Proporcionalidad directa y Proporcionalidad inversa Resumen: Dos variables y y x son proporcionales si se cumplen una y sólo una de las siguientes relaciones: Su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales. Su producto y·x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales. Ejemplos: Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos. Con estos datos tenemos siguiente tabla: Cantidad de latas (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Costo en dinero (Y) 350 700 1050 1400 1750 2100 2450 2800 3150 3500 Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas los valores aumentan y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra. El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente: Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y) 1 Cantidad Costo en de latas (x) dinero (y) 1 350 2 700 3 1050 4 1400 5 1750 6 2100 7 2450 8 2800 9 3150 10 3500 Cuociente y/x= c Constante de proporcionalidad c 350 350 350 350 350 350 350 350 350 350 350/1 = 700/2 = 1050/3 = 1400/4 = 1750/5 = 2100/6 = 2450/7 = 2800/8 = 3150/9 = 3500/10 = Notamos que cuando se divide el costo y por la cantidad de latas x se obtiene un valor constante c en cada cuociente. En resumen observamos que: Tenemos dos variables una de las cuales (y), cambia en términos de los valores que toma la otra (x), además A partir de la tabla de valores podemos verificar que la constante de proporcionalidad es c = 350 para cada par de valores (x, y) y El gráfico que muestra la variación de x e y es una recta. Como c > 0, la recta es ascendente. Revisemos otro caso Consideremos un auto que parte con una velocidad inicial de Vo de 25 m/s y desacelera de manera que baja su velocidad en 3 m/s en cada segundo, entonces si graficamos la velocidad del auto por segundo transcurrido obtenemos: 30 25 20 15 Serie1 10 5 0 0 2 4 6 Tiempo Transcurrido Velocidad del auto V- Vo (V-Vo)/T 1 2 3 4 5 22 19 16 13 10 3 6 9 12 15 3 3 3 3 5 Entonces observamos que la disminución de velocidad (V-Vo) es proporcional al tiempo transcurrido T y en este caso la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo – 3. En resumen tenemos: 2 Dos variables una disminuye mientras la otra aumenta, además A partir de la tabla verificamos que la constante de proporcionalidad es negativa y El gráfico de la velocidad del auto versus el tiempo transcurrido es una recta descendente Revisemos otro caso: Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total. Veámoslo ilustrado: Ahora, en caso de 10 invitados sabemos cuanta torta te correspondería. Si antes de partir la torta se retiraron 2 invitados, ¿el trozo que te tocaría sería más grande o más pequeño? Si llegan 5 invitados más antes de repartir la torta el pedazo que te correspondería ¿es más grande o más pequeño? Las ilustraciones correspondientes son: 15 invitados 8 invitados La tabla siguiente describe la distribución de torta por cantidad de invitados, los trozos de torta lo expresaremos en porcentajes, los invitados en número de personas. Invitados (personas) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 Trozos de torta (%) 100,00 50,00 33,33 25,00 20,00 16,66 14,28 12,50 11,11 10,00 11 12 9,09 8,33 Veamos el gráfico que describe la tabla anterior: Igual que en el caso anterior, calcula la constante de proporcionalidad Invitados (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Porción de torta (y) 100,00 50,00 33,33 25,00 20,00 16,66 14,28 12,50 11,11 10,00 9,09 8,33 Producto x x y =c 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 El producto de la cantidad de invitados x por la porción de torta y es constante e igual a 100. En resumen: Hay dos variables que se relacionan. La relación se establece en condiciones que al aumentar los valores de una variable disminuye los valores de la otra, y además El gráfico de y versus x es una curva, llamada rama de hipérbola y. El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante. Por lo tanto la porción de torta es inversamente proporcional al número de invitados. Otros ejemplos Si me sirvo un café muy caliente, él estará a unos 90ºC y supongamos, haciendo una simplificación de la realidad, que perderá (digamos) 12ºC por minuto en las condiciones ambientales. El enfriamiento observado (temperatura final - temperatura inicial) será directamente proporcional al tiempo transcurrido. 4 En los bancos, supermercados, etc. se junta gran cantidad de monedas. Como las cajeras pierden mucho tiempo contándolas, en general, se pesan bolsas de monedas. Supongamos que se tienen los siguientes datos. Bolsas Peso de la bolsa (gr) 1 2 3 4 5 6 7 550 850 1250 1300 1850 2000 2250 Valor monetario ($) 11.000 17.000 25.000 26.000 37.000 40.000 45.000 ¿Existe proporcionalidad entre el peso de las bolsas y valor monetario de ellas? Notas metodológicas: i) ii) Podríamos reformular la definición diciendo “y es proporcional a x si y es directamente proporcional a x o a su recíproco 1/x ”. Si hay proporcionalidad directa entre x e y, entonces a cada par de valores x1 y x2 le corresponderán dos y1 e y 2 tales que, x1/y1 = x2/y2 expresión que usualmente se denomina "proporción" leyéndose " x1 es a y1 como x2 es a y 2 " (regla de tres directa) valores iii) En general, si la variable y es proporcional a x y se tiene un conjunto de pares de valores {( x1, y1 ),...(xn yn )} se cumple y1 y2 y3 y . n .. c x1 x2 x3 xn iv) Cuando hablamos de proporcionalidad estamos refiriéndonos a dos variables, no a dos valores de una variable (dos números). v) Que y aumente al aumentar x, NO implica que tengamos proporcionalidad directa. Por ejemplo: vi) Que y disminuya al aumentar x NO implica que tengamos proporcionalidad inversa. Por ejemplo: Posibilidades didácticas: 5 Visualizaciones Se relaciona con ... Razón Vemos que si las variables y y x son directamente proporcionales entonces y1 y2 y ... n c , luego la razón x2 x2 xn entre los valores que puede tomar y y los que toma x en la misma situación se mantiene constante y es igual a la constante de proporcionalidad. Variable Ecuación de primer grado El saber que dos variables son proporcionales o inversamente proporcionales permite establecer una ecuación de primer grado: Si se sabe que y es directamente proporcional a x con constante de proporcionalidad igual a 5 y se sabe que y=3 entonces el valor correspondiente de x satisface: 3/x=5; luego x=3/5. Representación gráfica de datos Muchas veces se presentan situaciones donde se requiere estudiar la relación existente entre varias cantidades. Esto se puede hacer representando cada cantidad por una variable y mostrando las variables tabular o gráficamente. Pendiente de una recta. En contexto En Física Por ejemplo relacionando el estiramiento (d) de un resorte con el peso al que es sometido (p) para estirarse, se pudo comprobar empíricamente que d = k p donde k es un valor constante e independiente de d o p. Por ejemplo el tiempo de llenado de un estanque es inversamente proporcional al flujo de agua que usa para llenarlo. En Geometría Si dos triángulos rectángulos son semejantes se sabe que la relación entre altura y base satisface una relación de proporcionalidad directa. La proporcionalidad también aparece en el Teorema de Thales. Una maqueta un modelo a escala Un auto de juguete tiene la siguiente inscripción: 1:20, señalando que la relación proporcional entre el juguete es una (1) unidad en el modelo a escala por 20 en el auto real. Estimación de medidas La sombra de un objeto, a una hora determinada, es proporcional a su altura. 6 Desafíos 1. Valor de la UF Considere el valor de la UF en algunos meses particulares. Grafíquelo en el tiempo y determine el tipo de relación que tiene el valor de la UF y la fecha. ¿Es la misma para todos los meses? ¿Que pasa si se observa la UF a lo largo de todo un año? 2. Estiramiento de un resorte. Los resortes se estiran según un comportamiento relacionado con la fuerza a la que están sometidos. Diseña un experimento para determinar la relación entre “estiramiento” y “fuerza”. ¿Es siempre válida esta relación? 3. Temperatura del café. Toma una taza de café caliente y mide su temperatura a intervalos regulares de tiempo. Grafica tus datos ¿Qué observas? 7