminación de Gauss-Jordan.
Sesión 3
Sesión 4
Sesión 5
Sesión 6
Sesión 7
Sesión 8
Sesión 9
Consistencia e Inconsistencia de los sistemas. Solución única,
infinitas soluciones, no solución.
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Introducción a las matrices. Operaciones con matrices.
Matrices elementales y aplicación hacia el método de GaussJordan.
Factorización LU usando matrices elementales.
Método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa y la
Factorización LU.
Propiedades de la matriz inversa y la matriz transpuesta.
Matrices Simétricas y Antisimétricas.
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OBSERVACIONES
Sesión 10
Sesión 11
Sesión 12
UNIDAD II
Sesión 13
Sesión 14
Sesión 15
UNIDAD III
Sesión 16
Sesión 17
Sesión 18
Sesión 19
Sesión 20
Sesión 21
Sesión 22
Sesión 23
Sesión 24
UNIDAD IV
Sesión 25
Sesión 26
Sesión 27
Sesión 28
Sesión 29
UNIDAD V
Sesión 30
Sesión 31
Sesión 32
Sesión 33
Sesión 34
Sesión 35
UNIDAD VI
Sesión 36
Sesión 37
Sesión 38
Sesión 39
Sesión 40
Sesión 41
Sesión 42
Propiedades de la traza de una matriz.
Ejercicios de matrices inversas, transpuestas y traza de la
matriz.
Matriz inversa modular y aplicación en encriptación.
DETERMINANTES
Introducción y Propiedades de los determinantes. Determinante
usando factorización LU. Explicar sobre el enfoque geométrico.
Matriz de Cofactores o Adjunta. Inversa de la matriz usando la
matriz Adjunta.
Regla de Crámer para resolver un sistema de ecuaciones.
ESPACIOS
VECTORIALES
Y
SISTEMAS
DE
ECUACIONES
Introducción y propiedades de los vectores.
Sistemas de Ecuaciones homogéneos. Solución trivial.
Dependencia e Independencia Lineal de vectores. Conjunto
generador y espacio generado.
Introducción a los Espacios vectoriales. Operadores definidos de
suma de vectores y producto de vector por escalar. Base del
espacio vectorial.
Ejercicios de Espacios Vectoriales.
Introducción a los subespacios vectoriales.
Herencia de
propiedades, subespacio trivial.
Ejercicios de Subespacios Vectoriales.
Espacios fundamentales del Álgebra: Columna y Nulo, Fila y
Nulo Transpuesto. Pivotes y columnas pivotes. Variables libres
y variables dependientes. Uso de factorización LU para hallar
los espacios. Teorema Fundamental del Álgebra.
Ejercicios de los espacios fundamentales del Álgebra.
TRANSFORMACIONES LINEALES
Introducción a las transformaciones lineales. Transformación
lineal de vectores y bases.
Matriz de transformación.
Transformaciones básicas de
Rotación, Proyección y Reflexión.
Inversa por Izquierda e Inversa por derecha.
Dimensiones de la matriz de transformación.
Transformaciones generalizadas de Rotación, Proyección y
Reflexión para imágenes.
ORTOGONALIDAD Y PROYECCIONES
Propiedades del Producto interno y propiedades de la norma.
Ley del Coseno. Comparación con el teorema de Pitágoras.
Vectores Unitarios. Vectores ortogonales y ortonormales.
Espacios y Bases ortogonales.
Proyecciones en general.
Método de Gram-Schmidt.
Factorización QR.
Método de mínimos cuadrados.
Aplicaciones con mínimos cuadrados.
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Introducción a los autovalores y autovectores.
Multiplicidad y propiedades.
Diagonalización.
Descomposición en valores singulares SVD.
Aplicación de Gram-Schmidt para obtener valores singulares.
Pseudo inversa y aplicaciones.
Potencia de matrices.
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6. METODOLOGÍA
Dentro del aula:
 Exposiciones con demostraciones y resolución de problemas.
 Preguntas, respuestas, trabajos grupales.
 Ejercicios de Aplicación, Resolución de problemas en grupo.
Fuera del aula:
 Lectura: Texto, revistas, artículos, etc.
 Preparación de: Informes, presentaciones, ensayos, proyectos, investigaciones, laboratorios, etc.
 Estudio para: lecciones, aportes, pruebas cortas, exámenes.
 Investigaciones: Bibliográficas, de campo, Internet.
7. EVALUACIÓN
 Resolución de ejercicios.
 Aplicación de definiciones y teoremas.
 Resolución de problemas en grupo.
8. BIBLIOGRAFÍA
Texto guía:
 Koleman, Álgebra Lineal.
Otros:
 Lay C, Álgebra Lineal.
 Strang A., Álgebra Lineal.
 Herber H., Álgebra Lineal.
 Sáenz, Álgebra Lineal.
 Lupschutz, Álgebra Lineal.
 Grossman S, Álgebra Lineal.
 Swokiwski, Álgebra Lineal.
Elaborado por:
Eduardo Véliz, M.Sc. Matemáticas Aplicadas.
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