Matem´ aticas III Tema 6 Integrales de superficie

Matemáticas III
Tema 6
Integrales de superficie
Rodrı́guez Sánchez, F.J.
Muñoz Ruiz, M.L.
Merino Córdoba, S.
2014. OCW-Universidad de Málaga, http://ocw.uma.es. Bajo licencia
Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.0 Spain
OCW UMA
Tema 6
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Área de una superficie
E
Sea Φ : U ⊆
→
una parametrización de S y sea I =
F
primera forma fundamental.
R2
R3 ,
F
G
su
Definición
Para todo subconjunto D acotado y cerrado tal que D ⊆ U el área de la
porción de superficie S con parametrización Φ en D se definie como
ZZ p
ZZ √
det I dudv =
EG − F 2 dudv =
Área(S) =
D
Z ZD
=
kΦu × Φv k dudv
D
La anterior definición es válida para superficies regulares a trozos.
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Ejemplo
Calculemos la superficie de una esfera S2 (r ) de radio r .
Φ(θ, ϕ) = (r sen θ cos ϕ, r sen θ sen ϕ, r cos θ) con (θ, ϕ) ∈ [0, π] × [0, 2π]
La primera forma fundamental es E = r 2 , F = 0, G = r 2 sen2 θ, por tanto
su área es
Z π Z 2π √
2
r 4 sen2 θ dϕdθ = 4πr 2
Área S (r ) =
0
0
Área de superficie definida por un campo
Si f es un campo escalar plano f : U ⊆ R2 → R de clase C 1 sobre un
recinto cerrado y acotado D ⊆ U es
ZZ q
1 + fx 2 + fy 2 dxdy
D
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Integral de superficie de un campo escalar
Sea S regular a trozos con parametrización Φ(u, v ) con (u, v ) ∈ D. Sea
f : U ⊆ R3 → R un c. e. continuo de forma que S ⊆ U.
ZZ
ZZ
f dS =
f (Φ(u, v )) kΦu × Φv k dudv .
S
D
La integral de superficie es independiente de la parametrización Φ.
Propiedades:
ZZ
1
2
3
4
ZZ
ZZ
f dS + β
g dS.
S
S
S
ZZ
ZZ
Si f (x, y ) ≤ g (x, y ) entonces
f dS ≤
g dS.
ZZ
ZZ S
ZZ S
˙ 2,
Si S = S1 ∪S
f dS =
f dS +
f dS.
S
S1
S2
ZZ
Área(S) =
dS.
(αf + βg ) dS = α
S
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Ejemplo
Integral del campo f (x, y , z) = x − 2y + z
en la superficie S que delimita el cubo de
vértices opuestos (0, 0, 0) y (1, 1, 1) sin la
cara superior.
Cara 1: Φu × Φv = (0, 0, 1)
Cara 2: Φu × Φv = (0, −1, 0)
Cara 3: Φu × Φv = (1, 0, 0)
Cara 4: Φu × Φv = (0, −1, 0)
Cara 5: Φu × Φv = (1, 0, 0)
ZZ
1
x − 2y + z dS = −
2
S
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Integral de superficie de un campo vectorial. Flujo
ZZ
S
ZZ
F · dS =
F (Φ(u, v )) · (Φu × Φv ) dudv =
ZZ D
=
F (Φ(u, v )) · N kΦu × Φv k dudv .
D
Interpretación del flujo.
La integral de F en S es la integral del campo escalar f = F (Φ) · N en S.
ZZ
ZZ
F · dS =
F (Φ(u, v )) · N dS
S
S
• El valor del flujo depende de la dirección elegida del vector N, por tanto,
su signo depende de la orientación de la parametrización tomada para S.
• Obsérvese que el flujo es tanto mayor cuando más pequeño sea el ángulo
que forman el campo vectorial F y el vector normal N.
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Propiedades de las integrales de superficie para campos vectoriales
Sean F , G : U ⊆ R3 → R3 dos campos vectoriales continuos en U y S ⊆ U
una superficie parametrizada regular a trozos.
1
SiZα, β ∈ R entonces
Z
ZZ
ZZ
(αF + βG ) · dS = α
F · dS + β
G · dS.
2
Si −S representa la misma superficie S pero parametrizada con
orientación opuesta a la dada inicialmente entonces
ZZ
ZZ
F · dS = −
F · dS.
S
S
S
−S
3
S
Si S = S1 ∪ S2 disjuntas con las orientaciones dadas por S, entonces
ZZ
ZZ
ZZ
F · dS +
F · dS.
F · dS =
S
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S1
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S2
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Ejemplo
Calculemos el flujo exterior del campo vectorial F (x, y , z) = pz ~k, con
p ∈ R constante, a través de la superficie del paraboloide z = 1 − x 2 − y 2
por encima del eje XY .
Parametrizamos la superficie
Φ(u, v ) = (u, v , 1 − u 2 − v 2 ), −1 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 1
Ası́ el producto vectorial fundamental es
Φu × Φv = (1, 0, −2u) × (0, 1, −2v ) = (2u, 2v , 1)
siendo dicho vector exterior a la superficie (para ello, por continuidad,
basta comprobarlo en un punto cualquiera de la superficie).
Ası́
ZZ
Z 1Z 1
4p
~
pz k · dS =
p(1 − u 2 − v 2 ) dudv =
3
S
−1 −1
Nota: Obsérvese que podrı́amos haber usado el gradiente del campo
g (x, y , z) = z + x 2 + y 2 − 1 para el vector normal a S.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
Orientaciones compatibles de una superficie y su curva frontera.
Sea S una superficie parametrizada regular a trozos cuyo borde (frontera)
∂S es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y ∂S tienen orientaciones compatibles si el
movimiento en la curva y los vectores normales a la superficie siguen la
regla del sacacorchos.
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Teorema de Stokes
El teorema de Stokes generaliza el teorema de Green.
Teorema de Stokes.
Sea S una superficie acotada de R3 regular a trozos orientable y cuya
frontera ∂S es una curva simple regular a trozos. Si F : U ⊆ R3 → R3 es
un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U tal que S ⊆ U, entonces
ZZ
I
rot F · dS =
F · dC
S
∂S
donde S y ∂S tienen orientaciones compatibles.
Obsérvese que si la superficie sobre la que se integra está contenida en el
plano XY el teorema de Stokes es precisamente el teorema de Green.
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Ejemplo
RR
Usaremos el teorema de Stokes para calcular la integral S rot F · dS
siendo F (x, y , z) = z~i + x ~j + y ~k y S la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4
que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y en la parte superior del
plano XY orientada hacia el interior.
Para hallar la curva frontera ∂S restamos sus ecuaciones y obtenemos
z 2 = 3. Una parametrización
compatible de dicha curva será, entonces
√ α(t) = sen t, cos t, 3 , con 0 ≤ t ≤ 2π por lo que
α0 (t) = (cos t, − sen t, 0).
En consecuencia, por el teorema de Stokes:
ZZ
I
Z
rot F · dS =
F · dC =
z dx + x dy + y dz =
S
C
C
Z 2π √
=
( 3 cos t − sen2 t) dt = −π
0
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El Teorema de Gauss
Divergencia de un campo vectorial.
Si F = (F1 , F2 , F3 ) es un campo vectorial de tres dimensiones de clase C 1
en un abierto U se llama divergencia de F en U al siguiente campo escalar:
div F = ∇ · F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Superficies cerradas
Una superficie regular a trozos se dice
que es cerrada cuando encierra un
volumen.
En casa superficie cerrada se puede
elegir una orientación interior S − o una
orientación exterior S + .
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Teorema (Teorema de Gauss o de la divergencia)
Sea S una superficie cerrada parametrizada regular a trozos. Sea V el
volumen encerrado por S. Si F : U ⊆ R3 → R3 es un campo vectorial de
clase C 1 en el abierto U de forma que V ⊆ U entonces
ZZ
ZZZ
F · dS =
div F dxdydz
S+
V
donde S + representa la superficie S tomada con orientación exterior.
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Ejemplo
Calculemos el flujo del campo vectorial F (x, y , z) = (x, y , z) a través de la
esfera S2 (2).
Φ(u, v ) = (2 sen u sen v , 2 cos u sen v , 2 cos v ) con 0 < u < 2π, 0 < v < π
tenemos
Φu = (2 cos u sen v , −2 sen u sen v , 0)
Φv = (2 sen u cos v , 2 cos u cos v , −2 sen v )
Φu × Φv = (4 sen u sen2 v , 4 cos u sen2 v , 4 cos v sen v )
(comprobamos que tiene orientación exterior)
ZZ
Z π Z 2π
F · dS =
8 sen v dudv = 32π
S2 (2)+
ZZZ
V
OCW UMA
0
0
4π23
3 dxdydz = 3 Vol S2 (2) = 3
= 32π
3
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Merino Córdoba, S.
2014.
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