Resistencia de Materiales TORSIÓN

Resistencia de Materiales
TORSIÓN
•
•
•
•
•
Introducción
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
Energía de deformación.
Resolución de problemas hiperestáticos en torsión.
Torsión en vigas de sección cualquiera (rectangular, perfiles
huecos, perfiles abiertos de pared delgada).
Torsión Uniforme
Introducción
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C. Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materiales. OCW-Universidad
de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spain
Torsión Uniforme
Introducción
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Torsión Uniforme
Introducción
NO SE PRODUCE
ALABEO
SE PRODUCE
ALABEO
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Torsión Uniforme
Introducción
Diagramas de esfuerzos (Diagrama de momentos torsores).
•
El convenio de signos que utilizaremos será: Positivo:
•
Para obtener el momento torsor actuante en una sección utilizaremos el principio del corte
y las ecuaciones de equilibrio :
500 N.m
Mt (x)
Negativo:
x
∑M
x
x
=0
M t ( x) = 500 N .m
• Diagrama de momentos torsores:
Mt (x)
Mt (x)
500 N.m
500 N.m
o
x
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Torsión Uniforme
Introducción
M x ( x) =
∫
σ xz ( x, y, z ) y − σ xy ( x, y, z ) z  dA( x)
A( x )
M x ( x)
?
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σ ix
Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
a'
a
b'
b 'b − a ' a
b
b ' b − a ' a = γ dx = ρ dφ
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Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
a'
a
a'
φ ( x)
b'
b'
b 'b − a ' a
b
b ' b − a ' a = γ dx = ρ dφ
φ ( x + dx) =
= φ ( x ) + dφ ( x )
ρ →∞
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Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
a'
a
a'
φ ( x)
b'
φ ( x + dx) =
= φ ( x ) + dφ ( x )
b'
b 'b − a ' a
b
b ' b − a ' a = γ dx = ρ dφ
dφ ( x )
γ=
ρ = θ ( x) ρ
dx
ÁNGULO UNITARIO
DE TORSIÓN
ρ →∞
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Torsión Uniforme
γ=
γ=
τ
G
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
= θ ( x) ρ
τ
a'
(*)
G
τ
τ
τ
a
b'
b 'b − a ' a
b
b ' b − a ' a = γ dx = ρ dφ
dφ ( x )
γ=
ρ = θ ( x) ρ
dx
ÁNGULO UNITARIO
DE TORSIÓN
(*)
Esta tensión tangencial ha de ser perpendicular al radio,
de lo contrario la sección sufriría alabeo
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Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
τ
τ
τ
M x ( x) =
σ xz ( x, y, z ) y − σ xy ( x, y, z ) z  dA( x)
∫
A( x )
γ=
M x ( x) =
∫
A( x )
τ ρ dA =
τ
G
∫
= θ ( x) ρ
INERCIA
POLAR
Gθ ( x) ρ 2 dA = Gθ ( x)
A( x )
M x ( x) = Gθ ( x) I p ( x)
M x ( x)
τ = Gθ ( x) ρ ⇒ τ =
ρ
I p ( x)
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∫
A( x )
ρ 2 dA
Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
τ
τ
τ
M x ( x)
τ ( x, r ) =
r
I p ( x)
I p ( x) =
∫
σ x ( x, y ) = −
M z ( x)
y
I z ( x)
Ley de Navier
r 2 dA
A( x )
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Torsión Uniforme
M x ( x)
τ ( x, r ) =
r
I p ( x)
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
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Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
y
y
σ
Idéntico
estado tensional
σ
σ
σ
x
σ
x
τ
τ=σ
σ
σ
σ
σI=σ
σIII=-σ
τ=−σ
σn
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Torsión Uniforme
Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros
FALLO FRÁGIL
POR TORSIÓN
FALLO DÚCTIL
POR TORSIÓN
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Torsión Uniforme
Energía de deformación en Torsión
Mx
La energía de deformación acumulada en la barra
sometida a torsión, suponiendo que no hay ningún
tipo de pérdida de energía será igual al trabajo
realizado al aplicar el momento torsor desde 0 hasta
su valor :
U=
Mx
M x .φ
U=
2
M x .φ M .L
=
=
2
2.G.I p
2
x
G.I p .φ 2
2.L
En el caso de que el momento torsor o la sección
sean variables (y el material constante):
L
φ = θ .L
M x2 ( x).dx
1
U=
.∫
2.G 0 I p ( x)
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Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
RESTRICCIÓN
AL ALABEO
TENSIONES
NORMALES
(fuera de este curso)
TORSIÓN
LIBRE
ALABEO
NO RESTRINGIDO
Relación lineal:
Ángulo de torsión:
Sección circular:
Mx
M x .L
φ=
C
C = G.I p
Mx
θ=
C
θ =φ L
Para una sección no circular C< G.I p y la energía de deformación será:
M x2 ( x).dx
C.θ 2 ( x).dx
U =∫
=∫
2.C
2
0
0
L
L
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RIGIDEZ
TORSIONAL
Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
τ max
16
=
Mx
2
π ab
20
τ max = 3 M x
b
a
16 ( a 2 + b 2 ) M x
80 M x
θ=
Triángulo
3 3
θ=
π
a
b
G
equilátero
4
G
3a
a
1
1 Mx
τ max =
Mx θ =
2
β ab3 G
α ab
a/b
b
Rectángulo
1
1.5
2
2.5
4
a
6
10
∞
α
0.208 0.231 0.246 0.256 0.267 0.282 0.299 0.312 0.333
β
0.141 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.312 0.333
e
a
τ max
3
Elipse
1
( a + b )e M
=
Mx θ = 2 2 2 x b
2abe
2a b e G
Rectángulo
a
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Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
Greenhill descubrió la analogía matemática existente entre el
fenómeno de la torsión y un particular movimiento fluido plano.
ANALOGÍA
HIDRODINÁMICA
Recipiente con fondo horizontal de forma idéntica a la sección recta de la viga sometida a
torsión y con las pareces laterales verticales, conteniendo un fluido perfecto (incompresible
y no viscoso), y sometido a un movimiento plano de rotación uniforme.
Velocidad
Proporcional
Tensión
tangencial
ZONA MUERTA,
VELOCIDAD NULA,
TENSIÓN NULA
VELOCIDAD TENSIÓN
MÁXIMA
MÁXIMA
ZONA MUERTA,
VELOCIDAD NULA,
TENSIÓN NULA
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Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
PENDIENTE
MÁXIMA
Sección
B'
AA '
ANALOGÍA
DE LA
MEMBRANA
TENSIÓN
MÁXIMA
A
A'
B
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Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
Pared delgada abierta:
flujo de tensiones
de sentido contrario
en el espesor
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Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
Pared delgada cerrada:
flujo de tensiones
del mismo sentido
en el espesor
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Torsión Uniforme
Torsión libre en perfiles no circulares
ANALOGÍA
DE LA
MEMBRANA
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Torsión Uniforme
Torsión hiperestática
Búsqueda de ecuaciones complementarias aplicando compatibilidades geométricas. En
el caso de torsión serán giros.
Ejemplo Determínese los momentos de empotramiento y dibuje el diagrama de
momentos torsores.
B
A
ΣM x = 0; M A + M B = M t
C
Mt
Ecuación de compatibilidad geométrica
a
ψ C / A = ψ B / A +ψ C / B = 0
b
Mt
MA
a
1
.( M A .a − M B .b) = 0
G.I p
MC
b
b
M A = .M t
L
MA
MB =
x
MB
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a
.M t
L
Torsión Uniforme
Perfiles abiertos de pared delgada
Hipótesis : espesor << dimensiones exteriores
Sección
Sección rectangular
τ max
1
=
Mx
2
α ab
AA '
1 Mx
θ=
β ab3 G
τ max
a/b
∞
α
0.333
β
0.333
3.M x
=
= G.θ .b
2
ab
Mx
θ=
C
ab3G
C=
3
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Torsión Uniforme
Perfiles abiertos de pared delgada
Hipótesis : espesor << dimensiones exteriores
Sección
τ =
i
xs
3ei
i=n
3
S
e
∑ i i
AA '
Mt
i=1
θx =
3
i=n
G ∑ Si ei3
Mt
i=1
Siendo
Si
la longitud de la ramificación de espesor
ei
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Torsión Uniforme
Perfiles tubulares de pared delgada
Hipótesis : espesor << dimensiones exteriores
FB
B
Mx
M
'
x
τB
e
A
x
FA
τA
Flujo de corte es constante
q = τ .e = cte
eB
x
eA
∆X
e
τ
Ω
Fibra media
qs =
Mt
2Ω
Mt
θx =
G It
donde
∮
4Ω
1
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Torsión Uniforme
Perfil cerrado vs. perfil abierto
τ =
i
xs
Mt
qs =
2Ω
3ei
i=n
3
S
e
∑ i i
i=1
~
~
2
~
2
~
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Mt
Torsión Uniforme
Forma racional de secciones sometidas a torsión
Las secciones abiertas de pared delgada resisten muy mal a la torsión y deben ser
pevitadas si Mt es importante.
Las secciones tubulares son más económicas que las secciones macizas.
Para que el material trabaje al máximo, hace falta coger un tubo de pared de espesor
constante.
Forma óptima para tubos de pared constante y peso por m determinado:
L: perímetro; e: espesor
Sección: A = L.e = cte
Momento torsor:
M x = 2.Ω.τ .e
Momento torsor proporcional a Ω
Máxima Ω para un perímetro determinado
CIRCULO
A
Ω
M x = 2.Ω.τ . = 2. A.τ .
L
L
La capacidad de transmitir un momento torsor aumenta con la relación Ω/L, es decir
mínimo espesor.
LIMITE
PANDEO LOCAL
Nervios longitudinales y diafragmas (p.e. fuselajes de avión).
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