1.- Un colectivo se supone que se comporta de... mortalidad de 

1.- Un colectivo se supone que se comporta de forma que tiene un tanto instantáneo de
mortalidad de (x)=0.0002x. Determinar a que edad una cohorte inicial de 100000
individuos se verá reducida a 70000
Conocemos (x), l0,lx y queremos determinar el valor de x. Por lo tanto debemos
relacionar estas funciones biométricas:
Por un lado tenemos:
l0 S ( x)
lx  70000
 l ( x)

 0.7  
 x p0 
 S ( x)
l0  10000
l0 S (0)
 l (0)
Y por otro lado:
x

  ( y ) dy
S ( x)  e 0
Por lo tanto:
x
e

 0.0002 y dy
0
 e[0.0001 y
S ( x)  0.7  e0.0001x  x 2  
2
2 x
]0
 e0.0001x
2
ln 0.7
ln 0.7
x 
 59.72 años
0.0001
0.0001
2.- Se conoce de una determinada población asegurada que la probabilidad de que un
individuo de A años sobreviva T años más es de 0.9 y que la probabilidad de que un
individuo de A años sobreviva (T-1) y muera antes de alcanzar los T años más es de
0.025 . Determinar la probabilidad de un individuo muera a la edad de A+T-1 años
Sabemos que : TpA=0.9 y que
T-1/1qA= T-1/ qA
=0.025
Como la probabilidad de sobrevivir hasta t la podemos escindir en hacerlo hasta T-1 y
luego de A+T-1 a A+T tendremos que :
TpA = T-1pA. pA+T-1
Y por otro lado la probabilidad la probabilidad diferida T-1/ qA también se puede ver
como la probabilidad de primero sobrevivir hasta A+T-1 y luego fallecer al año
siguiente:
T-1/ qA = T-1pA. qA+T-1
Sumando las dos ecuaciones tendremos que :
 0.9  T 1 p A . pAT 1 
T p A  T 1 p A . p AT 1 

   0.925  T 1 p A
0.025

p
.
q
T 1/ q A  T 1 p A .q AT 1 
T

1
A
A

T

1


(Ya que pA+T-1+ qA+T-1=1)
Y sustituyendo y despejando en la segunda:
0.025  T 1 pA .qAT 1  0.025  0.925.qAT 1  qAT 1 
0.025
 0.027
0.925
3.- Se sabe que l37=95190 y que m37= 0.002 Determinar el número de fallecidos a los 37
años.
d37
d37
2d37
2.m37l37 2.95190  0.002


 m37 (2l37  d37 )  2d37  d37 


L37 l  d37 2l37  d37
2  m37
2.002
37
2
d37  190.19 190
m37 
4.( Similar a Pavia 59) Sabiendo que la mortalidad de un población sigue una ley de
Sang según la cual:
( B x  B )
l ( x)  l0
(1  B )
Donde  es infinito actuarial , que en esta población es 115 y B es una parámetro propio
de esta ley que para esta población toma el valor de 0.97.Calcular el tanto instantáneo
de mortalidad para una persona de 60 años.
l0 ln B.B x
(1  B )
S ( x)
l ( x)
ln B.B x
ln B
ln B
 ( x)  





 x
x

x
x

S ( x)
l ( x)
(B  B )
1 B
l0 ( B  B )
 B 1
(1  B )
Que para B=0.97 y =115 nos da :
ln 0.95
ln 0.95
 ( x) 
  (60) 
 0.05319
115 x
0.95
1
0.9511560  1
5. (Similar a Pavía 60) La función de supervivencia de cierto colectivo es :
S ( x) 
1 0.015 x
 e  1.6347  0.015 x  con 0  x  120
4
a)Determinar la edad para la cual el número de fallecidos es máximo y determinar el
valor de esta magnitud
b)Determinar la edad para la que la probabilidad de fallecimiento qx es máxima .
a)El número de fallecidos es :
1
1
d x  l0  S ( x)  S ( x  1)   l0  e 0.015 x  1.6347  0.015 x   l0 e 0.015 x 1  1.6347  0.015  x  1 
4
4
1
1
0.015 x 1
d x  l0 (e 0.015 x  e
 0.015 x  0.015  x  1)  l0  e 0.015 x (1  e 0.015 )  0.015 
4
4

Y esta expresión será máxima cuando lo sea
e0.015 x (1  e0.015 ) ya que el resto no depende de la edad ( Derivando e igualando a cero
podremos obtener el máximo, derivar es posible porque aunque dx sea una magnitud
discreta esta definida para todo x de 0 a 120 y a través de funciones continuas y
derivables en ese intervalo:
La derivada de e0.015 x (1  e0.015 ) será:
y '  (0.015).e 0.015 x (1  e 0.015 )   0.015  0.015e 0.015  e 0.015 x
Se observa que y’ es siempre NEGATIVA y es creciente aunque nunca se anulara
(tiende asintóticamente a cero) eso quiere decir que y será decreciente y que por lo tanto
su valor máximo se alcanza en su primer valor x=0 por lo tanto el máximo de la
función de falleciemientos también se alcanza en cero dando un valor para la función
de:
1
1
d 0  l0  e0.015.0 .(1  e 0.015 )  0.015   l0  (1  e 0.015 )  0.015  0.5 l0
4
4
b)
A pesar de lo que pudiera parecer para cualquier población la probabilidad de
fallecimiento qx es siempre máxima a la edad -1 que alcanza el valor 1 ya que en  no
sobrevive ya nadie.
6. (Similar a Pavía 61) La función de supervivencia de una población sigue una ley de
De Moivre, con máximo tiempo de vida 120 años
x
S ( x)  1 
120
a) expresar dx en función de la cohorte inicial
b) como es el tanto instantáneo de mortalidad
c) Determina la esperanza de vida al nacer y la vida media probable (mediana de
la variable vida residual) al nacer.
a)

x   x  1    x  1 x  l0
d x  l0  S ( x)  S ( x  1)   l0  1 

  1 
  

  120   120    120 120  120
Es decir cada año fallece un 120-avo de la población hasta desaparecer a los 120 años

1


S ( x)
120  1
b)  ( x)  

x  120  x
S ( x)

1 

 120 
Que es una función “aceleradamente” creciente
c)
xt
)
120  x
120   x  t 
S (x  t)
120
ex   t px dt  
dt  
dt  
dt 
x
S ( x)
120  x
0
0
0
0
1
120
120  x
1
1
t 2 120 x
 ex 
120

x

t
dt

[120
t

xt

]0

120  x 0
120  x
2
120  x
120  x
120  x
1
2
120  x  

1 
1 
1202
x2 
2
2

120

120
x

120
x

x


120
x

120(120  x)  (120  x) x 


 120  x 
120  x 
2
2
2

120  x 
 ex 
2

1  1202 x 2
120  x
2
  120 x  


120  x  2
2
120  x
2

Que al nacer será una esperanza de vida de 60 años
Respecto a la vida media probable al nacer es la mediana de la edad de fallecimiento y
por tanto:F(x)=0.5  S(x)=0.5 60 años