Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica 6.3 La

Matemática básica para ingeniería (MA105)
Clase Práctica 6.3
La ley de enfriamiento de Newton
Establece que el cociente de diferencias de temperaturas real y máxima decrece en
forma exponencial
T (t )  Tm  (T0  Tm )ekt
T0 : Temperatura inicial de un objeto,
Tm : Temperatura del ambiente o medio circundante,
k : Constante positiva que depende del tipo de objeto.
1. Una tasa de café tiene una temperatura de 200°F y se coloca en una habitación que
tiene una temperatura de 70°F. Después de 10 minutos la temperatura del café es de
150°F.
a. Determine una función que modele la temperatura del café en un tiempo t.
T0  200º F
Tm  70º F
 T (t )  70  130e kt
t  0;
Además, para t=10 minutos, T=150ºF
 T (10)  70  130e k (10)  150 y despejando obtenemos: k  0,04855
Y la función que modela la temperatura del café en un tiempo t será:
T (t )  70  130e 0,04855 t
b. Calcule la temperatura del café después de 15 min.
En base al modelo anterior, se pide T(15)
T (15)  70  130e 0,04855 (15)  132,8º F
Rpta: La temperatura del café, después de 15 minutos de colocado en la habitación,
es de aproximadamente 132,8ºF
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c. ¿En qué momento el café se habrá enfriado 100°F?
En este caso, la temperatura, luego de cierto tiempo t, deberá ser de 100ºF,
entonces:
T (t )  70  130e 0,04855t  100
Despejando, obtenemos: t  30,2 minutos
El café se habrá enfriado 100ºF luego de aproximadamente 30,2 minutos de haber
sido dejado en la habitación.
2. Un huevo cocido a temperatura de 96°C se coloca en agua de 16°C para enfriarlo.
Cuatro minutos después la temperatura del huevo es 45°C. Determine el momento
en que el huevo estará a 20°C.
T0  96º C
Tm  16º C
 T (t )  16  80e kt
Ahora, para t=4 minutos, T es 45ºC
Reemplazando en la función anterior:
T (4)  16  80e k ( 4)  45
Despejando obtenemos: k  0,25368
Y la función que modela la temperatura del huevo será: T (t )  16  80e
0, 25368t
t  0;
Ahora, para determinar el tiempo que debe transcurrir para que el huevo alcance una
temperatura de 20ºC será:
T (t )  16  80e 0, 25368 t  20
Despejando, t  11,81min
El tiempo necesario para que el huevo colocado en la habitación alcance una
temperatura de 20ºC es aproximadamente 11,81 minutos
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3. La policía descubrió un cuerpo a las 11 pm de un viernes. La temperatura del
cadáver en ese momento era de 31 0 C y una hora después era de 30 0 C. La
temperatura de la habitación donde fue encontrado el cadáver es de 22 0 C. Estime
la hora en que ocurrió el asesinato.
Nota: La temperatura del cuerpo humano (vivo) es de 37 0 C
T0  31º C
Tm  22º C
 T (t )  22  9e kt
Como una hora después de ser encontrado el cadáver tuvo una temperatura de
30ºC, podemos concluir que para t=1 hora T=30ºC
Reemplazando en la función que modela la situación, hallaremos k
T (1)  22  9e k (1)  30  k  0,11778
El modelo será entonces:
T (t )  22  9e 0,11778t
Ahora, algún tiempo antes de ser encontrado, la persona estaba viva con una
temperatura de 37ºC. Entonces:
T (t )  22  9e 0,11778t =37
Despejando, t  4,34 horas -4h 20 minutos
La persona murió entonces 4h 20 minutos antes de las 11 de la noche; o sea, a las 6
horas 40 minutos de la tarde.
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Modelos de crecimiento
La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño,
composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los
años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y
consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una
información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas)
en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y
conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos
necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar
tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales
Una población que experimenta crecimiento exponencial crece según el modelo.
n(t )  n0 e rt
donde:
n(t ) : Población en un tiempo t
n0 : Tamaño inicial de la población
r : Tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción de la población)
t : Tiempo
4. Un cultivo de bacterias tiene inicialmente 500 bacterias. Más tarde un biólogo realiza
un conteo muestral en el cultivo y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es
40% por hora.
a. Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.
n0  500 bacterias
r  0,4
 n(t )  500e0, 4t
t  0;
b. ¿Cuál es la población de bacterias estimada después de 10 horas?
En este caso se pide hallar n(10)
 n(10)  500e0, 4(10)  27299bacterias
La población de bacterias luego de 10 horas del conteo inicial fue aproximadamente
27 299
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c. En que tiempo se triplico la población de bacterias.
Como la población inicial fue de 500 bacterias, se pide el instante en el cual la
población n(t) se ha triplicado; o sea, ha llegado a ser de 1500 bacterias.
 n(t )  500e 0,4t  1500
Despejando, t  2,75 horas 2 horas45 minutos
La población de bacterias se triplicó, con respecto al conteo inicial, luego de
aproximadamente 2 horas y 45 minutos
5. Los biólogos han de determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y
nutrientes, el numero de bacterias de un cultivo crece exponencialmente. Suponga que
se tiene inicialmente 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay
6000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora?
n0  2000bacterias n(t )  2000e
rt
Además, para t=20 minutos n(t)=6000 bacterias.
Reemplazando en la función podremos hallar la constante k
n(t )  2000e rt  6000 k  0,05493 y, con ello, n(t )  2000e
0, 05493t
t  0;
Al cabo de una hora, o sea para t=60 minutos, habrá:
n(60)  2000e0,05493(60)  53998bacterias
Al cabo de una hora del conteo inicial habrá aproximadamente 53 998 bacterias
Desintegración Exponencial y Media Vida
Una función exponencial de desintegración tiene la forma siguiente:
Q(t) = Q0e-kt ,
donde Q0 y k son ambos positivos. Q0 representa el valor de Q al tiempo t = 0, es decir
el valor inicial, y k es la constante de desintegración.
La media vida th de una sustancia experimentando desintegración exponencial es el
tiempo que tarda la mitad de la sustancia en desintegrarse. La media vida es
independiente de la cantidad inicial Q0.
La constancia de desintegración k y la media vida th para Q son relacionadas por la
ecuación th k = ln 2.
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6. La vida media de cierta sustancia radiactiva es 14 días. Al principio hay 6.6g.
a. Exprese la cantidad de sustancia que queda, como función del tiempo t .
t h  14 días
Q0  6,6 g
 k  ln(2) / 14  0,04951
Por lo tanto, Q(t )  6,6e
0, 04951t
t  0;
b. ¿Cuándo quedará un gramo de sustancia?
En este caso, se pide el tiempo t para el cual Q(t)=1 g
Entonces: Q(t )  6,6e
0, 04951t
 1  t  38,1 días
Para que quede un gramo de sustancia, deben transcurrir aproximadamente 38,1
días
7. La vida media de cierta sustancia radioactiva es de 1.5 s. La cantidad inicial de
sustancia es de S 0 gramos.
a. Exprese la cantidad de sustancia S restante como una función de tiempo t .
t h  1,5 segundos  k  ln(2)/1,5 0,4621
Entonces la cantidad de sustancia S restante será:
S (t )  S 0 e 0, 4621t t  0;
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b. Determine S 0 si queda un gramo después de un minuto.
Luego de t=1 minuto, S es 1 gramo.
Entonces:
S (1)  S0e0,4621(1)  1  S0  1,59 gramos
La cantidad inicial de sustancia es aproximadamente 1,59 gramos
La Escala de Ritcher
La magnitud en la escala de Richter, R de un terremoto tiene como base las
características asociadas con la onda sísmica y se mide mediante
R  log(a / T )  B
Donde:
a : Amplitud de la onda (intensidad del terremoto) (en  m )
T : Periodo (en segundos)
B : Toma en cuenta el debilitamiento de la onda sísmica debido a la distancia del
epicentro.
8. Afganistán sufrió 2 importantes terremotos en 1998. El de 4 de febrero tuvo una
magnitud de 6.1 en la escala de Richter y causo alrededor de 1300 muertes; El
del 30 de mayo alcanzo 6.9 en la escala de Richter y produjo la muerta de
4700 personas. ¿Cuantas veces más fuerte fue el terremoto más mortífero?
La fortaleza de un terremoto está asociada con la amplitud de la onda. Por ello,
manteniendo constantes el periodo (T) y el debilitamiento (B), hallaremos la relación
que existe entre las amplitudes:
Para el terremoto de febrero se cumple que: 6,1  log(a1 / T )  B …(1)
Para el terremoto de mayo se cumple que: 6,9  log(a2 / T )  B
… (2)
Calculando (2)-(1) tenemos que:
6,9  6,1  (log(a 2 )  log(T )  B )  (log(a1 )  log(T )  B) 
0,8  log(a 2 )  log(a1 ) 
a
0,8  log 2
 a1



Despejando obtenemos que:
a2
 100,8  a2  6,31a1
a1
El terremoto del 30 de mayo fue 6,31 veces más fuerte que el del 4 de febrero
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Matemática Financiera
Suponga que un capital P , se invierte a una tasa fija de interés anual r . El valor de la
inversión después de t años es:
kt
 r
A  P1   , cuando el interés se capitaliza k veces por año.
 k
A  Pert , cuando el interés se capitaliza de forma continua.
9. Suponga que se invierten $1000 a una tasa de interés anual de 6%. Calcule el
saldo después de 10 años si el interés se capitaliza:
a. Trimestralmente
P  $1000
4 (10 )
r  0,06
 0,06 
 A  10001 
 $1814

4 
t  10

k4
El saldo luego de 10 años, capitalizando trimestralmente, será aproximadamente de $
1814
b. Mensualmente
P  $1000
12 (10 )
r  0,06
 0,06 
 A  10001 
 $1819,4

12 
t  10

k  12
El saldo luego de 10 años, capitalizando mensualmente, será aproximadamente de $
1819,4
c. Continuamente
P  $1000
r  0,06
t  10
 A  1000e 0,06(10)  $1822,1
El saldo luego de 10 años, capitalizando continuamente, será aproximadamente de $
1822,1
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10. ¿En cuánto tiempo una inversión de $2000 crecerán hasta $5000 cuando se
invierten a una tasa anual de 8%, si el interés se capitaliza:
a. Trimestralmente?
P  $2000
4t
A  $5000
 0,08 
 5000  20001 
 despejando: t  11,57 años
4 
r  0,08

k4
Deberán transcurrir aproximadamente 11,57 años para lograr que el capital crezca
hasta $ 5000
b. Continuamente?
P  $2000
A  $5000
 5000 2000e 0,08t
r  0,08
despejando: t  11,45 años
Deberán transcurrir aproximadamente 11,45 años para lograr que capital llegue a ser
$5000
11. ¿Cuánto se deberá invertir a una tasa de interés anual de 6.25%, de manera que
su saldo dentro de 10 años sea $2000, si se capitaliza continuamente.
r  0,0625
A  $2000  2000 Pe(0,0625)(10) despejando: P  $1070,5
t  10
Con las condiciones dadas, deberá invertir aproximadamente $ 1070,5 para lograr
obtener $ 2000 en 10 años
Monterrico, abril de 2010
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