Examen de estadística: 2º curso de ingeniería química

Examen de estadística: 2º curso de ingeniería química. 9 de febrero de 2009
Nombre
Apellidos
1.- Se investiga la temperatura de deflexión bajo carga para dos tipos diferentes de tubería de
plástico. Para ello se toman dos muestras aleatorias anotando las temperaturas de deflexión
observadas.
Tipo I
Tipo II
206
177
193
176
192
198
188
197
207
185
210
188
205
206
185
200
194
189
187
201
179
197
178
203
194
180
213
192
205
193
- Calcular para tipo II (1p)
Media 192,13 Varianza 89,12
Máximo 206
Mínimo 176
Mediana 193 Meda 7
Primer cuartil 185
Tercer cuartil 200
Rango intercuartilico 15
Percentil1 176
Percentil5 175
Percentil15 180
Percentil90 203
Percentil95 206
- Presentar los datos en forma de tabla de distribución de frecuencias
Clase Limite inferior Limite superior Marca Frecuencia Frecuencia rel. Frecuencia ac. Frecuencia rel. ac.
Menor o igual -170
0
0
0
0
1
170
180
175
3
0,2
3
0,2
2
180
190
185
3
0,2
6
0,4
3
190
200
195
6
0,4
12
0,8
4
200
210
205
3
0,2
15
1
mayor
210
0
0
15
1
Media = 192,133 desviación estándar = 9,44054
- Dibujar un diagrama de cajas, un diagrama de tallo-hojas y un histograma.
Comentar las gráficas
2
6
(5)
7
4
17|67
18|0589
19|23778
19|778
20|0136
6
5
4
3
2
1
0
170
170
180
190
200
180
190
200
210
210
Diagrama tallo-hojas
Histograma
Diagrama de cajas
Del diagrama de cajas se desprende que los datos son bastante simétricos, muestran ligera asimetría
a la izda. También se observa en el histograma esta asimetría
- Contrastar la igualdad de varianzas (0,5)
S12 = 127,07
S22 = 89,12 f0 = 1,43 RC = {F0 > 2,48}  {F0 < 0,4} f0 RC. Acepto la
igualdad de varianzas
¿Los datos apoyan la afirmación de que la temperatura de deflexión para la tubería 2
es menor que la de la tubería 1? (0,5)
X 1  195,73 X 2  192,13 S1 = 11,27 S2 = 9,44 n1 = n2 = 15 S2 = 108,095
H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 < μ2
S = 10,4
S
1 1
= 3,8

15 15
t0 = 0,95 RC ={T0 < -1,701} Los datos soportan la
hipótesis μ1  μ2
p-valor P(T28<0,95)
0,8 < p-valor< 0,85 ya que P(t28>0,85)=0,2 y P(T28>1,05) =0,15
1
Supongamos que si la temperatura de deflexión promedia para la tubería de tipo 2 es
mayor que la de la tubería de tipo I en 5ºF, entonces sería importante detectarlo con una
probabilidad de al menos 0,9. ¿Resulta adecuada la selección del tamaño de las muestras?
(0,5)
P(-5)= P(RC/ μ1 - μ2 = -5) = P(T0<-1,701/ μ1 - μ2 = -5)= P(
P(
X 1  X 2  (5)
1 1
s

15 15
 -1,701+
5
1 1
s

15 15
X1  X 2
1 1
s

15 15
 -1,701/μ1 - μ2 = -5)=
/μ1 - μ2 = -5=P(T28<-0,39)<0,25
No es adecuado el tamaño muestral
Calcula in intervalo de confianza para la media de la temperatura de deflexión para la
tubería de tipo 1. (0,5)
X 1  t 0,025,14 s1 / 15 t0,025,14 = 2,145
X 1  6,24
189,49  μ1  201,97
¿Error de estimación cometido? (0,25)
6,24
¿Qué tamaño de muestra se necesita si se pretende que el estimador de la media difiera
de la media poblacional en ±0,5 ºF? con una confianza del 95%? (0,25)
t 0,025,14 s1 / n = 0,5 n=2337,55 n= 2338
2.- Supongamos que tres fábricas A, B y C vierten productos al río Pisuerga en una proporción 0,4
0,3 0,3. Estos vertidos son tóxicos con probabilidades 0,01 0,05 y 0,1 respectivamente. (0,75)
a) Calcular la probabilidad de un vertido tóxico al río Pisuerga.
P(tóxico) = P(tóxico/A)P(A)+ P(tóxico/B)P(B)+ P(tóxico/C)P(C) = 4.10-3+15.10-3+30.10-3 =
49.10-3
b) Si se detecta un vertido tóxico en el río, calcular la probabilidad de que este provenga de
cada una de las tres fábricas.
P(A/tóxico)=P(tóxico/A)P(A)/P(tóxico) = 4/49
P(B/tóxico)=P(tóxico/B)P(B)/P(tóxico) = 15/49
P(C/tóxico)=P(tóxico/C)P(C)/P(tóxico) = 30/49
c) Si se han detectado en el último año 10 vertidos tóxicos, calcular la probabilidad de que 5
sean de A 3 de B y 2 de C.
10 5 
P=    [ P(A/tóxico])5 [P(B/tóxico)] 3 [P(C/tóxico])2=9,8.10-5
 5  3 
3.- Un proceso químico utiliza un catalizador. El tiempo de duración del catalizador es una v.a. N
(500,250) (0,75p).
Calcular P (catalizador funcione más de 500horas)
P(X>500)= P(Z>0)= 0,5
P (catalizador funcione más de 1000horas)=
P(X>1000)=P(Z>2)= 0,0228
P (catalizador funcione más de 1000horas/ha durado más de 500)=
P(X>1000/X>500) = P(X>1000)/P(X>500) = 0,0456
2
4. - Resolver o acotar (0, 5)
P (2,54 < F10, 15 < 3,8)=
P (F10, 15 < 3,8)- P (F10, 15 < 2,54)= 0,99-0,95 = 0,04
P (0,26 < F15, 10 < 0.39) =
P (F15, 10 < 0.39) - P (F15, 10 < 0,26 ) = P (F10, 15 >1/ 0.39) - P (F10, 15 >1/ 0,26 )=0,04
P (1,77 < T13 < 3,85)=
P (T13 < 3,85) -P (T13 < 1,77)=p 0.045  p0,0495
P (Z < x) = 0,95
X= 1,64
P (215 < y) = 0,05
Y = 7,26
P (T30 < z) = 0,25
P (T30 >- z) = 0,25 -z = 0,683
z = -0,683
5.- Contesta brevemente (1p)
1. Coeficiente R cuadrado
Cociente entre la variación explicada por el modelo y la variación total
VE
R  cuadrado 
VT
2. Variación explicada por la regresión
VE    yˆ i  y 
2
i
3. Hipótesis estadística
Cualquier afirmación sobre una característica de la población
4. Hipótesis nula
La que se supone cierta, a no ser que los datos la contradigan
5. Estadístico
V.a. función de la muestra
6. Región crítica
En un contraste de hipótesis, subconjunto de R utilizado para hacer el contraste. Si el valor
del estadístico cae en la región crítica, se rechaza la hipótesis nula.
7. Nivel de significación
Riesgo que el investigador está dispuesto a asumir. En porcentaje corresponde al tanto por
ciento de las veces que obtendríamos un resultado no válido.
8. Varianza muestral
2
2
1 n
1 n
o




x

x
x

x
 i
 i
n i 1
n  1 i 1
3
9. Función de densidad de probabilidad
Para v.a. continuas .Función positiva verificando

f ( x)dx  1
R
10. Función de probabilidad
Para v.a. discretas conjunto de valores que toma la variable con su probabilidad (x, Px)
xRango(X)
11. Espacio muestral
Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
12. Sucesos independientes
La ocurrencia de uno de ellos, no influye en la ocurrencia del otro
P(AB) = P(A) P(B) P(A/B)=P(A) P(B/A)=P(B)
13. fórmula de Bayes
 =  Ai Ai mutuamente excluyente con P(Ai) >0 y sea B el resultado de un experimento
con P(B)>0. La probabilidad a posteriori de los sucesos Ai viene dada por la fórmula
P( B / Ai ) P( Ai )
P( Ai / B) 
 P( B / Ai ) P( Ai )
i
14. Potencia de un contraste
Potencia en un punto de la región crítica es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula
cuando es falsa y toma el valor 
15. Error de tipo I en un contraste
Es la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando es cierta.
4