Anexo 1 ( Momentos de segundo orden )

A.1
Anexo 1 ( Momentos de segundo orden )
1. Momento de inercia
En muchas de las fórmulas empleadas en ingeniería aparecen expresiones analíticas de la
forma ρ 2 ⋅ dA , siendo ρ la distancia de un elemento diferencial de área dA a un eje. Las
integrales de este tipo reciben el nombre genérico de
momentos de inercia o
momentos de segundo orden.
Así pues, si como representa la figura 1.1, las coordenadas del centro del elemento diferencial
dA son (x,y), el momento de inercia respecto del eje X es la suma de los productos de cada
área dA por el cuadrado de su brazo de momento y. Por tanto:
I x = ∫ y 2 dA
Ix =
Momento de inercia respecto al eje x
Figura 1.1
Y análogamente, el momento de inercia respecto al eje Y será:
I y = ∫ x 2 dA
→ Momento de inercia respecto al eje y
Las unidades de Ix e Iy son de una longitud a la cuarta, y cabe reseñar que el valor es siempre
positivo ya que la distancia que aparecen en la integral está elevada al cuadrado, y en cuanto
al diferencial de área, un valor negativo carece de significado físico.
A.2
2.
Momento polar de inercia
El momento polar de inercia de un área respecto de un eje perpendicular a su plano se llama
momento polar de inercia, y se representa por Ip (o Io). Si tomamos la figura 2.1, el momento
de inercia de un área cualquiera delimitada en el plano XY respecto del eje Z perpendicular a
XY viene dada por:
I p = Io = I z
I o = ∫ r 2 dA = ∫ ( x 2 + y 2 )dA
I o = ∫ x 2 dA + ∫ y 2 dA
Io = I x + I y
Figura 2.1
Esto quiere decir que el momento polar de inercia de un área respecto de un eje perpendicular
a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares
contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de intersección del eje polar y del plano.
3.
Radio de giro
El radio de giro se define como aquella distancia a la que debe situarse el área total, para que
tenga el mismo momento de inercia respecto del eje. O sea:
ix =
Ix
A
iz =
Iz
A
iy =
Iy
A
A.3
4.
Producto de inercia
El producto de inercia es una expresión matemática de la forma
∫ xydA
I xy = ∫ xydA
Figura 4.1
Las dimensiones son las mismas que las de un momento de inercia, es decir [L]4. Sin
embargo, el signo, al contrario que en los momentos de inercia, depende de la situación del
área respecto de los ejes coordenados. Por ejemplo, el área de la figura4.1 está en el primer
cuadrante del sistema de ejes xy. Por tanto el producto de inercia Ixy es positivo ya que toda x
e y de cualquier diferencial de área de la sección es positiva. Sin embargo, girando la sección
90º en sentido antihorario, nos encontramos que el valor de Ixy es negativo puesto que todos
los valores de x son negativos.
Intuitivamente podemos afirmar que esa variación de positivo a negativo será continua,
existiendo una posición crítica en la que el producto de inercia es igual a cero. Los ejes que
ocupan esa posición se llaman ejes principales de la sección.
Merece la pena mencionar que si una sección tiene algún eje de simetría automáticamente,
podemos decir que dicho eje es un eje principal de inercia ya que el producto de inercia se
anula. Refiriéndonos a la figura 4.2, tendremos que:
h
0
∫ xydA = − ∫ xydA
−h
0
Por tanto:
h
∫ xydA = I
−h
Figura 4.2
xy
=0
A.4
5.
Traslación paralela de ejes: teorema de Steiner
Con frecuencia, se da el caso de que los momentos de inercia son conocidos con respecto a
unos ejes y sin embargo necesitamos el valor de los momentos de inercia con respecto a unos
segundos ejes, paralelos a los primeros. Para evitar una segunda integración, se utiliza el
teorema de Steiner cuya demostración se muestra a continuación:
Figura 5.1
2
I x′ = ∫ y′2 dA = ∫ ( y − a ) dA = ∫ y 2 dA − ∫ 2aydA + ∫ a 2 dA
A
A
A
A
A
I xz = I x − 2aS x + a 2 A siendo Sx el momento estático del área total A, respecto al eje x
Análogamente:
I y ′ = I y − 2 aS y + b 2 A siendo Sy el momento estático del área total A, respecto al eje y
Si los ejes x,y pasaran por el centro de gravedad, los momentos estáticos Sx y Sy serían nulos,
por lo que estas ecuaciones se reducirían a:
I x' = I x + a2 A
Teorema de Steiner
I y′ = I y + b A
2
Obsérvese que tanto a como b están medidos con respecto a los ejes x e y, siendo estos en
general los ejes que pasan por el CDG de la sección.
A.5
Veamos ahora qué es lo que pasa con los productos de inercia:
I x ' y′ = ∫ x ' y′dA = ∫ ( x − b)( y − a )dA
A
A
I x ' y′ = ∫ xydA − ∫ axdA − ∫ bydA + ∫ abdA
A
A
A
A
I x ' y′ = I xy − aS y − bS x + abA
y si los ejes x e y pasan por el centro de gravedad de la sección tenemos que:
I x ' y′ = I xy + abA
6.
a y b respecto de xy
Cambio de dirección de los ejes. Determinación de los ejes principales de inercia.
A veces es necesario determinar el momento de inercia respecto de unos ejes que forman un
ángulo α con los empleados normalmente. Claro está que puede determinarse el nuevo
momento de inercia por integración, pero suele ser más fácil aplicar la expresión general de la
rotación de ejes.
Figura 6.1
Las relaciones entre estas coordenadas, que se obtienen proyectando sobre los ejes U,V son:
U= y senα+xcosα
V= y cosα-xsenα
A.6
Y por definición, Iu e Iv son iguales a:
I u = ∫ v 2 dA
I v = ∫ u 2 dA
Sustituyendo V por su valor resulta:
I u = ∫ ( y 2 cos2α − 2 xy sen α cosα + x 2 sen 2 α )dA
I u = ∫ ( y 2 cos2αdA + ∫ x 2 sen 2 αdA − ∫ 2 xy sen α cosαdA
I u = I x cos2 α + I y sen 2 αdA − I xy sen 2α
sustituyendo las relaciones:
cos 2 α =
Iu =
1 + cos 2α
1 − cos 2α
, sen 2 α =
2
2
Ix + Iy
2
+
Ix − Iy
2
, se tiene:
cos 2α − I xy sen 2α 0
→1
y análogamente, se obtiene que:
Iv =
Ix + Iy
2
−
Ix − Iy
2
cos 2α + I xy sen 2α
Si sumamos la 1 y la 2 resulta:
Iu + Iv = Ix + Iy = cte
O sea, el tensor de inercia es invariante.
Para determinar Iuv, recordemos que está definido por:
I uv = ∫ uvdA
Y sustituyendo los valores de u y v se obtiene:
→2
A.7
I uv = ∫ (sen α cosα y 2 + xy cos2 α − xy sen 2 α − x 2 sen α cosα )dA
I uv =
I uv =
Iy
Ix
sen 2α + I xy cos 2 α − I xy sen 2 α − sen 2α
2
2
Ix − Iy
2
sen 2α + I xy cos 2α
→3
Si rotamos los ejes u y v, se puede observar que existe un valor de α para el cual el producto
de inercia se anula. Además, en esa dirección el momento de inercia será máximo (y para α +
π/2 será mínimo). Por tanto, podemos obtener las direcciones principales de la forma
siguiente:
dI u
= 0 = ( I y − I x ) sen 2α − 2 I xy cos 2α
dα
tg 2α =
2 I xy
Iy − Ix
= tg(2α + π )
Esta ecuación da dos valores de 2α que difieren en π, ya que tg2α=tg(2α+π). En
consecuencia, las dos soluciones de α diferirán en π/2. Un valor define el eje de momento de
inercia máximo y el otro el de momento de inercia mínimo ( ejes principales de inercia).
Sustituyendo el valor de α en Iu Iv obtendremos el valor los momentos principales de inercia.
I max =
I min =
Ix + Iy
2
Ix + Iy
2
+
1
( I x − I y ) 2 + 4 I xy 2
2
−
1
( I x − I y ) 2 + 4 I xy 2
2
así mismo se puede comprobar que para este valor de α el producto de inercia es nulo.
A.8
7.
Circulo de Mohr de momentos de inercia
Excepto por la distinta significación de los símbolos que intervienen en ellas, las ecuaciones 1
,2 y 3 del apartado anterior son idénticas a las que expresan las tensiones intrínsecas obtenidas
en elasticidad. Por consiguiente, análogamente a cuanto se ha hecho en la obtención del
círculo de Mohr de tensiones, puede obtenerse una circunferencia de Mohr de momentos de
inercia. Con ello se consigue una representación gráfica de todos los valores posibles de Ix , Iy
y Ixy respecto de cualquier par de ejes ortogonales.
Centro = I m =
Ix + I y
2
I −I 
Radio = r =  x y  + I 2 xy
 2 
2
Figura 7.1
El ángulo entre dos radios cualesquiera de la circunferencia de Mohr es el doble del ángulo
real entre los dos ejes de inercia que representan. El sentido de rotación de este ángulo es el
mismo en la circunferencia de Mohr y en la realidad, es decir, si el eje U forma un ángulo α
en sentido antihorario respecto del eje x, el radio representativo de U forma un ángulo de 2α
en sentido antihorario del radio representativo de x.
I max =
I min =
Ix + Iy
2
Ix + Iy
tg 2α =
2
+
1
( I x − I y ) 2 + 4 I xy 2
2
−
1
( I x − I y ) 2 + 4 I xy 2
2
2 I xy
Iy − Ix
= tg(2α + π )
A.9
Centroides y momentos de inercia de algunas figuras comunes.