Sea K un cuerpo conmutativo

Tema 12. Espacios vectoriales.
TEMA 12.
ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES
LINEALES. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS
VECTORIALES. TEOREMA DE ISOMORFÍA.
El objetivo de este tema es la definición de la estructura de espacio vectorial y la noción
de aplicación lineal entre espacios vectoriales. Con este fin desarrollaremos los
siguientes apartados:
- ESPACIOS VECTORIALES
- Espacio vectorial.
- Subespacio vectorial.
- Bases de espacios vectoriales.
- VARIEDAD LINEAL.
- Variedad lineal.
- APLICACIONES LINEALES.
- Aplicación lineal.
- Núcleo e imagen de una aplicación lineal.
- TEOREMA DE ISOMORFÍA.
- Isomorfismo.
- Teorema de isomorfía.
María Elena Costa
Tema 12. Espacios vectoriales.
ESPACIOS VECTORIALES.
Empezaremos el tema definiendo qué es un espacio vectorial y también qué es un
subespacio vectorial como un subconjunto de éste si satisface dos propiedades. Así
mismo definiremos la unión, intersección y suma directa entre ellos.
El concepto de espacio vectorial tiene su origen geométrico en la abstracción de las
propiedades algebraicas esenciales libres de los vectores del plano y del espacio.
ESPACIO VECTORIAL
Definición
Sea K un cuerpo conmutativo. Un conjunto no vacío V se denomina espacio vectorial
sobre K si existen dos operaciones:
Suma:
V ,  : V  V  V
x, y   x  y
Producto por escalar:
V ,  K  : K  V  V
, x   x
tal que:
- (V,+) es un grupo conmutativo. Verifica las propiedades:
- asociativa: x   y  z   x  y   z
- conmutativa: x  y  y  x
- existencia de elemento neutro: 0  V , x  0  x
- existencia de elemento opuesto:  xx V , x   x  0
y (V,·K) verifica:
- distributiva respecto a la suma de elementos de V:  x  y    x   y
- distributiva respecto a la suma de elementos de K:     x   x   x
- pseudoasociativa:   x    x 
- existencia de elemento neutro:  1  K , 1x  x
Ejemplos

En R n se definen las operaciones
María Elena Costa
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x1 , x2 ,, xn    y1 , y 2 ,, y n   x1  y1 , x2  y2 ,, xn  yn 
 x1 , x2 ,, xn   x1 , x2 ,, xn 
siendo  un número real. De este modo R n en un espacio vectorial sobre R .

El conjunto de polinomios con coeficientes reales con las operaciones habituales
de suma y producto forma un espacio vectorial sobre R.
A los elementos de K les llamaremos escalares y a los elementos de V vectores. Los
elementos de K los representaremos mediante las letras minúsculas del alfabeto griego y
los vectores se representaran por letras minúsculas del alfabeto romano.
SUBESPACIO VECTORIAL
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre K. Un subconjunto no vacío F  V se denomina
subespacio vectorial de V si verifica:
1. x  y  F x, y  F
2. x  F    K , x  F
Observaciones
- Con las operaciones que hereda F de V, todo subespacio vectorial es a su vez
un espacio vectorial sobre K.
- La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto F de V sea un
subespacio vectorial es que se verifique  x   y  F , x, y F ,  K .
Esta condición sustituye a las dos condiciones de la definición y es la que se
utiliza nomalmente.
- Todo espacio vectorial V admite dos subespacios que llamaremos triviales o
impropios y son 0 y V. Todos los subespacios no triviales se llaman
subespacios propios.
Ejemplo

El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo con n incógnitas es un
subespacio vectorial de Kn.
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
El conjunto de los números reales es un subespacio vectorial del cuerpo de los
complejos.
Definiciones
 i  1,, n una familia de subespacios
Sea V un espacio vectorial sobre K y sean Fi
de V. Definimos:
n
- la intersección de subespacios como
 F  u  V / u  F , i  1,, n
i
i
i 1
n
 F  u  V /  i  1,, n, u  F 
- la unión de subespacios como
i
i
i 1
 F  u  V / u   u
n
- la suma de subespacios como
i 1
i
i
con ui  Fi , i  1,, n
La intersección y la suma de subespacios vectoriales son un subespacio vectorial, sin
embargo no podemos afirmar que la unión de subespacios sea un subespacio.
Demostración

Intersección de subespacios:
p
p
i 1
i 1
Sean x, y   Fi tenemos que probar que  x   y   Fi . Por ser x e y dos
elementos de la intersección están en cada uno de los subespacios Fi y por la
condición de subespacio  x   y  Fi i . Por tanto  x   y pertenece a la
intersección de todos ellos como queríamos demostrar.

Suma de subespacios:
Lo probaremos mediante inducción sobre i, número de subespacios.
Para i = 2, F  F1  F2 . Sean x, y  F que `podemos descomponer como
x  x1  x2
y  y1  y2 con x1 , y1  F1
x2 , y2  F2 por la definición de
suma de subespacios. Tenemos que probar que  x   y  F :
 x   y   x1  x2     y1  y2    x1   y1    x2   y2   F1  F2  F
n
n 1
i 1
i 1
Suponemos cierto para n –1, tenemos que probarlo para n, F   Fi  Fi  Fn
Ambos sumandos son subespacios vectoriales y como la suma de subespacios es
otro subespacio (caso i = 2) entonces F es un subespacio vectorial de V

Unión de subespacios no es subespacio. Damos un contraejemplo:
María Elena Costa
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Sea V = R2 y F1  R  0, F2  0 R . Entonces a,0  F1 y 0, b  F2 pero
a, b  F1  F2
BASES DE ESPACIOS VECTORIALES
Los elementos de un espacio vectorial o de un subespacio vectorial se pueden
representar como una combinación lineal de elementos de dicho espacio o subespacio
respectivamente. Veremos la condición de linealmente independiente y de sistema de
generadores que permitirán definir una base para representar estos elementos. Estas
bases no son únicas sin embargo todas tienen el mismo número de elementos con lo
cual podremos definir también la dimensión tanto del espacio como del subespacio
vectorial. Este concepto de base es importante pues permite el estudio algebraico un
espacio vectorial mediante los modelos analíticos.
Definiciones
Dada una familia finita S de vectores x1 , x2 ,, xn V diremos que u  V es
combinación lineal (CL) de los anteriores si  1 , 2 ,, n  K tal que
u  1 x1  2 x2    n xn .
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de S es un subespacio
vectorial que denotamos por L S y el conjunto S es el sistema de generadores (SG)
del subespacio.
Diremos que un espacio vectorial está finitamente generado si existe un conjunto
finito de vectores de V que sea sistema generador.
Diremos que este conjunto de vectores es linealmente independiente (LI) si la única
posibilidad de encontrar una relación del tipo 1 x1  2 x2    n xn  0 con
x1 , x2 ,, xn  S es la trivial 1  2    n  0 . En caso contrario el conjunto se
llama linealmente dependiente (LD).
Ejemplo:
Tomamos R3 como espacio vectorial y en él los siguientes vectores:
María Elena Costa
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x1  1, 0 ,0,
x2  1,1,0, x3  1,1,1, x4  2, 2,1
- x2 , x3  son LI pero no es SG de R3
- x1 , x2 , x3 , x4  es SG de R3 pero no es LI
- x1 , x2 , x3  es LI y es SG de R3
Consecuencias de la definición de linealmente independiente:
- Todo vector no nulo de V forma por sí mismo un conjunto LI
 v  0    0 con v  0
- Si un conjunto de vectores contiene el vector nulo es un conjunto LD
Podemos escribir una CL de ellos con el coeficiente del vector nulo distinto a 0
cuya suma es el vector nulo
- Si añadimos un nuevo vector a un conjunto de vectores LD el conjunto es LD
Si existe una CL de los primeros cuya suma es nula al añadir otro vector
podemos mantener estos coeficientes para los vectores y dar el coeficiente 0 al
nuevo vector
- Todo subconjunto de vectores de un conjunto LI es también LI
Si no fuera cierto por la propiedad anterior al añadir los vectores tendríamos que
sería un conjunto LD
- La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea LD es que al
menos uno de ellos se pueda escribir como CL de los demás.
Se verifica 1 x1  2 x2    n xn  0 con algún i no nulo. Suponemos 1  0
despejando x1 

2
x2    n xn es CL de los demás vectores.
1
1
Las características de LI y SG definen las bases de vectores.
Definición
Un subconjunto B  V se denomina base de V si verifica las dos propiedades
siguientes:

Si B es un conjunto linealmente independiente.

El conjunto es sistema generador de V.
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Ejemplo
Del ejemplo anterior, los vectores x1  1, 0 ,0, x2  1,1,0, x3  1,1,1 forman base en
R3 porque son LI y SG en R3.
Observación
Si S es un conjunto de vectores linealmente independiente, S es base de L S .
La base de un espacio vectorial permite expresar cualquier vector del espacio como
combinación lineal de los elementos de ésta. Esta expresión es única para cada vector.
El siguiente teorema caracteriza las bases de vectores:
Teorema
Un subconjunto B  V es base de V si y sólo si todo elemento de V admite una única
representación como combinación lineal de elementos de B.
Demostración
  Sea B  x1 , x2 ,, xn base de V. Sea . Veamos que u admite una única
expresión como combinación lineal de elementos de B.
Suponemos que existen dos expresiones para u:
u  1 x1  2 x2    n xn
u  1 x1   2 x2     n xn
Tomando la diferencia entre ambos tenemos
1  1 x1  2   2 x2    n  n xn
0
Como B es un sistema linealmente independiente entonces
i  i  0 i  1, 2, , n de donde se tiene i  i
i  1, 2, , n .
  Todo elemento de V admite una única combinación lineal de elementos de B
entonces L B  V . Además como
0 V
la única combinación para
1 x1  2 x2    n xn  0 es la trivial 1  2    n  0 por tanto los
vectores son linealmente independientes, es decir, B  x1 , x2 ,, xn  es una
base.
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Definición
Los coeficientes de un vector en una base se denominan coordenadas del vector en
dicha base.
Ejemplo:
Tomando la base x1  1, 0 ,0, x2  1,1,0, x3  1,1,1 de R3 el vector 5, 2, 3 se
escribe como 5, 2, 3  2 1,0, 0  11,1, 0  3 1,1,1 . Los coeficientes 2,  1, 3 son las
coordenadas del vector 5, 2, 3 en dicha base.
Algunas propiedades de las bases son:
a) Teorema de Steinitz:
Si B  x1 , x2 ,, xn  es base de V y y1 , y 2 ,, y m es un conjunto linealmente
independiente se verifica:
- mn
- existe otra base de V formada por y1 , y 2 ,, y m y n-m vectores de B.
Demostración
Para demostrarlo introduciremos uno a uno los vectores yi sustituyéndolos por
otro de B y comprobando que sigue siendo una base.
a. Introducimos y1. Por ser B base podemos expresarlo en función de sus
vectores
y1  1 x1  2 x2    n xn y como es no nulo al menos uno de los coeficientes
i es no nulo, por ejemplo 1 . Entonces: x1 
1
1
 y1  2 x2    n xn  .
Esta expresión nos dice que L x1 , x2 ,, xn  L y1 , x2 ,, xn . Además estos
últimos son linealmente independientes. En efecto,
0  1 y1   2 x2     n xn  1 1 x1  2 x2    n xn    2 x2     n xn 
 11 x1  12   2 x2    1n   n xn
Los vectores xi forman base por tanto para que se verifique la expresión todos
los coeficientes deben ser nulos:
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11  0 como 1  0 por hipótesis 1  0
1 j   j  0 como ahora 1  0 se obtiene  j  0  j  2,, n
Hemos demostrado que y1, x2 ,, xn forman una base de V.
b. Suponemos que ya hemos sustituido h vectores de la base B por y1 ,, y h .
Reordenamos si es necesario y suponemos que son los h primeros vectores
y1 ,, yh , xh1 ,, xn . Introducimos yh+1. Para esto expresamos el vector en
función de la base que tenemos ahora:
yh1  1 y1    h yh  h1 xh1    n x x
Por a. sabemos que podemos sustituir yh+1 por cualquier vector que en esta
expresión tenga coeficiente no nulo. Basta con probar que uno de los
coeficientes de los vectores xi es no nulo. Es cierto, ya que si lo fueran
significaría que yh+1 es combinación lineal de los yj (j=1,..,h) y esto no es cierto
ya que por hipótesis los vectores y1 , y 2 ,, y m son linealmente independientes
(en particular un subconjunto también lo será).
Estas sustituciones pueden hacerse hasta haber introducido los m vectores y así
tenemos m  n .
b) Teorema de la base:
Si B  x1 , x2 ,, xn es una base de V, toda otra base de V tiene el mismo número de
elementos que B.
Demostración
Suponemos B  x1 , x2 ,, xn  y B'  y1 , y2 ,, ym dos bases de V con n y m
vectores respectivamente. Por el teorema de Steinitz podemos completar la base
B con p vectores obtener m vectores. Y del mismo modo B’ se puede completar
con q vectores hasta obtener n vectores. Se cumple:
n  p  m
 con m, n, p, q  N pero es sólo cierto si p  q  0 y m  n ; por
m q  n
tanto todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de
elementos.
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Como podemos ver la dimensión de un espacio vectorial no depende de la base pues
todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.
Definición
La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de elementos de sus
bases vectoriales. Se denota por dim V.
VARIEDAD LINEAL
Definición
Sea V un espacio vectorial y F un subespacio vectorial de V. Dado u  V se denomina
variedad lineal que pasa por u y que posee un espacio de direcciones dado por F al
conjunto u  u  w / w  F . Ésta verifica:
- u  u 
- u  v  u  v  F
La dimensión de la variedad lineal u  es la dimensión del subespacio vectorial F.
Si u1 , u 2 , , u m es una base de F, los elementos de u  son los vectores x de la forma
x  u  1u1  2u2    mum con 1 , 2 ,, m  K . Ésta es la ecuación vectorial de
la variedad lineal u  .
Si fijamos una base e1 , e2 ,, en  de V y descomponemos los vectores:
n
x   xi ei
i 1
n
u   ai ei
i 1
m
u j   aij ei
j 1
la ecuación vectorial se convierte en el sistema
m
xi  ai    j aij
i  1, 2, , n
j 1
que es el sistema de ecuaciones paramétricas de la variedad lineal u  .
Definición
Sea V un espacio vectorial y sea F un subespacio vectorial de V. Dados u, v V diremos
que u y v están relacionados módulo F si u  v  F . Esta relación es de equivalencia
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(verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva) y se puede formar el
correspondiente conjunto cociente de V módulo F, que designamos por V
F
. Con las
operaciones de
suma u   v  u  v
producto u    u    K
el conjunto que denominaremos espacio vectorial cociente de V modulo F ( V
F
)
tiene estructura de espacio vectorial sobre K
Este espacio vectorial cociente verifica respecto a su dimensión que
dim V
F
= dim V – dim F
APLICACIONES LINEALES
De todas las aplicaciones entre espacios vectoriales aquellas que resultan más
interesantes son las que respetan la estructura de espacio vectorial. Un espacio vectorial
es un conjunto con dos operaciones; una aplicación entre los conjuntos que conserva las
dos operaciones (suma y producto por escalar) es una aplicación que respecta la
estructura vectorial. Ésta son las aplicaciones lineales.
APLICACIÓN LINEAL
Definición
Sean V y W dos espacios vectoriales sobre K. Una aplicación f : V  W se denomina
aplicación lineal de V en W si se verifica:
f x  y   f x   f  y 
f x   f x 
 x, y V y    K .
Estas dos propiedades pueden ser sustituidas por una única condición:
f  x   y    f x    f  y 
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Ejemplo
La aplicación
V  Kn
v  a1 , a2 ,, an 
que hace corresponder a cada vector sus coordenadas en una base dada es lineal.
Propiedades
Las siguientes propiedades nos permitirán conocer las principales características de las
aplicaciones lineales:
1) Sabiendo calcular la imágenes mediante f de los vectores de una base de V, se uede
calcular también la imagen de cualquier vector de V
f 1 x1  2 x2    n xn   1 f x1   2 f x2     n f xn 
y por tanto
2) La imagen de un subespacio vectorial de V mediante f es un subespacio vectorial de
W (Análogamente, la imagen inversa f –1 de un subespacio de W seria un subespacio de
V)
3) La imagen del vector nulo de V mediante la aplicación lineal f es el vector nulo de W.
f 0  f 0  0  f 0  f 0 por ser f lineal. Así f 0  2 f 0 cierto sólo si
f 0  0
4) La composición de aplicaciones lineales es una aplicación lineal
Si f : V  W y g : W  Z son aplicaciones lineales, g  f : V  Z es lineal
g  f x  y   g  f x  y   g  f x   f  y   g  f x   g  f  y  
 g  f x   g  f  y 
g  f x   g  f x   g   f x     g  f x    g  f x 
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NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL.
Definiciones
Se denomina núcleo de una aplicación lineal al conjunto nuc f   u V / f u   0
El conjunto imagen de una aplicación lineal se define im f   w W / f u   w
Propiedades
Verifican las siguientes propiedades:
1) nuc f  es un subespacio vectorial de V.
Si u, v  nuc f  se cumple:
f u  v   f u   f v   0  0  0
f (u  f u     0  0   K
2) im f  es un subespacio vectorial de W.
Si u' , v'  im f  existen u, v V tal que f u   u ' , f v   v'
u '  v'  f u   f v   f u  v   im f 
  u'  f u   f u   im f 
3) f inyectiva  nuc f   0
  Como f 0  0 y f es inyectiva el núcleo de f tiene un único elemento, el 0.
  Sean x, y V tal que f x   f  y  , es decir, f x   f  y   0 . Por ser f lineal
f x  y   0 de donde se tiene que x  y  nuc f  . El único elemento del núcleo
es el 0 por tanto x  y  0 y x  y .
4) Teorema:
Si V es un subespacio vectorial de dimensión finita se verifica:
dim V = dim (nuc(f)) + dim (im(f))
Demostración
Tomamos una base del núcleo de f x1 , x2 ,, x j que por el teorema de Steinitz
podemos completar hasta obtener una base de V x1 , x2 ,, x j , y j 1 ,, yn . Las
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imágenes de los j primeros vectores son 0. Las imágenes de los restantes
vectores forman una base de la imagen de f. En efecto:
Sea w  im( f ) existe un v  V tal que f v   w . Expresamos v en función de
los vectores de la base de V y calcularemos su imagen
w  f v  f 1 x1  2 x2     j x j   j 1 y j 1    n yn  
por ser f una aplicación lineal
 1 f x1   2 f x2      j f x j    j 1 f y j 1     n f  yn  
Las imágenes de los j primeros vectores son 0 quedando así
  j 1 f y j 1     n f  yn   w
Además son linealmente independientes, ya que:
0   j 1 f y j 1     n f  yn   f  j 1 y j 1    n yn 
con lo cual  j 1 y j 1    n yn  nuc( f ) y puede escribirse también como
combinación lineal de los vectores que forman la base del núcleo
 j 1 y j 1    n yn  1 x1    n xn por tanto
0  1 x1     j x j   j 1 y j 1    n yn
Los vectores que aparecen en esta combinación lineal son linealmente
independientes y por tanto los coeficientes son nulos, en particular los
i i  j  1,, n
TEOREMA DE ISOMORFÍA
ISOMORFISMO
Definición
Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales V y W sobre K es una aplicación
f : V  W lineal y biyectiva. En tal caso se dice que V y W son isomorfos.
Teorema
Si V y W son subespacios vectoriales de dimensión finita, V y W son isomorfos si y sólo
si dim V = dim W.
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Demostración

Suponemos que existe un isomorfismo f entre los dos subespacios
f :V W
Sea B  u1 , u 2 ,, u m  una base de V. Veamos que el conjunto de imágenes de B
por f es base de W y que ambas tienen el mismo número de elementos y por
tanto misma dimensión. Tenemos que probar que
1 f u1   2 f u 2     m f u m   0 . Por ser f lineal tenemos
f 1u1  2 u2    m um   0 y por ser inyectiva 1u1  2u2    mum  0 .
Los vectores ui son base de V por tanto la única combinación posible es la trivial,
son linealmente independientes.
Los vectores f ui  i  1, , m son base de W. Los subespacios V y W tienen la
misma dimensión.

Por ser dos subespacios con la misma dimensión existe una base con igual
número de vectores. En este caso basta probar
1v1  2 v2    m vm  1 f u1   2 f u2     m f um 
determina un isomorfismo.
TEOREMA DE ISOMORFÍA
Sea f : V  W una aplicación lineal, entonces los subespacios V
nuc f 
e im f  son
isomorfos.
Demostración
Los elementos de V
nuc f 
son de la forma u  u  x / x  nuc f con
u V
.
Todos los elementos de u  tienen la misma imagen por f
f u  x  f u   f x  f u   0  f u 
Podemos definir la aplicación:
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g :V
 im f 
nuc f 
g u   f u 
Esta aplicación verifica:
- es lineal: g u  v  f u  v  f u   f v  g u  g v
- es sobreyectiva: para cada w  im f  existe u  V tal que w  f u  y por tanto
existe u   V
nuc f 
de manera que g u   f u   w
- es inyectiva: si f u   0 significa que f u   0 , es decir,
u  nuc f  y por
tanto u   0
La aplicación g es lineal y biyectiva, por tanto un isomorfismo entre espacios.
De este teorema de isomorfía se deducen los siguientes corolarios:
1) Si F y G son subespacios de V, los subespacios F  G  y G
son isomorfos.
F G
F
Demostración
Definimos la aplicación
f : G  F  G 
v  v
F es lineal.
Su núcleo está formado por los elementos v  G tales que v  0 , es decir, tales
que v  F . Por tanto, el núcleo de f está formado por los elementos que
pertenecen a ambos: nuc f   F  G . Además f es sobreyectiva ya que dado [u]
podemos escribir u  v  w con v  G y w  F entonces u  v  f v .
Aplicando el teorema de isomorfía tenemos G
F G
y F  G 
F
son
isomorfos.
2) Si F  G subespacios de V, entonces
V F  y V son isomorfos.
G F  G
Demostración
Si F  G implica que si una clase [u] de V
F
tiene un representante en G todos
sus elementos son de G y por tanto G F  V F .
María Elena Costa
Tema 12. Espacios vectoriales.
Definimos la aplicación
f :V
V
F
G donde uindica la clase de u módulo G
u   u
f es lineal y sobreyectiva y su núcleo está formado por las clases [u] de manera
que u  0 , es decir, tales que u  G . El nuc f   G . Aplicando el teorema
F
V
de isomorfía se tiene
F
G
y V
F
G
son isomorfos.
BIBLIOGRAFÍA:
- Álgebra lineal y geometría. M. Castellet, I. Llerena. Editorial Reverté, S.A. 1991
- Geometrías Lineales y Grupos de Transformaciones. A.F. Costa González, J. Lafuente
López. Cuadernos de la UNED. 1991
- Matemáticas. Álgebra, cálculo, geometría, probabilidad. M.Fernández, F.Garzo y
J.Tabuenca. Mc.Graw-Hill, serie Shaum. 1989
Temarios consultados:
- Magíster.
- eltemario.com
María Elena Costa