Tema 1: Circuitos Combinacionales Contenidos 1.1 Introducción 1.2 Aritmética 1.3 Álgebra de Boole 1 1.1 Introducción Señales y Sistemas Entrada Salida (Excitación) (Respuesta) Sistema Un sistema es un conjunto de partes o elementos que interactúan entre sí para lograr un objetivo. Los sistemas abiertos reciben (entrada) datos, energía o materia del ambiente y proveen (salida) información, energía o materia. El sistema establece una relación entre las salidas y las entradas En nuestro campo un Sistema es una función matemática que se aplica a la entrada T : T ( : Alfabeto de entrada : Alfabeto de salida 2 1.1 Introducción Clasificación de las Señales Variable Continua Discreta Variable Variable Continuo Tiempo Tiempo Variable Tiempo Variable Discreto Tiempo Tiempo 3 1.1 Introducción Clasificación de Señales Señales Analógicas Variable Continua Tiempo Continuo Variable Señales Digitales Variable Discreta Tiempo Discreto Variable Tiempo Tiempo 4 1.1 Introducción Interconexión entre Sistemas Analógicos y Digitales Sistema Analógico Conversor Digital/Analógico Conversor Analógico/Digital Sistema Digital 5 1.1 Introducción Clasificación de los Sistemas Electrónicos Digitales • Sistemas Combinacionales No tienen memoria yn T ( xn ) xn Sistema Combinacional Ejemplo : yn1 xn1 2 • Sistemas Secuenciales Tienen memoria xn yn T ( xn , yn j ) Sistema Secuencial Ejemplo: yn1 xn1 2 yn 6 1.2 Aritmética • Representaciones numéricas en distintas BASES •Operaciones Aritméticas con números positivos •Números negativos. Representación en Complemento A2 •Operaciones Aritméticas con números negativos 7 Definición 1.3 Álgebra de Boole Se define álgebra de Boole como: •Un conjunto finito B con al menos 2 elementos, N (elemento nulo), U (elemento universal) •Dos operaciones (*,+) que cumplen los siguientes axiomas: • Las operaciones *,+, , deben ser cerradas x yB x, y B x y B • Las operaciones con los elementos N,U deben cumplir las siguientes propiedades x N N xN x x U x x U U • Propiedad distributiva: x ( y z ) ( x y) ( x z ) x ( y z) ( x y) ( x z) • Propiedad conmutativa: x y y x x y yx • Corolario de complementación: x x N x B, x B x x U 8 1.3 Álgebra de Boole Propiedades deducidas de los postulados • Propiedad de Idempotencia: xx x Dem: x x x x x U x( x x) x x x x x x N x x • Propiedad Asociativa: x ( y z ) ( x y) z x ( y z ) ( x y) z • Propiedad de Absorción: x ( x y) x x ( x y) x • Propiedad del Consenso: x ( x y) x y x ( x y) x y • Leyes de De Morgan: • Propiedad del Involución: x x ( x y) x y ( x y) x y 9 1.3 Álgebra de Boole Conjunto y Operaciones • Conjunto Binario: B 0,1 N 0 U 1 • Operaciones: Suma Lógica OR Producto Lógico AND Negación Lógica NOT + 0 1 · 0 1 ─ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 10 1.3 Álgebra de Boole Implementación de funciones booleanas AND z x1 x2 NAND z x1 x2 x1 x2 z 00 0 01 1 0 10 1 11 1 11 1 x1 x2 z x1 x2 z 00 1 00 1 01 1 01 0 10 1 10 0 11 0 11 0 x1 x2 z 00 0 01 0 10 OR z x1 x2 NOR z x1 x2 NOT z x1 x1 z 0 1 1 0 x1 x2 z z x1 x2 00 0 z x1 x2 x1 x2 01 1 10 1 11 0 XOR 11 1.3 Álgebra de Boole Equivalencias x x z ZX x Z X X X z y Z X Y X Y x x z z y Z X Y X Y x y x y x y x y z ZXX X z z x y x y z x y x y z 12 1.3 Álgebra de Boole Formas normales de una función booleana • Mintérmino: Producto de todas las variables de la función, negadas o no • Maxtérmino: Suma de todas las variables de la función, negadas o no m0 x1 x2 x3 m1 x1 x2 x3 m 2 x1 x2 x3 m3 x1 x2 x3 m 4 x1 x2 x3 m5 x1 x2 x3 m6 x1 x2 x3 m7 x1 x2 x3 M 0 x1 x2 x3 M 1 x1 x2 x3 M 2 x1 x2 x3 M 3 x1 x2 x3 M 4 x1 x2 x3 M 5 x1 x2 x3 M 6 x1 x2 x3 M 7 x1 x2 x3 13 1.3 Álgebra de Boole Formas normales de una función booleana • Forma normal conjuntiva: Producto de maxtérminos Mi Mj Mk x1 x2 x1 x2 • Forma normal disyuntiva: Suma de mintérminos mi mj mk ml 2 n 1 mi( x , x ,, x i 1 1 2 n ) 1 x1 x2 x1 x2 2 n 1 Mi( x , x ,, x 1 2 n )0 i 1 14 1.3 Álgebra de Boole Tabla de verdad Mintérminos x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 Maxtérminos x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x 2 x3 z 000 0 001 0 010 1 011 1 100 0 101 0 110 1 111 0 z x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 z x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 15 1.3 Álgebra de Boole Ejemplo (Diseño de sumador binario) Tabla de verdad x1 x2 Acarreo Suma 00 0 0 01 0 1 10 0 1 11 1 0 Formas canónicas Acarreo x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Suma x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Realización x1 x1 x2 Acarreo x2 x1 Suma x2 Acarreo x1 x2 Suma 16 1.3 Álgebra de Boole Simplificación de funciones booleanas (Mapas de Karnaugh) 2 variables x1 0 x2 0 x2x1 1 x3 0 1 0 1 3 variables 1 3 2 00 01 Código Gray 11 10 4 variables 0 1 3 2 x2x1 x4x3 4 5 7 5 variables x2x1 x4x3 00 01 11 10 00 01 11 x2x1 10 x4x3 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 00 01 11 10 01 x5 1 00 01 11 11 10 10 16 17 19 18 20 21 23 22 28 29 31 30 27 26 24 25 01 11 10 6 00 x5 0 00 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 17 1.3 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Ejemplo Sumador: Suma x1 x2 x1 x2 m(1,2) x1 Acarreo x1 x2 m(3) x1 x2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 x2 x4x3x2x1 Valor Ejemplo Comparador: x2 x1 x4 x3 Comparador m(0,1,2,3,5,6,7,15,11,10) x2x1 0000 1 0001 1 0010 1 0011 1 0100 0 0101 1 0110 1 0111 1 1000 0 1001 0 ……………… 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 0 10 0 0 1 1 x4x3 18 1.3 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh (Simplificación) x2x1 x4x3 00 00 0 01 1 11 1 10 1 01 0 4 12 8 1 1 1 1 11 1 5 13 9 1 1 0 0 x2x1 10 3 7 15 11 0 0 0 0 x4x3 2 6 14 10 Agrupaciones de 2n elementos adyacentes x1·x2·x3·x4 + x1·x2·x4 + x2·x3 + x1·x3·x4 + x2·x3·x4 •Implicantes primos esenciales •Implicantes primos •Implicantes 00 00 0 01 1 11 1 10 1 01 0 4 12 8 1 1 1 1 11 5 13 1 9 1 1 0 0 x2x1 10 3 7 15 11 0 0 0 0 x4x3 2 6 14 10 No están totalmente incluidos en otro implicante x1·x4 + x2·x4 + x2·x3 + x1·x2 00 00 0 01 1 11 1 10 1 01 0 4 12 8 1 1 1 1 11 1 5 13 9 1 1 0 0 10 3 7 15 11 0 0 0 0 Si se eliminan la función queda algún elemento sin agrupar x1·x4 + x2·x4 + x2·x3 19 2 6 14 10 1.3 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Ejemplo Comparador: x2 x1 x4 x3 Comparador m(0,1,2,3,5,6,7,15,11,10) Simplificación Comparador x4 x3 x2 x1 x1 x4 x2 x4 x2 x3 x2 x1 x4 x3 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 0 10 0 0 1 1 ¡¡ Ojo que el mapa es cerrado o cíclico !! 20 1.3 Álgebra de Boole Realización Ejemplo Comparador: x2 x1 x4 x3 x4 x3 x2 x1 x4 x3 x2 x1 Salida Salida 21 1.3 Álgebra de Boole Ejemplo Diseñar un circuito con 4 entradas (a,b,c,d) y una salida s que opere de la siguiente manera: abcd s • s es 0 si 3 o más entradas son 1 salvo que a sea 0 0000 1 •Si a es 0 y otras dos entradas son 1, entonces s es 0 0001 1 •Si a es 1 y otra entrada es 1, s es 0 0010 1 0011 0 •Si una sola entrada que no sea b es 1 entonces s es 1 0100 • s es 1 si a=b=c=d=0 cd 00 01 11 10 ab s b c d a b c a b d -,X Indiferencia 00 1 01 X 0 1 0 0 0 10 1 8 0 0 9 1 2 0 7 13 12 3 X 5 4 11 1 0 15 0 6 0 14 0 11 0101 0 0110 0 0111 - 1000 1 1001 0 1010 0 1011 0 1100 0 1101 0 1110 0 1111 0 10 22 1.3 Álgebra de Boole Ejemplo s b c d a b c a b d a b c d s 23 1.3 Álgebra de Boole Ejemplo En una unidad se reciben 4 bits en BCD. Determinar mediante un circuito la presencia de los múltiplos de 3 o de 4 abcd s3 s4 0 0000 0 0 1 0001 0 0 2 0010 0 0 3 0011 1 0 4 0100 0 1 5 0101 0 0 6 0110 1 0 7 0111 0 0 8 1000 0 1 9 1001 1 0 1010 X X 1011 X X 1100 X X 1101 X X 1110 X X 1111 X X s3 a d b c d b c d cd 00 01 11 s4 a d b c d cd 10 ab 00 01 11 10 ab 00 0 01 0 11 X 10 0 0 4 12 8 0 0 X 1 1 5 13 9 1 0 X X 3 7 15 11 0 1 X X 2 6 14 10 00 0 01 1 11 X 10 1 0 4 12 8 0 0 X 0 1 5 13 9 0 0 X X 3 0 0 7 X 15 X 11 24 2 6 14 10 1.3 Álgebra de Boole Ejemplo s3 a d b c d b c d s4 a d b c d a a b b c c d d s3 s4 Hidalgo López, José A.; Fernández Ramos Raquel; Romero Sánchez, Jorge (2014). Electrónica. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons AttributionNonCommercial-Share-Alike 3.0 Spain 25