RELACIONES ENTRE ESCALAS TERMOMETRICAS

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RELACIONES ENTRE ESCALAS TERMOMETRICAS
Mario Melo Araya
Ex Profesor Universidad de Chile
[email protected]
En este trabajo se ofrece una presentación de las ecuaciones que relacionan a las
diferentes escalas termométricas, deducidas considerando que tales relaciones son lineales
y, por lo tanto, utilizando la ecuación de una línea recta en un sistema de coordenadas
cartesianas. Se pretende, de este modo, superar la tradicional falta de rigurosidad de las
ecuaciones empleadas tradicionalmente por ignorar el Principio de Homogeneidad
Dimensional. Por ejemplo, la ecuación
T = t + 273.15
tradicionalmente se utiliza para expresar en la escala Kelvin (temperatura termodinámica en
el Sistema Internacional) la temperatura Celsius.
Si, por ejemplo, t = 25 ºC, el
resultado que se da (298.15 ºK) se obtiene del modo siguiente:
T = 25 ºC + 273.15
= 298.15 ºK
o también.
T = 25 + 273.15 = 298.15 ºK
pero, la primera suma, algebraicamente, no es correcta porque los términos 25 ºC y
273.15 no son semejantes. Además, en el resultado apareció una unidad, el ºK, de
manera matemáticamente inexplicable. En el segundo cálculo hay una unidad que se omite
y otra que aparece de manera, también, matemáticamente inexplicable.
Conocimientos previos requeridos: Temas 2, 3, 4, 5 y 6 de esta página web. Normas
SI para tabular y graficar cantidades de magnitudes físicas. Ecuación de la línea recta.
En la Tabla 1 se muestran algunas temperaturas en las escalas Celsius, Kelvin,
Fahrenheit y Rankine
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Tabla 1
t/ºC
T/K
tF/ºF
T/ºR
100
373.15
212
671.67
0
273.15
32
491.67
-17.78
255.37
0
459.67
-273.15
0
-459.67
0
Considerando que las relaciones entre las escalas termométricas son lineales y que
la homogeneidad dimensional se consigue utilizando notaciones adimensionales en sus
planteamientos, será fácil hallar las ecuaciones requeridas.
Recordando que la ecuación y = mx + b representa una línea recta, en donde b
es la ordenada en el origen y m es su pendiente, igual a la tangente trigonométrica del
ángulo que forma la recta con el eje x, o sea,
y
y = mx + b
Δy
m = —— = tg φ
Δx
Δy
φ
Δx
b
φ
x
sólo habría que evaluar la pendiente m y la ordenada b en el origen. Los gráficos
requeridos se obtienen a partir de los valores señalados en la Tabla 1.
A. RELACION ENTRE LAS ESCALAS KELVIN Y CELSIUS.
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y = T/K
T/K
x = t/ºC
b = 273.15
373.15
100
m = 1
273.15
100
luego,
T/K = t/ºC + 273.15
-273.15
0
100
t/ºC
o bien,
T = (t/ºC + 273.15) K
(1)
Problema. Expresar la temperatura de 25ºC en la escala Kelvin.
T = (25 ºC/ºC + 273.15) K = (25 + 273.15) K = 298.15 K
B. RELACION ENTRE LAS ESCALAS RANKINE Y FAHRENHEIT.
TR/ºR
y = TR/ºR
x = tF/ºF
b = 459.67
671.67
671.67
212
459.67
m = 212/212 = 1
luego,
212
TR/ºR = tF/ºF + 459.67
o bien,
-459.67
0
212
tF/ºF
TR = (tF/ºF + 459.67) ºR
(2)
4
C. RELACION ENTRE LAS ESCALAS FAHRENHEIT Y CELSIUS
tF /ºF
y = tF/ºF
212
180
x
= t/ºC
b
= 32
180
9
m = —— = —
100
5
= 1.8
luego.
32
tF/ ºF = 1.8 t/ºC + 32
100
0
100
(3)
t/ºC
o bien,
tF = (1.8 t/ºC
+ 32) ºF
Problema. Expresar la temperatura de 25 ºC en la escala Fahrenheit.
tF
1.8 x 25 ºC
= ( —————— + 32) ºF = (45 + 32) ºF = 77 ºF
ºC
D. RELACION ENTRE LAS ESCALAS RANKINE Y CELSIUS.
Introduciendo en la ecuación (2) el valor de tF/ºF, dado en la ecuación (3), se obtiene:
TR/ºR = (1.8 t/ºC + 32) + 459.67
TR/ºR = 1.8 t/ºC + 491.67
(4)
Un cuadro completo de todas las ecuaciones que relacionan las escalas termométricas
puede obtenerse a partir de las ecuaciones deducidas anteriormente. En efecto, despejando
5
t/ºC en las ecuaciones (1), (3) y (4) se tienen las ecuaciones que relacionan,
explícitamente, la temperatura Celsius con las otras escalas termométricas; ecuaciones que
reunidas en una serie de igualdades, queda:
t
T

ºC
 273 . 15 
K
5  TR


9  º R
5  tF


491 . 67  
 32 

9  ºF


(5)
Aunque esta serie de igualdades puede cubrir las doce posibilidades de cálculos que
se puedan presentar, pueden obtenerse otras series de igualdades explícitas para T, TR y
tF, simplemente despejando T/K, TR/ºR y tF/ºF en (5). Ellas son:
T

K
TR
5 TR
9 ºR
9 T

ºR
tF

5 K

ºF
9
t
5 ºC
t
 273 . 15 
ºC

9  t

5  ºC
 32 
5  tF


 459 . 67 
9  ºF


 273 . 15 

9 T
5 K

 459 . 67 
tF
 459 . 67
ºF
TR
 459 . 67
ºR
Conclusión. Teniendo presente las conductas de entrada señaladas, basta recordar o
disponer de los valores de dos puntos fijos comunes en las escalas termométricas, para
deducir, fácilmente, cualquiera de las ecuaciones que las relacionan, evitando así su
memorización.
Bibliografía.
Melo Mario, Química Básica en el rigor del lenguaje matemático. Tomo I: Estequiometría
Nº Inscripción 67.381 (1987).