Matem´ aticas III Tema 4 Integrales m´

Matemáticas III
Tema 4
Integrales múltiples
Rodrı́guez Sánchez, F.J.
Muñoz Ruiz, M.L.
Merino Córdoba, S.
2014. OCW-Universidad de Málaga, http://ocw.uma.es. Bajo licencia
Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.0 Spain
OCW UMA
Tema 4
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Función Gamma
Z
∞
Γ(p) =
t p−1 e −t dt para p > 0
0
Propiedades
1
Γ(1) = 1.
2
Γ(p + 1) = p Γ(p).
3
4
Γ(n) = (n − 1)! para cada n ∈ Z+ .
√
Γ( 21 ) = π.
Ejemplo
Ası́, tenemos que
Γ(5) = 4! = 24.
Γ( 27 ) = 52 Γ( 52 ) =
OCW UMA
53
3
2 2 Γ( 2 )
=
5 3 1√
222 π
Tema 4
=
√
15 π
8 .
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Función Beta
Relacionada con la función Γ aparece la función β, que se define, para
cada par de reales postivos, p, q ∈ R+ , como
Z 1
β(p, q) =
x p−1 (1 − x)q−1 dx
0
Propiedades
1
2
β(p, q) = β(q, p).
Z π/2
β(p, q) = 2
sen2p−1 t cos2q−1 t dt.
0
3
4
Γ(p) Γ(q)
β(p, q) =
.
Γ(p + q)
β 21 , 12 = π.
OCW UMA
Tema 4
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Función Beta
Aplicaciones.
Z
π
2
sena t cosb t dt =
0
1
β
2
a+1 b+1
2 , 2
Ejemplo
Z
1
2
3
4
π/2
1
8
sen5 t dt = β 3, 21 =
2
15
0
Usando la simetrı́a y la paridad de la función coseno tenemos
Z 3π
Z π
2
2
1
8
5
cos t dt = −
cos5 t dt = − β 12 , 3 = −
2
15
0
0
Z 2π
sen3 t cos4 t dt = ???
Z0 π
sen3 t cos4 t dt = ???
0
OCW UMA
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Función Beta
Aplicaciones.
Z
π
2
sena t cosb t dt =
0
1
β
2
a+1 b+1
2 , 2
Ejemplo
Z
1
2
3
4
π/2
1
8
sen5 t dt = β 3, 21 =
2
15
0
Usando la simetrı́a y la paridad de la función coseno tenemos
Z 3π
Z π
2
2
1
8
5
cos t dt = −
cos5 t dt = − β 12 , 3 = −
2
15
0
0
Z 2π
sen3 t cos4 t dt = 0
Z0 π
sen3 t cos4 t dt = ???
0
OCW UMA
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Función Beta
Aplicaciones.
Z
π
2
sena t cosb t dt =
0
1
β
2
a+1 b+1
2 , 2
Ejemplo
Z
1
2
3
4
π/2
1
8
sen5 t dt = β 3, 21 =
2
15
0
Usando la simetrı́a y la paridad de la función coseno tenemos
Z 3π
Z π
2
2
1
8
5
cos t dt = −
cos5 t dt = − β 12 , 3 = −
2
15
0
0
Z 2π
sen3 t cos4 t dt = 0
Z0 π
4
sen3 t cos4 t dt =
35
0
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Integral doble de un campo escalar sobre un rectángulo
Si f : R → R es un c. e. de dos variables continuo sobre el rectángulo
R = [a, b] × [c, d] entonces se define la integral doble de f sobre R como
ZZ
nm
(b − a)(d − c) X
f (x, y ) dA = lı́m
f (xk , yk ).
nm
kPk→0
R
k=1
que, en caso de ser f positiva, coincide con el volumen de la región
delimitada por la gráfica de f y por el rectángulo R.
Integrales iteradas de un campo escalar sobre un rectángulo
Se definen
Z
d
Z
b
f (x, y ) dx dy
c
a
y
Z
b
Z
d
f (x, y ) dy dx
a
OCW UMA
c
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Teorema (de Fubini sobre rectángulos)
Si f : R → R es un campo escalar continuo en el rectángulo
R = [a, b] × [c, d] ⊆ R2 entonces ambas integrales iteradas coinciden
Z
d
Z
b
Z
b
Z
f (x, y ) dx dy =
c
a
d
ZZ
f (x, y ) dy dx =
a
c
f (x, y ) dxdy
R
y, además coinciden con la integral doble sobre el rectángulo, es decir,
ZZ
ZZ
f (x, y ) dA =
f (x, y ) dxdy
R
OCW UMA
R
Tema 4
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Ejemplo
Consideremos el campo escalar f (x, y ) = x 2 − xy . Comprobamos el
teorema de Fubini en el rectángulo [−2, 1] × [0, 2].
Z
2 Z 1
2
Z
x − xy dx dy =
−2
0
=
3y 2
+ 3y
4
0
2 3
x
x 2y
−
3
2
1
Z
dy =
x=−2
0
2
3y
+ 3 dy =
2
2
OCW UMA
=9
0
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Ejemplo
Consideremos el campo escalar f (x, y ) = x 2 − xy . Comprobamos el
teorema de Fubini en el rectángulo [−2, 1] × [0, 2].
2
Z 1
x y2
2
x − xy dy dx =
x y−
dx =
2x 2 − 2x dx =
2 y =0
−2
0
−2
−2
3
1
2x
2
=9
=
−x
3
−2
Z
1
Z
2
2
OCW UMA
Z
1
Tema 4
7 / 28
Ejemplo
Consideremos el campo escalar f (x, y ) = x 2 − xy . Comprobamos el
teorema de Fubini en el rectángulo [−2, 1] × [0, 2].
Z
2 Z 1
2
Z
x − xy dx dy =
−2
0
=
2 3
x
x 2y
−
3
2
0
3y 2
+ 3y
4
1
Z
dy =
x=−2
0
2
3y
+ 3 dy =
2
2
=9
0
2
Z 1
x y2
2
x − xy dy dx =
x y−
dx =
2x 2 − 2x dx =
2 y =0
−2
0
−2
−2
3
1
2x
2
=9
=
−x
3
−2
Z
1
Z
2
2
OCW UMA
Z
1
Tema 4
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Región proyectable en el plano
Región Y -proyectable D
Región X -proyectable D
d
d(x)
D
D
y
c(x)
c
a
x
b
a(y ) b(y )
{(x, y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [c(x), d(x)]}
{(x, y ) : y ∈ [c, d], x ∈ [a(y ), b(y )]}
Existen regiones que son X -proyectables e Y -proyectables (ambas cosas).
OCW UMA
Tema 4
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Existen regiones que no son proyectables:
d
D
c
a
OCW UMA
b
Tema 4
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Existen regiones que no son proyectables:
d
D
c
a
b
Ejemplo
La región circular D = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ a2 } es tanto X -proyectable
como Y -proyectable.
n
o
p
p
D = (x, y ) : x ∈ [−a, a], − a2 − x 2 ≤ y ≤ a2 − x 2
n
o
p
p
D = (x, y ) : y ∈ [−a, a], − a2 − y 2 ≤ x ≤ a2 − y 2
OCW UMA
Tema 4
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Integración
Sea f : D ⊆ R2 → R un campo escalar continuo sobre la región
X -proyectable D. La integral doble en D se define como
ZZ
b
Z
"Z
d(x)
f (x, y ) dA =
#
f (x, y ) dy dx
D
a
c(x)
Igualmente, si el campo escalar f es continuo en la región Y -proyectable
D entonces se define la integral doble como
ZZ
d
Z
"Z
b(y )
f (x, y ) dA =
D
OCW UMA
#
f (x, y ) dx dy
c
Tema 4
a(y )
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Teorema (de Fubini sobre regiones proyectables)
Si f : D ⊆ R2 → R es un campo continuo sobre la región D la cual es
X -proyectable y también Y -proyectable, es decir que puede escribirse como
D = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈ [c(x), d(x)] =
= (x, y ) ∈ R2 : y ∈ [c, d], x ∈ [a(y ), b(y )]
entonces
ZZ
Z
f (x, y ) dA =
D
a
OCW UMA
b
"Z
#
d(x)
Z
d
"Z
b(y )
f (x, y ) dy dx =
c(x)
f (x, y ) dx dy
c
Tema 4
#
a(y )
11 / 28
Ejemplo
Sea D el disco de radio 1 centrado en el origen. Calculemos la siguiente
integral doble:
ZZ
2
2
D = {(x, y ) : x + y ≤ 1},
xy 2 dA
D
Solución: Considerando D como Y -proyectable, tenemos
Z 1
ZZ
Z 1 Z √1−y 2
2
xy
dx
dy
=
0 dy = 0
xy 2 dA =
√
D
−1
Igualmente
ZZ
Z
2
xy dA =
D
OCW UMA
1
−1
1−y 2
−
√
Z
−
−1
1−x 2
√
xy 2 dy dx = . . .
1−x 2
Tema 4
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Ejemplo
ZZ
Calculemos
(
y ≥ x2
(x + y ) dA con D ≡
y ≤4
D
ZZ
Z
4
=
(x + y )dy
dx =
x2
y
=4
2
2
xy +
−2
Z 2
2
−2
D
Z
OCW UMA
2
Z
(x + y ) dA =
4
−2
.
y
2
dx =
y =x 2
x4
dx =
=
4x + 8 − x −
2
−2
x=2
x4 x5
128
2
= 2x + 8x −
−
=
4
10 x=−2
5
Tema 4
3
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Propiedades de la integral doble
1
Linealidad:
ZZ
ZZ
(αf + βg ) dxdy = α
D
2
4
5
6
g dxdy
D
˙ 2
Aditividad: si D = D1 ∪D
ZZ
ZZ
f (x, y ) dxdy =
D
3
ZZ
f dxdy + β
D
ZZ
f (x, y ) dxdy +
D1
f (x, y ) dxdy
D2
Monotonı́a: Si f (x, y ) ≤ g (x, y ) para todo (x, y ) ∈ D, entonces
ZZ
ZZ
f (x, y ) dxdy ≤
g (x, y ) dxdy .
D
D
Z Z
ZZ
f (x, y ) dxdy ≤
|f (x, y )| dxdy .
D
D
ZZ
vol(V ) =
|f | dxdy
Z ZD
área(D) =
dxdy
D
OCW UMA
Tema 4
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Cambio de variables
Una transformación o cambio de variables, T : A → D es uno a uno si es
inyectiva y T (A) = D (y, por tanto, A = T −1 (D)).
v
T
A
y
(u, v )
D = T (A)
(x, y )
x
u
(
x = x(u, v )
T (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v )) o bien
y = y (u, v )
OCW UMA
Tema 4
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Teorema (del cambio de variables para integrales dobles)
2
Sea el
( c. e. f : D ⊆ R → R continuo en D conjunto cerrado y acotado.
x = x(u, v )
Sea
un cambio de variables que transforma uno a uno la
y = y (u, v )
región A en la región D. Si dicho cambio de variables es de clase C 1 en un
abierto que contenga a la región A en el cual, salvo un cantidad finita de
∂(x, y )
6= 0, entonces
puntos y el jacobiano J =
∂(u, v )
ZZ
ZZ
∂(x, y ) dudv
f (x, y ) dxdy =
f (x(u, v ), y (u, v )) ∂(u, v ) D
A
Nota: El jacobiano del cambio de variables actúa como factor de
dilatación o de compresión del área al pasar de A a D mediante la
transformación dada.
OCW UMA
Tema 4
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Ejemplo
ZZ
(x 2 y 2 ) dxdy siendo D la región del plano limitada por
Calculemos
D
1 ≤ xy ≤ 2, y por 1 ≤ x 2 y ≤ 2.
y
x 2y = 1
x 2y = 2
Efectuandoel cambio de variable
u = xy
v = x 2y
xy = 1
ZZ
2 2
ZZ
u2
(x y ) dxdy =
D
OCW UMA
R
Tema 4
xy = 2
x
7
1
dudv = ln 2
v
3
17 / 28
Algunos de los cambios de variables más utilizados en el
plano son:
1
(
x = r cos θ
Cambio a coordenadas polares:
y = r sen θ
2
∂(x, y )
= r.
∂(r , θ)
Cambio
a coordenadas polares trasladadas al punto (a, b):
(
x = a + r cos θ
.
Jacobiano es J = r .
y = b + r sen θ
θ ∈ [0, 2π].
3
con r > 0 y
Jacobiano J =
Cambio a coordenadas elı́pticas de semiejes a, b > 0:
(
x = a r cos θ
.
Jacobiano J = abr
y = b r sen θ
OCW UMA
Tema 4
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Ejemplo
Calculemos
ZZ
RR
D
xy 2 dxdy siendo D el cı́rculo de radio 1.
Z
2
2π
Z
1
2
r cos θ · r sen θ · r dr dθ =
xy dxdy =
D
0
Z
0
2π
2
=
Z
1
cos θ sen θ
0
0
θ=2π
1 sen3 θ
r dr dθ =
=0
5
3
θ=0
4
x = r cos θ
y = r sen θ
θ
2π
A
y
D = T (A)
−1
1
OCW UMA
2
1
x
r
Tema 4
19 / 28
Ejemplo
ZZ
Vamos a calcular
x dxdy siendo D la región limitada por la elipse
D
x 2 + 4y 2 = 4 y la recta 2y = x.
√
2, √12 y Q − 2, − √12
(
x = 2r cos θ
y = r sen θ
P(r = 1, θ = π4 ) y Q(r = 1, θ =
P
P
Q
√
5π
4 )
De aquı́
ZZ
Z
x dxdy =
D
OCW UMA
5π
4
θ= π4
√
4 2
2r cos θ · 2r drdθ = −
3
r =0
Z
1
Tema 4
20 / 28
Integral triple de un campo escalar sobre un paralelepı́pedo
ZZZ
ZZZ
f (x, y , z) dV =
R
f (x, y , z) dxdydz =
Z b3 Z b2 Z b1
f (x, y , z) dx dy dz
=
R
a3
a2
a1
El teorema de Fubini para paralelepı́pedos garantiza que si f es un campo
escalar continuo sobre el paralelepı́pedo R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ]
entonces la integral triple se puede calcular como una integral iterada en
cualquier orden de las variables.
OCW UMA
Tema 4
21 / 28
Región proyectable en el espacio.
Sea V ⊆ R3 una región en el espacio. Se dice que V es XY -proyectable si
existe una región del plano D cerrada y acotada, y existen dos campos
escalares a3 (x, y ) y b3 (x, y ) continuos en D tales que
V = (x, y , z) ∈ R3 : (x, y ) ∈ D, z ∈ [a3 (x, y ), b3 (x, y )]
Igualmente se pueden definir regiones XZ -proyectables y regiones
YZ -proyectables.
OCW UMA
Tema 4
22 / 28
Sea f : V ⊆ R3 → R un campo escalar continuo sobre la región
XY -proyectable V , con (x, y ) ∈ D y z ∈ [a3 (x, y ), b3 (x, y )]}. La integral
triple en V se define como
Z Z "Z
ZZZ
f (x, y , z) dxdydz =
V
#
b3 (x,y )
f (x, y , z) dz dxdy .
D
a3 (x,y )
Igualmente se definen las integrales triples para regiones XZ -proyectables y
regiones YZ -proyectables.
Además, el teorema de Fubini para regiones proyectables en el espacio
garantiza que si la región V puede describirse como región proyectable de
más de una forma entonces las integrales triples aplicadas en cada caso
obtienen el mismo resultado.
Volumen de una región del espacio
ZZZ
vol(V ) =
dxdydz.
V
OCW UMA
Tema 4
23 / 28
Ejemplo
Volumen de un tetraedro
z
c
c
c
z =c− x− y
a
b
b
y
a
x
Z Z "Z
D
Z
"Z
a
x=0
c− ca x− bc y
OCW UMA
dz dxdy =
ZZ z=0
b
(a−x)
a
y =0
#
D
#
c
c c − x − y dy dx =
a
b
Tema 4
c
c c − x − y dxdy
a
b
Z
0
a
abc
bc(x − a)2
dx =
2
2a
6
24 / 28
Coordenadas cilı́ndricas


x = r cos θ
y = r sen θ


z =z
con r > 0, θ ∈ [0, 2π), z ∈ R
El jacobiano de este cambio es
∂(x, y , z)
= r.
∂(r , θ, z)
Eje Z
P
z
y
O
x θ
r
Eje Y
Eje X
OCW UMA
Tema 4
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Coordenadas esféricas


x = ρ cos φ sen θ
y = ρ sen φ sen θ


z = ρ cos θ
Su jacobiano es
con ρ > 0, θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π)
∂(x, y , z)
= ρ2 sen θ.
∂(ρ, θ, φ)
Eje Z
P
z
θ
y
ρ se
O
x
φ
Eje X
OCW UMA
ρ
nθ
Tema 4
Eje Y
26 / 28
Ejemplo
1
Calculemos el volumen del cilindro V de radio R y altura h. Para ello
usaremos, obviamente, coordenadas cilı́ndricas.
ZZZ
Z R Z 2π Z h
dxdydz =
|J| dzdθdr = π R 2 h
V
2
r =0
θ=0
z=0
Calculemos el volumen de la esfera de radio R. Usaremos, claro está,
coordenadas esféricas.
ZZZ
Z R Z 2π Z π
dxdydz =
ρ2 sen θ dθdφdr =
V
ρ=0
R
Z
=
0
OCW UMA
φ=0
θ=0
4
4πρ2 dρ = πR 3
3
Tema 4
27 / 28
Rodrı́guez Sánchez, F.J.
Muñoz Ruiz, M.L.
Merino Córdoba, S.
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Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.0 Spain
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